124一次函数模型的应用

专题3.4函数的应用1．一次函数模型的应用一次函数模型：f (x )=kx +b (k ,b 为常数，k ≠0).一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.2．二次函数模型的应用二次函数模型：f (x )=+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0).二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型.3．幂函数模型的应用幂函数模型应用的求解策略(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.4．分段函数模型的应用由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用.5．“对勾”函数模型的应用对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y =ax +(a >0,b >0)，当x >0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运一、单选题1．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ()22,12222,1x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩易知函数()y f x =的图象的分段点是1x =，且过点()1,0，()0,1，又()0f x ≥，故选：B ．2．设函数()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．()1,+∞C ．[)1,+∞D ．(),1-∞【答案】D 因为()2,01,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时，()2xf x -=显然单调递减；当0x >时，()2f x x =-也是单调递减；且()002101f ==-=，即函数图像连续不断，所以()f x 在其定义域上单调递减，由()()12f x f x +<可得12x x +>，解得1x <.故选：D.3．根据表格中的数据，可以断定方程(2)0( 2.72)x e x e -+=≈的一个根所在的区间是（）x －10123ex 0.371 2.727.4020.12x ＋212345A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)【答案】C【解析】设函数()(2)0x f x e x =-+=，(1)0.3710,(0)120,(1) 2.7230f f f -=-<=-<=-<，(2)7.4040f =->，∴(1)(2)0f f <，又()(2)x f x e x =-+在区间(1，2)连续，∴函数()f x 在区间(1，2)存在零点，∴方程根所在的区间为(1，2)，故选：C.4．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩,若实数(0,1)m ∈,则函数()()g x f x m =-的零点个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】令()()0g x f x m =-=，得()f x m =，根据分段函数()f x 的解析式，做出函数()f x 的图象，如下图所示，因为(0,1)m ∈，由图象可得出函数()()g x f x m =-的零点个数为3个，故选：D.5．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：h ）之间的关系如图所示，令()C t 表示时间段[]0,t 内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），则()C t 与t 之间的函数图像大致是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题图看出，0=t 时，()0C t =，排除B ；在[]0,4上，()C t 不断增大，在[]4,8上，()C t 先是一个定值，然后增大，在[]812，上，()C t 不断增大，在[]1220，上，()C t 是个定值，在[]20,24上，()C t 不断增大，故选D.6．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离S与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是A．甲是(1)，乙是(2)B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2)D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【解析】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中y随x的变化比乙后一半路程y随x的变化要快，所以甲为(1)，乙为(4)．故选：B．7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元B．513.7元C．546.6元D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为168200<，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为5000.9450423⨯=>，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为4234700.9=元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款(638500)0.75000.9546.6-⨯+⨯=元，故选C8．给下图的容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：（）．A ．B ．B ．C ．D ．【答案】B 试题分析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀的注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图像中只有B 项符合特点二、解答题9．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：x 10202530()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:()|25|Q x a x b=-+代入数据可得：11010251202025a b a b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）(3)由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**10010125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩，所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121；当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数，所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124，综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒【答案】(1)()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，由已知得2000,2060,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数()v x 的表达式为()60,020,()1200,202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；(2)依题意并由(1)可得()260,020,()1200,202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20＝1200；当20200x <≤时，()21()100100003f x x ⎡⎤=---⎣⎦，∴当100x =时，()f x 在区间(20，200]上取得最大值1000033333≈，∵3333＞1200，∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．11．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4)【答案】(1)8天(2)1.6【解析】(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．(2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦，∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤，∴y a的最小值为24 1.6-．12．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】(1)()()108f x x x =≥，())0g x x =≥(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元【解析】(1)依题意：可设()()10f x k x x =≥，())0g x k x =≥，∵()1118f k ==，()2112g k ==，∴()()108f x x x =≥，())0g x x =≥.(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，年收益为y 万元，依题意得：()()20y f x g x =+-，即)0208x y x =+≤≤，令t =则220x t =-，0,t ⎡∈⎣，则22082t t y -=+，0,t ⎡∈⎣()21238t =--+，所以当2t =，即16x =万元时，收益最大，max 3y =万元.13．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．(1)将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；(2)当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】(1)3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈(2)当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】(1)由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.(2)由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.14．已知函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数.(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)()2f x x -=;(2)函数()f x 为偶函数;(3)()f x 在()0,∞+上单调递减,证明见解析.（1）因为函数()()21322m f x m m x -=-+是幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，故()2f x x -=．（2）函数()2f x x -=为偶函数．证明如下：由（1）知()2f x x -=，其定义域为{}0x x ≠关于原点对称，因为对于定义域内的任意x ，都有()()()()222211f x x x f x xx ---=-====-，故函数()2f x x -=为偶函数．（3）()f x 在()0,∞+上单调递减．证明如下：在()0,∞+上任取1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()()221212221211f x f x x xx x ---=-=-()()2221212122221212x x x x x x x x x x -+-===，()12,0,x x ∈+∞且12x x <，222121120,0,0x x x x x x ∴-<+>>，()()12f x f x >()f x ∴在()0,∞+上单调递减.。

【关键词】数学教学；一次函数模型；应用【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2020）21—0185—01函数是数学知识与实际问题联系的纽带，因此，构建一次函数模型解决实际问题，既符合学生的认知规律，又符合数学课程标准提倡的教学理念。

那么，如何构建函数模型来解决实际问题呢？下面，笔者结合教学实际，谈谈自己的体会和看法。

一、认知一次函数模型自变量x和因变量y之间满足函数关系：y=kx+b（k、b是常数，k≠0），自变量x需要根据实际问题进行确定。

例1汽车从甲地驶向乙地，先行驶了90km.经休整，再次出发后以70km/h 的速度继续行驶t小时到达乙地。

求汽车离开甲地所行驶的路程S（km）和时间t（h）之间满足的函数关系。

解析：1.分析题目信息（1）汽车已经行驶了90km；（2）再次出发后以每小时70km的速度行驶；（3）汽车又行驶70t km；（4）汽车共行驶（70t+90）km2.构建一次函数模型：S=70t+90。

二、利用待定系数法构建一次函数模型引导学生剖析实际问题中的数量关系，明确两个变量之间是否满足y= kx+b.若满足，则可以利用待定系数法构建一次函数模型，解决实际问题。

例2男士衬衫的号/型和码数的对应关系如下：（1）设x为净胸围，y为男士衬衫的码数，试求y与x的函数关系。

（2）若某同学的净胸围是112cm，则该同学应买多大号码的衬衫？解析：本题在明确函数关系的基础上，应用待定系数法构建函数模型。

（1）分析表中数量关系：∵人的净胸围从84到100，且每增大4个单位，则衬衫号码增大1码。

∴衬衫的号码与人的净胸围之间呈线性变化，符合一次函数模型。

用待定系数法：把x=84、y=38和x=88、y=39两组数值代入y=kx+b，可得k=0.25、b=17∴修正后的函数模型：y=0.25x+17。

（2）把该同学的净胸围112代入函数模型，得y=0.25×112+17=45∴该同学可选购45码的衬衣。

一次函数模型及应用一次函数模型是指含有一次幂的函数，可以用以下形式表示：y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一次函数又称为线性函数，其与直线的关系密切。

一次函数模型广泛应用于实际生活中各个领域，下面将以几个具体的实际例子来说明一次函数模型的应用。

第一个例子是汽车的油耗问题。

假设某辆汽车在行驶时，每小时的平均油耗为k 升，初始油量为b升。

那么在x小时后，油量为y升的关系可以用一次函数模型来表示：y = -kx + b。

其中负号表示油量在不断减少。

这个模型可以帮助我们预测在车速不变的情况下，汽车在行驶x小时后的剩余油量。

通过测量汽车不同车速下的油耗数据，可以确定k的值，并通过初始油量来确定b的值。

在实际生活中，这个模型可以帮助我们合理安排加油时间，避免油量不足造成的困扰。

第二个例子是商品价格的变化。

假设某商品的价格在每个月都以恒定的速度上涨，每月涨价k元。

初始价格为b元。

那么在x个月后，商品价格为y元的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过测量商品连续几个月的变价趋势，可以确定k的值，并通过初始价格来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几个月内商品价格的变化情况，帮助消费者做出购买决策。

第三个例子是人口增长问题。

假设某地区的人口在每年都以固定比例的速度增长，每年增长k人。

初始人口数量为b人。

那么在x年后，人口数量为y人的关系可以用一次函数模型来表示：y = kx + b。

通过观察人口连续几年的增长情况，我们可以确定k的值，并通过初始人口数量来确定b的值。

这个模型可以用来预测未来几年内人口的增长趋势，对于城市规划和社会发展具有重要意义。

以上三个例子只是一次函数模型在实际应用中的几个常见例子，实际上一次函数模型在各个领域都有广泛的应用。

在经济学中，一次函数模型被用来研究需求和供应的关系，分析市场价格的变化。

在物理学中，一次函数模型被用来描述物体的速度、加速度和位移之间的关系。

沪科版八年级数学上124综合与实践一次函数模型的应用教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

12.4综合与实践教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

1.在具体情景中，会建立一次函数模型，并会运用所建立的模型进行预测.2.分析变量间的关系，抽象出函数模型.3.培养学生观察、比较、合作、交流、探索的能力.教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

国际奥林匹克运动会早期，撑杆跳高的纪录近似地由下表给出：年份高度(米)19003.3319043.5319083.73上表中每一届比上一届的纪录提高了0.2米,可以试着建立一次函数模型.(均匀变化)用t表示从1900年起增加的年份,则在奥运会早期,撑杆跳高的纪录y(米)与t的函数关系式为y=kt+b教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

解析：当t=0时,y=3.33米,b=3.334k+b=3.53解之得于是k=0.05t=4时,y=3.53米,(1)(2)因此得b=3.33y=0.05t+3.33(D)这个公式(D)就是奥运会早期撑杆跳高纪录y与时间t的函数关系式.教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

1.你能利用公式(D)预测1912年奥运会的撑杆跳高纪录吗解析：y=0.05某12+3.33=3.93(米)1912年奥运会撑杆跳高纪录的确约为3.93米.这表明用所建立的函数模型,在已知数据邻近作预测,是与实际事实比较吻合的.教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

2.能预测1988年的奥运会撑杆跳高纪录吗解析：y=0.05某88+3.33=7.73(米)实际上,1988年奥运会的撑杆跳高纪录是6.06米,远低于7.73米.这表明用所建立的函数模型,远离已知数据作预测是不可靠的.教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

【例1】全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万平方千米，沙漠面积200万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示.教材上的例题没有录入,请各位老师补充。

课题： 12.4 综合与实践一次函数模型的应用年级：八年级课型：新授活动课教材：义务教育教科书（沪科版）时间：2016-10-28 执教：刘正会（合肥阳光中学）教材分析：本节课的内容是综合与实践的活动课.由于前面学生已经学会了对生活中的统计数据进行初步的收集与整理，学会了对一次函数相关问题的解决，因此，用一次函数的模型来解决现实应用问题，有了一定的基本知识和能力储备.他们更需要的是经历探索的基本过程，获得数学活动意识、经验和方法，培养推理、归纳的能力，领悟活动课中所蕴含的基本数学思想方法.作为活动课，一定是学生主体在充分的自主体会、交流探究中获得感悟.教师只要通过有趣问题的引领，提出探究性、启发性的问题，就会将活动课中的重点难点内容转化成为过去已学知识.这将有利于高效学习的形成，有利于培养创新意识和创新能力.教学目标：1.经历根据用统计数据探究、画图、猜想，建立一次函数模型的过程，进一步获取学习一次函数的意识、经验和方法，培养推理能力和空间想象能力.2.会用待定系数法确定模型中的函数表达式，并用其解决问题；感受数学学习活动中的推理和归纳的方法，领悟数学学习中的转化、猜想、建模等基本思想.3.培养自主体会、探究思考、协作交流、互相倾听等良好的学习习惯.感悟学习和生活中的积极进取的价值观和为国争光的精神.教学重点：实际问题中数据转换成点的坐标并画图、猜想，建立一次函数模型.教学难点：选择适当的点建立模型中一次函数的表达式.教学方法：自主探究—观察比较—合作交流—猜想概括.学习方式：独立思考、自主探究基础上的合作交流.教学准备：教学课件三角板题板学案等.教学过程：一、引入探究:国家号召建设节约型社会，宝贵资源的浪费不仅是财富的流失，还会造成环境的危害。

提倡节约，反对浪费从小事做起。

比如，在自来水龙头未关紧的情况下，水池里的水的存量会越来越多，没多长时间水就会溢出。

问题：在这个滴水过程中有没有变量存在？若存在，它们分别是什么？哪个是自变量？哪个是因变量（函数）？所滴存的水量与滴水时间之间存不存在一种特殊的函数关系？如果把水龙头滴下的水量看做一个变量，这个变量会随着时间的改变发生怎么样的变化？若用量杯来测量单位时间水量的变化情况，能用量化的方式将所滴存的水量与滴水时间的关系探索出来吗？我们做一个实验来看一看：（出示问题1，进行探索…）（生活实践中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义.）问题1为了培养大家的环保意识，提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，学校“环保社”的两名同学合作做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为300毫升.实验时，每隔1分钟观察量筒中水的体积，记录的数据如下表（精确到1毫升）：操作：在下面的平面直角坐标系中描出表格中数据对应的点；思考：(1).根据图中点的分布特点，猜测这是什么样的函数的图象？求出其表达式并验证；(2).按此漏水速度，______小时后量筒中的漏水开始溢出.[设计理念]提出学生身边趣味性问题、探究性问题，易于活跃学生思维、吸引学生主体积极参与探索的积极性，提高课堂教学引入的有效性，让学生快速融入课堂活动中.培养学生参与数学活动的意识、习惯，获取参与的乐趣、经验和方法.体验收获基本知识、培养基本技能、积极参与过程的情感.思考：关注了身边的事，我们再把眼光投向世界体坛，你能否利用已学的知识解决下面问题？问题2奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破，如男子400m自由泳项目，1996年奥运会冠军的成绩比1960年的提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据：根据上面资料，能否估计2012年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩？请按下面步骤做，看能否达到目的？（1）上面给出的数据是奥运会上男子400m自由泳的冠军成绩.如果以1980年为原点，年份为x 轴（每4年为一个单位长度），成绩为y轴建立平面直角坐标系，即1980年该项目的冠军成绩在平面直角坐标系中的对应点为（0，213.31），1984年该项目的冠军成绩在平面直角坐标系中的对应点为（1,231.23）.请你在下表中写出其他各组数据在平面直角坐标系中的对应点的坐标：在下面的平面直角坐标系中描出对应点：（2）观察思考：由图中描出点的分布情况，根据已知条件来猜测x与y之间的函数形式（或“近似”的函数形式），并写出函数表达式；要确定一个一次函数表达式，只需要几个点坐标？这里，选用哪两点？[设计理念]引领学生关注：基本知识，基本技能，经历基本过程，获得数学活动意识、经验和方法；通过对函数模拟数据的综合统计，推理，归纳，领悟建立数据模型的基本思想和方法，在交流合作中获得将重点难点内容转化成为过去已学内容的感悟；探究性问题的引导学生放手自主体会，交流探究，既体现学生的主体性，又有利于培养创新意识和创新能力，提高课堂教学的有效性.（3）根据你建立的模型，估计2012年伦敦奥运会该项目的冠军成绩；2012年伦敦奥运会中国选手孙杨以220.14s的成绩打破男子400m自由泳项目奥运会纪录获得冠军，你对你预测的准确程度满意吗？[设计理念] 爱国、爱科学等情感教育和参与精神渗透.（4）能否用上述模型预测2016年里约热内卢奥运会该项目的冠军成绩？[设计理念] 数学应用于现实生活的教育.学习体会：通过本例，使我们认识到可以利用所学知识去研究一些不确定现象之间的规律性.这里用_____来模拟发展趋势的问题，任选两点画直线可以画出很多条直线，但如何确定哪条直线更合适，将在高中阶段进一步学习. 直线通过上面学习，我们可以知道建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列几个步骤完成：（1）将试验得到的数据在直角坐标系中描出；（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；（3）进行检验；（4）应用这个函数模型解决问题.二、归纳小结：1.这节课学习了哪些基本知识、获得哪些基本技能?2.这节课学习后，感悟到哪些基本数学思想方法?3.还有其它的收获吗？三、布置作业：必做题:《基础训练》第52页 1、2、3.选做题：请上网查查近几届奥运会中男子110m栏冠军的成绩，选择一个你认为恰当的函数应用模型预测一下2016年奥运会男子110m栏冠军的成绩.四、板书设计：五、教学反思：。

一次函数的应用例1、甲、乙两位同学住在同一小区，在同一中学读书，一天恰好在同一时间骑自行车沿同一线路上学，小区离学校有9km ，甲以匀速行驶，花了30min 到校，乙的行程信息如图中折线O –A –B -C 所示，分别用，表示甲、乙在时间x （min ）时的行程，请回答下列问题：1y 2y ⑴分别用含x 的解析式表示，（标明x 的范围），并在图中画出函数的图象；1y 2y 1y⑵甲、乙两人在途中有几次相遇？分别是出发后的多长时间相遇？2、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为 S 1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S 2 m,,图中折线OABD ，线段EF 分别是表示S 1、S 2与t 之间函数关系的图像（1）求S 2与t 之间的函数关系式：（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？练习：1、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程（千米）与所s 经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：t （1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。

（2）请你求出小明离开学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系;s t （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？2、小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．⑴小亮行走的总路程是____________㎝，他途中休息了________min ．⑵①当50≤x≤80时，求y 与x 的函数关系式；②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？例3、春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查1题发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．（1）求a的值．（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？练习：1、因长期干旱,甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值,为灌溉需要,由乙水库向甲水库匀速供水,20h后,甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉,又经过20h,甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉,再经过40h,乙水库停止供水.甲水库每个排灌闸的灌溉速度相同,图中的折线表示甲水库蓄水量Q(万m3)与时间t(h)之间的函数关系.求: (1)线段BC的函数表达式;(2)乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度;(3)乙水库停止供水后,经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值?2、星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数关系如图2所示．y x （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？（2）当时，求储气罐中的储气量（立方米）与时间（小时）的函数解析式；0.5x ≥y x （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．3、甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶．甲车先到达B 地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y （千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象．（1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A 到B 的行驶速度；（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A 、B两地的距离．)例4、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．(h)x (km)y y x 根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ；（2）请解释图中点的实际意义；B 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；BC y x x 问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？练习1、某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）y x 之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；x （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升．13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10五月份销售记录万升）（第2题）y2、在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与B 港的距离分别为、（km ），、与x 的函数关系如图所示．1y 2y 1y 2y （1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， ；a （2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．（第23题）甲乙。

12.4综合与实践一次函数模型的应用-教案一、教学背景（一）教材分析：本节内容是在学生已经学习了一次函数的图像和性质的基础上，进一步学习一次函数模型的应用，教材通过对问题①解决的过程探讨，归纳一次函数建模的一般步骤，让学生初步了解函数模拟方法和步骤，运用一次函数的知识解决简单实际问题.本课重点是函数建模的方法和一般步骤。

（二）学情分析：学生已具备的知识基础是知道一次函数的性质，会画一次函数的图像，以及画函数图像的一般步骤.会用待定系数法求一次函数解析式.但学生是第一次学习函数建模，对函数建模方法和一般步骤不了解.尤其是在描出散点图后，确定模拟函数会有一定的困难,需要在实际问题解决的过程中逐步引导和体会。

二、教学目标1．会结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法。

2．应用一次函数模型解决简单的实际问题。

3．学会分析问题、解决问题的一般方法；通过学生的思考和操作,培养学生初步的建模意识和方法。

三、教学重难点教学重点：会结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法。

教学难点：模拟函数的选择和应用函数模型解决简单的实际问题。

四、教学过程（一）回顾1.一次函数的图形和性质是什么?求一次函数的解析式的一般方法是什么?活动：先由各组学生独立思考，再讨论交流，回答问题，教师帮助学生统一答案。

设计意图：回顾已学的知识，为本节课的新知学习奠定知识基础和经验基础。

（二）新知学习1．预习导学阅读教材第57～58页的问题①，并思考问题（1）～(4)。

设计意图：培养学生自主学习能力，学会思考问题并解决问题.实践先学后教，以学定教的教学理念。

2．合作探究（1）通过“预习导学”部分对问题①中各项问题回答下列问题：①将表格中的数据在平面直角坐标系中描出对应点的目的是什么？②选择怎样的直线描述较合适？（2）函数建模过程一般步骤是什么？（3）通过问题①的解答过程你获得哪些经验？活动：以上问题在学生独立思考的基础上，小组内交流讨论，然后小组代表展示回答问题，师生共同统一答案。

生活中的一次函数模型实践研究在生活中，一次函数模型可以用来描述许多现实场景中的线性关系。

例如，在经济学中，可以使用一次函数模型来研究物价指数和工资的关系。

在工程学中，可以使用一次函数模型来研究物体的位置和时间之间的关系。

在农业科学中，可以使用一次函数模型来研究土壤温度和温度之间的关系。

在市场营销中，可以使用一次函数模型来研究广告投放量与销售额之间的关系。

在研究过程中，可以通过收集数据并使用回归分析来估计一次函数模型的参数。

然后，可以使用模型预测未来的数据值并使用残差分析来评估模型的精度。

总之，一次函数模型在生活中有着广泛的应用，能够有效地帮助我们理解和预测许多现实世界中的线性关系。