吉林大学线性代数AB标准化作业

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吉林大学线性代数AB标准化作业

线性代数标准化作业答案

线性代数标准化作业答案第一章：行列式基础必做题：（一）一、填空题：1、3，n （n-1）；2、1222+++c b a ；3、70，-14；4、-3M ；5、1 二、选择题：1、C2、D3、D4、A5、C 三、计算题： 1、解：原式1111001)1()1(11111C 12111++++=--⋅-⋅-+--⋅-++cd ad ab abcd dc dc ba （）（展开按2、解：原式31323121)c b a ()c b a (000)c b a (0111)c b a (2cr r 2br r ba c 2c2c2b a c b 2b111)c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c ccb ac b b c b a c b a c b a r r r r四、解：))()()((0000001)(1111)()(c x b x a x c b a x cx bc ab b x a b a xc b a c b a x xcbc x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++=因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。

基础必做题（二）一、填空题：1、6，8；2、0；3、0，0；4、4；5、24 二、选择题：1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、A,B,D 三、1、解：原式1)1)(1(10001011111)1(011111110111111)1(---=---=-=n n n n2、解：原式[][][]1)()1(00001)1(111)1(--⋅-+=---+=-+=n b a b n a ba b a b b b b n a abbb b a b b b b n a四、解：0111144342414==+++dbac bd d b c c b a A A A A五、解：1,0,1,20281142102,0321112112,20382141101,2038114202321321=======-==---==--==---=DD z DD y DD x D D D D 故提高选做题：一、证明：证法1：12113(0)2240,(1)22401111f f ====- 由罗尔定理知，至少存在一点ξ，使得()0,(0,1)f ξξ'=∈，故有一个小于1的正根。

线性代数标准化作业

经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）1111111111111111a a D b b +-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102200302004D= 。

2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，求m、k的值。

3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。

123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院班级姓名学号第二章作业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵）（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2；（）（2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵；（）（3）若A 2=O ，则A =O ；（）（4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ；（）（5）(ABC )T = C T B T A T 。

（）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ;（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝，A 1-＝， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝，│4A 1-│＝，(A T )1-＝ ; （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝，A 1-＝ ; （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O B A O ＝ ;（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝；（10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（）（A ）ACB =E ；（B ） CBA =E ；（C ） BAC =E ；（D ） BCA =E 。

吉林大学《线性代数》线性习题2.ppt

an
an1
解矩阵方程
2 5 4 6
1
3
X
2
1
2
5
1
4
6
X
1
3
2
1
3 1
5 4
2
2
6
1
2 0
23
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
1
X
1
1
2 1
0 2
01
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
2
2
1
验证：A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E)1 A
AB E A2 B ( A E)B A2 E ( A E)(A E) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
( A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2E)1 A1
A*
5
2
2
1
A1
|
1 A|
A*
5
2
2
1
求逆矩阵
cos
sin
1
sin
cos
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
cos sin
sin
cos
AT A1 (正定矩阵)
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
对角矩阵的逆
a1
a2
1
a11
a21
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35

吉林大学,线性代数,课件全,理工类07-08线代试题B答案

2007—2008学年第二学期《线性代数B》期末试卷答案2008年6月24日一、填空题(共6小题，每小题 3 分，满分18分．把答案填在题中横线上）1．设12-103524-1A 轾犏犏=犏犏臌，*A 是A 的伴随矩阵，则*A = 9 ．2．设3维向量组α1＝(1,2,3)，α2＝(2,5,6)，α3＝(3,6,k )线性相关，则k ＝ 9 ．3．已知3阶矩阵A 满足A 2-E =O ，则秩R(A )= 3 ．4．设实二次型22212312123(,,)3322f x x x =x x tx x x+++正定，则t 的取值范围是 |t |<3 ．5．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=513a A 只有一个线性无关的特征向量，则=a-1 ．6．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100022E 为数域F 上的线性空间22⨯F 的一组基，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102α在这组基下的坐标为 (2,0,-1,3)T ．二、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）2．与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=900042021A 等价的矩阵是[ B ]．(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001；(B) 100010000轾犏犏犏犏臌； (C) 100010001轾犏犏犏犏臌；(D) 000000000轾犏犏犏犏臌． 1．设A 是4×3矩阵，列向量组线性无关，B 为3阶可逆矩阵，则秩R(AB ) 为[ C ]．(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D) 4．3．线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是4×5矩阵，且A 的行向量组线性无关，则错误的命题是[ D ]．(A) 齐次线性方程组0=x A T只有零解；(B) 齐次线性方程组A T Ax =0必有非零解；(C) 对任意向量b ，非齐次线性方程组Ax =b 必有无穷多解；(D) 对任意向量b ，非齐次线性方程组b x A =T必有无穷多解．4．设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵P -1AP 属于特征值λ的特征向量是[ A ]．(A) P -1α； (B) P T α；(C) P α； (D) α．5．下列矩阵中，正定矩阵是[ D ]．(A) 120250003轾犏犏犏犏-臌；(B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡624293431；(C)123257370轾-犏犏犏犏臌；(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2115222．6．设3阶矩阵A的特征值为-1，-2，3，则A的迹为[ A ]．(A)0；(B) 1；(C) 2；(D) 3．三、解答题（共５小题，每小题9分，满分45分）1．求向量组α1＝(1,2,-1,1)T,α2＝(0,-4,5,-2)T ，α3＝(2,0,4,0)T ，α4＝(3,-2,8,-1)T的秩和一个极大无关组．解令A =(α1, α2，α3，α4)，则102310231024020448011~~1548056110011120103470000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．………（5分）所以R(A )=3，且α1, α2，α3是α1, α2，α3，α4的一个极大无关组． ………（9分）2．已知α＝(2,1,4)，β＝(1,2,－3)，令A ＝αT β，求A n ．解由于A ＝αT β=22461(1,2,3)123.44812-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ………（4分）所以A n =αT β αT β αT β… αT β=(-8) n -1A =1246(8)1234812n --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． ……（9分）3．设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-420010001，且0>A ，E BA ABA 3-1-1+=，其中E 为3阶单位矩阵，求矩阵B ．解在ABA -1=BA -1+3E 等号的两边左乘矩阵A *，右乘矩阵A ，且|A |=2，得2B =A *B +6E，………（3分）即2B -A *B =6E ，亦即(2E -A *)B =6E ，故B =6(2E -A *)-1， ………（6分）即 11006006010060022063-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B ． ………（9分）4．验证1231231,1,1032ααα轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-==犏犏犏犏犏犏臌臌臌为R 3的基，并将507β轾犏犏=犏犏臌用这个基线性表示．解设A =（α1，α2，α3），要证α1，α2，α3是R 3的一个基，只须证A E 即可．由于123512351235(,)~1110~0345~0345032703270022120812081002 ~0309~0103~0103001100110011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A β（5分）显然，A E ，所以α1，α2，α3是R 3的一个基．且 ……………（7分）β=2α1+3α2-α3． ……………（9分）5．求一组3维列向量α1，α2，使之与α3＝(1,1,1)T正交，并把α1，α2，α3化成两两正交的单位向量．解设所求的向量为x ，依题意得(x , α3)=0，即x 1+x 2+x 3=0，解之得 1232233,,.x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即121231110,01x x k k x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k 1,k 2为任意常数．取12111,001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα，则α1，α2与α3正交． ………（５分）对α1，α2施行施密特标准正交化，令b 1=α1，单位化得11110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . b 2=α2－2111(,)( ,) αe e e e 1=11122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.单位化得21112-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 将α3单位化，得31111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 则e 1,e 2,e 3即为所求的两两正交的单位向量． ………（９分）四、（满分11分）已知非齐次线性方程组1234123412341,32420,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解。

吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B

共 4 页第 1 页吉林大学考试卷（B 卷）课程名称线性代数B 考试学期 17-18-2 得分适用专业 13、42系考试形式开卷考试时间长度 120分钟一、填空题(30分，每空3分) 1. 设)1,2(),1,1(=−=βα，则=T αβ ；=+βα ； 2. 设 −−=1111A ， −=11B ，则=AB ；=)(AB r ； 3. 设n 阶矩阵A 满足O E A A =−+2，则=+−1)(E A ； 4. 与向量)0 ,1 ,1(1−=α和)2 ,1 ,1(2−=α均正交的单位向量=3α ； 5. 设A 是53×阶矩阵，秩3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有个解向量； 6. 设3阶矩阵B A ~，且矩阵A 的特征值为2,1,1−，则矩阵E B +的3个特征值分别是；行列式=+E B ； 7. 二次型32212321321424),,(x x x x x x x x x f +−+=对应矩阵=A 。

二、计算题（8分）计算行列式411211111−=D共 4 页第 2 页三、（12分）假设=200011012A ，求矩阵方程X A E AX +=−的解。

四、（12分）设向量组A ： −=42111α， =21302α；与B ： =147031β，=105122β。

1. 证明向量组A 与B 等价；2. 求向量组A 与B 相互线性表示的表示系数。

共 4 页第 3 页五、（15分）给定线性方程组 −=++−=++−=++322321321321λλλλx x x x x x x x x1. 参数λ取什么值时，上面的线性方程组无解、有唯一解和无穷解？2. 在方程组有无穷多解时，求出其通解。

六、（15分）设二次型323121232221321222222),,(x tx x tx x tx x x x x x x f −−−++=。

吉林大学2019-2020(2)线性代数B考试题

保密★启用前2019-2020学年第二学期期末考试《线性代数B》考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生教学号考生姓名第1页（共 3 页）一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案涂写在答题卡上．1．设同阶方阵,,A B C 满足关系式ABC=E ，则必有( ). (A) =ACB E . (B) CBA=E . (C) =BAC E . (D) BCA=E . 2. 下列选项不是向量组12,,,αααm 线性无关的充分必要条件的是( ).(A) 12,,,αααm 中任意两个向量都线性无关.(B) 12,,,αααm 中没有一个向量能由其余向量线性表示.(C) 向量组12,,,αααm 的秩为m .(D) 任何一组不全为0的数12,,,m k k k ，都使11220ααα+++≠m m k k k .3．设n 元线性方程组0=Ax ，()3−R A =n ，且123,,ααα为线性方程组0=Ax 的三个线性无关的解向量，则方程组0=Ax 的基础解系为( ).(A) 122331,,αααααα−++. (B) 112123,,αααααα+++.(C) 122331,,αααααα−−−. (D) 123123123,,ααααααααα++−+−+−. 4. 设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,1−，则2=A ( ).(A)100010001−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B)100010001−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D) 无法确定.5. 设矩阵1110111,21110A B −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦，则A 与B 的关系为( ). (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似. (C) 相似但不合同. (D)既不合同也不相似. 6. 线性空间[]3R x 中向量2331α=−+x x 在基21,1,1+−++x x x x 下的坐标为( ).(A) 423−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B) 323−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C) 123⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (D)323⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第2页（共 3 页）二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．7. 设矩阵12111001101222,010,010*********⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A P P ，则202012___.=P AP 8. 设三阶矩阵()123,,A ααα=，其中i α为三维列向量，1,2,3i =.且1A =−，则行列式1231,2,3_______.+αααα=9. 设A 是43⨯矩阵，且()2=R A ，而123012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则()_______.=R AB 10. 若三阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为111,,234，则行列式1_______.B E −−=11. 已知实二次型2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x ++++=是正定二次型，则参数t 的取值范围为．12. 线性空间3R 中基()T TT123111,0,0,0,,0,0,0,23βββ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1α=()()()T T T231,0,0,1,1,0,1,1,1αα==的过渡矩阵为 .三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13.（本题满分8分）计算行列式1111210030104001的值.第3页（共 3 页）14.（本题满分8分）设三阶方阵,A B 满足关系式16−=+A BA A BA ，若10031041007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求B . 15.（本题满分10分）求向量组()T 11,3,2,0α=，()T 27,0,14,3α=，()T 32,1,0,1α=−，()T45,1,6,2α= ，()T52,1,4,1α=−的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 16.（本题满分8分）设矩阵1335366−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A a b 有二重特征值2λ−=，并且A 可相似对角化，求,a b 的值. 17.（本题满分6分）设12,αα分别是矩阵A 对应于特征值12,λλ的特征向量，而12λλ≠，证明：12αα+不能是A 的特征向量.18．（本题满分12分）已知向量组1231211,1,2,14510a =b αααβ−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦求：(1)当,a b 为何值时，β能由123,,ααα唯一线性表示？ (2)当,a b 为何值时，β不能由123,,ααα线性表示？(3)当,a b 为何值时，β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式. 19.（本题满分12分）已知实二次型()222123123121323,,222=++−−+f x x x x x x x x x x ax x 经正交变换x Py =可化为标准形22212322=f y +y +by ，求：(1) 常数,a b ；(2) 所用的正交变换矩阵P .。

吉林大学微积分标准化作业(CII)

∂u ∂u ∂v ∂v , , , ． ∂x ∂y ∂x ∂y
设函数 z = f (u ) ，方程 u = ϕ (u ) + ∫ p (t )dt ，确定 u 是 x, y 的函数，其中 f (u ), ϕ (u ) 可
y
x
微， p (t ), ϕ ′(u ) 连续，且 ϕ ′(u ) ≠ 1 ，求证： p ( y )
．
x +1 y −1 z 的距离是 = = 3 2 −1
．
7．xOy 面上曲线
x2 y2 − = 1 绕 x 轴旋转一周所生成的曲面方程为 a2 b2
．
．
⎧z = 6 − x 2 − y 2 在 xOy 面上的投影曲线方程为 8．曲线 ⎨ ⎩2 y + z − 3 = 0
二、单项选择题 1．平面 y + z = 1 ( )．（B）平行于 x 轴；（D）平行于 xOy 面． )．（B）交于一点；（D）交线为一个圆．
x →0 y →0
．．
x ∂ 2u ⎛ 1⎞ ，则在 ⎜ 2, ⎟ 处的值为 y ∂x∂y ⎝ π ⎠
3xy =( x + y2
2
)．
6 ； 5
（A）
3 ； 2
（B）0；
（C）
（D）不存在．
2． f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 两偏导数 f x′ ( x 0 , y 0 ) ， f y′ ( x 0 , y 0 ) 都存在是 f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续的( )条件．（B）必要非充分；（D）非充分非必要． )．
．．
2． f ( x ) = 3． lim 4． z =
x ， f ( x) = f ( y ) + f ( z ) 确定 z = F ( x, y ) ，则 F ( x, y ) 1− x

吉林化工学院08-09.2期末考试线性代数

一.填空题（每小题4分，共16分）。

1.行列式 011101110=D 的值为 2 。

解：23r r D -11101110-展开按1c 21111111112=---=-⨯⨯-+）（）（）（2.向量组 T 1α =（1，2，3，4），T2α =（2，3，4，5），T 3α =（3，4，5，6）的秩为 2 。

解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111321,,654543432321),(122334321r r r r r r T T T ααα ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000111321,,12334r r r r 所以秩为 2。

3.齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-=+004321x x x x 的基础解系为。

解：原方程组的等价方程为 ⎩⎨⎧=-=4321x x x x令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛10,0142x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100,00114321x x x x 4.设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)21(-A 必有一个特征值为21 。

解：特征值为 21))2(21(12=⨯-二.选择题（每小题4分，共16分）。

1.排列 )1(123-n n 的逆序数为 C 。

A ．n ； B. 1+n ； C. 1-n ； D. 0。

解：逆序数为11110-=++++n 。

2.设A 、B 、C 为n 阶方阵，且A 可逆，则必成立的是 D 。

A. 若BC AC =，则B A =；B. 若0=BC ，则0=B ；C. 若11--=CA B A ，则C B =；D. 若CA BA =，则C B =。

解：因为A 可逆，D 选项同时右乘1-A ，即得。

3.向量组A 线性相关的充分必要条件是 B 。

A. A 中每个向量都可由组中其余向量线性表示；B. A 中至少有一个向量可由组中其余向量线性表示；C. A 中只有一个向量可由组中其余向量线性表示；D. A 中不包含零向量。

吉林大学陈殿友,术洪亮--线性代数习题课

0 0
0 0
n 1 n 1
0 0 1
证：当n=1时，
2 2 D1 结论成立.
当n=2时， 2 2 2 D2 ( ) 1
假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时亦成立。
下面我们通过例题演示来进一步巩固所学内容，并更好地掌握解题方法与技巧，本章常见题型有填空题、计算题、证明题。
例1：问当i、j如何取值时，排列 2 1 i 3 7 6 j 9 5为偶排列？
解：令i=4，j=8，得排列为
2 1 4 3 7 6 8 9 5
214376895 为奇排列与题矛盾。应取i=8，j=4 此时排列 218376495

a 4
1 1
0 1
例5： 1 a 0
0
的充分必要条件？
2 解：展开即有 a -1>0的充分必要条件是
a >1
2
已知四阶行列式D的第2行例6：元素分别为： -1，0，2，4；第四行元素的余子式依次为：
2, 4, a, 4; 求a ?
由行列式某行元素与另一行元素的代数余解：
子式乘积之和为零，而A41= -2 A42=4 A43= -
1
1

1
1 1 0
1 1 2 1 0
c1+（-1）c3

1 0
1 0
1 1
1 1 1
0 0 0 1
0
0
1 1 1 0 0 (1 ) 0
0 0 1
所以当λ 、μ 满足λ =1或μ =0时，
方程组有非零解。

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求 X.
5
6、设 A=
1 2 a b , B= , 若矩阵 A 与 B 可交换，求 a、b 的值. 1 1 3 2
7、设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，证明 AB+BA 是 n 阶对称矩阵.
6
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第二章作业
（方阵的行列式） 1、填空题（1）排列 52341 的逆序数是________,它是________排列；（2）排列 54321 的逆序数是________,它是________排列；（3）1~9 这九数的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i_______， j_______；（4）4 阶行列式中含有因子 a11a23 的项为________________；（5）一个 n 阶行列式 D 中的各行元素之和为零，则 D =__________. 2、计算行列式
13
1 0 6、设 A= 0 3 1 3 1 0 4 1 1 2 2 1 2 5
1 0 0 2 3 0 7、设矩阵 A= 0 4 5 0 0 6
0 0 , 且满足 B=(E+A)-1(E-A)，求(E+B)-1. 0 7
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
线性代数
标准化作业 (A、B)
吉林大学数学中心 2013.9
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第一章作业
（矩阵的运算与初等变换） 1、计算题
3 （1） 1, 2, 3 2 ； 1
2 （2） 1 1, 2, 1 ； 3
18
5、求解非齐次线性方程组
x1 x2 2 x x 1 2 3x1 4 x2 x1 x2
x3 3x3 x3 4 x3
x4 3x4 3x4 8 x4
x5 4 x5 2 x5 4 x5

14
8、设 A 为 m n 矩阵，B 为 n m 矩阵，且 m＞n，试证|AB|＝0.
15
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第四章作业
（线性方程组与向量组的线性相关性） 1、填空题（1）设 β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则 β 表成 α1，α2 的线性组合为；
0 1
1 1 . 0 2 3 0 0 3 3 2
2
2、计算下列方阵的幂：（1）已知 α=（1，2，3），β=（1，-1，2），A=αTβ，求 A4;
0 2 4 （2）已知 A= 0 0 3 ，求 A n; 0 0 0
3、通过初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
3 （1） 1 1
（2）设 α1，α2，α3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（（A）α1，α2，α3 - α1；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（D）α1-α2，α2-α3，α3-α1.
16
（3）设 n 元线性方程组 Ax=0，且 R(A)=n-3，且 α1，α2，α3 为线性方程组 Ax=0 的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为（（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1；）.
17
4、求解齐次线性方程组
x1 x2 x 1 x2 4 x1 2 x2 2 x1 4 x2
3 x4 2 x3 6 x3 2 x3 x4 5 x4 4 x4
x5 x5 x5 1 6x5
0, 0, 0, 0.
1 1 3
0 2 4
2 1; 4
3
2 1 2 3 （2） 3 2 1 0
8 3 7 0 7 5 . 5 8 0 3 2 0
4、用初等变换把下列矩阵化为标准形矩阵：
3 2 1 3 1 （1） 2 1 3 1 3 ； 7 0 5 1 8
1 3 （2） 2 3
1 3 4 3 3 5 4 1 . 2 3 2 0 3 4 2 1
4
5、利用初等矩阵计算：
1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 ；（1） 0 1 0 0 1 1 2 2 2 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
2 0 0 0
3 的逆矩阵. 0 0 0
12
4 、已知 A
2 1 0
1 2 1
0 1 ，B 2
1 2
1 ，C = 3 3 2
2
2 4 ，求解下列矩阵方程： 1
（1）AX=X+C ;
(2) AXB=C.
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得矩阵 B，试证：（1）B 可逆；（2）求 AB-1.
（2）设向量组 α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相关，则 t= ；
（3）设向量组 α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为 3，则参数 t 应满足的条件是；
（4）n 元线性方程组 Ax=0 有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；
（5）设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 R(A)=n-1，则方程组 Ax=0 的通解为 .
x1 2 x2 2 x3 0, （6）设线性方程组 2 x1 x2 x3 0, 的系数矩阵为 A，且存在 3 阶非零矩 x 2x x 0 2 3 1
（C）k(α1-α2)；
（5）设向量组 α1，α2 是方程组 Ax=0 的基础解系，β1，β2 是方程组 Ax=b 的两个解向量，k1，k2 是任意常数，则方程组 Ax=b 的通解为（（A） x=k11 k2 2 ）.
1 2
2
;
（B）x=k11 k2 (1 2 )
（3）若对任意方阵 B， C，由 AB=AC （A， B， C 为同阶方阵）能推出 B=C，则 A 满足（）.
11
（A）A O；（B）A＝O；
（C）|A| 0；（D）|AB| 0. ） .
（4）已知 A 为 n 阶非零方阵，若有 n 阶方阵 B 使 AB＝BA＝A，则（（A）B 为单位矩阵；（B）B 为零方阵；（C）B 1 ＝A；（D）不一定. （5）若 A，B，(B 1 +A 1 )为同阶可逆方阵，则(B 1 +A 1 ) 1 ＝（
；
（4）设实矩阵 A 33 ＝ (aij ) 0，且 a11 0 ， a ij Aij （ Aij 为 a ij 的代数余子式），则│A│＝；
O 1 1 ＝，则 2 ( )A B 2
1
（5）设 A 为 2 阶方阵， B 为 3 阶方阵，且│A│＝＝ . 2、选择题
B O
9
5、设 3 阶矩阵
， A= 2 1 , B= 1 3 2 2, 其中 α， β， γ1， γ2 均为 3 维行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.
10
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第三章作业
（可逆矩阵） 1、填空题
（B）α2 -α1，α3 -α2，α1 -α3；
1 （C）2α2 -α1， α3 -α2，α1 -α3；（D）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3. 2
（4）设 α1，α2 是 n 元线性方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，且 R（A） =n-1，k 为任意常数，则方程组 Ax=0 的通解为（（A）kα1；（B）kα2；）. （D）k(α1+α2).
1 2 1 2 ； 1 2 1
bc ca a b b c ；（3） D a 2 2 a b c2
8
（4） D
3 a 3 3 3 a 3 3 3 3
3 3
3 3
3b 3 3 3b
；
1 2
（5） D
0
.
2012 0 2013
4、设 4 阶行列式的第 2 列元素依次为 2、m、k、1，第 2 列元素的余子式依次为 1、-1、1、-1，第 4 列元素的代数余子式依次为 3、1、4、5，且行列式的值为 2，求 m、k 的值.
（1）设同阶方阵 A、B、C、E 满足关系式 ABC=E，则必有（（A）ACB=E；（B） CBA=E；（C） BAC=E；
）.
（D） BCA=E. ）.
（2）若 A，B 为同阶方阵，且满足 AB＝0，则有（（A）A＝O 或 B＝O；（C）(A＋B) 2 ＝A 2 ＋B 2 ；
（B）|A|＝0 或|B|＝0；（D）A 与 B 均可逆.
阵 B 使得 AB = O ，则 λ 2、选择题（1）设 β， α1， α2 线性相关， β， α2， α3 线性无关，则正确的结论是（（A）α1，α2，α3 线性相关；（C）α1 可由 β，α2，α3 线性表示；（B）α1，α2，α3 线性无关；（D）β 可由 α1，α2 线性表示. ）. ） . .
（C）x=k11 k2 ( 1 2 )
1 2
2
;
; 2 2 （D）x=k11 k2 (1 2 ) 1 . 2
1 2
（6）设非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组为 Ax=0，则下面结论中正确的是（）.
（A）若 Ax=0 有唯一解，则 Ax=b 必有唯一解；（B）若 Ax=0 有唯一解，则 Ax=b 必无解；（C）若 Ax=0 有无穷多个解，则 Ax=b 也有无穷多个解；（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 也有无穷多个解. 3、设 α1，α2，α3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 R（A） =3，其中 1 (1,9, 4,9)T , 2 3 (2, 0, 0, 4) T , 求 Ax=b 的通解.

吉林大学线性代数AB标准化作业

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