§5.9 三角高程测量
三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。这种方法简便灵活，受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。
5.9.1 三角高程测量的基本公式
1.基本公式
关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基
本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是
以水平面作为依据的。在控制测量中，由于距离较
长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量
的基本公式。
如图5-35所示。设
s为B
A、两点间的实测水
平距离。仪器置于A点，仪器高度为
1
i。B为照准
点，砚标高度为
2
v，R为参考椭球面上B
A'
'的曲率
半径。AF
PE、分别为过P点和A点的水准面。PC
是PE在P点的切线，PN为光程曲线。当位于P点
的望远镜指向与PN相切的PM方向时，由于大气折
光的影响，由N点出射的光线正好落在望远镜的横
丝上。这就是说，仪器置于A点测得M
P、间的垂直角为
2,1
a。
由图5-35可明显地看出，B
A、两地面点间的高差为
NB
MN
EF
CE
MC
BF
h-
-
+
+
=
=
2,1
（5-54）
式中，EF为仪器高NB
i;
1
为照准点的觇标高度
2
v；而CE和MN分别为地球曲率和折光影响。由
2
2
1
s
R
CE=2
2
1
s
R
MN
'
=
式中R'为光程曲线PN在N点的曲率半径。设,K
R
R
=
'
则
图5-35
20202.21S R
K S R R R MN ='=
K 称为大气垂直折光系数。 由于B A 、两点之间的水平距离0s 与曲率半径R 之比值很小（当km s 100=时,0s 所对的圆心角仅5'多一点），故可认为PC 近似垂直于OM ，即认为 90≈PCM ,这样PCM ∆可视为直角三角形。则（5-54）式中的MC 为
2,10tan αs MC =
将各项代入（5-54）式，则B A 、两地面点的高差为
21202,102201202,102,121tan 221tan v i s R
K s v s R K i s R s h -+-+=--++=αα 令式中C C R
K ,21=-一般称为球气差系数，则上式可写成 21202,102.1tan v i Cs s h -++=α（5-55）
（5-55）式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直
角a ,仪器高i 和砚标高v ,均可由外业观测得到。0s 为实测
的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d 。
2.距离的归算
在图5-36中，B A H H 、分别为B A 、两点的高程（此
处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距，，其平
均高程为mM H H H B A m ),(2
1+=为平均高程水准面。由于实测距离0s －般不大（工程测量中一般在l0km 以内），所
以可以将0s 视为在平均高程水准面上的距离。
由图5-36有下列关系
)1(100R
H s s R H R H R s s m m
m +=+=+= （5-56） 图5-36
这就是表达实测距离0s 与参考椭球面上的距离s 之间的关系式。
参考椭球面上的距离s 和投影在高斯投影平面上的距离d
之间有下列关系
)21(22R y d s m -=（5-57） 式中m y 为B A 、两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值。关系式（5-57）的推导将在第八章中讨论。
将（5-57）式代入（5-56）式中，并略去微小项后得
)21(2
20R y R H d s m m -+= （5-58） 3.用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式
将（5-56）式代入（5-55）式，得
2122,12,1)1(tan v i Cs R
H s h m -+++=α （5-59） 式中2Cs 项的数值很小，故未顾及0s 与s 之间的差异。
4.用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式
将（5-57）式代入（5-59）式，舍去微小项后得
)2(tan )2(tan tan 222122,1222,1212
2,12.1R y R H h v i Cd d R y R H d v i Cd d h m
m m m -'+-++=-+-++=ααα （5-60） 式中2,1tan αd h ='。
令 h h '=∆2
,1)2(2
2R y R H m m - （5-61） 则（5-60）式为
2,12122,12,1tan h v i Cd d h ∆+-++=α （5-62） （5-61）式中的m H 与R 相比较是一个微小的数值，只有在高山地区当m H 甚大而高差也较大时，才有必要顾及R H m 这一项。例如当m h m H m 100,1000='=时,R
H m 带这一项对高差的影响还不到0.02m ，一般情况下，这一项可以略去。此外，当
时m h km y m 100,300='=,2
22R y m 这－项对高差的影响约为0.llm 。如果要求高差计算正确到
