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D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例:பைடு நூலகம்D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
[答案2: D6 和 D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同]
下面的任务是寻求获得约化系数 ai 的规范化程序
*
(二) 不可约表示特征标正交性定理
8
若 D i ( R ) 和 D j ( R )为群 G 的不等价不可约幺正表示, 则有
R i * ( R ) j ( R ) = ij h - ------------------ (4) 或 C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ( hC为类 C 的群元数) --- (4)’ 证明: 根据表示矩阵元正交性定理有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *
∣0
└ 0 0 1 ┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘
┌ 1 0 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐
C2 B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣
∣0
└ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐
C2 C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣
∣0
└ 1 0 0 ┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘
( w = 31/2/2 ) 讨论: 1, 同一表示中同类元的特征标相同 ( 特征标是类的函数 );
[ 提问: 已知D1, D2, D3 是 D3 群的三个不等价的不可约表示, 试说明 D4, D5, D6的可约性及其根据 ] ( 见下页 ) *
第一部分 群论基础
第三章 群表示特征标理论 (1)
四, 可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 )
4
(1) 只要知道群的所有不可约表示的特征标 ( 即不可约表示特征 标表 ), 就可对该群任一表示的可约性作出判断.
1, 如该表示的特征标和某一不可约表示的特征表完全相同, 则
与这一不可约表示等价, 亦为不可约表示. [ 提问: 为什么? ]
以 D3 群为例验证公式 (4)’
9
C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ------------------- (4)’ 已知D3 群的不可约表示特征标表为:
D3 E 3C2 2C3
1 1 1
1
2 1 –1 1
3 2 0 -1
若令 i = 1, j = 2 , 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•1 + 3•1•(-1) + 2•1•1 = 1– 3 + 2 = 0 若令 i = 2, j = 3, 则有
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对 求和
[ 思考题: 是何目的? ]
R Di*( R )Dj ( R ) = ij h/nj [ 提问: = ? ]
∣2
└0 0 1 ┘
└ 0 0 1┘
└0 1 ┘
┌ 0 1 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
C3 D ∣ 0 0 1∣ 0 ∣3/4, 1/4, W∣ 0 ∣
∣ -1
└ 1 0 0 ┘ └ W -W, -1/2┘ └-31/2/2, -1/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
[ 答案: 矩阵的相似变换不改变特征标和可约性. ]
2, 如该表示的特征标和任一不可约表示的特征标都不相同, 则
该表示可约. 其特征标可由不可约表示的特征标线性组合
而成 ( C ) = i i ( C ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (2) (2) 约化系数
该 ai 即为该表示约化后第 i 个不可约表示出现的次数, 即 约化系数
R i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
[ 答案: = 1 ]
(3) 对 求和 R i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
R i *( R ) j ( R ) = ij h ----------- (4) [ 提问: h = ? ]
或 C hC i * ( C ) j ( C ) = ij h ---- (4)’ [ 答案: h = h nj ] *
(三) 类矢量和类空间
10
[ 提问: 何为群元空间? ]
[ 答案: 群元矢量 R 作基矢构成的空间. ]
一, 类矢量: 同类群元矢量之和并经归一化为类矢量
D3
E 3C2 2C3
7
D1 1 1
1
1
D2 2 1 –1 1
D3 3 2 0 -1
D4 4 3 1 0
D5 5 3 1 0
D6 6 2 0 -1
[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同]
[提问: 约化的结果是什么? 为什么?]
[答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?]
C3 F ∣ 1 0 0 ∣ 0 ∣3/4, 1/4, -W∣ 0 ∣
∣ -1
└ 0 1 0 ┘ └-W, W, -1/2┘ └ 31/2/2, -1/2 ┘
( w = 31/2/2 )
*
类 群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌ 0 1 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 0 -1 ┐
C2 A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣
