一次函数模型

生活中的一次函数模型在商业领域中，广告投入通常是企业提高销售额的重要手段之一、一个生活中的一次函数模型可以是销售额与广告投入之间的关系。

在这个模型中，广告投入被认为是自变量，销售额被认为是因变量。

我们可以通过建立一次函数来描述这种关系，即销售额=k×广告投入+b，其中k和b是函数中的常数。

以家电商公司为例，公司在一年中分别投入了不同数额的广告费用，并且记录了每个广告费用对应的销售额。

通过统计这些数据，我们可以建立一次函数模型来描述销售额与广告投入之间的关系。

假设该公司的数据如下：广告投入（万元），销售额（万元）-------------，-------------5，108，1210，1412，1615，18根据这些数据，我们可以选择任意两个点（x1，y1）和（x2，y2）来计算斜率k，并且选择任意一个点（x1，y1）来计算常数b。

这里我们选择（5，10）和（15，18）作为计算斜率k的点，选择（5，10）作为计算常数b的点。

首先计算斜率k:k=(y2-y1)/(x2-x1)=(18-10)/(15-5)=8/10=0.8然后计算常数b:b=y1-k*x1=10-0.8*5=10-4=6因此，我们得到的一次函数模型为：销售额=0.8×广告投入+6通过这个模型，我们可以预测不同广告投入对应的销售额。

例如，如果公司投入20万元的广告费用，根据模型，我们可以计算：销售额=0.8×20+6=16+6=22因此，我们预测公司投入20万元的广告费用时，销售额可能达到22万元。

该模型还可以用于分析公司目标销售额需要投入多少广告费用。

假设公司希望达到25万元的销售额，我们可以利用一次函数模型计算：25=0.8×广告投入+6将等式变形为：0.8×广告投入=25-6=19广告投入=19/0.8=23.75因此，公司需要投入大约23.75万元的广告费用才能达到目标销售额25万元。

项目内容课题12.4一次函数模型修改与创新教学目标1.了解一次函数模型，初步学会建立一次函数模型的方法。

2.会根据已知条件，运用待定系数法确定一次函数的表达式。

3.能用一次函数解决简单的实际问题。

教学重、难点重点：从函数图像获取信息及函数与方程的关系；难点：体会函数与方程的关系。

教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课一次函数在现实生活中有非常重要的应用，怎样建立一次函数模型，并用来解决实际问题呢？今天我们来学习：建立一次函数模型。

二、探究：待定系数法温度的度量有两种：摄氏温度（用℃表示）和华氏温度（用℉表示）。

摄氏温度，冰点时温度为0℃，沸点为100℃；华氏温度，冰点时温度为32℉，沸点为212℉已知摄氏温度和华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出办法，把华氏温度换算成摄氏温度？1.已知摄氏温度和华氏温度的关系近似地为一次函数关系，则可以用C表示摄氏温度，F表示华氏温度，所以把C表示为F 的一次函数的解析式为。

（C=kF+b）2.在上面的解析式中怎样求出k、b的值呢？我们学习了一元一次方程组，求两个未知数需要列两个方程。

从已知条件你可以列出两个方程：因此摄氏温度与华氏温度的关系式为。

教师总结：（1）像上述例子那样，求出表示某个客观现象的函数，称为建立函数模型。

有了函数模型，就可以方便地解决这个客观现象中的数量关系问题。

（2）像上述例子那样，通过确定函数模型，然后列方程组求待定系数，从而求出函数的解析式，这种方法称为待定系数法。

（3）想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？三、例题剖析已知一次函数的图象经过两点P （1，3）和Q （2，0），求这个函数的解析式。

解：设y=kx+b,由于两点P,Q 都在这个函数的图象上，因此：{解得：k =-3,b =6因此所求一次函数解析式为：y =-3x +6总结解题方法：1.根据题意，设表达式：y =kx +b2.根据给出的条件建立并解关于k 、b 的方程3.根据求出的k 、b 的值写出一般表达式四、课堂练习课本练习：1，2，3五、课堂小结六、布置作业课后习题:1,2,3板书设计k +b =32k +b =0教学反思。

用一次函数解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一一次函数的应用——分配方案问题】 (1)【考点二一次函数的应用——最大利润问题】 (5)【考点三一次函数的应用——行程问题】 (8)【考点四一次函数的应用——几何问题】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一一次函数的应用——分配方案问题】【答案】(1)() 504500010120y x x=+≤≤；(2)见解析【分析】（1）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡()120x−吨，B市的130吨物资运往甲乡()140x−吨，运往乙乡()110120x−+吨的费用求和，即可确定y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．【详解】（1）解：由题意可得，()()()3001501202001401001101205045000y x x x x x =+−+−+−+=+， 0x ≥，1200x −≥，1400x −≥，1101200x −+≥，x ∴的取值范围是10120x ≤≤，y ∴与x 的函数解析式为()504500010120y x x =+≤≤；（2）500>，y ∴随着x 增大而增大，当10x =时，y 取得最小值，最小值为50104500045500(⨯+=元)，此时从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，答：运费最低的运送方案是：从A 市往甲乡运送10吨物资，从A 市往乙乡运送110吨物资，从B 市往甲乡运送130吨物资物资，从B 市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．【变式训练】【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；(2)120.5,0.650y x y x ==+；(3)见解析．【分析】（1）当150x =时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；（3）根据y 关于x 的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．【详解】（1）解：当150x =时，方案一：1500.8120⨯=（元），方案二：501500.80.755090140+⨯⨯=+=（元），∵120140<，∴小明用方案一购书更划算；（2）解：由题意得：方案一：10.8y x =；方案二：2500.80.750.650y x x =+⨯=+；∴1y 与x 的函数关系式为10.8y x =；2y 与x 的函数关系式为20.650y x =+；（3）解：当12y y >时，即0.80.650x x >+，解得250x >；当12y y <时，即0.80.650x x <+，解得250x <；当12y y =时，即0.80.650x x =+，解得250x =．∴当250x <时，方案一更划算，当250x >时，方案二更划算，当250x =时，方案一和方案二一样划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 2.（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)求k 1和b 的值，并说明它们的实际意义；(2)求打折前的每次健身费用和2k 的值；(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元(2)打折前的每次健身费用为25（元），220k =(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；(2)根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八折即可求得k2 ；(3)根据（1）（2）即可得到1122y k x b y k x =+=，，当12y y =时，解得：6x =．即可得到答案． 【详解】（1）解：11y k x b =＋的图象过点()030，和点()10180，，∴130,18010.b k b =⎧⎨=+⎩∴115,30.k b =⎧⎨=⎩．k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元．（2）打折前的每次健身费用为150.625÷=（元）2250.820k =⨯=．（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：由（1）知11530k b ==，， ∴11530y x =+．由（2）知220k =，∴2．当12y y =时，153020x x +=，解得：6x =．结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关键．【考点二 一次函数的应用——最大利润问题】【答案】(1)5500y x =+(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元【分析】(1)设购进甲商品x 件，则购进乙商品()100x −件，根据题意即可列出y 与x 之间的函数关系式；(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当20x =时，y 取得最大值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：()()()504015*********y x x x =+−−=+－，∴y 与x 之间的函数关系式为5500y x =+；（2）解：由题意，得1004x x −≥，解得20x ≤．∵5500y x =+，∴，∴y 随x 增大而增大，∴当20x =时，y 的值最大，520500600y =⨯+=，此时1002070−=，答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．【变式训练】(1)第一次小冬用550元购进了A ，B 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小冬进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)A 款玩偶购进20个，B 10个(2)按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与购进A 款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半，可以得到A 款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案．【详解】（1）解：设A 款玩偶购进x 个，B 款玩偶购进()30x −个， 由题意得：()201530550x x +−=，解得：20x =，30x ∴−=302010−=（个），答：A 款玩偶购进20个，B 款玩偶购进10个；（2）解：设A 款玩偶购进a 个，B 款玩偶购进()45a −个，获利y 元， 由题意得：()()()28202015453225y a a a =−+−−=+， A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．()1452a a ∴≤−，解得15a ≤，3225y a =+，由30k =>，可知y 随a 的增大而增大，∴当15a =时，315225270y =⨯+=最大（元），B ∴款玩偶为：451530−=（个），答：按照A 款玩偶购进15个、B 款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．【答案】(1)A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元(2)800090w b =−，购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【分析】（1）设购进A ，B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，列方程组求解即可．（2）设购买A 种模型a 件，购买B 种模型b 件，由题意列出方程组，求出b 的范围，再列出W 与b 的函数关系式，求最值即可．【详解】（1）设购进A 、B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，由题意得：105100043550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25150x y =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A 种模型a 件，B 种模型b 件，25150100008a b a b +=⎧⎨≤⎩， 解得2007b ≥则购买A 种模型为1000015025b−件，即(4006)b −件，则20(4006)30w b b −+⨯=，即800090w b =−∵900−<，∴当b 取最小值时总利润最大，由（2）得2007b ≥，b 为整数，∴当29b =时，800090295390w =−⨯=，∴购进A 模型226件，B 模型29件利润最大为5390元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键．【考点三 一次函数的应用——行程问题】 (1)求线段CD 对应的函数解析式．(2)货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？(3)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．【答案】(1)线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−(2)货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米(3)轿车到达乙地后，货车距乙地30千米【分析】（1）设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由待定系数法求出其解即可；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求出其解即可．（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程=速度⨯时间就可以求出结论．【详解】（1）解：设线段CD 对应的函数解析式为y kx b =+，由题意，得 80 2.5300 4.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：110195k b =⎧⎨=−⎩．则110195y x =−．答：线段CD 对应的函数解析式为110195y x =−；（2）设OA 的解析式为1y k x =货，由题意，得 13005k =，解得：160k =，60y x ∴=货．∴当y y =货时，11019560x x −=，解得： 3.9x =．离甲地的距离是：3.960234⨯=千米．答：货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米；（3）由题意，得()605 4.530⨯−=千米．答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式训练】 1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发，以a 米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分钟，两架航模距离地面高度都是b 米，两架航模距离地面的高度y 米与时间x 分钟的关系如图．两架航模都飞行了20分钟．(1)直接写出a 、b 的值；(2)求出两架航模距离地面高度y 甲、y 乙（米）与飞行时间x （分钟）的函数关系式；(3)直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？【答案】(1)20a =，140b =；(2)2020y x =+甲，1550y x =+乙；(3)飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米【分析】（1（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可．（3）令25y y −=乙甲，解方程得到x 的值，即可得到答案．【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：50156140+⨯=（米)，140b ∴=．14020206a −∴==．20a ∴=，140b =．（2）由题意可得：1550y x =+乙，设20y kx =+甲，把(6,140)代入得，620140k +=，解得20k =，2020y x ∴=+甲．（3）()20201550530y y x x x −=+−+=−乙甲， 令25y y −=乙甲，则53025x −=，或53025x −=−，解得11x =，或1x =．答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键．【答案】(1)80，6(2)120600y x =−+(3)甲车出发经过1.7h ，2.3h ，3.5h ，两车相距60千米．【分析】（1）结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；（2）找到甲车到达C 地和返回A 地时x 与y 的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；（3）分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回A 地时，根据甲、乙两车相距60千米分情况讨论即可求解．【详解】（1）∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间480806t =÷=（小时）；故答案为：80，6；（2）根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，∴结合函数图象可知，当52x=时，300y=；当5x=时，=0y；设甲车从C地按原路原速返回A地时，即552≤≤x，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y kx b=+，将5(,300),(5,0)2函数关系式得：5+=30025+=0k bk b⎧⎪⎨⎪⎩，解得：120600kb=−⎧⎨=⎩，故甲车从C地按原路原速返回A地时，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：120600y x=−+；（3）由题意可知甲车的速度为：6001205=（千米/时），设甲出发经过m小时两车相距60千米，有以下三种情况：①()12080160480m m+++=，解得 1.7m=②()12080148060m m++=+，解得 2.3m=③()()120 2.560 2.5100m m−+=−+，解得 3.5m=综上，甲车出发经过1.7h，2.3h，3.5h，两车相距60千米，【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，准确找到等量关系．【考点四一次函数的应用——几何问题】例题：（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是D C B A→→→，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据动点从点D 出发，首先向点C 运动，此时y 随x 的增加而增大，当点P 在DC 上运动时，y 不变，当点P 在AB 上运动时，y 随着x 的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】解：当点P 由点D 向点C 运动，即04x ≤≤时，114222y AD x x x ==⨯=； 当点P 在BC 上运动，即48x <≤时，14482y =⨯⨯=，是一个定值；当点P 在BA 上运动，即812x <≤时，y 随x 的增大而减小．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势．【变式训练】1.（2021春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点P 从B 点出发，以每秒2cm 的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按B C D E F A →→→→→的路线移动，相应的ABP 的面积()2cm S 与点P 的运动时间()t s 的图象如图②所示，且6cm AB =．当230cm S =时，t = ．【答案】7s 或11s【分析】从图象上分析可知，由于速度是2cm/s ，图中04~的过程为P 点在线段BC 上，故428cm BC =⨯=，46~为4CD =，69为6DE =，910~为2EF =，10到b 为FA ，14FA BC DE =+=，1014217b =+÷=，根据ABP ∆的面积为230cm ，底边6cm AB =可知高为10cm ，也就是P 点距离AB 的距离是10cm ，从数据上可知，P 在线段DE 上有一个符合条件的点，在线段AF 上有一个符合条件的点，求出对应的t 值．【详解】解：由图可知， P 点的运动速度为2cm/s ， ()428cm BC ∴=⨯=，()224cm CD =⨯=，()326cm DE =⨯=，()122cm EF =⨯=，()14cm FA BC DE =+=， 2cm 30S =，6cm AB =，∴点P 到AB 的距离为()302610cm ⨯÷=，故可知P 在线段DE 上和线段AF 上各有一个P 点满足条件，当1P 在线段DE 上时：110PD BC +=，()11082cm PD ∴=−=，1()27(s)t BC CD DP ∴=++÷=，当1P 在线段AF 上时：210P F AF =−， ()214104cm P F ∴=−=，2()211(s)t BC CD DE EF FP =++++÷=， 故答案为：7s 或11s ．【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式．2.（2023春·安徽宿州·七年级校考期中）如图，在长方形ABCD 中，8BC =，6CD =，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，随着点E 的运动，DCE △的面积也发生变化．(1)写出DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式；(2)当3x =时，求y 的值．【答案】(1)324y x =−+(2)15【分析】（1）可求8DE x =−，由12y CD DE =⋅即可求解；（2）将3x =代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：8DE x =−，∴12y CD DE =⋅16(8)2x =⨯⨯−324x =−+．答：DCE △的面积y 与AE 的长()08x x <<之间的关系式为324y x =−+．（2）解：当3x =时，92415y =−+=， 答：当3x =时，15y =．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）甲，乙两车在笔直的公路AB 上行驶，乙车从AB 之间的C 地出发，到达终点B 地停止行驶，甲车从起点A 地与乙车同时出发到达B 地休息半小时后立即以另一速度返回C 地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车相距的路程(y 千米)与乙车行驶的时间(x 小时)之间的关系如图所示，下列说法中正确的有（ ）①甲车行驶的速度为每小时20千米；②AB 两地之间的距离为420千米；③甲车返回C 地的速度为每小时80千米；④甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚2小时．【答案】B【分析】根据第三段函数图象甲车到达B 地后休息半小时，求出乙车的速度，然后根据第一段函数图象，求出甲去B 地速度；求出甲车从A 到B 所用的时间，即可求出AB 的长度；根据返回时，两车在870.50.5−−=小时内行驶的路程为60千米，算出甲返回C 的速度，求出BC 间的长度，即可求出返回C 地时甲用的时间，算出乙到达目的地B 比甲到达B 地多用的时间，即可求出甲车返回C 地比乙车到B 地时间晚3小时．【详解】解：乙车速度80604012−=（千米/时）， 甲车去B 地的速度为：40360603⨯+=（千米/时），甲车去B 地时，两车速度差，60203=（千米/时），第一次相遇后甲车到达B 地时间，80420=（小时），∴甲车从A 地到B 地所用时间为347+=（小时），∴AB 两地之间的距离为607420⨯=（千米），故②正确； 甲车返回时速度，604080870.5−=−−（千米/时），故①错误，故③正确；∴A 、B 两地距离420千米，∴B 、C 两地相距，42060360−=（千米），甲车返回C 地用时，3609802=（小时），乙车比甲车晚到达B 地时间，80240=（小时）， 甲车比乙车晚到达目的地时间，192322+−=（小时），故④错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，解决行程问题，解决问题的关键是熟练掌握甲、乙两车行驶路程与速度、时间的关系． AB DC ，B Ð，ABP 的面积为所示，则ACD 面积为 A ．10B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】由题意知：49455BC DC AD ==−==，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据图2可知当点P 在CD 上运动时，ABP 的面积不变，与ABC 面积相等；且不变的面积是在4x =，9x =之间；所以在直角梯形ABCD 中4BC =，5CD =，5AD =．连接AC ，∴ACD 面积为11541022CD BC ⨯=⨯⨯=故选：A ．【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．A ．第25天的销售量为200件B ．第6天销售一件产品的利润是19元C ．第20天和第30天的日销售利润相等D ．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润【答案】C【分析】根据函数图象分别求出当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为25w t =−+，当025t ≤≤时，产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为4100y t =+，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．【详解】A 、根据图①可得第25天的销售量为200件，故此选项正确，不符合题意；B 、设当020t ≤≤，一件产品的销售利润w （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为w kt b =+，把025205（，），（，）代入得：252020b k b =⎧⎨+=⎩，解得：125k b =−⎧⎨=⎩，∴25w t =−+，当6t =时，62519w =−+=，故此选项正确，不符合题意；C 、当025t ≤≤时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+， 把010025200（，），（，）代入得：11110025200b k b =⎧⎨+=⎩，解得：114100k b =⎧⎨=⎩，∴4100y x =+，当20t =时，日销售利润为5420100900wy =⨯⨯+（）=（元）；当30t =时，日销售利润为5150750⨯=（元），∴第20天和第30天销售利润不相等，故此选项错误，符合题意；D 、当18t =时，日销售利润为18254181001204wy =−+⨯+（）（）=（元），当25t =时，日销售利润为52001000⨯=（元）．∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，故此选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．二、填空题 4．（2023秋·山东青岛·八年级统考期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 元．【答案】6000【分析】设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，该公司获得利润为y 元，进而得到y 关于m 的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解．【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m 箱，则批发这种农产品()800m −箱，依题意得：0300m <≤，设该公司获得利润为y 元，依题意得：()106800y m m =+−，即44800y m =+，∵40>，y 随着m 的增大而增大，∴当300m =时，y 取最大值，此时430048006000y =⨯+=（元），答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元．故答案为：6000．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键．【答案】 2400 1248【分析】设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠，把()3060，代入得6030k =，解得2k =，则()2030y t t =<≤，再求出4w t b =+的b 值，然后把26t =代入算得48024w t =−=，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．【详解】解：由题图①知，当天数30t =天时，市场日销售量达到最大60件，由题图②知，当天数30t =天时，每件产品销售利润达到最大40元，所以当天数30t =天时，市场的日销售利润最大，最大利润为2400元；设日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()0y kt k =≠， 把()3060，代入得6030k =，解得2k =，∴日销售量y 与上市时间t 之间的函数关系式为()2030y t t =<≤， 将点()3040，代人4w t b =+，解得80b =−，所以当2530t ≤≤时，单件产品的销售利润w 与t 之间的函数关系式为()4802530w t t =−≤≤， 当26t =时，48024w t =−=，将26t =时252y t ==，∴此时日销售利润为52241248⨯=（元）．故答案为：2400，1248．【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．【答案】 9,2,9 11680【分析】设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−，根据三种物资共100吨列出等式，求出220y x =−+，再根据每种物资至少装运1辆车，求出x 的取值范围，最后列出总费用w 与x 的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．【详解】解：设x 辆汽车装运食品，y 辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为()20x y −−， 由题意，得：()20651040x x y y −−=++，∴220y x =−+．∴()2020220x y x x x −−=−−−+=．∵每种物资至少装运1辆车，∴12201x x ≥⎧⎨−+≥⎩． 解得：1912x ≤≤，设总费用为w ，则()12061605220100448016000w x x x x =⨯+⨯−++⨯=−+，∵4800k =−<，∴w 随x 的增大而减小． ∵1912x ≤≤，且为整数， ∴当9x =时，总费最少，最少费用为48091600011680w =−⨯+=元．此时2202y x =−+=．故答案为：9,2,9；11680．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，三、应用题 7．（2023秋·安徽淮北·八年级校联考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，2cm AB =，4cm BC =，点P从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着B →C →D →A 的方向移动到点A ，设移动过程中三角形PAB 的面积为S （2cm ），移动时间为t （s ）．(1)写出S 与t 之间的函数关系式；(2)①当 1.5s t =时，求三角形PAB 的面积；②当三角形PAB 的面积为23cm 时，求t 的值．【答案】(1)()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩(2)①21.5cm ；②3t =或7t =【分析】（1）根据题意可分当点P 在BC 上，当点P 在DC 上，当点P 在DA 上，然后分别求出函数解析式即可；（2）①由（1）可进行求解；②根据（1）中函数解析式，然后把三角形PAB 的面积为23cm 代入进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：①当点P 在BC 上，即04t <≤， ∴11222S AB PB t t =⋅=⨯=；②当点P 在DC 上，即46t <≤，此时三角形PAB 的面积为长方形面积的一半，即为12442S =⨯⨯=； ③当点P 在DA 上，即610t <≤，此时10AP t =-， ∴()112101022S AB AP t t =⋅=⨯−=−+；综上所述：S 与t 之间的函数关系式为()()(),044,4610,610t t S t t t ⎧<≤⎪=<≤⎨⎪−+<≤⎩；（2）解：①当 1.5s t =时，则 1.5cm BP =， ∴21 1.5cm 2S AB BP =⋅=；②由（1）可知：当三角形PAB 的面积为23cm 时，则有：3t =或103t −+=，∴3t =或7t =．【点睛】本题主要是考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 8．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考期中）合肥某校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，野生动物园的门票价格为教师票每张36元，学生票半价，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二，按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．假如学生人数为x （人），师生门票总金额为y （元）．(1)分别写出两种优惠方案中y 与x 的函数表达式；(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少；(3)若选择最优惠的方案后，共付款288元，则学生有多少人？【答案】(1)方案一：1854y x =+；方案二：14.486.4y x =+(2)当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠(3)学生人数为14人【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由（1）中函数关系式及一次函数的性质可进行求解；（3）由（2）可进行求解．【详解】（1）解：方案一：()133636318542y x x =⨯+⨯−=+；方案二：13363680%14.486.42y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭；（2）解：由（1）可知：当两种方案的费用一样多时，则有：185414.486.4x x +=+，解得：9x =，∴当9x =时，两种方案一样多；当39≤<x 时，方案一更优惠；当9x >时，方案二更优惠；（3）解：由（2）可知：当学生人数为9人时，方案一和方案二的费用一样多，费用即为18954216⨯+=（元）， ∵288216>，∴应选择方案二更优惠，∴14.486.4288x +=，解得：14x =；答：学生人数为14人．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 9．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）河南某景区为了发展旅游，吸引游客，推出了两种优惠方案（设购买门票的张数为x 张，费用为y 元）方案一：充值500元购买年卡，每张门票80元．方案二：每张门票的单价按图中的折线OAB 所表示的函数关系确定．某单位准备组织员工到该景区旅游．(1)当购买15张门票时，按方案一和方案二分别应花费多少钱？(2)求方案二中y 关于x 的函数关系式，并写出折线OAB 所表示的实际意义．(3)该单位选择哪种购买方案更划算？【答案】(1)按方案一应花费1700元；按方案二应花费1500元(2)()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩；折线OAB 所表示的实际意义见解析 (3)见解析【分析】（1）方案一：用每张门票的费用乘以购买的数量再加上年卡的费用计算即可，方案二：根据图象作答即可；（2）当015x ≤≤时，设y ax =；当15x >时，设y kx b =+．由待定系数法即可求解；（3）分类讨论当0x ≤15≤和15x >的情况，即可求解．【详解】（1）解：当购买15张门票时，按方案一应花费50080151700+⨯=（元）；按方案二应花费：1500元．（2）解：当015x ≤≤时，设y ax =．将(15,1500)代入，得150015a =．解得100a =．∴100y x =．当15x >时，设y kx b =+．将(15,1500)，(30,2850)代入，得151500302850k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得90150k b =⎧⎨=⎩．∴90150y x =+．∴方案二中y 关于x 的函数关系式为()10001590150(15)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩ 折线OAB 所表示的实际意义为若购买门票的张数不大于15时，则每张的价格是100元；若购买门票的张数大于15时，则每张的价格是90元．（3）解：方案一中:150080y x =+．当0x ≤15≤时，50080100x x +>．∴选择方案二划算．当15x >时，令500+8090150x x >+，解得35x <．∴1535x <<时，选择方案二更划算．令5008090150x x +=+，解得35x =．∴35x =时，选择两种购买方案一样划算．令50080x +<90150x +，解得35x >．∴35x >时，选择方案一更划算．∴当购买门票张数35x <时，该单位选择购买方案二更划算；当购买门票张数35x =时，该单位选择两种购买方案一样划算；当购买门票张数35x >时，该单位选择购买方案一更划算．10．（2023秋·山东济南·八年级山东省济南稼轩学校校考期中）在A、B 两地之间有服务区C ，甲车由A 地驶往服务区C ，乙车由B 地驶往A 地，两车同时出发，匀速行驶，如图是甲、乙两车分别距离服务区C 的路程1y 、2y （单位：千米）与乙车行驶时间x （单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：(1)甲车的速度是________千米/时；。

函数模型及其应用一、基础知识1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；(7)幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与y轴平行随x的增大，逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x幂函数模型y＝x n(n>0)可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n>1)时，增长较快.考点一二次函数、分段函数模型[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解](1)设每团人数为x，由题意得0<x≤75(x∈N*)，飞机票价格为y元，则y ，0<x≤30，－10(x－30)，30<x≤75，即y，0<x≤30，200－10x，30<x≤75.(2)设旅行社获利S元，则Sx－15000，0<x≤30，200x－10x2－15000，30<x≤75，即Sx－15000，0<x≤30，10(x－60)2＋21000，30<x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0,30]上为增函数，故当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000，x∈(30,75]，所以当x＝60时，S取得最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．[解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小．(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)，0<x≤A，＋B(x－A)，x>A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m 319元若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元解析：选A根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )，0<x ≤5，＋12(x －5)，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000＋500003，所以当x ＝1003y min ＝500003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解](1)由题图，设y 0≤t ≤1，a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由－a ＝4，得a ＝3.所以y 0≤t ≤1，－3，t >1.(2)由y ≥0.25≤t ≤1，t ≥0.253≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I为声强(单位：W/m2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝得Y＝10lg106＝60(分贝)．(2)当Y＝0时，由公式Y＝得0.∴I10－12＝1，即I＝10－12W/m2，则最低声强为10－12W/m2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()A．4B．5.5C．8.5D．10解析：选C由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－＋1210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为()A ．13立方米B ．14立方米C ．15立方米D ．16立方米解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝x ，0≤x ≤10，＋5(x －10)，x >10，即y x ，0≤x ≤10，x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为()A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4000x －30，则yx≥2x 10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是()A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物．∵P ＝P 0e －kt ，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得－kt ＝ln 0.01，＝ln 0.01，∴t ＝10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析＝k ＋b ，＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s2，t ∈[0，10]，t －150，t ∈(10，20]，t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．。