11.2 对坐标的曲线积分

P (x,y)d xQ (x,y)d yP (x,y)d xQ (x,y)dy
L
L
返回
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧 AB上
连续，
ABL:
x(t)
y (t)
当 t 单调地从变到 时， (x, y)沿AB从A运动 B
(t )、 (t) 具有连续的导数， 且 2(t) 2(t)0
oB: y x, 起 x 点 0 ,终 x 点 1 .
故 xy dxxy dx xydx
L
Ao
oB
0
1
1x( x)dx 0 x x dx
2 1x3 2 dx 4 .
0
5
返回
解法2 化为对 y的定积分
y B(1,1)
L: xy2,
起 y 点 1 ,终 y 点 1 .
o
1x
又 x2y.
故
P[(t),
(t
)]d(t)
返回
L:
x (t)
y
, (t)
起点 t 参 ,终 数 点 t参 . 数
LP (x,y)d xQ (x,y)dy
{ P [ (t) ,(t) ] (t) Q [ (t) ,(t) ] (t)d } . t
特殊情形
(1 )L :y y (x )起点 x a 横 ，x 坐 终 b . 标 点
xydx
1
xydx
y2
y2ydy
A(1,1)
L
AB
1
1
2
y4dy 4
1 y4dy
4.
1
0
5
返回
L:
x (t)
y

4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy

1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L

例2. 计算 ∫L y d x , 其中 L 为
2
y A a x
B 上半圆周, 方向为逆时针方向 ; −a O (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
2
(1) 半径为 a 圆心在原点的
解: (1) 取L的参数方程为 x = a cos t , y = a sin t , t : 0 → π 则
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO ∪ OB
y
B ( 1, 1 )
AO : y = − x , x : 1 → 0 OB : y = x ,
∴ ∫ x yd x = ∫
L AO 0
1
y= x
O y=− x A(1,−1)
1 3 2 0
x : 0 →1
OB
x
x yd x + ∫
x yd x
1
=∫
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3) “近似和”
n
W ≈ ∑ [ P(ξ k , η k )∆ xk + Q(ξ k , η k )∆ y k
k =1
]
4) “取极限”
λ →0
W = lim ∑ [ P (ξ k , ηk )Δ xk + Q(ξ k , ηk )Δ yk ]
k =1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
∫L− P( x, y )d x + Q( x, y )d y = − ∫L P( x, y )d x + Q( x, y )d y
说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! • 定积分是第二类曲线积分的特例 .
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P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
2012-10-12 同济版高等数学课件
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3. 计算 • 对有向光滑弧
x (t ) L: , t : y (t )

P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
2
化为对弧长的积
1 x 2x x
2
dx y
ds
1 y d x
2
1 2x x
2
dx
O 1 x
B x

2x x ,
2
L P( x, y ) d x Q( x, y ) d y
2x x
2012-10-12
2
(1 x )
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根据定义 设分点 xi 对应参数 ti ,
n
lim P ( i , i ) xi
0
i 1
n
对应参数 i , 由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i )ti lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti
连续, L 的参数方程为
存在, 且有

则曲线积分

P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t

证明: 下面先证


P [ (t ), (t )] (t )dt
2012-10-12
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