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初中数学竞赛专题1——整数的基本性质1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】1#0#1#4#A三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则+X2+2X3=47×2 ①XX2+X3+2X1=61×2 ②X3+X1+2X2=60×2 ③由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10.所以X1-X3=28.【答案】A【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法.2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】2#0#1#4#B三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数}A．30 B．31 C．32 D. 33【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小.【答案】B【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数.【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.3.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】3#0#1#4#B从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它们的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列中，第1998个数是( )A. 2662 B．2664 C. 2665 D．2666【分析】依题意设这个数为x，x≥1，且x=(a+b)(a-b)（a、b是自然数且a＞b）。
初中数学知识树一、数的认识1. 整数（1）正整数、零、负整数（2）整数的基本性质2. 分数（1）真分数、假分数、带分数（2）分数的基本性质3. 小数（1）小数的意义（2）小数的性质二、数的运算1. 加法（1）整数加法（2）分数加法（3）小数加法2. 减法（1）整数减法（2）分数减法（3）小数减法3. 乘法（1）整数乘法（2）分数乘法（3）小数乘法4. 除法（1）整数除法（2）分数除法（3）小数除法5. 混合运算（1）加减混合运算（2）乘除混合运算（3）加减乘除混合运算三、方程与不等式1. 一元一次方程（1）方程的概念（2）解一元一次方程的方法2. 一元一次不等式（1）不等式的概念（2）解一元一次不等式的方法四、几何图形1. 点、线、面（1）点、线、面的概念（2）点、线、面的性质2. 平面图形（1）三角形（2）四边形（3）圆3. 立体图形（1）长方体（2）正方体（3）圆柱（4）圆锥五、概率与统计1. 概率（1）概率的概念（2）概率的计算方法2. 统计（1）平均数（2）中位数（3）众数（4）方差（5）标准差六、数学应用1. 实际问题求解（1）应用题的解题思路（2）应用题的解题方法2. 数学建模（1）数学建模的概念（2）数学建模的步骤（3）数学建模的应用七、数学思维与能力培养1. 抽象思维（1）抽象思维的概念（2）抽象思维的培养方法2. 逻辑思维（1）逻辑思维的概念（2）逻辑思维的培养方法3. 创新思维（1）创新思维的概念（2）创新思维的培养方法八、数学学习方法与技巧1. 课堂学习（1）认真听讲（2）做好笔记（3）积极参与讨论2. 课后复习（1）及时复习（3）做习题巩固3. 考试技巧（1）合理安排时间（2）仔细审题（3）规范答题九、数学竞赛与拓展1. 数学竞赛（1）数学竞赛的意义（2）数学竞赛的准备（3）数学竞赛的参赛技巧2. 数学拓展（1）数学拓展的意义（2）数学拓展的方法（3）数学拓展的实践十、数学与生活1. 数学与生活（1）数学在生活中的应用（2）数学与生活的关系2. 数学与科技（1）数学在科技中的应用（2）数学与科技的关系3. 数学与艺术（1）数学在艺术中的应用（2）数学与艺术的关系初中数学知识树一、数的认识1. 整数（1）正整数、零、负整数（2）整数的基本性质2. 分数（1）真分数、假分数、带分数（2）分数的基本性质3. 小数（1）小数的意义（2）小数的性质二、数的运算1. 加法（1）整数加法（2）分数加法（3）小数加法2. 减法（1）整数减法（2）分数减法（3）小数减法3. 乘法（1）整数乘法（2）分数乘法（3）小数乘法4. 除法（1）整数除法（2）分数除法（3）小数除法5. 混合运算（1）加减混合运算（2）乘除混合运算（3）加减乘除混合运算三、方程与不等式1. 一元一次方程（1）方程的概念（2）解一元一次方程的方法2. 一元一次不等式（1）不等式的概念（2）解一元一次不等式的方法四、几何图形1. 点、线、面（1）点、线、面的概念（2）点、线、面的性质2. 平面图形（1）三角形（2）四边形（3）圆3. 立体图形（1）长方体（2）正方体（3）圆柱（4）圆锥五、概率与统计1. 概率（1）概率的概念（2）概率的计算方法2. 统计（1）平均数（2）中位数（3）众数（4）方差（5）标准差六、数学应用1. 实际问题求解（1）应用题的解题思路（2）应用题的解题方法2. 数学建模（1）数学建模的概念（2）数学建模的步骤（3）数学建模的应用七、数学思维与能力培养1. 抽象思维（1）抽象思维的概念（2）抽象思维的培养方法2. 逻辑思维（1）逻辑思维的概念（2）逻辑思维的培养方法3. 创新思维（1）创新思维的概念（2）创新思维的培养方法八、数学学习方法与技巧1. 课堂学习（1）认真听讲（2）做好笔记（3）积极参与讨论2. 课后复习（1）及时复习（3）做习题巩固3. 考试技巧（1）合理安排时间（2）仔细审题（3）规范答题九、数学竞赛与拓展1. 数学竞赛（1）数学竞赛的意义（2）数学竞赛的准备（3）数学竞赛的参赛技巧2. 数学拓展（1）数学拓展的意义（2）数学拓展的方法（3）数学拓展的实践十、数学与生活1. 数学与生活（1）数学在生活中的应用（2）数学与生活的关系2. 数学与科技（1）数学在科技中的应用（2）数学与科技的关系3. 数学与艺术（1）数学在艺术中的应用（2）数学与艺术的关系在探索数学的旅程中，我们不仅要掌握基础的知识点，还要学会如何灵活运用这些知识解决实际问题。
整数的性质及应用（一） 奇数与偶数全体整数可以分为两大类,一类是奇数，一类是偶数。
任何一个整数不是偶数就是奇数，奇数和偶数，有以下几条性质：一、性质1：任何奇数不可能与偶数相等。
性质2：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数性质3：奇数X 奇数=奇数 奇数X 偶数=偶数 偶数X 偶数=偶数性质4：整数a 的a n 幂与a 的奇偶性相同 性质5：两个连续整数的积是偶数。
二、例题：例1.设4个正整数之和为9，求证：它们的立方和不可能为100例2.若n 是大于1的整数，那么数2)1(12)1(n n n p ---+=的值一定是偶数？一定是奇数？还是可以是偶数也可以是奇数。
例3.是否有满足x 2-y 2=1986的整数解x 和y?例4.平面上有15个点，任意三点不共线，试问能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论。
例5.设有n 盏亮着的灯，规定每次拉动n-1个拉线开关，试问：能否将所有的灯都关闭？证明你的结论。
例6.用15个由4个小方格组成的L 字形纸片和1个田字形纸片，能否盖满1个8X8的方格棋盘 例7.设a 1,a 2,…,a n 是一组数，它们中的每一个数都取1或-1，而且013221=+++a a a a a a n ，证明：n 必是4的倍数。
例8. 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？例9 设a ，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求证：a-b 是4的倍数． 例10 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数．*例11.是否存在整数m,n,使得5m 2-6mn+7n 2=1987*例12.设正整数d 不等于2，5，13，证明从数2，5，13，d 中可以找到两个数a,b,使得ab-1不是整数的平方。
2020北京 初二数学竞赛 数论专题：整数的整除性质（含答案）1. 下面这个41位数20555L 123个2099L 23个能被7整除，问中间方格代表的数字是几？ 解析 因为5555555111111=⨯，9999999111111=⨯，11111137111337=⨯⨯⨯⨯，所以555555和999999都能被7整除，那么由18个5和18个9分别组成的18位数，也能被7整除．而原数=185230555000L L 123123个个1851890999+L L 123123个个，因此右边的三个加数中，前后两个数都能被1整除，那么只要中间的能被7整除，原数就能被7整除．把拆成两个数的和：5599BA B +.因为7|55300，7|399336+=．评注 记住111111能被7整除很有用．2. 一位魔术师让观众写下一个六位数a ，并将a 的各位数字相加得b ，他让观众说出a b -中的5个数字，观众报出1、3、5、7、9，魔术师便说出余下的那个数，问那个数是多少？解析 由于一个数除以9所得的余数与这个数的数字和除以9所得的余数相同，所以a b -是9的倍数．设余下的那个数为x ，则()9|13579x +++++，即 ()9|7x +，由于09x ≤≤，所以，2x =．3. 若p 、q 、21p q -、21q p-都是整数，并且1p >，1q >．求pq 的值． 解析 若p q =，则212112p p q p p--==- 不是整数，所以p q ≠．不妨设p q <，于是2121212p q q q q q--<<=≤， 而21p q -是整数，故211p q-=，即21q p =-．又 214334q p p p p--==- 是整数，所以p 只能为3，从而5q =．所以3515pq =⨯=．4. 试求出两两互质的不同的三个正整数x 、y 、z 使得其中任意两个的和能被第三个数整除．解析 题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．不妨设x y z <<，于是y z x +、z x y +、x y z+都是正整数．先考虑最小的一个：12x y z z z z++<=≤， 所以1x y z+=，即z x y =+．再考虑z x y +，因为()|y z x +，即()|2y y x +，所以|2y x ，于是2212x y y y <=≤， 所以21x y=，即2y x =，从而这三个数为x 、2x 、3x ．又因为这三个数两两互质，所以1x =．所求的三个数为1、2、3．5. 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．解析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．设三个连续的奇数分别为21n -、21n +、23n +（其中n 是整数），于是 ()()()()22222121231121n n n n n -+++++=++． 所以 ()()()22212|212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦． 又()2111n n n n ++=++，而n 、1n +是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以()1n n +是偶数，从而21n n ++是奇数，故()()()22224212123n n n ⎡⎤-++++⎣⎦Œ． 6. 若x 、y 为整数，且23x y +，95x y +之一能被17整除，那么另一个也能被17整除． 解析 设23u x y =+，95x y =+．若17|u ，从上面两式中消去y ，得3517v u x -=．① 所以 17|3v ．因为（17，3）=1，所以17|v 即17|95x y +．若17|v ，同样从①式可知17|5u ．因为（17，5）=1，所以17|u ，即17|23x y +．7. 设n 是奇数，求证：60|6321n n n ---．解析 因为260235=⨯⨯，22、3、5是两两互质的，所以只需证明22、3、5能整除6321n n n ---即可．由于n 是奇数，有22|62n n -，22|31n +，所以22|6231n n n ---；又有3|63n n -，3|21n +，所以3|6321n n n ---；又有5|61n -，5|32n n +，所以5|6321n n n ---．所以60|6321n n n ---．评注 我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k 表示，奇数常用21k +表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a 被3除时，余数只能是0、1、2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k 、31k +、32k +这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．8. 设n 为任意奇正整数，证明：15961000270320n n n n +--能被2006整除．解析 因为200621759=⨯⨯，所以为证结论成立，只需证n 为奇正整数时，15961000270320n n n n +--能被2、17、59整除．显然，表达式能被2整除．应用公式，n 为奇数时，()()121n n n n n a b a b a a b b ---+=+-++L ，()()121n n n n n a b a b a a b b ----=-+++L .由于159610005944+=⨯，2703205910+=⨯，所以15961000270320n n n n +--能被59整除.又159627013261778-==⨯，10003206801740-==⨯，所以15961000270320n n n n +--能被17整除．9. 若整数a 不被2和3整除，求证：()224|1a -．解析 因为a 既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k 、61k +、62k +、63k +、64k +、65k +这六类．由于6k 、62k +、64k +是2的倍数，63k +是3的倍数，所以a 只能具有61k +或65k +的形式，有时候为了方便起见，也常把65k +写成61k -（它们除以6余数均为5）．故a 具有61k ±的形式，其中k 是整数，所以()()222161136121231a k k k k k -=±-=±=±． 由于k 与31k ±为一奇一偶（若k 为奇数，则31k ±为偶数，若k 为偶数，则31k ±为奇数），所以()2|31k k ±，于是便有()224|1a -．10. 求证：31n +（n 为正整数）能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除． 解析 按模2分类．若2n k =为偶数，k 为正整数，则()22313131n k n +=+=+． 由3k 是奇数，()23k 是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设()2381k l =+，于是 ()3182241n l l +=+=+，41l +是奇数，不含有2的因数，所以31n +能被2整除，但不能被2的更高次幂整除． 若21n k =+为奇数，k 为非负整数，则()()()22131313313811461n k k l l ++=+=⋅+=++=+． 由于61l +是奇数，所以此时31n +能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．11. 设p 是质数，证明：满足22a pb =的正整数a 、b 不存在.解析 用反证法．假定存在正整数a 、b ，使得22a pb =.令() , a b d =，1a a d =，1b b d =，则()11 , 1a b =.所以222211a d pb d =，2211a pb =，所以21|p a ．由于p 是质数，可知，1|p a .令12a pa =，则22221a p pb =，所以2221pa b =．同理可得，1|p b .即1a 、1b 都含有p 这个因子，这与()11 , 1a b =矛盾．12. 如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的约数.解析 每一整数可以写成6n 、61n -、61n +、62n -、62n +、63n +中的一种（n 为整数），其中6n 、62n -、62n +、63n +在1n ≥时都是合数，分别被6、2、2、3整除．因此，质数p 是61n -或61n +的形式.如果()611p n n =+≥，那么()263321p n n +=+=+是3的倍数，而且大于3，所以2p +不是质数．与已知条件矛盾．因此()611p n n =-≥．这时16p n +=是6的倍数．评注 本题是将整数按照除以6，所得的余数分为6类．质数一定是61n +或61n -的形式．当然，反过来，形如61n -或61n +的数并不都是质数．但可以证明形如61n -的质数有无穷多个，形如61n +的质数也有无穷多个．猜测有无穷多个正整数n ，使61n -与61n +同为质数．这是孪生质数猜测，至今尚未解决．13. 已知a 、b 是整数，22a b +能被3整除，求证：a 和b 都能被3整除．证 用反证法.如果a 、b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a 、b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a ，3b Œ．令3a m =，31b n =±（m 、n 都是整数），于是()222222996133321a b m n n m n n +=+±+=+±+，不是3的倍数，矛盾．（2）a ，b 两数都不能被3整除.令31a m =±，31b n =±，则()()2222223131961961a b m n m m n n +=++±=±++±+()22333222m n m n =+±±+，不能被3整除，矛盾．由此可知，a 、b 都是3的倍数．14. 若正整数x 、y 使得2x x y+是素数，求证：x y ≤. 解析 设2x p x y =+是素数，则()py x x p =-，所以()|p x x p -，故|p x ，或者|p x p -，故可得|p x ，且p x <.令x kp =，k 是大于1的整数，则()1y x k x =-≥．15. 证明：形如abcabc 的六位数一定被7、11、13整除．解析 100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯． 由此可见，abcabc 被7、11、13整除．16. 任给一个正整数N ，把N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的正整数N '，试证明：N N '-被9整除．解析 N 除以9，与N 的数字和除以9，所得余数相同．N '除以9，与N '的数字和除以9，所得余数相同．N 与N '的数字完全相同，只是顺序相反，所以N 与N '的数字和相等．N 除以9与N '除以9，所得的余数相同，所以N N '-被9整除．17. 19991999199919991999N =L 144424443连写个.求N 被11除所得的余数．解 显然，N 的奇数位数字和与偶数位数字和的差为()1999999119998⨯+--=⨯.19998⨯除以11的余数与88⨯除以11的余数相同，即余数为9．从而N 除以11，所得的余数为9．18. 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5分别整除．符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？解析 要命名这个六位数尽可能小，而且能被5整除，百位数字和个位数字都应选0．这样，已知的五个数位上数字之和是5+6+8+0+0=19．要使这个六位数能被3整除，十位上可填2、5、8．由能被4整除的数的特征（这个数的末两位数应该能被4整除）可知，应在十位上填2．这个六位数是568020．19. 已知四位数abcd 是11的倍数，且有b c a +=，bc 为完全平方数，求此四位数． 解析 在三个已知条件中，b c a +=说明给出b 和c ，a 就随之给定，再由11|abcd ，可定d .而bc 为完全平方数，将b 和c 的取值定在两位平方数的十位和个位数字范围中，只要从这个范围中挑选符合要求的即可．由bc 完全平方数，只可能为16、25、36、49、64、81这六种情况．由b c a +=，此时相应的a 为7、7、9、13、10、9．其中13和10显然不可能是四位数的千位数字． 在716d 、725d 、936d 、981d ，这四种可能性中，由11|abcd ，应有()()11|d b a c +-+．()()11|176d +-+时，d 可为1；()()11|275d +-+时，这种d 不存在；()11|396d +-+时，d 可为1；()11|891d +-+时，d 可为2．故满足条件的四位数有：7161、9361、9812．评注 bc 为完全平方数，表示bc 是两位整数，0b ≠，因此，不考虑00、01、04、09这四种情况，否则还应加上1012、4048、9097这三个四位数.20. 用0，1，2，…，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？解析 因为0+1+2+…+9=45．这个最大十位数若能被11整除，其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）为0或11的倍数．由于这十个数字之和是45（奇数），所以这个差不可能是0、22、44（偶数）．若这个差为33，则只能是396-，但0+1+2+3+4=10，即最小的五个数字之和都超过6，不可能．若这个差为11，()4511228+÷=，452817-=．如果偶数位为9、7、5、3、1，其和为25；奇数位为8、6、4、2、0，其和为20．交换偶数位上的1与奇数位上的4，可得偶数位上的数为9、7、5、4、3，奇数位上的数为8、6、2、1、0．于是所求的最大十位数为9876524130．21. 一个六位数88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？解析 设这个六位数为1234A B ，因为它是88的倍数，而88811=⨯，8与11互质，所以，这个六位数既是8的倍数，又是11的倍数．由1234A B 能被8整除，可知34B 能被8整除（一个数末三位组成的数能被8整除，这个数就能被8整除），所以B 是4．由能被11整除的数的特征（一个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除），可知奇数位数字之和与偶数位数字之和的差()()234144A A ++-++=-能被11整除，则40A -=，即4A =．124344881413÷=． 所以，这个六位数是124344，它除以88的商是1413．22. 如果六位数105整除，那么，它的最后两位数是多少？解析 因为这个六位数能被105整除，而105357=⨯⨯，3、5、7这三个数两两互质，所以，这个六位数能同时被3、5、7整除．根据能被5整除的数的特征，它的个位数可以是0或5．根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七种可能：199320，199350，199380，199305，199335，199365，199395．而能被7整除的数的特征是：这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7整除．经试算：395199196-=，196能被7整除．所以，199395能被105整除，它的最后两位数是95．23. 形如1993199319931993520n L 1442443个，且能被11整除的最小数是几？ 解析 本题实质上确定n 的最小值．利用被11整除的数的特征：偶数位数字之和与奇位数字之和的差能被11整除．该数的偶数位数字之和为122n +，奇数位数字之和为105n +，两者之差为()12210523n n n +-+=-．要使()11|23n -，不难看出最小的7n =，故所求最小数为71993199319931993520L 1442443个． 24. 是否存在100个不同的正整数，使得它们的和与它们的最小公倍数相等？解析 存在满足条件的100个数．事实上，对任意正整数()3n ≥，下述n 个数3，23⨯，223⨯，…，223n -⨯，13n -，它们的最小公倍数为123n -⨯，和为221222132323233323233n n n n ----+⨯+⨯++⨯+=+⨯++⨯+L L 33211113232333323n n n n n -----=+⨯++⨯+==+=⨯L L ．所以，这几个数的和等于它们的最小公倍数．取100n =，可知存在符合要求的100个数．。
初中数学竞赛试题集1. 第一章：整数与有理数在本章中，我们将学习整数和有理数的基本概念和性质，并掌握它们在数学竞赛中常见的应用。
• 1.1 整数的基本性质•定义：什么是整数？•整数的比较与排序方法•整数的加减乘除法运算规则• 1.2 有理数的表示与运算•有理数的定义及表示方法•有理数之间的比较与排序方法•加减乘除法运算规则• 1.3 实际问题中的整数和有理数应用•温度计问题•海拔高度问题•债务与资产问题2. 第二章：代数式与方程式在本章中，我们将学习代数式和方程式，掌握它们在初中数学竞赛中常见的解题技巧。
• 2.1 代表字母含义的代数式与表达式计算方法•字母、变量、系数组合词语含义解释•含字母、含变量、含系数组合意义解释• 2.2 方程式的定义及分类–什么是方程式？–一元一次方程–一元二次方程• 2.3 方程式的解与实际问题应用•方程式求解的基本步骤•应用题实例3. 第三章：几何图形与空间几何在本章中，我们将学习几何图形和空间几何的基础知识，并掌握其在数学竞赛中的运用。
• 3.1 几何图形的基本概念•点、线、面、角等基本概念及性质• 3.2 平面图形与立体图形•直线、射线、线段的定义及性质•四边形、三角形和圆等平面图形•长方体、球体等立体图形• 3.3 几何计算与实际问题应用•周长和面积计算方法•相似三角形及比例关系应用•空间几何问题总结：本文档提供了初中数学竞赛试题集相关内容，涵盖了整数与有理数、代数式与方程式以及几何图形与空间几何等主题。
每个主题都包含基本概念和性质的介绍，解题方法的讲解以及实际问题的应用。
通过学习这些内容，读者将能够掌握数学竞赛中常见的题型，提高自己在数学竞赛中的成绩。
初中数学竞赛教程21整数的性质整数是数学中非常基本且重要的概念之一、它是全体正整数、负整数和零的集合，用整数集表示为Z，数学符号为Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。
整数的性质涉及到整数的四则运算、整数的大小比较以及整数的奇偶性等方面。
下面就对整数的性质进行详细介绍。
一、整数的四则运算1.加法：对于整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。
加法满足交换律，即a+b=b+a；加法还满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
2.减法：对于整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。
3.乘法：对于整数a和b，它们的积a×b也是一个整数。
乘法满足交换律，即a×b=b×a；乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)。
4.除法：对于整数a和b，其中b不等于0，a/b的商可能是一个整数，也可能是一个带有小数部分的数。
二、整数的大小比较1.大小关系：对于两个整数a和b，如果a<b，称a小于b；如果a>b，称a大于b；如果a=b，称a等于b。
2.大于0和小于0：正整数都大于零；负整数都小于零。
三、整数的奇偶性1.奇数：整数中，除了能被2整除的数字外，其他的数字都是奇数。
奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为任意整数。
2.偶数：能被2整除的数字为偶数。
偶数可以表示为2k的形式，其中k为任意整数。
3.奇数和奇数的和是偶数，奇数和偶数的和是奇数，偶数和偶数的和是偶数。
四、整数的性质定理1.整数的加法性质：对于任意整数a和b，有a+b=b+a，即整数的加法满足交换律。
2.整数的减法性质：对于任意整数a和b，有a-b=a+(-b)，即整数的减法可以转化为加法运算。
3.整数的乘法性质：对于任意整数a、b和c，有(a+b)×c=a×c+b×c，即整数的乘法满足分配律。
4.整数的除法性质：对于任意整数a、b和c，如果a=b×c，且b不等于0，则a除以b的余数为0。
初中数学竞赛题选知识点梳理数学竞赛是中学生们展示数学才能的舞台，也是检验数学基础和解题能力的重要考验。
在参加数学竞赛前，对一些常见的知识点进行梳理和总结，可以帮助同学们更好地应对竞赛题目。
本文将就初中数学竞赛中常见的知识点进行梳理，并举例说明。
一、整数1. 整数的性质：正整数、负整数、绝对值、相反数、零等。
例如，如果一个题目中涉及到判断两个整数的大小，我们可以根据正整数大于零、负整数小于零、相反数的关系来判断。
2. 整数的加法和减法运算：在竞赛中，整数的加法和减法是最基础且常见的题型。
熟练掌握整数的加减法规则是解题的基础。
例如：（1）计算：(-3) + 5 = ?（2）计算：9 - (-4) = ?3. 整数的乘法和除法运算：整数的乘法和除法也是常见的竞赛题型。
简化表达式、掌握整数的乘法和除法规则是解题的要点。
例如：（1）计算：(-2) × 3 = ?（2）计算：(-16) ÷ (-4) = ?二、代数与方程式1. 代数表达式：熟悉代数表达式的定义和基本操作，能够将问题转化为代数符号表示的形式。
例如，将一个题目给出的条件用字母表示，然后列出方程式解决。
2. 一元一次方程：能够解一元一次方程，包括加减乘除四则运算。
例如：（1）解方程：x + 3 = 9（2）解方程：3x - 5 = 73. 一元二次方程：掌握求解一元二次方程的基本方法，包括二次项系数为1和非1的情况。
例如：（1）解方程：x^2 - 4x = 0（2）解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0三、平面几何1. 直角三角形：了解直角三角形的性质，包括勾股定理和三角函数的应用。
例如：（1）给出一个直角三角形的两个已知边，计算未知边的长度。
（2）给出一个直角三角形的一个已知边和一个已知角度，计算其他边的长度。
2. 三角形的面积：了解三角形面积的计算方法，包括海伦公式和正弦定理的应用。
例如：（1）计算给定三角形的面积。
（2）根据给定的两个边和夹角，计算三角形的面积。
第一章 整数一、自然数的十进制表示数的进位制很多，常用的是十进位制，简单地说，就是用十个不同的数字符号（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和由低向高位“满十进一”的位制原则，就可以写出一切自然数来.对于一切十进位制的自然数，都可以用其各位上单位的和的形式来表示，如：510910*********3+⨯+⨯+⨯=，对于任意自然数N ，都可以表示为：01221110101010a a a a a N n n nn +⨯+⨯++⨯+⨯=-- 的形式，这里0121,,,,,a a a a a n n -各表示0到9这十个数字中的任意一个，但0≠n a . 有时还把该自然数N 表示成0121a a a a a n n -（0≠n a ），在上面加一横，意在避免与0121,,,,,a a a a a n n -的乘积发生混淆.例1．一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数.例2．设n 为正整数，计算 99999个n × 99999个n ＋199999个n例3．试问，是否存在整数ab 和cd ，使得abcd cd ab =⋅？二、奇数与偶数一个整数，不是奇数就是偶数.概念：偶数：能被2整除的整数叫做偶数；奇数：不能被2整除的整数就叫做奇数.我们常用n2表示偶数，用12+n或12-n表示奇数（n为整数）.奇数偶数的常用性质：（1）奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数（2）奇数个奇数相加，其和为奇数；偶数个奇数相加，其和为偶数；任意多个偶数相加，和总为偶数；（3）任意多个奇数相乘，积为奇数；任意个偶数相乘，积为偶数.推论：奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，（4）若干个整数的积为奇数，则每个整数都为奇数；若干个整数的积为偶数，则其中至少有一个是偶数；（5）两个连续整数，必有一个是奇数，一个是偶数；两个连续整数的和是奇数，积是偶数. （6）若a是整数，则a，a-，a具有相同的奇偶性；（7）若a，b是整数，则babaabbaba-+--+,,,,具有相同的奇偶性.例4．在2010个自然数1，2，3，…，2010的每一个数前面任意添加“＋”号或“－”号，然后将这2010个整数相加，请你判断，最后的结果是奇数还是偶数？例5．已知cba，，中有两个奇数，一个偶数，试判断()()()321+++cba的奇偶性.例6．计算：()223521+-例7．已知y x ，均为一位正整数，且满足y x y x 9292=⋅，求y x ，的值.例8．已知自然数y x ,满足606341993=+y x ，求xy 的值.例9．某次九年级数学竞赛共有20道题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错扣1分. 求证：不论多少人参赛，全体学生的得分总分一定是偶数.三、整数的整除（1）定义：设a ，b 是整数，0≠b ，如果有整数p ，使得bp a =，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，记作a b .又称b 为a 的约数，a 为b 的倍数.如果a 不是b 的倍数，则称整数b 不整除a ，或称a 不能被b 整除.（2）整除的常用性质： ① 若b a ，c b ，则c a .② k 是任意整数，若a b ，则ka b . ③ 若b a ，c a ，则()c b a ±. ④ 若ab m ，()1,=a m ，则b m .⑤若mb，则[]ma，ma,.b⑥若mb，且()1a，mab.a，则m,=b（3）整数整除的常用判定方法：①若整数M的个位数是偶数，则M2.②若整数M的个位数是0或5，则M5.③若整数M的各位数字之和是3的倍数，则M3；若整数M的各位数字之和是9的倍数，则M9.4；④若整数M的末两位数是4的倍数，则M若整数M的末两位数是25的倍数，则M25.⑤若整数M的末三位数是8的倍数，则M8；若整数M的末三位数是125的倍数，则M125.11.⑥若整数M的奇位上数字之和与偶位上的数字之和的差是11的倍数，则M例10．在一个两位数的两个数字中间插入一个数字后，这个两位数就变成了一个三位数，且该三位数是原来两位数的9倍，则这样的两位数有多少个？例11．若78N=是一个能被17整除的四位数，求x.2x例12．从1到2000这2000个数中，有多少个数既不能被4整除，又不能被6整除？例13．五位数xy 538能被3，7，11整除，求22y x -的值.例14．已知整数45613ab 能被198整除，求a 与b 的值.四、质数与合数（没有说明的情况下，只在正整数范围内讨论）如果一个大于1的正整数只能被1和其本身整除，就把这个数叫做质数（也叫素数），如果还能被1和本身以外的数整除，就称其为合数.（负数的绝对值是质数的话，这个负数也是质数，在后面的章节中，如果没有特殊说明，只在正整数范围内考虑质数合数） 特别注意的是：1即不是质数也不是合数.五、质因数的分解我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：算数基本定理 任意一个大于1的整数N 都可以分解为质因数的乘积.如果不考虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：n n p p p N ααα 2121=()*在上式中，n p p p ,,,21 都是质数且互不相同，n ααα,,,21 都是正整数.这种分解式称为 正整数N 的标准分解式.例如540的标准分解式是53254022⨯⨯=.推论1（约数个数定理） 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示， 那么N 共有正约数()()()11121+++n ααα 个，这些约数包括1和N 本身.推论2 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 是一个完全平方数的充要条件是n ααα,,,21 都是偶数，即N 的正约数个数是奇数.由此可以得到 质数的如下整除性质：（1）p 是质数，b a ,都是整数，如果ab p ，则a p 或b p ，特别地2a p 时，a p ； （2）n p p p ,,,21 是不同的质数，a 是整数，如果a p 1，a p 2，a p n , ，则a p p p n 21.例15．已知质数q p ,满足3153=+q p ，求13+q p 的值.例16．3个质数之积是这3个质数之和的17倍，求这3个质数.例17．已知p 是质数，36+p 也是质数，求4811-p 的值.例18．写出30个连续的自然数，使得个个都是合数.例19．360能被多少个不同的正整数整除.例20．写出在100以内的具有10个正约数的所有正整数.例21．求392的标准分解式，并求其全部正约数的和.例22．已知三位数abc是一个质数，如果将这个三位数重复写一遍，就得到一个六位数abcabc，问这个六位数一共有多少个不同的正约数.六、公约数与公倍数（一般情况下，只在正整数范围内讨论）（1）公约数与最大公约数整数a和b都有的约数，叫做a和b的公约数，a和b的最大公约数可以表示为()ba,，若()1a，则称a和b互质.b,=（2）公倍数和最小公倍数如果一个数既是a 的倍数又是b 的倍数，那么就称其为a 和b 的公倍数，a 和b 的最小公倍数记作[]b a ,定理1：若a ，b 是正整数，则()[]b a b a ab ,,=定理2：若a ，b 是正整数，则()()b a b b a ,,=+；()()b a b b a ,,=-例23．已知b a ,两正整数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求b a ,这两个数.例24．正整数n m ,的最大公约数大于1，且满足3713=+n m ，求mn 的值.七、完全平方数如果N 是整数，且M N =2，则称整数M 为完全平方数（简称平方数），平方数M 有 以下常用性质：（1） 若M 是整数，则平方数2M 与()21+M 之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；（2） 平方数M 的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8； （3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数； （6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.例25．若N 是一个完全平方数，则它后面的一个完全平方数是_______________.例26．求自然数n ，使得n n S n 542+=为完全平方数.例27．直角三角形两条斜边长b a ，均为正整数，且a 为质数，若斜边场也是整数，求证 ()12++b a 是完全平方数.八、带余除法设整数a 除以整数b ()0≠b ，所得的商和余数分别为q 和r ()b r <≤0，则有r bq a +=， 即：被除数＝除数×商＋余数.（1）整数n m ,除以d 所得余数相同()n m d -⇔.（2）用任意连续n ()0>n 个整数除以n ，所得的余数中，0，1，…，1-n 各出现一次.九、末位数rk a+4与r a 有相同的末位数.其中a 为整数，k 为非负整数，r 为1、2、3、4中的任意一个.（注意：不要取0=r ）例28．今有自然数带余除法算式8 C B A =÷，如果2178=++C B A ，求A 的值.例29．若一个正整数a 被2，3，4，5，6，7，8，9这八个自然数除，所得的余数都为1，求a 的最小值.例30．20032003的个位数是多少？习题一1、某校九年级（1）班同学做一个数学实验：在黑板上写上1，2，3，…，40这40个数，第一个同学上来擦去其中任意两个数，然后写上他们的和或者差，第二个同学、第三个同学及以后每位同学都按此规则操作，直到黑板上只有一个数为止，问：最后一个数是奇数还是偶数，为什么？2、已知z y x ,,为正整数，且z y ,均为质数，并满足zyxyz x 111,=+=，求x 的值.3、有()3≥n n 位同学围成一圈，求证：相邻两人是一男一女的对数必是偶数.4、设有101个自然数，记为101321,,,,a a a a ，已知10132110132a a a a x ++++= 为 偶数，判断10199531a a a a a y +++++= 是奇数还是偶数，说明理由.5、设y x ,为两个不同的正整数，并且5211=+yx，求y x +的值.6、设k a a a a ,,,,321 是k 个互不相等的正整数，且1995321=++++k a a a a ，求k 的最大值.7、已知正整数a 恰有12个正约数（包括1和a ），求符合要求的a 的最小值.8、将1，2，3，…，37排成一行：3721,,,a a a ，1,3721==a a ，并使k a a a +++ 21能被1+k a 整除（36,,2,1 =k ）.求（1）37a ；（2）3a .9、一个三位数，等于它的各位数字之和的12倍，试写出所有这样的三位数.10、求方程10047=+y x 的非负整数解.11、已知q p 、都是质数，1是以x 为未知数的方程9752=+q px 的根，则410140++q p 的值是多少？12、正方体的每个面上都写着一个自然数，并且相对的两个面所写的两数之和相等， 若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ， 那么ac bc ab c b a ---++222的值是多少？13、已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是多少？14、今天是星期日，若明天算第一天，则第333201121+++ 天是星期几？15、z y x ,,为互不相等的自然数，且135032=z xy ，则z y x ++的最大值是多少？16、[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]32.3=，已知正整数n 小于2002，且263nn n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡，则这样的n 有多少个？。
初中数学竞赛精品标准教程及练习：连续正整数的性质初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。
例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）1. n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)例如一位正整数从1到9共9个（9×100），二位数从10到99共90个（9×101）三位数从100到999共900个（9×102）……2.连续正整数从n 到m的个数是m－n+1把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是21349－＋1＝19从13到49的连续偶数的个数是21448－＋1＝184.从13到49能被3整除的正整数的个数是31548－＋1＝12从13到49的正整数中除以3余1的个数是31349－＋1＝13你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1.1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）2n（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b)21 +-ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×223＝759（∵从11到55有奇数21155－＋1＝23个）3.11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×215＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共31153－＋1＝15）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）＝9×5＝452.1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901五. 连续正整数的积从1开始的n 个正整数的积1×2×3×…×n 记作n ！，读作n 的阶乘1.n 个连续正整数的积能被n ！整除，如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；a （a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
26.整数整除的概念和性质知识纵横对于整数a和不为零的整数b,总存在整数m,n使得a=bm+n(0≤n<b),其中m称为商,n 称为余数,特别地,当n=0时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数),记为b│a.整除有以下基本性质:1.若a│b,a│c,则a│(b±);2.若a│b,b│c,则a│c;3.若a│bc,且(a,c)=1,则a│b,若质数p│bc,则必有p│b或p│c;4.若b│a,c│a,且(b,c)=1,则bc│a.解整除有关问题常用到数的整除性常见特征:1.被2整除的数:个位数字是偶数;2.被5整除的数:个位数字是0或5;3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,•末两位组成的数被25整除;4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125•整除的数,•末三位组成的数被125整除;5.被3整除的数:数字和被3整除;6.被9整除的数:数字和被9整除;7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.例题求解【例1】一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,•则满足条件的最小自然数是_________. (重庆市竞赛题)思路点拨略解:37【例2】有三个正整数a、b、c,其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:①(a+c)2不能被b整除;②a2+c2不能被b整除;③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有( ).A.4个B.3个C.2个D.1个 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨举例验证.解:选A 提示:当a=3,b=5,c=2时,①③④都是假命题;当a=3,b=2,c=5,②是假命题.xy是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.【例3】已知7位数12876(第15届江苏省竞赛题)思路点拨 7位数12876xy 能被8,9整除,运用整数能被8,9整除的性质求出x,y 的值.解:提示:因为72│12876xy ,所以8│12876xy ,9│12876xy ,由此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y 是9的倍数,而0≤x+y ≤18,则x+y=3或12,又6xy 必是8的倍数, 6y 必是4的倍数,则y=1,3,5,7或9,当y=1时,x=2,8│216;当y=3时,x=0,8不整除36;8│936;当y=5时,x=7,8不整除756;当y=7时,x=5,8│576;当y=9时,•x=•3,•8不整除396,•所以符合条件的7•位数是1287216,1287576.【例4】(1)若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数,且整数x 满足等式(x-a)(x-b)(•x-c)(x-d)-9=0,求证:4│(a+b+c+d).(2)已知两个三位数abc 与def 的和abc +def 能被37整除,证明:六位abcdef 也能被37整除.思路点拨 (1)x-a,x-b,x-c,x-d 是互不相等的整数,且它们的乘积等于9,•于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积;(2)因已知条件的数是三位数,•故应设法把六位数abcdef 用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系.解:(1)略;(2)提示:abcdef=abc ×1000+def=abc ×999+(abc+def)【例５】(1)一个自然数N 被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N 的最小值是_______. (北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x 除时,所得的余数都是y,则x-y 的值等于( ).A.15B.1C.164D.174 (“五羊杯”竞赛题)(3)设N=1990111 个,试问N 被7除余几?并证明你的结论. (安徽省竞赛题)思路点拨 运用余数公式,余数性质,化不整除问题为整除问题.(1)N+1•能分别被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除;(2)建立关于x,y 的方程组,通过解方程组求解,(3)从考察11,111,…,111111被7除的余数入手.解:(1)N+1为2～10的公倍数,要使N 最小,取N+1为它们的最小公倍数23×5×33•×7=2520,故所求N 的最小值为2520-1=2519.(2)设已知三数被自然数x 除时,商数分别为a,b,c,则由此得x为358,859,1253的公约数,x=179,进而求得y=164.(3)111111=7×15873,而1990=6×331+4,故只须考察1111被7除的余数,1111=•7×158+5,故N被7除余5.学力训练一、基础夯实a是3的倍数,那么a是________.1.如果五位数12342.如果从5,6,7,8,9这5个数中,选出4个组成一个四位数,使它能被3,5,7整除,•那么这些数中最大的是_______.ab能被198整除,那么a=________,b=_______.3.已知整数13456(第17届江苏省竞赛题)4.在1,2,3,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除. (2000年“五羊杯”竞赛题)5.能整除任意3个连续整数之和的最大整数是( ).A.1B.2C.3D.6 (第15届江苏省竞赛题)6.除以8和9都是余1的所有三位数的和是( ).A.6492B.6565C.7501 C.7514被15整除,则n的最小值等于( ).7.若20022002200215n个2002A.2B.3C.4D.58.有棋子若干,三个三个地数余1,五个五个地数余3,七个七个地数余5,•则棋子至少有( ).A.208个B.110个C.103个D.100个9.(1)证明:形如abcabc的六位数一定能被7,11,13整除.(2)若4b+2c+d=32,试问abcd能否被8整除?请说明理由.xy是99的倍数,求代数式950x+24y+1的值.10.已知7位自然数6242711.已知a,b是整数,求证:a+b,ab,a-b这三个数之中,至少有一个是3的倍数.二、能力拓展12.五位数abcde是9的倍数,其中abcd是4的倍数,那么abcde的最小值是____.13.一个三位自然数,当它分别被2,3,4,5,7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是______;最大三位数是_______. (第15届“希望杯”邀请赛试题)14.今天是星期日,从今天算起,第1111天是星期_____.2000个115.用自然数n去除63、91、130,所得到的3个余数的和为26,则n=________.(北京市“迎春杯”竞赛题)16.今有自然数带余除法算式:A÷B=C…8,如果A+B+C=2178,那么A=( ).A.2000B.2001C.2071D.210017.有1997盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序编号为1,2,…,1997,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下;再将编号为3的倍数的灯线拉一下;最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,3次拉完后亮着的灯数为( ).A.1464盏B.533盏C.999盏D.998盏(《学习报》公开赛试题)18.19972000被7除的余数是( ).A.1B.2C.4D.619.n为正整数,302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值,则r的最大值与最小值的得( ).A.148B.247C.93D.12220.某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,•从0001到9999,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字的和,则称这张购物券为“幸运券”,试证明:这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除.(“祖冲之杯”邀请赛试题)21.将分别写有数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的九张正方形卡片排成一列,•发现恰是一个能被11整除的最大的九位数.请你写出这九张卡片的排列顺序,并简述推理过程.22.将糖果300粒、饼干210块和苹果163个平均分给某班同学,余下的糖果、•饼干和苹果的数量之比是1:3:2,问该班有多少名同学?三、综合创新23.已知质数p、q使得表达式21pq+及23qp-都是自然数,试确定p2q的值.24.重排任一个三位数三个数位上的数字,得到一个最大的数和一个最小的数,•它们的差构成另一个三位数(允许百位数字为0),再重复以上的过程,问重复2003•次后所得的数是多少?证明你的结论. (2004年武汉市选拨赛试题)答案1.2或5或82.97653.8,0 提示:原数能被2,9,11整除4.267 提示:自然数n 能同时被2和3整除,相当于n 能被6整除,有333个,•其中能被5整除的便能被30整除,有66个.5.C6.A 提示:n-1能被8和9整除,因此n-1是72的倍数,在3位数中,符合条件的n•是2×72+1,2×73+1,…13×72+1.7.B 8.C 提示:设有棋子n 个,则n+2能被3,5,7整除9.(1)提示: abcabc =1001×(100a+10b+c)=7×11×13×(100a+10b +c); (2) bcd =•96b+8c+(4b+2c+d)=8(12b+c+4).10.提示:因9│62427xy 且11│62427xy ,故9│(6+2+x+y+4+2+7),且11│[(6+•x+4+7)-(2+y+2)],又0≤x+y ≤18且-9≤x-y ≤9,得62x y x y +=⎧⎨-=-⎩或159x y x y +=⎧⎨-=⎩, 解得24x y =⎧⎨=⎩或123x y =⎧⎨=⎩(不合题意舍去) 把x=2,y=4代入得,原式=1997.11.对于a 、b,若至少有一个是3的倍数,则ab 是3的倍数,若a 、b 都不是3的倍数,则有:(1)当a=3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n);(2)当a=3m+1,b=3m+2时,a+b=3(m+n+1);(3)当a=3m+2,b=3n+1时,a+b=3(m+n+1);(4)当a=3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n).12.10008 13.421,84114.三提示:因111111=15873×7,2000=333×6+2故1112000个1被7除的余数与11被7除的余数相同.15.提示:设自然数n除63、91、130时,商分别为x、y、z,余数分别为a、b、c,•那么63=nx+a ①,91=ny+b ②,130=nz+c ③,①+②+③得 284=n(x+y+z)+(a+b+c),而a+b+c=26,则n(x+y+z)=258=2×3×43,故n=2,3,6,43,86,129或258.16.A 提示:A=BC+8代入得BC+B+C+8=2178,(B+1)(C+1)=2171=13×167,则1131167BC+=⎧⎨+=⎩或1167113BC+=⎧⎨+=⎩,两者都得A=166×12+8=200017.C 18.C19.A 提示:r为偶数,n(n+1)只能取6,12,20,30,42,56,•72,•90,110,132,156,182,210,240,272.20.提示:显然号码为9999是幸运券,除此之外,其余所幸运券可两两配对,•和为9999,因为9999=99×101,故所有幸运券号码之和也能被101整除.21.1～9组成的最大九位数是987654321,但这个数不是11的倍数.经分析所求数的奇位数字和为25,偶位数字和为20,987652413为所求.22.根据被除数、除数、商、余数关系列出方程组,可求得该班有同学为23人.23.提示:先设p≥q,则有1≤23qp-=2×qp-3p<2,于是只能23qp-=1,即p=2q-3,而这时21pq+=45pq-=4-5q,要21pq+为自然数,只能q=5,从而p=7,再设p<q,这时1≤21pq+=2×pq+1q<3,于是我们有以下两种情况:①21pq+=1,q=2p+1,此时23qp-=41pp-,得p=1,不合题意;②21pq+=2,2p+1=2q,左边为奇数,右边为偶数,矛盾.故p2q=72×5=245.24.(1)三个数位上的数字全相同,所得的数为0,(2)三个数位上的数字不全相同,所得的数为495证明:(1)显然成立,下面证(2).若三个数位上的数字不全相同,不妨设这个三位数为abc,其中a≥b≥c,且a≥c+1,abc-cba=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a) 故所得的三位数中必有一个9,而另两个数字之和为9,共有五种可能:990,981,972,963,954,易验证上述五个数经过不超过10次操作得到495.。
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.A.12B.13C.14D.15例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）. A.100 B.112 C.120 D.1502.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.A.401B.800C.601D.12033.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.A.1B.6C.4D.无数多4.2009是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a Λ排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++Λ的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗?”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗?”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n Λ-与n n a a a a 110-Λ互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：12112211122211112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A 组1.M 表示一个两位数，N 表示一个三位数，如果把M 放在N 的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（ ）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k 倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（ ）.A.()1-k 倍B.()k -11倍C.()k -10倍D.()k -9倍3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab 为两位数，且满足bbb ab b a =⋅⋅，求这个两位数.6.求一个最小的正整数n ，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B 组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc ，然后，魔术师再要求他记下五个数acb 、bac 、bca 、cab 、cba ，并把这五个数加起来求出和N ，只要讲出N 的大小，魔术师就能说出原数abc 是什么.如果3194=N ，请你确定abc .3.两位数ab （个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz ；而这两位数ba 的平方恰好等于三位数zyx ，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab 的两位数被当成了两位数ba ），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少？5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()21101001.0化为十进制小数.6.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+-Λ能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方？13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅？15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：321Λ321Λ119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少？19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
奥赛经典——初中数学竞赛中的数论问题第一章 整数的封闭性运算【典型例题与基本方法】例1 (1995年全国联赛题)方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）.例2 (2007年天津市竞赛题)八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（ ）人.例3 (2002年“我爱数学”初中生夏令营竞赛题)如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数.所有四合数的总和等于 .【解题思维策略分析】1.注意整数乘积或幂中的特殊因数例5 (2008年青少年数学国际城市邀请赛题)已知n 为正整数，使得()()()k n n n n n n 2621211=--+-++(k 是正整数).求所有可能的n 值的总和. 2.注意整数运算的封闭性例6 (2007年“新知杯”上海市竞赛题)求满足下列条件的正整数n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a ，b ，使得函数()b ax x n x f ++=21对任意整数x ，()x f 都是整数. 3.注意在分数不等式中取整数的条件例7 已知n ，k 均为正整数，且满足不等式4396371<+-<k n k n .若对于某一给定的正整数n ，只有唯一的一个正整数k 使不等式成立.求所有符合要求的正整数n 中的最大值和最小值.【模拟实战】A 组1.若满足不等式137158<+<k n n 的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）.2.若12032+m 是整数，则所有满足条件的正整数m 的和为（ ）.3.若直角三角形的一条直角边长为12，另两条边长均整数，则符合这样条件的直角三角形共有（ ）个.D.无数多是一个具有如下性质的年号：它的各位数码之和为11.那么，自古至今，这种四位数的年号共出现过______次.5.(2005年全国联赛题)不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为_____.B 组1.(2008年四川省竞赛题)已知正整数a 、b 、c 满足c b a <<，且abc ca bc ab =++.求所有符合条件的a 、b 、c .2.(2009年南昌市竞赛题)已知n 是大于1的整数.求证：3n 可以写成两个正整数的平方差.3.(第4届中国趣味数学决赛题)有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作.经过不足20次操作后，某一堆中有1990粒石子，另一堆石子数在2080到2100之间，这一堆石子有______粒.4.(1995年全国联赛(民族卷)题)已知正整数a 、b 、c 满足下列条件：c b a >>，()()()72=---c a c b b a ，且100<abc ，求a ，b ，c .5.(2006年全国联赛题)2006个都不等于119的正整数200621,,a a a 排成一行，其中任意连续若干项之和都不等于119，求200621a a a +++ 的最小值.6.(第13届日本奥数决赛题)平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字,相同的字母代表相同的数字）：=⨯BA AB .大介：“得数是2872.”平太：“不对”.大介：“个位的数字对吗”平太：“对”.大介：“其它位的数字有对的吗”平在：“这是保密的.但你调换一下四位数2872中4个数字的位置,就能得出正确答案.” 请求出正确答案.第二章 正整数的多项式表示及应用【典型例题与基本方法】例1 将()102010化为下列进位制的数：⑴二进位制的数；⑵八进位制的数.例2 试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数.例3 一个三位数xyz （其中x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数.若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数.例4 设两个三位数xyz ，zyx 的乘积为一个五位数xzyyx （其中x ，y ，z 互不相等），求x ，y ，z.【解题思维策略分析】1.善于运用正整数的十进位制的多项式表示解题例5 若一个首位数字是1的六位数abcde 1乘以3所得的积是一个末位数字为1的六位数1abcde ，求原来的六位数.例6 有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数（011a a a a n n -与n n a a a a 110- 互为反序数，其中00≠a ，0≠n a ）之和为10879，求原数.2.会利用非十进位制多项式表示解题例7 设在三进位置中，数N 的表示是20位数：1112222.求N 在九进位制中表示最左边的一位数字.例8 设1987可以在b 进位制中写成三位数xyz ，且7891+++=++z y x ，试确定出所有可能的x ，y ，z 和b .【模拟实战】A组1.M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是（）.A. M+NB. MNC. 10000M+ND. 1000M+N2.一个两位数，它是本身数字和的k倍，将个位数字与十位数字交换位置后，组成一个新数，则新数为其数字和的（）.A.()1-k倍B.()k-10倍 D.()k-9倍11倍 C.()k-3.在大于10、小于100的正整数中，数字变换位置后所得的数比原数增加9的数的个数为_____.4.一个两位数，它的各位数字和的3倍与这个数加起来所得的和恰好是原数的两个数字交换了位置所得的两位数，这样的两位数有____个.5.已知ab为两位数，且满足bbba=⋅，求这个两位数.⋅bab6.求一个最小的正整数n，它的个位数字为6，将6移到首位，所得的新数是原数的4倍.B组1.已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于2010，试求这个四位数.2.有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者想好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个数acb、bac、bca、cab、cba，并把这五个数加起来求出和N，只要讲出N的大小，魔术师就能说出原数abc是什么.如果3194N，请你确定abc.=3.两位数ab（个位数字与十位数字不同）的平方等于三位数xyz；而这两位数ba的平方恰好等于三位数zyx，求上述两位属于三位数.4.(2008年全国联赛(江西卷)题)一本书共有61页，顺次编号1，2，...，61.某人在将这个数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（形如ab的两位数被当成了两位数ba），结果得到的总和是2008.那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是多少5.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)把()2.0化为十进制小数.11010016.(1998年长春市竞赛题)证明：1218-能被7整除.7.(江西省第4届“八一杯”竞赛题)求证：12222222101112131415-++-+-+- 能被5整除.8.(第5届沈阳市竞赛题)若m ，n 是两个自然数，且2>n ，那么12+m 不能被12-n 整除，试说明理由.9.(江西省第2届探索与应用能力竞赛题)将十进制数2002化成二进制数.10.(1997年广州市竞赛题)化()1084375.53为二进制小数.11.有一个写成7进制的三位数，如果把各位数码按相反顺序写出，并把它看成是九进制的三位数，且这两数相等，求这个数.12.在哪种进位制中，16324是125的平方13.N 是整数，它的b 进制表示是777.求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的4次方.14.在哪种进制中，100134=⋅15.(2007年“卡西欧杯”武汉市竞赛题)军训基地购买苹果慰问学员.已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba .那么，苹果的总数用十进位制表示为_____.16.(1998年“中小学数学杯”竞赛题)化()81325为二进制数.17.(1995年“祖冲之”邀请赛决赛题)求证：对于任意进位制的数，10201都是合数.18.(第2届华杯赛决赛题)下面是两个1989位整数相乘：119891198911111111个个⨯. 问：乘积的数字和是多少19.(第10届《中小学生数学报》邀请赛题)计算：⑴()()22101101111011010+；⑵()()2210101101101101-；⑶()()()222101101100111000000--.。
第一讲 整数与整除的基本性质（一）一、整数基本知识：关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。
关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。
十进制整数的表示方法正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示7106+⨯,四位数1254可以写成410510210123+⨯+⨯+⨯,同样地用字母表示的两位数ab b a +⨯=10,三位数f e d def +⨯+⨯=10102, n 位整数表示为121a a a a n n n --，（其中a i 是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,其中a n 0≠）并且.10101211121a a a a a a a n n n n n n n ++⋅+⋅=-----经典例题：例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）)A 1995 )B 1683 )C 1579 )D 1401解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 )B例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去2-，仍得原数，这个两位数是（ ）)A 26 )B 28 )C 36 )D 38解：设这个两位数为ab ，由题意，得b a b a +=++102)(3，227+=∴b a 即 )1(27+=b a 由于)1(2+b 为偶数，∴a 必须为偶数，排除)),D C 又由于)1(+b 是7的倍数，故选)A（此题也可以直接来解)1(+b 是7的倍数，故有6=b 返回有2=a ）例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是_____________。
数学竞赛-整数的整除性整数的整除性1．整数的整除性的有关概念、性质（1）整除的定义：对于两个整数a、d（d≠0），若存在⼀个整数p，使得成⽴，则称d整除a，或a被d整除，记作d|a。
若d不能整除a，则记作d a，如2|6，4 6。
（2）性质1）若b|a，则b|(-a)，且对任意的⾮零整数m有bm|am2）若a|b，b|a，则|a|=|b|;3）若b|a，c|b，则c|a4）若b|ac，⽽（a，b）=1（（a，b）=1表⽰a、b互质，则b|c；5）若b|ac，⽽b为质数，则b|a，或b|c；6）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这⼀性质还可以推⼴到更多项的和）例1 （1987年北京初⼆数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
证明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)⽽ 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)⼜ (11,4)=1∴ 11｜(3x-7y+12z).2.整除性问题的证明⽅法(1) 利⽤数的整除性特征（见第⼆讲）例2（1980年加拿⼤竞赛题）设72｜的值。
解72=8×9，且（8，9）=1，所以只需讨论8、9都整除的值。
若8｜，则8｜，由除法可得ｂ＝２。
若9｜，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3。
（2）利⽤连续整数之积的性质①任意两个连续整数之积必定是⼀个奇数与⼀个偶数之⼀积，因此⼀定可被2整除。
②任意三个连续整数之中⾄少有⼀个偶数且⾄少有⼀个是3的倍数，所以它们之积⼀定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。
这个性质可以推⼴到任意个整数连续之积。
例3（1956年北京竞赛题）证明：对任何整数n都为整数，且⽤3除时余2。
证明∵为连续⼆整数的积,必可被2整除.∴对任何整数n均为整数,∵为整数,即原式为整数.⼜∵，2n、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，⽽2与3互质，∴是能被3整除的整数.故被3除时余2.例4 ⼀整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.证明∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).∵k、k+1为⼆个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.⼜∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.(3)利⽤整数的奇偶性下⾯我们应⽤第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解⼏个整数问题.例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：a·b·c·d-a=①a·b·c·d-b=②a·b·c·d-c=③a·b·c·d-d=④证明由①，a（bcd-1）=.∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a （bcd-1）必为偶数，与①式右端为奇数⽭盾.所以命题得证.例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，x n，其中每⼀个不是+1就是-1，且试证n是4的倍数.证明设(i=1,2,…，n-1)，则y i不是+1就是-1，但y1+y2+…+y n=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.⼜y1y2y3…y n=1，即（-1）k=1，故k 为偶数，∴n是4的倍数.其他⽅法：整数a整除整数b，即b含有因⼦a.这样,要证明a整除b,采⽤各种公式和变形⼿段从b中分解出因⼦a就成了⼀条极⾃然的思路.例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最⼤值是多少?解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.⽽且,当n+10的值为最⼤时,相应地n的值为最⼤.因为900的最⼤因⼦是900.所以,n+10=900,n=890.例8 (上海1989年⾼⼆数学竞赛)设a、b、c为满⾜不等式1＜a ＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）.解∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②k=＜＜＜＜∴k=1.若a≥3，此时1=-＜⽭盾.已知a＞1. ∴只有a=2.当a=2时，代⼊②中得2b+2c-1=bc，即 1=＜∴0＜b＜4，知b=3，从⽽易得c=5.说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从⽽逐步确定a、b、c是⼀项重要解题技巧.例9 （1987年全国初中联赛题）已知存在整数n，能使数被1987整除.求证数，都能被1987整除.证明∵×××（103n+），且能被1987整除，∴p能被1987整除.同样，q=（）且∴故、102（n+1）、被除，余数分别为1000，100，10，于是q表⽰式中括号内的数被除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q 能被1987整除.练习⼆1．选择题（1）（1987年上海初中数学竞赛题）若数n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，则不是n的因数的最⼩质数是（）.（A）19 （B）17 （C）13 （D）⾮上述答案（2）在整数0、1、2…、8、9中质数有x个，偶数有y个，完全平⽅数有z个，则x+y+z等于（）.（A）14 （B）13 （C）12 （D）11 （E）10（3）可除尽311+518的最⼩整数是（）.（A）2 （B）3 （C）5 （D）311+518（E）以上都不是2．填空题（1）（1973年加拿⼤数学竞赛题）把100000表⽰为两个整数的乘积，使其中没有⼀个是10的整倍数的表达式为__________.(2) ⼀个⾃然数与3的和是5的倍数,与3的差是6的倍数,这样的⾃然数中最⼩的是_________.(3) (1989年全国初中联赛题)在⼗进制中,各位数码是0或1,并且能被225整除的最⼩⾃然数是________.3.求使为整数的最⼩⾃然数a的值.4.(1971年加拿⼤数学竞赛题)证明:对⼀切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.5.(1984年韶关初⼆数学竞赛题)设是⼀个四位正整数,已知三位正整数与246的和是⼀位正整数d的111倍,⼜是18的倍数.求出这个四位数,并写出推理运算过程.6.(1954年苏联数学竞赛题)能否有正整数m、n满⾜⽅程m2+1954=n2.7.证明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n为⾮负整数.(2)若将(1)中的11改为任意⼀个正整数a,则(1)中的12,133将作何改动?证明改动后的结论.8.(1986年全国初中数学竞赛题)设a、b、c是三个互不相等的正整数.求证:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三个数中,⾄少有⼀个能被10整除.9.(1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最⼤公约数的最⼤可能值是多少?证明你的结论.练习参考答案１．Ｂ．Ｂ．Ａ２．（１）２５·５５．（２）２７．３．由2000a为⼀整数平⽅可推出a=5．４．反证法．若是１２１的倍数，设ｎ２＋２ｎ＋１２＝１２１ｋ（ｎ＋１）２＝１１（１１ｋ－１）．∵１１是素数且除尽（＋１）２，∴１１除尽ｎ＋１１１２除尽（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．５．由是ｄ的１１１倍，可能是１９８，３０９，４２０，５３１，６４２，７５３；⼜是１８的倍数，∴只能是１９８．⽽１９８＋２４６＝４４４，∴ｄ＝４，是１９８４．７．（１）１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１＝１２１×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝１２１×１１ｎ＋１２×１１ｎ－１２×１１ｎ＋１２×１４４ｎ＝…＝１３３×１１ｎ＋１２×（１４４ｎ－１１ｎ）．第⼀项可被１３３整除．⼜１４４－１１｜１４４ｎ－１１ｎ，∴１３３｜１１ｎ＋２＋１２２ｎ＋１．（２）１１改为ａ．１２改为ａ＋１，１３３改为ａ（ａ＋１）＋１．改动后命题为ａ（ａ＋１）＋１｜ａｎ＋２＋（ａ＋１）２ｎ＋１，可仿上证明．８．∵ａ３ｂ－ａｂ３＝ａｂ（ａ２－ｂ２）；同理有ｂ（ｂ２－ｃ２）；ｃａ（ｃ２－ａ２）．若ａ、ｂ、ｃ中有偶数或均为奇数，以上三数总能被２整除．⼜∵在ａ、ｂ、ｃ中若有⼀个是５的倍数，则题中结论必成⽴．若均不能被５整除，则ａ２，ｂ２，ｃ２个位数只能是１，４，６，９，从⽽ａ２－ｂ２，ｂ２－ｃ２，ｃ２－ａ２的个位数是从１，４，６，９中，任取三个两两之差，其中必有０或±５，故题中三式表⽰的数⾄少有⼀个被５整除，⼜２、５互质．９．设１００个正整数为ａ１，ａ２，…，ａ１００，最⼤公约数为ｄ，并令则ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝ｄ（ａ１′＋ａ２′＋…＋ａ′１００）＝１０１１０１＝１０１×１００１，故知ａ１′，ａ２′，ａ′１００不可能都是１，从⽽ａ′１＋ａ′２＋…＋ａ′１００≥１×９９＋２＝１０１，ｄ≤１００１；若取ａ１＝ａ２＝ａ９９＝１００１，ａ１００＝２００２，则满⾜ａ１＋ａ２＋…＋ａ１００＝１００１×１０１＝１０１１０１，且ｄ＝１００１，故ｄ的最⼤可能值为１００１。
专题1：整数的基本性质一、选择题1．（希望杯竞赛题）三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（）A．28 B．27 C．26 D．252．（第17届五羊杯竞赛题）设n为正整数，12=．已知m的约数个数是n的约数个数的2倍，m n则符合这种情形的最小的n是（）位数．A．1 B．2 C．3 D．不少于43．（2005年河南省竞赛题）探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9，…，那么32005的个位数字是（）A．3 B．9 C．7 D．14．（黄冈市竞赛题）若p为质数，35p+为（）．p+仍为质数，则57A．质数B．可为质数也可为合数C．合数D．既不是质数也不是合数5．（江苏第19届初中数学竞赛题）甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中耙环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．（第18届五羊杯竞赛题）2006和3007的最大公约数是（）．A．1 B．7 C．11 D．137．（英国中学数学竞赛题）在音乐中，三十二分音符的时值是四分音符时值一半的一半的一半．1个全音符的时值相当于4个四分音符，则1个全音符相当于（）个三十二分音符．A．8 B．16 C．32 D．64 E．128 8．（1997年学习报竞赛题）有1997盏亮着的电灯，各由一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后亮着的灯的盏数为（）A．1464 B．533 C．999 D．9989．（2006年全国初中数学竞赛题）在高速公路上，汽车从3 km处开始，每隔4 km经过一个限速标志牌；并且从l0 km处开始，每隔9 km经过一个速度监控仪．刚好在19 km处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）．A．36 B．37 C．55 D．9010．（2001年重庆市竞赛题）从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数共有（）个．A ．64B ．48C ．56D ．4611．（英国中学数学竞赛题）吉尔最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数与三个位数上的数字之和是429．请问房号三个位数上的数字的乘积是（ ）．A ．20B ．28C ．30D ．36E ．4812．（英国中学数学竞赛题）英文单词“thirty （30）”由6个字母组成，6305=÷．同样，单词“forty（40）”由5个字母组成，5408=÷．下列（ ）个单词所表示的数字不是它所含字母数目的倍数．A ．six （6）B ．twelve （12）C ．eighteen （18）D ．seventy （70）E ．ninety （90） 13．（第15届希望杯培训题）已知x ，y 为整数，以下有四个条件：①x 为偶数；②y 为偶数；③x y +为偶数；④x y -为偶数．其中，能使乘积xy 为偶数的条件有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004年全国初中数学联赛题）已知p ，q 均为质数，且满足25359p q +=．则以3p +，1p q -+，24p q +-为边长的三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形15．（第17届希望杯竞赛题）三角形三边的长a ，b ，c 都是整数，且[],,60a b c =，(),4a b =，(),3b c =（注：[],,a b c 表示a ，b ，c 的最小公倍数，(),a b 表示a ，b 的最大公约数）．则a b c ++的最小值是（ ）．A ．30B ．31C ．32D ．3316．（2005年河北初中数学竞赛题）在小于1000的正整数中，能被5整除或能被7整除，但是不能被35整除的数的个数为（ ）．A ．285B ．313C ．341D ．36917．（“希望杯”竞赛题）当x 取1到10之间的质数时，四个式子：22x +，24x +，26x +和28x +的值中，共有质数（ ）个．A ．6B ．9C ．12D ．1618．（2004年山东省初中数学竞赛题）已知n 是奇数，m 是偶数，方程组20041128y n x y m+=⎧⎨+=⎩有整数解0x ，0y ，则（ ）． A ．0x ，0y 均为偶数B ．0x ，0y 均为奇数C ．0x 是偶数，0y 是奇数D ．0x 是奇数，0y 是偶数19．（第16届希望杯竞赛题）若a ，b 均为正整数，且()m ab a b =+，则（ ）．A ．m 一定是奇数B ．m 一定是偶数C ．只有当a ，b 均为偶数时，m 是偶数D ．只有当a ，b 中一个为偶数，另一个为奇数时，m 是偶数20．（英国中学数学竞赛题）鲍勃和杰瑞是两个建筑工人，他俩以相同的价格买来了砖．鲍勃以每10块砖£6价格出售，杰瑞以每12块砖£7价格出售．假设他俩售出砖的数目相同，请问要等售出（ ）块砖后，鲍勃会比杰瑞多赚£4．A ．42B ．60C ．72D ．120E ．24021．（第14届五羊杯竞赛题）2002的不大于100的正约数有（ ）．A ．10个B ．9个C ．8个D ．11个22．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）．A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定 23．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知n 是整数，现有两个代数式：①23n +，②41n -．其中能表示“任意奇数”的（ ）．A ．只有①B ．只有②C ．有①和②D ．—个也没有24．（五羊杯竞赛题）在下面图形中，共有（ ）个可以一笔画成（不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸）．A ．0B ．1C ．2D ．325．（第17届五羊杯竞赛题）以下关于质数和合数的4种说法中，准确的说法共有（ ）种．①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和必为非合数．A ．3B ．2C ．1D ．026．（第17届五羊杯竞赛题）已知x 和y 都是两位的自然数，x 和y 的最大公约数是2．最小公倍数是100，则22x y +=（ ）．A ．2516B ．10004C ．2516或10004D ．无法计算27．（第14届希望杯竞赛题〗对任意的三个整数，则（ ）．A ．它们的和是偶数的可能性小B ．它们的和是奇数的可能性小C ．其中必有两个数的和是奇数D ．其中必有两个数的和是偶数28．（2001年全国初中数学竞赛题）如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2a b +，2b c +，2c a +（ ） A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数29．（第18届五羊杯竞赛题）设整数n 满足01000n <<，11n a =⨯，a 也是整数，而且n 的各位数字和恰好也是a ，那么这样的n （ ）．A ．至少有3个B ．恰有2个C ．刚好有1个D ．不存在30．（2003年全国初中数学竞赛题）某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3≥），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法的方案有（ ）．A ．1种B ．2种C ．4种D ．0种二、填空题31．（2002年四川省竞赛题）立方体的每一个面都写着一个自然数．并且相对两个面所写两个数之和相等，10，12，15是相邻三面上的数，若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ，则222a b c ab bc ca ++---的值等于__________．32．（希望杯竞赛题）若a ，b ，c 是1998的三个不同的质因数，且a b c <<，则()a b c +=__________．33．（第17届五羊杯竞赛题）9个连续的正奇数中，最多有__________个质数．34．（2000年甘肃省小学数学冬令营竞赛题）已知6a b x ⨯+=，其中a ，b 均为小于1000的质数，x 是偶数，那么x 的最大值是__________．35．（2000年吉林省小学数学夏令营竞赛题）A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七盏灯各自装有一个拉线开关．开始B ，D ，F 亮着，一个小朋友按从A 到G ，再从A 到G ，再A 到G 的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是__________．36．（第18届五羊杯竞赛题）设a 1=12×8，a 2=102×98，a 3=1002×998，a 4=10002×9998，…，又设S =a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 20，那么S 的各位数字和为________．37．（第16届江苏省初中数学竞赛题）已知a 是质数，b 是奇数，且22001a b +=，则a b +=__________．38．（江苏第17届初中数学竞赛题）已知四个正整数的积等于2002，而它们的和小于40，那么这四个数是__________．39．（第17届希望杯竞赛题）2m+2006+2m （m 是正整数）的末位字数是________．40．（第18届五羊杯竞赛题）如果n 为正偶数，并且()21n -整除n 2006-1，那么n 的最大值为________．41．（第15届希望杯竞赛题）已知p ，q ，1pq +都是质数，且40p q ->，那么满足上述条件的最小质数p =__________，q =__________．42．（上海市竞赛题）写出10个连续自然数，它们个个都是合数，这10个数是__________．43．（第18届五羊杯竞赛题）A 是整数，0A >，且2006A -是一个完全立方数，则A 的最小值是__________．44．（第4届中国趣味数学决赛题）下面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字，则美+妙+数+学+花+园=________．45．（第7届“小数生数学杯”数学竞赛题）某书店所卖的贺年片，单价全部是以“角”为单位的整数．小杨用30元钱在这家书店一次购买同一种贺年片若干张．一周之后，这家店的贺年片全部降价，小杨上次买的那种贺年片每张降价1元．如果小杨现在还花30元钱．就可以比降价前多买8张．则降价前，这种贺年片每张__________元，小杨买了这种贺年片__________张．46．（2005年浙江省小学数学活动课夏令营）用数字0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，偶数有__________个．47．（第15届俄罗斯数学节日竞赛题）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是__________．48．（2005年全国初中数学联赛题）设n 为自然数，如果2005能写成n 个正的奇合数之和，就称n 为“好数”，则这种好数有__________个．49．（江苏省第21届初中数学竞赛题）若p 和q 为质数，且5391p q +=，则p =__________，q =__________．50．（2002年浙江省小学数学夏令营）将()1232002n +++⋅⋅⋅++表示为()1n n >个连续自然数的和，共有__________种不同的表示方法．51．（第15届希望杯竞赛题）若正整数x ，y 满足200415x y =，则x y +的最小值是__________．52．（希望杯竞赛题）将2001表示为若干个（多于1个）连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法，将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这一组中最大的数是__________．53．（希望杯竞赛题）3个质数a ，b ，c 的乘积等于这3个质数的和的5倍，则a 2+b 2+c 2=________．54．（五羊杯竞赛题）n 不是质数，n 可以分解为2个或多于2个质因数的积，每个质因数都大于10，n 最小值等于__________． 55．（哈尔滨市第13届“未来杯”竞赛题）一个六位数ABABAB 乘以4080的结果恰是6个连续自然数的积，则这6个连续自然数的和是__________．56．（希望杯竞赛题）已知三个质数m ，n ，p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++的值为__________．57．（第17届五羊杯竞赛题）在1~2005的所有正整数中，共有________个整数x ，使33x +1和x 3被5除的余数相同．58．（2004年全国初中数学联赛题）设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m =__________．59．（第19届江苏省初中数学竞赛题）黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，…，擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和是2004，那么，擦去的奇数是__________．60．（2005年武汉市明心奥数挑战赛题）整数N 恰好具有6个不同的约数（包括1和N 在内）．其中5个约数之积是648．那么整数N 的另一个约数是__________．61．（全国初中数学联赛题）1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是__________．62．（第18届五羊杯竞赛题）如果A ，B ，C 是三个质数，而且14A B B C -=-=，那么A ，B ，C 组成的数组（A ，B ，C ）共有__________组．63．（第14届希望杯竞赛题）正整数m 和n 有大于1的最大公约数，且满足3371m n +=，则mn =__________．64．（2002年吉林省小学数学竞赛题）甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买__________本．65．（第14届希望杯竞赛题）a 和2182a a +-都是正整数，则a =__________． 66．（2004年“陈省身杯”数学邀请赛题）已知两个自然数，每一个数除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，而这两个数的最小公倍数是975，则这两个数分别是__________，__________．67．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）小兰家的电话号码是个七位数，它恰好是一个100以内最大的质数与另外几个连续质数的乘积，这个积的后四位数恰好是前三位数的10倍，则小兰家的电话号码是__________．68．（哈尔滨市第16届“未来杯”竞赛题）中央大街右边的门牌号1，3，5，…，25中任意一个数与左边的门牌号2，4，6，…，26中任意一个数相乘，在得到的许多不同的积中，能被6整除的个数，正好与王老师的年龄相同，则王老师今年__________岁．69．（第14届五羊杯竞赛题）自然数1n ≥，满足：2002n ⨯是完全立方数，2002n ÷是完全平方数．这样的n 中的最小者是__________．70．（2003年全国初中数学联赛题）已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍．那么a ，b 中较大的数是__________．三、解答题71．（第17届希望杯竞赛题）（1）求证：奇数的平方被8除余1；（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．72．（第21届江苏省初中数学竞赛题）已知k ，a ，b 为正整数，k 被a 2，b 2整除所得的商分别为m ，m+116．（1）若a ，b 互质，求证：22a b -与a 2，b 2都互质；（2）当a ，b 互质时，求k 的值；（3）若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．73．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除，已知a +b =c ，求c 的最小值．74．（北京市竞赛题）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，3，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到．请举一例；若不能办到，请说明理由．75．（首届华杯赛试题）数学老师做了一个密码给同学们破解，密码是PQRQQS ，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同的数字．已知这6个数字之和等于31，且：P 是任何整数的约数（因子）；Q 是合数；R 被任何一个数去除，答案都会一样；S 是质数．这个密码是什么？76．（第13届日本奥数决赛题）平太给大介出了一道计算题（A ，B 各代表两位数中各位上的数字，相同的字母代表相同的数字）：AB BA ⨯=．大介：“得数是2872．”平太：“不对．”大介：“个位的数字对吗？”平太：“对．”大介：“其他数位的数字有对的吗？”平太：“这是保密的．但你调换一下四位数2872中4个数字的位置，就能得出正确答案．” 请求出正确答案．77．（首届华杯赛试题）已知p 是质数，且2006p -也是质数．若()2006p -乘()2006p +的积等于自然数k ．求k 的最大值．78．（第五届加拿大数学竞赛题）求证：如果p 与2p +都是大于3的质数，那么6是1p +的因数．79．（北京市竞赛题）1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．80．（首届华杯赛试题）观察下列数列，求出第90个数除以3的余数：10，13，23，36，59，95，154，…．81．（安徽省竞赛题）甲、乙、丙3人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得是乙的2倍．已知糖的总块数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11．试求每人得糖的块数．82．（1998年香港小学生数学竞赛题）A ，B ，C ，D 四个数之和为59，问：2222A B C D +++，3333.A B C D +++，4444A B C D +++，5555A B C D +++这四个数中共有几个奇数？83．（首届华杯赛试题）一个六位数3434ab 能同时被8和9整除．已知a b c +=，求c 的最小值．84．（1997年五羊杯竞赛题）已知p ，2p +，6p +，8p +，14p +都是质数，则这样的质数p 共有多少个？85．（2006年国际城市竞赛题）已知正整数m ，n n =，求n 的最大值．86．（首届华杯赛试题）已知x ，y ，z 是3个小于100的正整数，且x y z >>，x y -，x z -及y z -均是质数，求x z -的最大值．87．（第3届华杯赛复赛题）能同时被6，7，8，9整除的五位数有多少个？88．（第1届华杯赛决赛题）一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多约数是两位数，则这些两位的约数中，最大的是几？89．（2006年国际城市竞赛题）小琳用计算器求三个正整数a ，b ，c 的表达式a b c+的值．她依次按了a ，＋，b ，÷，c ，＝，得到数值11．而当她依次按b ，＋，a ，÷，c ，＝时，惊讶地发现得到的数值是14．这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是她依次按（，a ，＋，b ，），÷，c ，＝，得到了正确的结果．这个正确结果是什么？90．（湖北省荆州市竞赛题）已知正整数p ，q 都是质数，且7p q +与11pq +也都是质数，试求q p p q +的值．91．（希望杯竞赛题）某书店积存了画片若干张，每张按5角出售，无人买，现决定按成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3分，问：共积压了多少张画片？92．（荆州市竞赛题）用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地．选用边长为x cm规格的地砖，恰用n块；若选用边长为y cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块．已知：x，y，n都是正整数，且()x y=．试问这块地有多少平方米？,193．（希望杯竞赛题）（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和．（2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？（3）—个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？94．（2005年全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）小鸣用48元按零售价买了若干本练习本．如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本．问：零售价为每本多少元？95．（1998年美国小学数学奥林匹克）30！表示从1～30的所有自然数的连乘积，即⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯．如果这个积被分解成质数相乘的形式，求它所包含的因数5的个数．123428293096．（2001年华罗庚金杯复赛题）能否找到自然数a和b，使22=+．a b200297．（第15届全俄中学生数学竞赛题）在1，2，3，…，1989中的每个数前添上“＋”或“－”号，求使其代数和为最小的非负数．98．（第17届希望杯竞赛题）（1）证明：奇数的平方被8除余1；（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．99．（江苏省第21届初中数学竞赛题）k，a，b为正整数，k被2a，2b整除所得的商分别为m，116m+．（1）若a，b互质，证明22-与2a，2b都互质；a b（2）当a，b互质时，求k的值；（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．100．（首届华杯赛试题）已知在三位数中，数字之和是6的倍数的三位数共有p个，求p的值．。
