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第一章 抽象群基础§1.1 群【定义1.1】 G 是一个非空集合，G =｛…，g ，…｝，“· ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G 及其运算满足以下四个条件： （1）封闭性：∀f, g ∈G , f ·g=h , 则h ∈G ; （2）结合律：∀f, g, h ∈G ，（f ·g ）·h ＝f ·(g ·h ); （3）有单位元：∃e ∈ G , ∀f ∈ G , f ·e ＝e ·f ＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G ，∃f -1 ∈G , 使f ·f -1= f -1·f = e; 则称G 为一个群，e 为群G 的单位元，f --1为f 的逆元。
·系1. e 是唯一的。
若e 、e ´ 皆为G 的单位元，则e ·e ´= e ´，e ·e ´= e ，故e ´= e 。
·系2. 逆元是唯一的。
若存在f 的两个逆元f ´=f"，则f''f''e f''f)(f'f'')(f f'e f'f'=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=, 即''f f'= ·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e , 即：e –1 = e 。
·系4 若群G 的运算还满足交换律，∀f ，g ∈G , 有f ·g=g ·f , 则称G 为交换群，或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1 整数集{z }及其上的加法+单位元为0, 逆元z -1 = -z ,构成整数加法群。
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1)二, 特征标的性质(1) 同类群元的特征标相同证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T )= tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ]= tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ]= tr D ( R ) = χ ( R )即特征标是类的函数 *(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ](3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化;2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题;3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息.[ 提问: 丢掉了什么信息? ][ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ][ 提问: 为什么 ? ][ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ]*（二）可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的（矩阵）形式一般说来不是唯一的。
通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示，但它们的特征标相同，是确定的。
2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其（准）对角化,这就是可约表示约化的过程。
如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。
