1.3.2三角函数的诱导公式2

高一数学必修四导学案课题：1．3.2 第二课时 三角函数的诱导公式五、六班级：_______姓名：_____________小组：_______教师评价：__________【教学目标】1．理解诱导公式五、六的推导过程．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用【重点难点】公式五、六记准并能灵活运用公式【导学过程】问题一：给定一个角α，角π2－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？问题二：怎样求π2＋α的正弦、余弦值呢？【课前自主梳理】1．诱导公式(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ (2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝. 2．公式五和公式六的文字概括π2±α的-----------函数值，分别等于α的---------函数值，前面加上一个把α看成--------时原函数值的符号．【互动探究】1.给值求值例 1 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，则tan(π－α)＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34【合作探究】(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α 的值．（3）已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223 C ．－13D ．－223【互动探究】2.利用诱导公式化简、求值例 2 化简下列各式．(1)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π·sin 3π＋α．【合作探究】(2018高考改编)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π.【重点附加】【合作探究】已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值． 【互动探究】3、三角函数的证明例 3 求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.【重点附加】已知f (cos x )＝cos17x ，证明：f (sin x )＝sin17x .。

湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。

三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

沂南二中2011-2012学年度下学期必修4学案1.3.2 三角函数的诱导公式（二）编制人：宋洪华 审核人：周建华 使用时间： 2012-4-20【学习目标】1、掌握诱导公式五、六2、灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值及证明.【重点难点】灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值及证明.【预习课前】（根据以下提纲，预习课本第26-27页，找出疑惑之处）1、-2πα组诱导公式：①__________________________________________________; ②____________________________________________________________________.2、+2πα组诱导公式：①__________________________________________________; ②____________________________________________________________________.3、2πα±的诱导公式中函数名称发生改变时，主要是正弦、余弦的转换，同时要注意三角函数的符号.4、学习了本部分知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为90()k k Z α︒±∈的诱导公式，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余函数值，然后在前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.5、诱导公式统一成90()k k Z α︒±∈后，记忆时可用口诀：奇变偶不变，符号看象限；或奇余偶同，象限定号.【互动探究】例1、已知5sin(5)sin()22πθπθ-+-=求（1）333sin (+)-cos ()22πθπθ- （2）447sin (-)+cos (+)22πθπθ变式练习：若sin -+sin(-90-)sin(180)(0,90)cos(540)cos(270)αααααα︒︒+=∈︒︒︒-+-︒-（），求例2、已知3 cos(+)cos(2)sin()22 ()sin()sin()2fππαπαααππαα--+ =--+（1）化简()fα（2）若α是第三象限角，且31cos(-)=().25fπαα，求的值变式练习：已知cos(-)cos(2)sin333cos[sin()1]cos()sin()sin()222παπθθπππθθπθθθ-=+--++-+的值.例3、是否存在角(-,)(0,),sin)222πππαβαβππαβ∈∈-，，，、使等式(3+))απβ-=+同时成立?例4、已知()sin ,.4n f n n Z π=∈ (1)(1)+(2)(8)(9)(10)(16)(2)(1)(2)(2003).f f f f f f f f f ++=++++++ 求证：求【自我测评】 1、已知3sin cos(2)5παααπ-(+)=，且是第四象限角，则的值是（ ） A 4-5 B 45 C 45± D 35 2、y αβ，的终边关于轴对称，下列各式正确的是 （ ）A sin =sin αβB cos =cos αβC tan =tan αβD cos2-=cos παβ（） 3、若2cos -()63m ππαα-=()=，则sin （ ） A -m B m -2 C m 2 D m 4、若sin +cos(90+)cos(270-)+2sin(360)ααααα︒︒︒︒-(180+)=-，则的值是（ ） A 2-3a B 32a - C 23a D 32a 5、cos -585sin 495+sin(-570)︒︒︒（）的值等于_____________. 6、1cos cos(+)52πααα==，且是第四象限角，那么则______________. 7、若sin(-)+sin(-90)sin (0).cos(540)cos(270)αααααα︒-︒∈︒︒︒-+-︒-(180+，90求8、设函数()sin()cos(),,,,(2007)1,f x a x b x a b f παπβαβ=+++=-其中都是非零实数，且满足(2008)f 求的值.9、已知3sin()cos(2)tan()2()=3tan()sin()2f παπααπαπαπα---++-- （1）化简：()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos(-)=().25f παα，求的值 （3）若31=-().3f παα，求的值。

诱导公式（2）一、A组1.已知sin(π-α)=,则cos等于()A. B. C.- D.-解析:∵sin(π-α)=,∴sin α=.∴cos=-sin α=-.答案:C2.若α∈,则=()A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α解析:∵α∈,∴sin α<0,∴=-sin α.答案:B3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α>0,sin α<0.∴角α的终边在第四象限.答案:D4.sin(π-2)-cos化简的结果是()A.0B.-1C.2sin 2D.-2sin 2解析:sin(π-2)-cos=sin 2-sin 2=0.答案:A5.=()A.-cos αB.cos αC.sin αD.-sin α解析:原式===-cos α.答案:A6.求值:sin2+sin2=.解析:∵-α++α=,∴sin2=sin2=cos2.∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.答案:17.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α=.解析:∵sin=-sin,∴cos α=-.∵0<α<π,∴α=.答案:8.若sin,则cos2=.解析:sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.答案:9.已知sin,求cos sin的值.解:cos sin=cos sin=sin sin.10.已知f(α)=.(1)证明:f(α)=sin α.(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan α.(1)证明:因为f(α)====sin α.(2)解:由sin=-,得cos α=-.又α是第二象限角,所以sin α=,则tan α==-.二、B组1.若sin(3π+α)=-,则cos等于()A.-B.C.D.-解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos=cos=cos=-sin α=-.答案:A2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是()①cos(A+B)=cos C②cos=sin③tan(A+B)=-tan C④sin(2A+B+C)=sin AA.①②B.③④C.①④D.②③解析:因为cos(A+B)=-cos C,所以①错;cos=cos=sin,所以②正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以③正确;sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,所以④错,故选C.答案:C3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为()A.-B.-C.D.解析:由已知得,-sin α-sin α=-a,即sin α=.故cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- a.答案:B4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式=.答案:5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos 21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.答案:6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第象限角.解析:∵cos=-=-=-=-,∴cos<0.又α为第二象限角,∴为第一或第三象限角,∴必为第三象限角.答案:三7.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.(1)求tan α的值;(2)求的值.解:(1)由故tan α=-.(2)原式==tan α=-.8.导学号08720021若.(1)求tan(x+π)的值;(2)求的值.解:(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式===-.。

人教版必修四1。

3。

2三角函数诱导公式（二）（结)命题方向1 利用诱导公式进行化简、求值已知α是第三象限角，f（α）＝错误!。

(1）若cos错误!＝错误!，求f（α)的值;（2）若α＝－1860°,求f(α)的值．［分析] 若f（α）的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．解析］f（α）＝错误!＝错误!＝－cosα.（1）∵cos（α－错误!）＝－sinα＝错误!，∴sinα＝－错误!,∵α为第三象限角，∴cosα＝－错误!，∴f(α）＝－cosα＝错误!.(2)∵－1860°＝－5×360°－60°，∴f（－1860°)＝－cos(－5×360°－60°）＝－错误!.命题方向2 三角恒等式的证明求证:错误!＝错误!.［证明] 左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.右边＝错误!＝错误!＝错误!。

∴左边＝右边,故原式得证．规律总结：利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如何去分析角之间的关系．命题方向3 存在性、探索性问题是否存在α∈错误!，β∈(0,π）,使等式sin（3π－α)＝错误!cos错误!,错误!cos(－α）＝－错误!cos（π＋β）同时成立？若存在,求出α、β的值；若不存在，说明理由．［分析］题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α（或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．[解析］由条件得,错误!①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③又∵sin2α＋cos2α＝1④由③，④得sin2α＝错误!即sinα＝±错误!,∵α∈错误!,∴α＝错误!或α＝－错误!.当α＝错误!时，代入②得cosβ＝错误!,又β∈(0，π)，∴β＝错误!，代入①可知符合．当α＝－错误!时,代入②得cosβ＝错误!，又β∈（0，π），∴β＝错误!，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝错误!，β＝错误!满足条件．。

§1.3 三角函数的诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．知识点一 诱导公式五 诱导公式五知识点二 诱导公式六 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1．sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α. 2．诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．1．诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( × ) 提示 诱导公式五、六中的角α是任意角．2．诱导公式五、六与诱导公式一～四的主要区别在于函数名称要改变．( √ ) 提示 由诱导公式一～六可知其正确． 3．sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝±cos α.( × )提示 当k ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝sin(π－α)＝sin α.4．口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号．( × ) 提示 应看原三角函数值的符号.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．跟踪训练1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．±53 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A解析 因为⎝⎛⎭⎫α＋π4＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α ＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．跟踪训练2 证明：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝－cos α. 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明证明 因为左边＝sin (－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α(－cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝sin αcos αcos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αsin αcos αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos α＝右边，所以等式成立．诱导公式的综合应用典例 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.[素养评析] (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．(2)掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，通过运算促进数学思维的发展，提升数学运算的数学核心素养.1．已知sin α＝513，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( ) A.513 B.1213 C ．－513 D ．－1213 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－513. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－α等于( ) A ．－13 B.13 C.233 D ．－233考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 B解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝13. 3．(2018·泰安高一检测)若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－32考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A4．(2018·江西赣州联考)设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－1 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 答案 B 解析sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2.5．求证：sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ).考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、证明 证明 右边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝左边， 所以原等式成立．1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成⎝⎛⎭⎫0，π2内的三角函数值”这种方式求解． 用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：一、选择题1．已知cos α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A.14 B ．－14 C.154 D ．－154 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝14. 2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A.15B ．－15C ．－265D.265.考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 答案 B解析 cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的结果是( ) A ．1 B ．sin 2α C ．－cos 2α D ．－1 考点 异名诱导公式的综合 题点 异名诱导公式的综合应用 答案 C解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α， 所以原式＝cos α(－sin α)cos αsin α＝－cos 2α，故选C.4．已知sin(π＋α)＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－32π的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－22考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A解析 由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α＝12. 故选A.5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α等于( ) A.355B.377C.31010D.13考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，sin 2α＋cos 2α＝1， 可得sin α＝31010.6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A2考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 项正确． 7．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°等于( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 C解析 ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…，∴sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝44＋12＝892.二、填空题8．(2018·锦州高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝ . 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 －223解析 因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13>0. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫5π12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. 9．(2018·吉林长春外国语学校)化简sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝ .考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简 答案 0 解析sin (－x )cos (π－x )sin (π＋x )cos (2π－x )－sin (π－x )cos (π＋x )cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos (－x )＝(－sin x )(－cos x )(－sin x )cos x －sin x (－cos x )sin x cos x＝－1＋1＝0.10．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝ . 考点 题点答案 1解析 原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.11．给出下列三个结论，其中正确结论的序号是 ． ①sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角； ②若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13；③若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－1tan α. 考点 综合应用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 答案 ③解析 由诱导公式二，知α∈R 时，sin(π＋α)＝－sin α，所以①错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos [(2k ＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以②错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α－sin α＝－1tan α，所以③正确．三、解答题12．(2018·银川高一检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35， 求⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α＋32π·sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·tan 2()2π－α·tan ()π－α÷⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35， 所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝(－cos α)(－cos α)tan 2α(－tan α)sin α(－sin α)＝tan α＝±34. 13．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式求值解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.14．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)等于() A ．2 B ．－2 C ．0 D.23考点题点答案 B15．(2018·湖北孝感八校联考)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)的值． 考点 综合运用诱导公式化简与求值题点 综合运用诱导公式化简、求值解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.。