2.2轴对称的性质(2)

北师大版数学五年级上册2.2《轴对称再认识（二）》教学设计一. 教材分析《轴对称再认识（二）》是北师大版数学五年级上册第二单元的教学内容。

这部分内容是在学生已经掌握了轴对称的基本概念和性质的基础上进行学习的，通过这部分内容的学习，使学生能进一步理解和掌握轴对称的性质，并能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对轴对称的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，对于如何运用轴对称的知识解决实际问题，部分学生可能还感到困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，使他们在原有的基础上得到提高。

三. 教学目标1.让学生理解和掌握轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

2.培养学生的观察能力、操作能力和空间想象力。

3.培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

四. 教学重难点1.重点：理解和掌握轴对称的性质，能运用轴对称的知识解决一些实际问题。

2.难点：如何运用轴对称的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.操作教学法：通过学生的实际操作，培养学生的动手能力和空间想象力。

3.合作学习法：引导学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

六. 教学准备1.准备一些轴对称的图形，如剪纸、卡片等。

2.准备一些实际问题，如剪纸设计、卡片设计等。

3.准备黑板、粉笔等教学用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些轴对称的图形，如剪纸、卡片等，引导学生回顾轴对称的基本概念和性质。

然后提出问题：“你们能发现这些图形有什么共同的特点吗？”让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，如剪纸设计、卡片设计等，让学生尝试运用轴对称的知识解决。

教师引导学生进行观察和思考，指导学生如何运用轴对称的性质解决问题。

中心对称和轴对称的几何性质在几何学中，中心对称和轴对称是两种重要的对称性质。

它们在数学、物理、化学等领域中都有着广泛的应用。

本文将详细介绍中心对称和轴对称的几何性质，以及它们之间的区别和联系。

1. 中心对称中心对称是指图形相对于一个中心点进行对称，即图形中的每个点与中心点之间的连线都会与另一个点对称。

中心对称特性使得图形能够在某个中心点进行旋转180度后不变。

1.1 中心对称的判定条件一个图形是否具有中心对称可以通过以下两个判定条件来验证：1）图形中存在至少一个点，它与中心点之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。

2）图形中的每个点都与中心点之间的连线都能够与另一个点对称。

1.2 中心对称的性质中心对称具有以下几何性质：1）中心对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于中心点进行对称，将其中一个点对称到另一个位置。

2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，只会改变位置。

2. 轴对称轴对称是指图形相对于一个轴线进行对称，即图形中的每个点与轴线之间的连线都会与另一个点对称。

轴对称特性使得图形能够在轴线上进行翻转后不变。

2.1 轴对称的判定条件判断一个图形是否具有轴对称可以通过以下两个条件来验证：1）图形中存在一个轴线，使得图形中的每个点与轴线之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。

2）图形中的每个点都与轴线之间的连线都能够与另一个点对称。

2.2 轴对称的性质轴对称具有以下几何性质：1）轴对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于轴线进行对称，将其中一部分镜像到另一部分。

2）轴对称的图形无论进行旋转多少度，只要不改变轴线的位置和方向，都不会改变图形的形状和大小，只会改变位置。

3. 中心对称和轴对称的区别和联系尽管中心对称和轴对称都是几何形状的对称性质，它们之间存在一些区别和联系。

区别：1）中心对称是相对于一个点进行对称，而轴对称是相对于一个轴线进行对称。

2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，但轴对称的图形必须在轴线上进行翻转才能保持不变。

青岛版八年级上册数学教学设计《2-2轴对称的基本性质（第2课时）》一. 教材分析《2-2轴对称的基本性质（第2课时）》这部分内容是青岛版八年级上册数学的一个重点章节。

本节课主要让学生了解轴对称的基本性质，学会运用轴对称的性质解决实际问题。

教材通过生动的实例和丰富的练习，让学生在探究中学习，培养学生的动手操作能力和思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形有了一定的认识。

但是，对于轴对称的概念和性质，部分学生可能还比较模糊。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同程度的学生进行引导和辅导，提高他们的数学素养。

三. 教学目标1.让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的基本性质。

2.培养学生运用轴对称的性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的动手操作能力和思维能力。

四. 教学重难点1.轴对称的概念和性质。

2.运用轴对称的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究轴对称的性质。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示轴对称的实例，提高学生的认识。

3.注重实践操作，让学生动手剪贴、折叠，加深对轴对称的理解。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队精神和沟通能力。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括轴对称的实例和练习题目。

2.准备纸张、剪刀、尺子等学习用品，让学生动手操作。

3.划分学习小组，确立小组长。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、折叠等，引导学生关注轴对称，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍轴对称的概念和基本性质。

让学生通过观察和思考，理解轴对称的内涵。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，用剪刀、尺子等工具，制作轴对称图形。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题目，运用轴对称的性质解决问题。

教师选取部分学生的作业进行点评，总结解题方法。

第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OBCD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答． 解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°； ∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质． 7．故填55．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得． 解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的， ∴∠ABC 的内错角=∠ABC=110°； ∵是折叠得到的∠1，∴∠1=0.5×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 8．故填65．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可． 解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等， 即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数． 解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°， ∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°-70°=110°． 点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．10．故填115°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成， ∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答． 11．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 解答：解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°， ∴80°+2（180°-∠B）=360°， ∴∠B=40°． 故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm 2． 考点：轴对称的性质． 专题：压轴题．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：轴对称的性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：轴对称的性质．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：剪纸问题．专题：压轴题．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处， 所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE ， =BC+AB+AC ， =3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可． 解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．22．故答案为：2 33． 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 33．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD， ∴∠DBE=∠CDB， ∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点 ∵BD=ADsin30°=4 ∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 33．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D-∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先判定三角形BDE是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED 的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

度．（第1题） （第2题） （第3题）2．如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于 度．3．如图，△ABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A ′处，若点D 为AB 边的中点，∠B=50°，则∠BDA ′的度数为 ．4．如图，三角形纸片ABC 中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为 度．（第4题） （第7题） （第8题） cm．．第2章 《轴对称图形》常考题集：2.2 轴对称的性质填空题1．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF=5．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是6．把图一的矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD 的面积为cm ． 度． cm．（第9题） （第10题） （第12题）10．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为 ． ．13．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1=64°，那么∠2等于 ．（第13题） （第14题） （第15题） 14．如图，矩形ABCD 中（AD ＞AB ），M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 沿直线AD 折过来，点C 落到点C 1的位置，如果BC=10，那么BC 1= ．16．如图，长方形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则S △AEF = cm 2．（第16题） （第18题）17．如图，△ABC 中∠A=30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB=82°，则B=原三角形的∠B= 度．7．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3 cm ，AB=8 cm ，则图中阴影部分面积为8．如图（1）是四边形纸片ABCD ，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR ，恰使CP ∥AB ，RC ∥AD ，如图（2）所示，则∠C=9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为11．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于E ，交斜边于F ，则△CDE 的周长为12．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=70°，则∠2= 度．上，则∠ANB+∠MNC= 度．15．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，把△ADCb 的值为 ． 解答题A 1B 1C 1D 1； （2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2．18．如图一张长方形纸片ABCD ，其长AD 为a ，宽AB 为b （a ＞b ），在BC 边上选取一点M ，将△ABM 沿AM 翻折后B 至B ′的位置，若B ′为长方形纸片ABCD 的对称中心，则a19．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在落在四四边形BCDE 内部时， （1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB 的两个端点都在格点上，直线MN 经过坐标原点，且点M 的坐标是（1，2）． （1）写出点A 、B 的坐标；（2）求直线MN 所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段AB 关于直线MN 的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）21．作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上）．（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形的面积．． （3）写出点A 1，B 1，C 1的坐标．的坐标： ； （2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P 的距离．22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （-1，5），B （-1，0），C （-4，3）． （1）求出△ABC（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 123．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于C 的对称点处，…如此下去．（1）在图中画出点M 、N ，并写出点M 、N， ）．24．如图所示，在直角坐标系xOy 中，A （-1，5），B （-3，0），C （-4，3）． （1）在图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′； （2）写出点C 关于y 轴的对称点C ′的坐标（25．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1． （1）分别写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）作△ABC 关于y 轴的对称图形△A ′B ′C ′．（不写作法）26．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．（1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）； （2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积27．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． （1）求图1中四边形ABCD 的面积；（2）在图2方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为， ）．．轴对称图形．28．下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1． （1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（29．认真画一画．如图，在正方形网格上有一个△DEF ．（1）作△DEF 关于直线HG 的轴对称图形△D ′E ′F ′（不写作法）； （2）作EF 边上的高（不写作法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF 的面积为30．如图，写出△ABC 的各顶点坐标，并画出△ABC 关于Y 轴的对称图形，并直接写出△ABC 关于x 轴对称的三角形的各点坐标．答案：填空题1．故答案为：70．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：利用折叠的性质求解．利用折叠的性质求解． 解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，AD=DF AD=DF AD=DF，，∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD，由折叠可知AD=DF AD=DF，， ∴BD=DF，∴BD=DF，∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°--2∠B=70°．2∠B=70°． 故答案为：故答案为：707070．．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②中点的性质，等边对等角，等；②中点的性质，等边对等角，三角形内角和三角形内角和定理求解． 2．故本题答案为50°．°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：根据折叠的性质可知．根据折叠的性质可知．解答：解：连接AA′，AA′，易得AD=A′D，AE=A′E；AD=A′D，AE=A′E；故∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠A=100°；3．故填80．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由折叠的性质可知 点评：本题利用了：本题利用了：11对应边和对应角等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．度． 5．故应填1cm cm．．.考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．故∠A=50°．故∠A=50°．点评：本题通过折叠本题通过折叠变换变换考查学生的逻辑思维能力，考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，解决此类问题，应结合题意，最好最好实际操作实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． AD=A′D，再根据AD=A′D，再根据中点中点的性质得AD=BD AD=BD，BD=A′D，，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°，从而求解∠BDA'的度数．解答：解：由折叠的性质知，AD=A′D，解：由折叠的性质知，AD=A′D，∵点D 为AB 边的中点边的中点∴AD=BD，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°， ∴∠BDA′=180°∴∠BDA′=180°--2∠B=80°．、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，相等；相等；22、中点的性质，、中点的性质，等边对等角等边对等角，三角形的内角定理求解． 4．故填60．分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．解答：解：∵∠A=65°，∠B=75°，解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°∴∠C=180°--（65°+75°）（65°+75°）=40=40度，度， ∴∠CDE+∠CED=180°∴∠CDE+∠CED=180°--∠C=140°，∠C=140°， ∴∠2=360°∴∠2=360°--（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°--300°=60度．度．故填6060．．点评：本题通过折叠变换考查三角形、本题通过折叠变换考查三角形、四边形四边形内角和定理．注意折叠前后图形全．故应填1445 ．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压解答：解：由勾股定理得，等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解． 7．故应填30cm 2．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出方方程求解即可．解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，， 由勾股定理得，由勾股定理得，CF=4CF=4CF=4，，AF 2=AB 2+BF 2， 即AD 2=82+（AD-4AD-4））2， 解得，解得，AD=10AD=10AD=10，， ∴BF=6，∴BF=6，图中阴影部分面积图中阴影部分面积=S =S △A B F +S △C E F =30cm 2．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解． 8．故应填95．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后图形全等和平行线，根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR 先求出∠CPR 和∠CRP，和∠CRP，再根据再根据再根据三角形内三角形内角和定理即可求出∠C．定理即可求出∠C．解答：解：第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm 1cm，，第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm 1cm，，其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称对称的关系，它们到它们到中线中线的距离是0.5cm 0.5cm，，所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm 1cm．．点评：考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，它属于轴对称，它属于轴对称，根据根据根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 6轴题．分析：利用折叠的性质和利用折叠的性质和勾股定理勾股定理可知． MN=5MN=5，，设Rt△PMN 的斜边上的高为h ，由，由矩形矩形的宽AB 也为h ， 根据直角根据直角三角形的面积三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=125， 由折叠的性质知，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12，， ∴矩形的面积=AB•BC=1445． 点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相解答：解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=12 ∠B=12 ×120°=60°，×120°=60°，∠CRP ∠CRP==12 ∠D=1250°=25°；50°=25°；∴∠C=180°∴∠C=180°--25°25°--60°=95°；∠C=95度；度；故应填9595．．点评：折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．9．故应填3cm cm．．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由折叠的性质知CD=DE 对应边和对应角相等；相等；22、勾股定理求解．、勾股定理求解． 10．故应填3 .考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：根据翻折变换的特点可知．解答：解：根据翻折变换的特点可知：解：根据翻折变换的特点可知：DE=GE DE=GE因为∠CFE=60°，因为∠CFE=60°， 所以∠GAE=30°，所以∠GAE=30°， 则AE=2GE=2DE=2AE=2GE=2DE=2，， 所以AD=3AD=3，， 所以BC=3BC=3．．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，于轴对称，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠如本题中折叠前后角相等．前后角相等．11．故应填11或10 ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 解答：解：当角B 翻折时，翻折时，B B 点与D 点重合，点重合，DE DE 与EC 的和就是，AC=AE AC=AE．根据题意在．根据题意在Rt△BDE 中运用中运用勾股定理勾股定理求DE DE．．解答：解：由勾股定理得，解：由勾股定理得，AB=10AB=10AB=10．．由折叠的性质知，由折叠的性质知，AE=AC=6AE=AC=6AE=AC=6，，DE=CD DE=CD，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB ∴BE=AB-AE=10-6=4-AE=10-6=4-AE=10-6=4，，在Rt△BDE 中，由勾股定理得，中，由勾股定理得， DE 2+BE 2=BD 2即CD 2+42=（8-CD 8-CD））2， 解得：解得：CD=3cm CD=3cm CD=3cm．． 点评：本题利用了：本题利用了：11、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，BC BC，也就是说等，也就是说等8，CD 为AC 的一半，故△CDE 的周长为8+3=118+3=11；； 当A 翻折时，翻折时，A A 点与D 点重合．同理DE 与EC 的和为AC=6AC=6，，CD 为BC 的一半，所以CDE 的周长为6+4=106+4=10．故△CDE ．故△CDE 的周长为1010．． 点评：本题考查图形的翻折变换．12．故填40．故填4040．．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．∵∠1=64°，∵∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠4=180°∴∠4=180°--2∠1=180°∠ANB+∠MNC=180°∠ANB+∠MNC=180°--∠ANM=90°．∠ANM=90°．点评：综合考查了折叠得到的对应角相等及平角定义．15．故应填5．考点：翻折变换（折叠问题）．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两根据两直线直线平行内错角相等和同旁内角互补，以及折叠关系列出方程解则可．可．解答：解：根据题意：2∠1与∠2互补，互补，得到：2∠1+∠2=180°，得到：2∠1+∠2=180°，∵∠1=70°，∵∠1=70°，∴140°+∠2=180°，∴140°+∠2=180°，∴∠2=40°∴∠2=40° 13．故应填52°．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：计算题．分析：根据根据补角补角的定义、折叠的性质和平行线的性质可求解． 解答：解：由折叠的性质可得∠3=∠1，解：由折叠的性质可得∠3=∠1，-2×64°=52°2×64°=52°∵长方形的对边平行，的对边平行，∴∠2=∠4=52°．∴∠2=∠4=52°．点评：此题主要利用了折叠的性质和平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 14．故应填90°．考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：易得∠ANM=∠ADM=90°，那么根据平角定义即可得到所求的两个角的度数之和．解答：解：根据折叠的性质，有∠ANM=∠ADM=90°；故 专题：应用题．分析：根据AD 是△ABC 的中线，BC=10BC=10，，先求得BD=5BD=5，，由折叠的性质知BC 1=BD=5=BD=5．． 解答：解：由折叠可知DC=DC 1，∠ADC=∠ADC 1=60°，∴∠BDC 1=60°，=60°，又∵AD 是△ABC 的中线，的中线，BC=10BC=10BC=10，，∴BD=DC=DC 1=5=5，，∴△B ∴△BDC DC 1为等边三角形，∴BC 1=BD=5=BD=5．．16．故本题答案为7516． 考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：由翻折的性质知D′F=DF，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，且，且CE=BC-BE 长，再证得△ABE≌△AD′F，有AF=AD-FD AF=AD-FD，则，则S△A E F =12AF•AB．AF•AB． 解答：解：由题意知，D′F=DF，解：由题意知，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，， 在Rt△ABE 中，中，AB AB 2+BE 2=AE 2，AB 2+BE 2=（BC-BE BC-BE））2，即32+BE 2=（4-BE 4-BE））2，解得：解得：BE=BE=78， ∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，∴∠D′AF=∠BAE ∴∠D′AF=∠BAE又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB 又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB∴△D′AF≌△BAE ∴△D′AF≌△BAE∴FD=D′F=BE=78． ∴AF=AD ∴AF=AD-FD=4- -FD=4- 78 =258∴S △A E F =12 AF•AB=12 ×258 ×3=7516 ． 故本题答案为7516 ．考点：翻折变换（折叠问题）．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．，故由，故由勾股定理勾股定理求得BE 的点评：本题考查了翻折的性质，本题考查了翻折的性质，全等三角形全等三角形的判定和性质、勾股定理． 17．故应填78°． 专题：压轴题．分析：在图①的△ABC 中，根据中，根据三角形内角和三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD 中，得到另一个关于∠B、∠C 度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B 的度数．的度数．解答：解：在△ABC 中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；在△CBD 中，则有：∠CBD+∠BCD=180°中，则有：∠CBD+∠BCD=180°--82°，即：82°，即：13 ∠B+∠C=98°…②；①-②，得：23∠B=52°，∠B=52°， 故应填 3 ．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压：解：连接CB′．cos∠ACB=cos30°=a：解答题19．考点：全等三角形的判定；三角形内解得∠B=78°．解得∠B=78°．点评：此题主要考查的是图形的折叠此题主要考查的是图形的折叠变换变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．关系是解答此题的关键．18．轴题． 分析：连接CB′．由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的对角线．角线．由折叠的性质知可得△ABC 三边关系求解．三边关系求解．解答由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的是矩形的对角对角线．线．由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，∴sin∠ACB=AB：∴sin∠ACB=AB：AC=1AC=1AC=1：：2，∴∠ACB=30°．∴∠ACB=30°．b= 3 3 ．．点评：本题利用了：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．角和定理；翻折变换（折叠问题）． 专题：操作型；探究型．分析：（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点顶点是对应点，重合的角是对应角；点，重合的角是对应角；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3）根据（）根据（22）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A 和x 、y 之间的关系，就可建立它们之间的联系．系，就可建立它们之间的联系．解答：解：（1）△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE；（2）∠1=180°）∠1=180°-2x -2x -2x，∠2=180°，∠2=180°，∠2=180°-2y -2y -2y；；（3）∵∠1+∠2=360°）∵∠1+∠2=360°-2-2-2（（x+y x+y）=360°）=360°）=360°-2-2-2（180°（180°（180°--∠A）=2∠A．∠A）=2∠A．规律为：∠1+∠2=2∠A．）（8分）分）点评：根据图形，找出需要的点的坐标即可根据图形，找出需要的点的坐标即可21．考点评：在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．20．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了待定系数法待定系数法， 解答：解：（1）A （-1-1，，3），B （-4-4，，2．（2分）分）（2）解法1：∵：∵直线直线MN 经过坐标原点，经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是y=kx y=kx，，又点M 的坐标为（的坐标为（11，2）， ∴k=2．（3分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（4分）分）解法2：设所求函数的关系式是y=kx+b y=kx+b，，则由题意得：îïíïìb ＝0 k +b ＝2， 解这个解这个方程组方程组，得îïíïìk ＝2 b b＝＝0 ，（6分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（3）利用）利用直尺直尺和圆规，作线段AB 关于直线MN 的对称图形A′B′，如图所示．点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：在平移时要注意平移的方向和平移的距离．确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的确定图形中的关键点关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后所得到的图形即为平移后的图形．的图形．轴对称图形轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，顺次连顺次连接即可．接即可．解答：解：作图如右图：解：作图如右图：分析：（1）根据网格可以看出三角形的底AB 是5，高是C 到AB 的距离，是3，解：（1）画出对应点的位置，连接即可．画出对应点的位置，连接即可．点评：本题考查的是平移变换与轴对称变换本题考查的是平移变换与轴对称变换作图作图．作平移图形时，作平移图形时，找找关键点的对应点也是关键的一步．的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：①①确定平移的方向和距离，确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；先确定一组对应点；先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；③利用第③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作轴对称后的图形的依据是作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质轴对称的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用轴②利用轴对称性对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．22．考点：作图-轴对称变换．专题：综合题．利用面积公式计算．利用面积公式计算． （2）从三角形的各）从三角形的各顶点顶点向y 轴引轴引垂线垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．可．（3）从图中读出新三角形三点的坐标．）从图中读出新三角形三点的坐标．解答：S △A B C =12 ×5×3=152（或7.57.5））（平方单位）．（2）如图．）如图．（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）．点评：本题综合考查了三角形的面积，网格，本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．对所学的知识要会灵活运用．23．故本题答案为（-2，0），（4，4）． 考点：作图-轴对称变换．专题：压轴题；规律型．分析：（1）点P 关于点A 的对称点M ，即是连接PA 延长到M 使PA=AM PA=AM，所以，所以M 的坐标是，N （4，4）； 故答案为：故答案为：M M （-2-2，，0），N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，且2008÷3=669…1，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，处，∴PM ∴PM==OM 22+OP 22 =22+22 ＝2 2 2 ．．答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P 点的距离为2 2 2 ．．点评：考查学生对点对称意义的理解及学生在新的知识环境下运用所学知识的能力．本题着重考查学生探索规律和计算能力．24．考点：作图-轴对称变换．专M （-2-2，，0），点M 关于点B 的对称点N 处，即是连接MB 延长到N 使MB=BN MB=BN，，所以N 的坐标是N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，根据处，根据勾股定理勾股定理可知PM 的值．的值．解答：解：（1）M （-2-2，，0）题：网格型．分析：（1）从三角形的三边向y 轴引轴引垂线垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．顺次连接．（2）从图形中找出点C′，并写出它的坐标．C′，并写出它的坐标．解答：解：（1）如图；）如图；（2）根据）根据轴对称图形轴对称图形的性质可：C′（的性质可：C′（44，3）． 点评：本题主要考查了轴对称图形的作法，注意本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．然后顺次连接是关键．25．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：根据点关于y 轴对称的特点找出各点的对称点，然后顺次连线即可． 解答：解：（1）A （-3-3，，3），B （-5-5，，1），C （-1-1，，0）；（3分）分）（2）如上图．）如上图．26．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）分别作A、B 、C 关于MN 的对称点，顺次连接即可；的对称点，顺次连接即可；（2）可在△ABC 所在的2×3的网格中求面积．解答：解：（1）作图正确给5分；分；（2）此三角形面积为：）此三角形面积为：S △A B C =S 矩形D E C F -S △A B D -S △A C F -S △B E C=2×3=2×3--2×（较到位，学生需要学会触类旁通，举一反三．27．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）用矩形面积减去周围三角形面积即可；（2）画一个面积为解答：解：（1）根据面积公式得：方法一：）根据面积公式得：方法一：S=S=12×6×4=12；×6×4=12； 方法二：S=4×6方法二：S=4×6- - 12 ×2×1×2×1- - 12 ×4×1×4×1- - 12 ×3×4×3×4- - 12×2×3=12；×2×3=12； （2）（只要画出一种即可）（只要画出一种即可） 12 ×1×2）×1×2）- - 12 ×1×3=6×1×3=6-2- -2- 32 =52．（5分）分） 点评：此题考查此题考查轴对称图形轴对称图形的作法、动手操作、面积的计算，对综合能力考查比12的等腰三角形，即底和高相乘为24即可．即可．（8分）对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．28．故应填-4,1．考点：作图-轴对称变换．点评：解答此题要明确：如果一个图形沿着一条解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是完全重合，这个图形就是轴对称图形轴对称图形；专题：网格型．分析：将“小猪”所占的面积转化为三角形和将“小猪”所占的面积转化为三角形和四边形四边形面积的和来解答，合理地进行图形的移动和变换是做此题的关键．解答：解：（1）4×4×12 +8×3×12 +1×1×12=32.5 =32.5；；（3分）分） （2）（画图）（6分）分）（3）（-4-4，，1）．（7分）分）点评：解答此题要明确解答此题要明确轴对称的性质轴对称的性质：①对称轴是一条直线．①对称轴是一条直线．②垂直并且平分一条②垂直并且平分一条线段线段的直线称为这条线段的垂直平分线，的直线称为这条线段的垂直平分线，或中或中或中垂线垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．③在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等． ④在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．⑤如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．直平分线．29．故应填3 ．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．。

(1)
(2)
喜喜
(3)
(4)
轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 图形 轴对称
区别
轴对称图形是一个具有 特殊形状的图形,只对 一个图形而言;对称轴 不一定只有一条
轴对称是指两个图形 的位置关系,必须涉 及两个图形;只有一 条对称轴.
联系
如果把轴对称图形沿对 称轴分成两部分,那么这 两个图形就关于这条直 线成轴对称.

则AED1 __________ __
轴对称的性质:
m
A
C B
A1
C1 B1
1.成轴对称的两个图
形全等（对应角相
等,对应边相等）．
2.如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 对称点所连的线段的垂直平分线． 3.成轴对称的两个图形，对称点所连的 线段平行（或在同一条直线上）．
定义: 垂直并且平分一条线段的直线，

课堂精炼70页：
4.正方形ABCD的边长为4cm, 则图中阴影部分的面积 为 __________ cm2 ___
5.如果一个直角三角形是轴对称图形,那 么它的两个锐角的度数是_______, _________
6.如图所示， l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论： ①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC 其中正确的结论有____________________________
3、点 A’ 就是点A关于 l 的对称点.
基础训练
l
A’
如何画线段AB关于直线 l 的 A 对称线段A’B’?
找关键点作出其对称点！ 然后连结线段.
B
B’
基础训练
l
如何画 ⊿ABC关于直线 l 的
A A’

1
预 习 导 航
探索：两针孔 A． A 和线段 A A 与折痕 l 之间有什么关系？ 问题 1：如果把纸重新折叠，因为 A、 A 重合，那么线段 OA、O A 呢？ ，此时 O 是线段 A A 的
1 1 1 1 1
。
问题 2：∠1 与∠2 有什么关系？ 问题 3：折痕 l 与 A A 什么关系？ 一、概念探究： 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1．操作：取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做。 将长方形纸片对折，折痕为 l， （1）在纸上画△ABC； （2）用针尖沿△ABC 各边扎几个小孔 （3）将纸展开，连接 AA’ 、BB’ 、CC’
O · P 四、提炼总结： 画轴对称图形的方法：
A
O · P
A
1．先画对称轴，再画已知点的对称 2．先画已知线段各端点的 3．先画已知三角形的各顶点的
； ，再画出对称线段； ，再画出对称三角形；
4．成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称。
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有 （ ）
.
A l B B
2．变式 1：请你分别在直线 l 上取一点 C，并作出△ABC 关于直线 l 对称的△ ABC 。 问题：三角形有三个顶点，你想到了什么？你该如何做？
变式 2：已知点 P 和点 P’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。
P
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
P’
归纳：画轴对称图形的一般步骤： 1．定好 。 2．找准图形中的关键 。 3．作对关键 的对称 ，完成轴对称图形。 例 2 ． 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 关 于 直 线 l 对 称 。 连 接 AC、BD ，设它们相交于点 P。怎么样找出 P 点关于 l 的对称点 Q？

专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 游戏中的轴对称】 (1)【题型2 利用轴对称的性质求角度】 (3)【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】 (4)【题型4 在格点中作轴对称图形】 (6)【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】 (8)【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】 (11)【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】 (13)【题型8 轴对称图案的设计】 (18)【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；…．（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是．【变式11】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子．如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（﹣1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，﹣1）表示．甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【变式12】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．A．黑（3，7）；白（5，3）B．黑（4，7）；白（6，2）C．黑（2，7）；白（5，3）D．黑（3，7）；白（2，6）【变式13】（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于．【变式21】（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式22】（2022秋•台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是度．【变式23】（2022秋•房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R 是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．【变式31】（2022春•洛宁县期末）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．【变式32】（2022春•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM ＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为．【变式33】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝6cm，BC＝10cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．（1）求AE的长；（2）求△ADE的周长．【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．【变式41】（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（﹣7，7）、（﹣7，1）、（﹣3，1）、（﹣1，4）．（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；（不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积．【变式42】（2022秋•嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（﹣6，7），（﹣4，3）．（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系．（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1【变式43】（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若△A2B2C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标．【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC 折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【变式51】（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN．（1）求线段CN长．（2）连接FN，并求FN的长．【变式52】（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝6，AD＝CD＝3，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于．【变式53】（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，AB∥CD，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；？试说明理由；（2）问△MNK的面积能否小于12（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值．【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，∴AC+CB＝AC+＝．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．【简单应用】（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N 当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．【变式61】在ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AC＝6，点D，E在AB边上，AD＝CD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【变式62】（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，∠A＝45°，AC＝8，BD⊥AC，BD＝6，点E为边BC上的一个动点．E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是．【变式63】（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，∠BAC＝70°，点D在BC的延长线上，三角形的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线BP，CP相交于点P，求∠P的度数﹒（写出完整的解答过程）（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNCB中，设∠M＝a，∠N＝β，四边形MNCB的内角∠MBC 与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠P的度数为﹒（用含有α和β的代数式表示）（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把∠BAC＝70°改成∠BAC＝γ，其他条件不变，将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M，则∠BMC的度数为.（用含有γ的代数式表示）【变式71】（2022秋•洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．【变式72】（2022春•临汾期末）综合实践课上，小聪用一张长方形纸片ABCD对不同折法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A′处，EF为折痕，如图①所示．（1）若∠AEF＝30°，①求∠A′EB的度数；②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在EA′上的B′处，折痕为EG，如图②所示，求∠FEG的度数；（2）若改变∠AEF的大小，则EA′的位置也随之改变，则∠FEG的大小是否改变？请说明理由．【变式73】（2022秋•鼓楼区月考）问题情境如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，我们就称∠BAC是△ABC的正角．以图2为例，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝35°，若沿∠BAC的平分线AB1折叠，则∠AA1B1＝70°．沿A1B1剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C＝35°，若沿∠B1A1C的平分线A1B2第二次折叠，则点B1与点C重合．此时，我们就称∠BAC是△ABC的正角．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，则经过两次折叠后，∠BAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不是”）．（2）小明经过三次折叠发现∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）如果一个三角形的最小角是10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是它的正角．【题型8 轴对称图案的设计】【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷砖拼出一个正方形，使所拼的图案为轴对称图形．在图4中画出你的四个设计方案．（图2、图3视为同一图案）【变式81】（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．【变式82】（2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．（1）请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：．（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【变式83】（2022秋•盂县期末）有这样一道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多．某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称图案．（至少设计四种图案）。

放牛地
A
M
河边
B牧
童 家
如图,牧童在A处放牛,其家在B处: A、B到河 岸的距离分别为AC、BD，若牧童从A处将牛牵到 河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路 程最短？ A′ C M D
河边
放牛地
A
B
牧 童 家
如图，M、N分别是△ABC的边AC、BC 上的点，在AB上求作一点P，使△PMN的 周长最小，并说明你这样作的理由.
●
C′
变
试画出△ABC关于直线L的对称三角形
L
A′
B
A B′
C
பைடு நூலகம்C′
想一想 在图中，四边形ABCD与四边形EFGH 关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交 于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？
L
A P B C
D
H
Q G
E F
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．
知识铺垫
如图,牧童在A处放牛,其家在B处, 若牧童从A处将 牛牵到河边饮水后再回家，请问在何处饮水，放牛地 到家的路程最短？
● ●
变：
B′ A′
●
●
O l
变：
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
L
B A (A′)
B′
变： 如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线
段AB关于直线l的对称线段A′B′？
L
B A′ l
B′ A
变
试画出△ABC关于直线L的对称三角形．
L
A
B
●
A′
●
B′
C
初中数学 八年级(上册)
2.2
轴对称的性质(2)

青岛版数学八年级上册2.2《轴对称的基本性质》说课稿2一. 教材分析《轴对称的基本性质》这一节内容是青岛版数学八年级上册第二章第二节的一部分。

本节课主要让学生了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。

教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究轴对称的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的变换有一定的了解。

但是，他们对轴对称的概念和性质可能还比较陌生，需要通过具体的实例和操作活动来加深理解。

学生的学习动机较强，对于生活中的实际问题感兴趣，因此，在教学过程中，我将会充分运用实例，引导学生积极参与，提高他们的学习兴趣。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称的概念，轴对称的性质。

2.教学难点：轴对称性质的证明和运用。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用以下教学方法和手段：1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.小组合作：学生进行小组合作，共同探讨轴对称的性质，培养学生的合作意识。

3.操作活动：学生进行实际的操作活动，让学生通过亲身体验来加深对轴对称性质的理解。

4.推理证明：引导学生运用推理的方法，证明轴对称的性质，培养学生的推理能力。

5.媒体辅助：利用多媒体课件，展示轴对称的实例和性质，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的轴对称实例，如剪纸、折叠等，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究轴对称的概念：让学生通过观察和操作，尝试给出轴对称的定义，引导学生理解轴对称的概念。

《轴对称的性质1》教学设计教材说明：本节课的内容是轴对称的性质。

轴对称是对称中非常重要的一种，小学时期就已经对此有所了解。

轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。

因此，在教学时，要先让学生操作-观察-归纳得出其中潜在的规律，归纳出轴对称图形的性质。

为后面的轴对称图形的学习奠定基础，所以本节课内容起到了承上启下的作用。

学情分析：学生的知识技能基础：在本章前面几节课中学生已经认识了轴对称现象，学习了轴对称的概念，加强了对图形的理解和认识，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中学生已经经历了一些认识轴对称以及轴对称图形的活动，解决了一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验的基础，同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作学习的能力。

教学目标1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．教学重点、难点重点：探索并理解轴对称的性质.难点：轴对称性质的简单应用.课前准备1.教师准备：数学课件.2.学生自备：长方形纸、剪刀.教学过程设计(一)创设情境1.创设氛围，激发求知的欲望师：上一节课我们看到了好多好多生活中美丽的轴对称图案，给我们的视觉带来了美的享受.我们已经研究了轴对称和轴对称图形的基本特征.请问：成轴对称的两个图形具有哪些性质呢？这一节课我们就一起来探究轴对称的性质设计说明：给学生一个宽松的课堂气氛，让学生有感就发，有想就问；体会生活中处处是数学，增强学生学习数学的兴趣.2.展开活动，点燃探究新知的热情活动一操作“画点、折纸、扎孔”.师：请同学们拿出老师课前要求准备的长方形纸，用笔在纸上任意画一个点，标上字母A，然后把纸对折，用笔尖在点A处扎孔，再把纸展开，并连接两孔A、'A.同学们观察手中的长方形纸思考讨论以下问题：连接两孔A、'A的线段'AA与折痕l之间有什么关系？学生观察思考讨论片刻后，请学生回答.生1：折痕l平分两孔组成的线段'AA.生2：折痕l垂直两孔组成的线段'AA.老师肯定学生的回答，并引出线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(也称线段的中垂线)；（一定要让学生真正动手操作，同时教师要引导学生通过观察、分析、发现、归纳得出相应的结论，努力让学生用自己的语言说清道理：即折痕l为什么垂直平分A A' ？课本中从轴对称的特性----重合出发，给了有根有据的说明，这有利于加强在活动中对学生进行有条理地说理和表达的训练。

青岛版数学八年级上册2.2《轴对称的基本性质》教学设计2一. 教材分析《轴对称的基本性质》是青岛版数学八年级上册第二章第二节的内容。

本节内容主要让学生掌握轴对称的定义，理解轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探索轴对称的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了七年级数学的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和观察能力。

但是，对于抽象的轴对称概念，部分学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，合理设计教学内容，提高学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解轴对称的定义，掌握轴对称的性质，并能够运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在学习过程中体验到成功的喜悦。

四. 教学重难点1.重点：轴对称的定义，轴对称的性质。

2.难点：轴对称性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲望。

4.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对轴对称性质的理解。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生观察和思考。

2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和动画。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如剪纸、折纸等，引导学生观察这些实例的特点，引发学生的思考：这些实例有什么共同的特点？2.呈现（10分钟）教师总结学生的观察结果，给出轴对称的定义，并展示一些轴对称的图形。

同时，教师通过动画演示，让学生直观地理解轴对称的性质。

成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．
2.2 轴对称的性质(2)
通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有哪些疑惑？
课堂作业：
第47页习题2.2第5题．
家庭作业：
补充习题．
初中数学 八年级(上册)
2.2
轴对称的性质(2)
2.2 轴对称的性质(2)
思考：
如图，点A、B、 C都在方格纸的格点上， 请你再找一个格点D， 使点A、B、C、D组成 一个轴对称图形．
A
C
┏
去掉网格线，你能 找出点C关于直线AB 的对应点么？
B
A1 C1
2.2 轴对称的性质(2)思考 点A关于直线 AB的对应点有么？ 你能画出线段 AC关于直线AB的 对称图形么？
C
┏
A
B C1
2.2 轴对称的性质(2)
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？ B A
● ●
B′ A′
●
●
O l
2.2 轴对称的性质(2)
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？ B A l A′
B′
2.2 轴对称的性质(2)
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
B A′ l
B′ A
2.2 轴对称的性质(2)
画出△ABC关于直线MN的对称图形． M
A
B
●
A′
●
B′
C N
●
C′
2.2 轴对称的性质(2)
在图中，四边形ABCD与四边形EFGH 关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交 于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？

2.2轴对称（二）1、教学目标1、掌握轴对称图形特征,能在方格纸上画出图形的另一半。

2、让学生经历欣赏、观察、操作、合作探究等教学活动,提高空间想象能力。

3、体会轴对称图形的广泛存在性,感受数学的美学价值。

2、学情分析在原有基础上,继续学习轴对称的相关内容。

3、重点难点教学重点:掌握轴对称图形的特征。

教学难点:能识别轴对称图形,确定对称轴,并在方格纸上画出图形的另一半。

4、教学过程4.1 第一学时4.1.1教学目标4.1.2学时重点4.1.3学时难点4.1.4教学活动活动1【导入】一、情境导入1、欣赏、感受轴对称图形的特征。

师:同学们,今天让我们继续走进奇妙的数学王国,瞧,小精灵来欢迎我们了(PPT),它给我们带来一些图片,一起欣赏吧。

这是人民大会堂,是全国人民代表大会开会的地方……再来欣赏一些美丽的图案,有窗花纸、圣诞铃铛,咦?你认识这个标志吗?(生:奥运五环)2001年7月13日,北京申奥成功了,我们国家能取得08年奥运会的主办权,是一件很了不起的事情!2、揭题。

师:同学们,这些图片美吗?它们有什么共同特点?都是什么图形?生:左右两边完全一样,是轴对称图形。

师:是轴对称图形,大家同意吗?轴对称图形在生活中被广泛的应用,它蕴藏着许多奥秘,接来下让我们一起进入神奇的轴对称王国。

(PPT课题)活动2【讲授】二、轴对称图形的特征。

1、轴对称图形。

师:小精灵说:“王国里有很多关卡,想要到达终点,就要靠大家的努力了。

奔跑吧,同学们!大家有没有信心?让我们马上进入第一关,多边形的世界(PPT)。

你认识这些图形吗?生:(师指生说)长方形、正方形、三角形、六边形师:你能想办法证明它们是轴对称图形吗?选择你喜欢的图形来证明,动手试试吧。

谁想上来试试?把你验证的图形举起来给大家看看,谁来说说你是怎样验证的。

生:把图片对折,两边就完全重合在一起。

师:把图片对折,你会发现左右两边完全重合。

好的,一起来看看动画演示(PPT演示)。

③过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；
④平分不是直径的弦的直径平分弦所对的两条弧．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解题技巧提炼
1、垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
2、一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
【变式61】（2023•涧西区校级二模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO， ，则△ODE的面积为（ ）
A．4B． C． D．
【变式62】（2022秋•玄武区校级月考）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为（ ）
【变式71】已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为．
【变式72】已知⊙O的直径AB＝20，弦CD⊥AB于点E，且CD＝16，则AE的长为．
【变式73】（2022•牡丹江）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝
3：5，则AC的长为．
【例题8】（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF．
A．5B．6C．7D．8
【变式52】（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16
【变式53】如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（ ）

B
B′
A A′ l
2.2 轴对称的性质(2)
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线 段AB关于直线l的对称线段A′B′？
B
B′
A′
A
l
2.2 轴对称的性质(2)
画出△ABC关于直线MN的对称图形．
A B
M A′
●
B′
●
C
●
C′
N
2.2 轴对称的性质(2)
在图中，四边形ABCD与四边形EFGH 关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交 于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？
成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．
2.2 轴对称的性质(2)
通过本节课的学习，你有什么收获？ 还有哪些疑惑？
课堂作业：
第Байду номын сангаас7页习题2.2第5题．
家庭作业：
补充习题．
有人说：三代人，才能培养一个贵族 。此言 听起来 有道理 ——但 只强调 了外在 的涵养 与气度 ，而忽 略了内 心。 人和人的区别，不在于外表，而在于内 心。 所以要从小培养孩子的气质，可以不 是贵族 ，但一 定要在 精神上 保持富 有。
突然，福特公司一台电机出了毛病，几 乎整个 车间都 不能运 转了， 相关的 生产工 作也被 迫停了 下来。
公司调来大批检修工人反复检修，又请 了许多 专家来 察看， 可怎么 也找不 到问题 出在哪 儿，更 谈不上 维修了 。
福特公司的领导真是火冒三丈，别说停 一天， 就是停 一分钟 ，对福 特来讲 也是巨 大的经 济损失 。
没想到，时间一长，特别是随着我的长 大，母 亲和我 的这些 报答， 却渐渐 成了村 里人们 说闲话 的谈资 。更有 好事的 人，在 背后指 点着已 上高一 的我说 ，当年 如果不 是因为 我，赵 叔就不 会变成 这般境 地，我 是合该 嫁给赵 叔，以 报救命 之恩的 。

专题03 轴对称1．轴对称图形与轴对称的相关概念（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称的性质（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．3．轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4．线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．7．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．8．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．9．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．10．等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．11．含30度角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12．最短路径问题利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．考点一、轴对称图形例1 （2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．考点二、轴对称的性质例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，故选：A.【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．考点三、利用轴对称设计图案的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格例3 （2020吉林）图①、图②、图③都是33点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【答案】（1）（2）（3）见解析．【解析】（1）如图①，MN 即为所求；（2）如图②，PQ 即为所求；（3）如图③，△DEF 即为所求．【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．考点四、图形的剪拼例4 （2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是 ．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒．【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键． 考点五、轴对称与最小值例5 （2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动()0,2A ，()0,4B ，连接AC 、BD ，则AC BD +的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/=∴AC+BD的最小值为故选：B.【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.考点六、线段垂直平分线的性质例6 （2020枣庄）如图，在ABCBC=，5AC=，∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若6则ACE∆的周长为()A．8B．11C．16D．17【答案】B【解析】DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++AC CE BE =++AC BC =+56=+11=，故选B ．【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．考点七、坐标与图形变化--对称例7 （2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B 的对应点B'的坐标为（ ）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（-1，2）【答案】C 【解析】由坐标系可得B （-1，1），将△ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B 的对应点/的坐标为（3，1+3），即（3，4），故选：C.【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．考点八、等腰三角形的性质例8 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是 ．【答案】10或11．【解析】由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，334+>，能构成三角形；周长=3+3+4=10，（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，故答案为：10或11．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．考点九、等腰三角形的判定例9 （2020黄冈模拟）如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，BC 与AD 交于点E ，AC ＝BD ，求证：AE ＝BE ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，{AB =BA AC =BD， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ，∴AE ＝BE ．【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．考点十、等边三角形的性质例10 （2020常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B= °．【答案】30【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∴△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案为：30.【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF 是解本题的关键．考点十一、等边三角形的性质与判定例11 （2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米．【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵BC=48米，∴AC=48米.故答案为：48.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC 是等边三角形．考点十二、含30度角的直角三角形例12 （2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，，则BD的长度为．【答案】．【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12 AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵∴，∴∴故答案为：【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（）A．B．C．D．2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（）A．100°B．104°C．108°D．112°3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C.50°D.60°5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（）A．（3，1）B．（3，−1）C．（−3，1）D．（−3，−1）6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（）A．13 B. 17 C. 13或17 D.13或107．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120° B. 130° C. 145° D.150°8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（）A．10 B．16 C．8 D．410．如图，在△ABC 中，AB =AC =11，∠BAC =120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点E ，则DF 的长为（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．611.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。