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线性代数-初等变换

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线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换

线性代数(第二版)第六节矩阵的初等变换
称为矩阵 A 的行(列)初等变换. 一般将矩阵的行、 列初等变换统称为矩阵的初等变换.
(2) 用非零常数 k 乘以 E 的第 i 行(列)，得到的 矩阵记作 P( i(k) ),
1
1
P (i(k ))
k
i行
1
1
i列
பைடு நூலகம்
(3) 将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行(或第 i 列的
(1) 对 A 进行一次行初等变换，相当于用一个m
阶的初等矩阵左乘 A ;
(2) 对 A 进行一次列初等变换，相当于用一个n
阶的初等矩阵右乘 A .
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明 .
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
的 第 j 行 的 k 倍 加 到 第 i 行 上 (不 妨 设 i < j )， 则 相 应
证 明 (1) 我 们 仅 对 第 三 种 行 初 等 变 换 进 行 证 明
将 矩 阵 A = ( a ij )m n 和 m 阶 单 位 矩 阵 E 按 行 分 块 为
A1
1
A
A2
,
E
1 0 0
则
P (1, 3 ( 3 ) ) T
0
1
0 P (3, 1(3) )
0 0 1
3 0 1
(2) 初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为 同类型的初等矩阵. 其中
P(i, j)1P(i, j)
P(i(k))1 Pik1
P (i,j(k)) 1P (i,j( k))
验证
0 1 0
0
0
0 0 1

线性代数-矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等⾏变换与三种初等列变换。

分别为：
对换变换，即i ⾏与j ⾏进⾏交换，记作r i <->r j ;数乘变换，⾮零常数k 乘以矩阵的第i ⾏，记作kr i ;倍加交换，矩阵第i ⾏的k 倍加到第j ⾏上，记作r j + kr i
对应关系换成列，即为三种初等列变换。

矩阵变换可以化简矩阵、解线性⽅程组、求矩阵的逆矩阵。

⾏阶梯形的定义：
1、对于⾏⽽⾔，若有零⾏，则零⾏均在⾮零⾏的下⽅；
2、从第⼀⾏开始，每⾏第⼀个⾮零元素前⾯的零逐⾏增加。

对于矩阵A，很显然符合⾏阶梯形的定义：
1234502456000070
对第⼀⾏作 r1 - r2 变换得到矩阵：
10−1−1−10245600007
继续作 0.5 r2 变换
10−1−1−10125/23000070
r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换10−1−100125/200000700000
1/7 r3 变换
10−1−100125/20000010
对于矩阵A mxn ，通过有限次初等变换可以转换成⾏阶梯形的形式。

A的最简形：⾮零⾏的第⼀个⾮零元素是1，且1所在的列，⾮零元素均为零。

显然最后⼀个⾏阶梯形矩阵符合A的⾏最简形定义。

A的标准型：左上⾓是⼀个r阶的单位矩阵，其余元素为零。

[
]
[
][
]
[][
]
Processing math: 100%。

线性代数矩阵的初等变换

线性代数矩阵的初等变换

r2 （ 2） 1
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 3.
1 3
如果要求Y CA1,则可对矩阵 A作初等列变换， C
A 列变换 E
C
CA1
,
即可得Y CA1.
也可改为对( AT ,CT ) 作初等行变换，
行变换
（AT , CT )
a23 a33
a11 a12 a13 a14
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
矩阵 A 的一个 2 阶子式
a12 a13 a22 a23
矩阵 A 的一个 2 阶子块
a12 a13
a22
a23
定义：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
口诀：左行右列. 定理3.2 设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
定理3.3 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r3 3r1 0 2 6 2 12
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 4 0 2 5 1 9 0 0 1 1 3
r1 2r3 1 0 0 3 2
r2 5r3
0 0
2 0 4 6 0 1 1 3

线性代数课件 矩阵的初等变换

线性代数课件 矩阵的初等变换



第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

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练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} -2 & -3 -4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第一 行乘以-2加到第二行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & -3 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行初 等列变换，将第一列乘以-3加到第二列，得 到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。因此，矩阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & -3 0 & 1 end{bmatrix}$。
具体操作为将第j列的每一个 元素都乘以k。
数学表达为$A_{.j} times k$ 。
用常数乘以矩阵的每一个元素
将矩阵的每一个元素都乘以常数k，记作$k times A$。 具体操作为将矩阵的每一个元素都乘以k。 数学表达为$k times A_{ij}$。
02 初等矩阵
单位矩阵
定义
单位矩阵是n阶方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。记作I 或E。
练习题与答案
题目
设矩阵$A = begin{bmatrix} 2 & -3 4 & -6 end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
VS
答案
首先，对矩阵$A$进行初等行变换，将第 二行乘以-2加到第一行，得到矩阵$B = begin{bmatrix} -2 & 3 4 & -6 end{bmatrix}$。然后，对矩阵$B$进行 初等列变换，将第一列乘以-4加到第二列 ，得到单位矩阵$I = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。因此，矩 阵$A^{-1} = begin{bmatrix} -2 & 3 0 & -6 end{bmatrix}$。

线性代数-矩阵的初等变换

线性代数-矩阵的初等变换

求解未知量
根据行最简形式的矩阵，直接求解出未知量 的值。
案例分析：具体求解过程展示
案例一
01
简单线性方程组求解过程展示，包括构造增广矩阵、进行初等
变换和求解未知量等步骤。
案例二
02
复杂线性方程组求解过程展示，涉及更多未知量和更复杂的增
广矩阵，展示如何利用初等变换求解该类问题。
案例三
03
含参数线性方程组求解过程展示，通过引入参数，展示如何对
含参数的线性方程组进行求解和分析。
04 初等变换在矩阵秩计算中 应用
矩阵秩定义及性质
矩阵秩定义：矩阵A中不等 于0的子式的最大阶数称为
矩阵A的秩，记作r(A)。
矩阵秩的性质
矩阵的秩是非负的，且等于 其行秩或列秩。
若矩阵A可逆，则r(A)=n， 其中n为A的阶数。
若矩阵A为0矩阵，则 r(A)=0。
初等变换与矩阵的等价关系
通过初等变换，我们可以得到与原矩阵等价的矩阵。这种等价关系在线性代数中具有重要意义，它揭示了矩 阵之间的一种本质联系。
初等变换在求解线性方程组中的应用
通过对方程组的增广矩阵进行初等变换，我们可以将方程组化为简化阶梯形式，从而方便地求出方程组的解。
对未来研究方向和趋势展望
深入研究初等变换的 性质和应用
条件
01
非零行的首非零元为1；
02
首非零元所在列的其他元素全 为零。
03
性质
最简形矩阵是唯一的；
对于任意行阶梯形矩阵，总可
04
05
以通过初等行变换化为最简形
矩阵。
06
行阶梯形与最简形矩阵，二者都可以通过初等行变换得到。
区别
行阶梯形矩阵只要求非零行的首非零元所在列的上三角元素全为零，而最简形矩阵还要求非零行的首非零元为1， 且所在列的其他元素全为零。因此，最简形矩阵比行阶梯形矩阵具有更简洁的形式。

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

线性代数--矩阵初等变换

线性代数--矩阵初等变换
有限次
2. 等价矩阵：若 Am×n → Bm×n , 称 Am×n 与 Bm×n 等价,
记作 Am×n ≅ Bm×n ．
(1) 自反性： A ≅ A
(2) 对称性： Am×n ≅ Bm×n ⇒ Bm×n ≅ Am×n (3) 传递性： Am×n ≅ Bm×n , Bm×n ≅ C m×n ⇒ Am×n ≅ C m×n 定理 1 Am×n ≅ Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
(1) r = n 时, 方程组(3.4)成为
x1 = d1 , x2 = d 2 , …, xn = d n
得到方程组的唯一解．
(2) r < n 时, 方程组(3.4)成为
第三章 矩阵的初等变换
7
⎧ x1 = d1 − b1,r+1 xr+1 − L − b1n xn ⎪⎪⎪⎨Lx2L=Ld 2 − b2,r+1 xr+1 − L − b2n xn ⎪⎩ xr = d r − br,r+1 xr+1 − L − brn xn
第三章 矩阵的初等变换
3
1次
证 只需证明 Am×n → Bm×n ⇒ rankA = rankB ．
仅证行变换之(3)的情形：设 rankA = r , 证明
⎡L⎤ ⎡ L ⎤
⎢⎢α i
⎥ ⎥
ri
+
krBiblioteka j⎢⎢αi
+
kα
⎥ j⎥
A = ⎢L⎥ → ⎢ L ⎥ = B ⇒ rankB ≤ rankA
⎢⎢α
−2
−2
− 2⎥⎥
⎢⎣− 1 − 2 − 1 − 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 2 2 2⎥⎦
⎡1 2 3 4 5⎤ ⎡1 2 0 1 2⎤

线性代数—矩阵的初等变换

线性代数—矩阵的初等变换

1 0 B= 0 0
2 1 0 0
0 4 r − 2r 2 0 1 1 1 − 1 0 0
1 0 0 0
2 1 0 1 =C 0 1 −1 0 0 0 0 0
这种特殊的行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵． 一般地，满足下列条件的行阶梯形矩阵称为 行最简形矩阵： (1)各非零行的首非零元素是1； (2) 每个首非零元素所在列的其它元素都是零．
这表明：用初等矩阵E[i,j(k)]左乘A恰好等于把A 的第j行的k倍加到第i行上. 对于其它两种初等行变换以及定理的(2)，可以 类似地进行证明．
例2.20 设
3 1 0 A = − 1 1 2 1 0 1
,而
0 1 0 E 3 (1,2) = 1 0 0 0 0 1
3 3 7 2
1 1 2 0 0 1 r3 − 5r2 0 5 − 2 r4 + 2r2 0 − 2 − 4
1 r2 × 3
3 1 7 2
1 0 → 0 0
2 1 0 0
1 0 −2 −4
3 r 2r 1 4 − 3 0 1 r ×− 1 0 2 3 2 0 4
于是
ε1 ε1 A A1 M M M ε + kε (ε + kε )A A + kA j j j i i i E[i, j(k)]A = M A = M = M = B ε j ε j A Aj M M M εm εm A Am
ε i = (0, L ,0,1,0, L ,0) ( i = 1,2, L , m )

线性代数-线代2-05

线性代数-线代2-05

初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回 代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 ，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（ 某i一 行 第 行k ,记 所 乘 有 kr i倍 作 k 元 ） 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是 数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称 为行标准形。
• 例 ：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0

《线性代数》第2章⑶初等变换与初等矩阵

《线性代数》第2章⑶初等变换与初等矩阵

因为 | A | 0
所以
| A | k | I |
A
上三角阵
对角阵
单位阵
6/2
三．用初等变换法求逆矩阵
1.模型：
( A I ) I A ） （
一系列初等行变换
1
当 A I 则 I A 1 说明：在矩阵 A 的右边并上一个单位阵 I ，对
A
,
施加一种变换同时对 I 也施加同种变换，待
2 3 1 5 0 [3] 0 5
2 1 0 0 2
4 6 1 2
1 0 2 1 1 1 3 2
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1
3 4 1 0 0 5 6 2 1 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 [1 / 3] 4 / 3 1 / 3 5 / 3 3 4 1 0 0 0 1 5 6 2 1 0 0 0 1 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1 4 1 5 3
1
A变为 I
原先所并的 I 随即变为 A 。相当于将 A I 时，反向
将 IA 。 2.步骤：自上而下、由左向右将
1
A
变为上三角阵,
再自下而上、由右向左将上三角阵化为单位阵。即
7/2
①首先将 a11 调整或化为1，继而将其下方元素化 为0；以次类推，分别依次将 a22 ,, ann 化为1，并 将其下方化为0。 ②反之，再依次将 ann , an1,n1 ,, a22 上方元素化 为0即可。 1 2 3 例1：设 A 4 5 6 问 A 1 是否存在？ 7 8 9 解：运用初等变换法，得
22 6 26 17 20 13 17 5 1 A 1 0 2 1 4 1 5 3

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵

伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵

线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵
记作ri krj）. 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号
是把“r”换成“c”)．
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 2 初等变换．
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛.
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
a13 a23
a12 a22
5
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c2
c3
a11 a12
a13 a23
a12 a22
用 m 阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘 A (aij )mn，得
a11
a12
a1n
Em
(i
,
j)
A
a j1
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
1
0
c1
2c3
0
1
0 E(3,1(2))
0 0 1
2 0 1
1 2
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
a23
a13 2a13
a11 a21
a12 a22
a13 a23
r2 2r1
a21
a11 2a11
a12 a22 2a12
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列

初等变换内容总结

初等变换内容总结

初等变换内容总结初等变换是线性代数中的重要概念，它是指通过一系列基本操作来改变矩阵的形态。

在本文中，我们将以人类的视角来描述初等变换的内容，并探讨其在实际问题中的应用。

一、初等变换的概念及基本操作初等变换是指通过三种基本操作对矩阵进行变换，这三种基本操作分别是：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）。

这些操作可以改变矩阵的行列式、秩以及解的个数。

二、初等变换的应用初等变换在线性方程组的求解、矩阵的求逆以及线性相关性的判断等问题中都有广泛的应用。

下面我们将分别介绍这些应用。

1. 线性方程组的求解通过初等变换，我们可以将线性方程组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。

通过交换行、乘以非零常数、行的倍数加到另一行等操作，我们可以将方程组转化为更加简单的形式，使得解的求解更加方便。

2. 矩阵的求逆通过初等变换，我们可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求得其逆矩阵。

逆矩阵在计算机图形学、电路分析等领域中有着重要的应用。

3. 线性相关性的判断通过初等变换，我们可以判断向量组的线性相关性。

通过将向量组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，我们可以得到向量组的秩，从而判断其线性相关性。

三、初等变换的实例分析为了更好地理解初等变换的应用，我们将通过一个实际问题进行分析。

假设有一家电子公司生产A、B、C三种产品，每天生产的数量分别为a、b、c。

已知每个产品的销售价格分别为x、y、z，该公司每天的总收入为ax+by+cz。

现在，该公司决定调整产品的生产数量，以提高总收入。

通过初等变换，我们可以得到以下结论：- 如果将A产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加x个单位。

- 如果将B产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加y个单位。

- 如果将C产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加z个单位。

基于以上分析，我们可以优化产品的生产方案，使得总收入最大化。

通过初等变换，我们可以得到一个线性规划问题，进一步求解出最优解。

《线性代数》第五节初等变换初等矩阵

《线性代数》第五节初等变换初等矩阵

1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，

线性代数 初等变换

线性代数 初等变换

四、初等变换与初等矩阵定义7 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：⑴交换矩阵中两行的位置（交换第j i ,两行，记为j i r r ↔）；⑵用一个非零数去乘矩阵某一行中的每一个元素（用0≠k 乘第i 行，记为i kr ）； ⑶把某一行中所有元素的相同倍数加到另一行对应的元素上去（把第i 行的k 倍加到第j 行，记为i j kr r +）。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵。

当矩阵A 经过初等行变换变成矩阵B 时，就写成B A →。

为了明确是经过了哪些变换使A 变成了B 的，还可以把所作变换的记号依次标注在符号“→”的上、下方。

比如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--312104101201312120122402112212r r r 表示先用21乘左边矩阵的第一行，再把所得第一行的2-倍加到第二行，从而得到了右边的矩阵。

如果元素不全为零的行（称为非零行）全都处在矩阵的上部，并且各非零行第一个（左起，下同）非零元素所在的列从上到下逐行右移，这样的非零矩阵称为阶梯型矩阵（指每一行形成一级“阶梯”）。

如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300120101，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210001120021121及⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001210都是阶梯型矩阵。

各非零行第一个非零元素所在的列，除了该行上的元素是1，其余的元素都是零的阶梯型矩阵，称为行最简矩阵。

如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21000230100230021和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010000210都是行最简矩阵。

定理1 用初等行变换不仅可将任何非零矩阵化成阶梯型矩阵，还可进一步化成行最简矩阵。

证 考察矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，只要其第一列的元素12111,,,m a a a 中有一个不为零，通过交换两行的位置，就能使第一列的第一个元素不为零，然后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当倍数，使第一列除去第一个元素外全是零。

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1）行阶梯形矩 阵2）各非零行的首非零元均为1.
3）首非零元所在列其它元素均为０.
如
0 1 2 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
行最简形矩阵一般形式
[ j1]
[ j2 ]
[ jr ]
0
01
0
0
1
若首非零列第1行元素为0，可调换行使其不为0 )
利用初等行变换将A化为A1，
a11
a12
A1
0
a22
0 am1
a1n
a2n
amn
a22
令B
am1
a2n
amn
按上述方法继续下去，可将A化为行阶梯形矩阵.
用类似方法可将A化为行最简形矩阵,得出
定理2 对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换 将其化为行最简形矩阵.
0
1
0
0
* 1
*
2
*
r
0
0
3.标准形矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为标准形矩阵：
1）若有非零元,则左上角为单位矩阵；
２）其它元素均为０.
1 0 0 0
如
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0 0
0
1
0
0 0 1
0
0
0
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
1 0 0 0 0
1 j1j2 … jr n (注:若r2,从第2行起,各非零行的首非零元的列标,
大于前一行首非零元的列标.) .
如
2 1 2 1
0 1 2 1
0 0
0 0
0 0
5 0
0
1
1
0 0 1
0
0
0
1
2
5
1 2
0 0 0 2
0
0
0
0
下列矩阵是否是行阶梯形矩阵？
1 2 3 4
1 5
1 3
0
6
A1
0
3 3
4
3
1 1 2 1 4
由上页
A2
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
0 0 0 0 0
r2 r3 r1 r3
1 1 2 0 7
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
1 0 1 0 4
r1 r2
0 0
1 0
1 0
0 1
3
3
A En.
二、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵
右侧矩阵特点：
（1）、可画出一条阶 梯线，线的左下方全 为零；
（2）、每个台阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0
1
1
0
3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
0
4
3
r4 4r2 0 0 0
1 4
1
8
A2
0
0
0
4
8
1 6 4 1 4
由上页
A2
0 0
4 0
3 0
1
1
4 8
0
0
0
4
8
r4 r3
1 6 4 1 4
0
4
3
0 0 0
1 4
1 8
A3
0
0
0
0
0
A3 为所求的行阶梯形矩阵.
2.行最简形矩阵
称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：
A)
0 0 0 0
0 0
0 0
1 0
2 0
1 2 3 4
D)
0 2 0 1
0 0
2 0
1 0
2 1
1 2 3 4
B)
0 0 0 1
0 0
0 0
1 0
2 0
1 0 0 4
E)
0 1 0 1
0 0
0 0
1 0
02
1 2 3 4
C)
0 2 0 2
0 0
0 0
3 0
2 0
1 0 0 0
F)
0 1 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
行阶梯形矩阵一般形式
0
0 b1 j1
b1 j2
b2 j2
b1 jr
*
b2 jr
*
brjr
*
0
0
0
0
例1. 设
3 2 0 5 0
A
3
2
3
6 1
2 0 1 5 3
1
6
4 1
4
将矩阵A用初等行变换化为行阶梯形矩阵,
1 6 4 1 4
A
r1 r4
0
0
A4
0 0 0 0 0
A2 , A3 依次为 行阶梯形和行最简形矩阵,
最后得到的矩阵 A是4 标准形。
定理1 对于任何矩阵A,总可经过有限次初等行变换
将其化为行阶梯形矩阵.
证:
设
A
a11 a21
a12 a22
am1 am1
a1n a2n
，
amn
(1) 当A 0，即为行阶梯形矩阵; (2)当A 0，不妨设a11 0，(若第1列全为0，则取首非零列,
记作c i
kc j）.
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
对于每种初等行变换,将一个矩阵经初等行变换后得到的新 矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同.
(1) ri rj
其逆变换为:
ri rj;
1 2 3
3 5 9
例如
2
3
4 5
7
9
r1 r3
2
1
4 2
2
3
例如
2
4
7
r2 2
2
2
42
7
2
3 5 9
3
5
9
3 把某一行的每个元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（例如第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
例如
1
2
2 4
3 7
r3 2r2
1 2
2
3
4
7
3 5 9
3 2 2 5 4 2 9 7 2
一、初等行(列)变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 互换两行（互换i , j 两行,记作ri rj）；
1 2 3 3 5 9
例如
2
4
7
r1 r3
2
4
7
3 5 9
1 2 3
2以数 k 0 乘以某一行的所有元素
（例如第 i 行的每个元素乘 k,记作 ri k）；
1 2 3 1
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
标准形矩阵一般形式
若矩阵有非零元,矩阵的左上角为单位矩阵,若有 其余元素,均为0.
如
Er
O
O
O
注: 将零矩阵作为标准形的一个特例.
利用初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵. 利用初等行变换，可把矩阵化为行最简形矩阵. 利用初等变换可把矩阵化为标准形矩阵.
7
3
3 5 9
1 2 3
2
4
7
r1 r3
2
4
7
1 2 3
3 5 9
(2) ri k
其逆变换为:
1 2 3
1
2
3
例如
2
4
7
r2 2
2
2
42
7
2
3 5 9
3
5
9
1 ri ( k ) ;
1
2
3 1 1 2 3
2
2
42
7
2
r2 2
2
4
7
3
5
9
3 5 9
同理,对于每种初等列变换,将一个矩阵经初等列变换后得到 的新矩阵,再经逆变换还原到原矩阵,其逆变换与其类型相同. (将初等行变换所用记号中的“r”换成“c”)．
定义：如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B 等价，记作A B
矩阵之间的等价关系具有下列性质：
（1） 反身性 A~A;
（2）对称性 若 A~B; 则 B~A; （3）传递性 若 A~B , B~C 则 A~C .
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
A
1
1 2
1
4
r1
r2
2
1
1
1
2
4
3
6 6
2 9
2 7
4
9
r3 2 2
3
3 6
1 9
1 7
2
9
r2 r3 r3 2r1
1
0
1 2 2 2
1 2
4
0
r4 3r1