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1, 群元: { | R n } = { | n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 }
= { | n1 t 1 } { | n2 t 2 } { | n3 t 3 }
= i { | ni t i } 其中, i = 1, 2, 3 ( 三维 )
ni = 1, 2, 3 --------- Ni 2, 不可约表示: PT = Ck (T) [ 提问:不可约表示 Ck 是几维的? ]
v = ( x, y, z ) = xz
3, 一维平移群的不可约表示特征标, 即不可约表示本身.
4, 例1: N1 = 3 的平移群的不可
E A1 A12
约表示特征标表与C3 群 1 1 1 1
相同 ( 同构 ), <见右>
2 1 2
5, 例2: N1 = 6, 与 C6 群相同
3 1 2
*
(4) 三维平移群 ( 三维晶体 ): T = T1 T2 T3
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其电子波函数 是平移群(一维)不可约表示的基,
既然平移群的不可约表示可以用k 来表征,
则波函数 也可以用k 来表征, 即k
(3) 晶体平移群不可约表示的 k 与晶体倒格子的波矢 k 相对应
( 由前面的公式可看出 )
(4) 倒格子和正格子属相同的点群 ( 证明略 )
这里讨论的是晶体的平移群, 平移的方向和移距将受晶体所
属点群的限制
正格矢 R n = n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 = i ni t i ( i = 1, 2, 3; 下同)
倒格矢 K h = h1 b 1 + h2 b 2 + h3 b 3 = i hi b i
பைடு நூலகம்
波矢 k m = (m1/N1) b1+(m2/N2) b2+(m3/N3) b3 = I (mi/Ni) bi
附注: 点群操作的新表示方法, 并证明 C4-1 v C4 = v’
C4 = ( x, z, y ) = C4x-1
C4 ( x, y, z ) = ( x, z, y ) ( x, y, z ) = ( x, z, y ) = C4x-1
C4’ = C4 -1 = ( x, z, y ) = C4x
第二部分 群论应用
第三章 空间群 (2)
因为
t1N1 = E
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所以 [ Ck1 ( t1 ) ] N1 = 1 ---------------------------------- (2)
则
Ck1 ( t1 ) = exp ( - 2 i P1 / N1 ) = P1 ------- (3)
= i (mi /Ni ) b i ( i = 1, 2, 3; mi = 1, 2 ---- Ni )
R n = n1 t 1 + n2 t 2 + n3 t 3 = i ni t i ( ni = 1, 2 ---- Ni )
t i 为晶格基矢, b i 为倒格基矢
注意有 k • R n = i ( mini / Ni ) b i • t i = 2 i ( - Pi / Ni )
*
1, 取
A = C4 , B1 = v
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B2 = A-1 B1 A = C4-1 v C4 = v’ ( 其验证见附注 )
D 3 ( v ) = D 4 ( v’ ) = 1 [ 提问: 为什么是 1 ? ]
[ 或 D 3 ( v’ ) = D 4 ( v ) = - 1 ] [ 答案: 一维 D = ]
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
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(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
且可用 k 来表征
即 D k ( { | R n } ) = exp ( i k • R n ) ----------------- (4) 其中, k = (m1 /N1) b 1 + (m2 /N2) b 2 + (m3 /N3) b 3
其中 b i • t i = 2 , Pi = mi ni 亦为整数
则
exp ( i k • R n ) = exp [ - 2 i i ( Pi / Ni ) ] = C k
不可约表示数即 k 的数目N = N1 N2 N3, 此为元胞数和群元数 *
(2) 平移群是晶体共有化电子哈密顿所属的群,
晶格基矢 t 1, t 2 , t 3 ;
倒格基矢 b 1, b 2 , b 3 ;
bi•ti = 2
*
(四) 轨道和波矢星
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一, 共轭表示
(1) H 是G 的不变子群, B 为 H 的群元; A 为G 的群元.
1 和 2 是 H 的不可约表示, 相应的矩阵为 D1(B), D2(B) 有 B1 = A B2 A-1, ( B1 和 B2 在大群 G 中同类 ) 若 D2 ( B1 ) = D2 ( AB2 A-1 ) = D1 ( B2 )
其中, = exp (-2i / N1 ) 为1的 N1 次方根, P1 = 1, 2, 3 ---- N1
有了Ck1 ( t1 ) , 其它的 Ck1 ( t1n1 ) = [ Ck1 ( t1 ) ]n1 都可求得.
[ 提问: 这里的 n1 和 k1 各是什么? ] [ 答案: n1 是群元 t1n1 的标号, k1 是不可约表示 Ck1 的标号 ]
PT = PT1 PT2 PT3 [ 答案: 一维, 阿贝尔群, r = c = h ] PT1 PT2 PT3 = Ck1 Ck2 Ck3 = Ck
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
