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重复抽样： ˆ p sp
1 p1 p
n
不重复抽样： ˆ p sp
Nn N 1
1 p1 p
n
样本比例的标准误差
某公司从一批产品中随机抽取100件进行调查，发现其中有 10件不合格 。求样本合格品率的标准误差
分析：题目未告知是否采用不重复抽样，但据题意可 知总体单位数很大，因此即便采用不重复抽样其标准 误差的修正效果也不好，因此视同重复抽样
▪ 求 的矩估计和最大似然估计
优良估计标准
▪ 无偏（unbiased）
E(ˆ)
▪ 有效（effective）
D(ˆ) min
▪ 一致（consistent）
lim (ˆ)
n
主要参数和估计值
名称 均值 方差
比例 （0-1变量）方差
总体
X
N
2 X X 2 N
样本
x x n
s2 x x2
参数和估计
▪ 总体：参数（parameter）
f (x1, x2, , xN )
▪ 样本：估计量（estimator）
ˆ f ( X1, X 2 , , X n )
▪ 观测：估计值（estimate）
ˆ f (x1, x2 , , xn )
抽样估计
▪ 利用样本估计值去估计总体参数的过程称为抽样 估计（sampling estimation）或参数估计 （parameter estimation）
3
4
5
6
7
100 times
Frequency 0 400 800
3
4
5
6
7
500 times
30000 times
Frequency 0 40 80
样本均值的分布形态
中心极限定理（central limit theorem）：不论
总体变量成何种分布，当样本容量很大时，样本均 值服从以 为均值， x 为标准差的正态分布
本章重点
点估计 抽样分布 均值区间估计 比例区间估计 方差区间估计
第一节 点估计
✓矩估计 ✓最大似然估计 ✓点估计标准
总体和样本
▪ 总体
X : x1, x2 , , xN , (N为总体容量)
▪ 样本
X1, X 2, , X n , (n为样本容量)
▪ 观测
x1, x2 , , xn
▪ 基本假设：独立同分布（iid）
n 1
p
2 1 s 2 p 1 p
第二节 样本均值和比例分布
✓ 样本均值的分布 ✓ 样本比例的分布
均值和标准差
▪ 样本均值的均值（expectation）为总 体均值，即
Ex
▪ 标准差
x
1
n
标准误差
▪ 样本均值的标准差代表了样本均值估计总体 均值的误差，亦称样本均值的标准误差 （ standard error）
误差计算
从某企业生产的5000个零件中随机检测 200个，测得这200个零件的平均长度为 423毫米，标准差为12毫米。求标准误差
由题意：N 5000 , n 200, x 423,s 12
则：sx
1 s n
1 12 200
0.85
误差的修正
▪ 不重复抽样时，标准误差计算公式为
x
▪ 根据分布计算样本观测的取值概率
P(xi ) f (xi ;1,2, ,k ),(i 1,2, , n; k为待估计参数个数 )
▪ 样本观测的总取值概率即为似然函数，其对 数为对数似然函数
n
n
L(1,2 ,L ,k ) P(xi ) f (xi;1,2,L ,k )
i 1
i 1
n
n
ln L(1,2,L ,k ) lnP(xi ) ln f (xi;1,2,L ,k )
由题意：N 5000, n 200,x 423,s 12
则：sx
Nn s N 1 n
5000 200 5000-1
12 200
0.83
随机试验
重复地从1到9中随机抽5个数，计算均值。 观察均值的分布
Frequency 0 5 15
Frequency 0 5 10 15
3
4
5
6
7
50 times
▪ 用单值估计参数称为点估计（point estimation）
▪ 用区间估计参数称为区间估计（interval estimation）
点估计
▪ 点估计的基本思想是根据样本观测为总体参 数找到一个最优估计
▪ 矩估计（method of moments）
▪ 最大似然估计（maximum likelihood estimation, mle）
x
density
样本比例
▪ 样本比例是样本均值的特殊情况，即样本 比例可看成是0-1变量的均值，因此容易 知道样本比例分布
▪ 均值
E p
标准误差
▪ 标准差（标准误差）：
重复抽样： p
1
n
1 1
n
不重复抽样： p
Nn N 1
1 1
n
标准误差的估计
▪ 同样的道理，总体比例常常未知，需用样本 比例估计
i 1
i 1
最大似然估计
▪ 让似然函数或者对数似然函数取最大值的参 数极为最大似然估计，即令
ln L
1
0
ln L
2
0
ln L
k
0
▪ 该方程组得解即为最大似然估计
练习
▪ 某变量的10次观测如下 2 1 6 5 3 0.1 13 1 1 2
▪ 假设该变量的概率密度函数为
f (x) ex , (x 0)
Nn
N 1 n
▪
N n N 1
叫有限总体修正系数（finite
population correction）
▪ 但当总体容量很大时，这种修正就不存在或 作用很少
误差计算
从某企业生产的5000个零件中随机检测200个， 测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准 差为12毫米。若采用不重复抽样，求标准误差
▪ 影响抽样误差大小的因素有二：一为总体的 标准差，；二为样本容量的大小
▪ 应当指出，抽样误差同总体容量没有关系或 关系很小
标准误差的估计
▪ 实际中总体标准差 常常是未知的，因此要样本均
值的标准误差，需用样本标准差s代替
ˆ x sx
1 s n
▪ 当样本容量很大时，这种代替的误差是很小的； 但当样本容量较小时，就会产生较大的误差
矩估计
▪ 根据分布计算总体矩
j E(x j ) g j (1,2 , ,k ),( j 1,2, , k; k为待估计参数个数 )
▪ 根据样本观测计算样本矩
ˆ j
1 n
x j ,( j 1,2, , k)
▪ 据总体矩等于样本矩联立方程组求参数
g
j
(1, 2 ,
,k
)
1 n
xj
最大似然估计
