下载文档原格式
23.2中心对称内容提要1.把一个图形绕着某一个定点旋转180︒，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.2.中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形.3.中心对称作图的步骤：（1）首先确定对称中心和图形中的关键点；（2）作出关键点关于对称中心的对称点；（3）连接对应点部分，形成相应的图形.4.将一个图形绕着某个定点旋转180︒后能与自身重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个定点叫做对称中心，常见的中心对称图形有：线段、平行四边形（包括：矩形、菱形、正方形）等.5.点(),--.P x y',P x y关于原点的对称点为()23.2.1中心对称基础训练1．下列说法中正确的是（）A．全等的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形必须重合C．成中心对称的两个图形全等D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称2．如图，ABC∆关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）∆和'''A B CA．点A与点'A是对称点B．'=BO B OC．''∥AB A BD．'''∠=∠ACB C A B3．如下图是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）4．如图，ABC∆绕点O转了度到达∆和DEF∆关于点O中心对称，则ABCAO OD=.DEF∆，且:5.如图，把ABC∠=∆绕边AC的中点O旋转180︒到CDA∆的位置，则BC=，BAC ，ABC∆关于点O成对称.∆与CDA6.如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若3AE cm=，四边形AEFB的面积为215cm，则CF=，四边形EDCF的面积为.7.如图，已知ABC∆与ABC∆关于点P成中心对称.A B C∆，使'''∆和点P，画出'''A B C8.如图，ABC ∆和DEF ∆关于点O 成中心对称. （1）找出它们的对称中心O ；（2）若6AB =，5AC =，4BC =，求DEF ∆的周长；（3）连接AF ，CD ，试判断四边形ACDF 的形状，并说明理由.9.在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()2,1A -，()3,3B -，()0,4C -. （1）画出ABC ∆关于原点O 成中心对称的111A B C ∆； （2）画出111A B C ∆关于y 轴对称的222A B C ∆.10.如图所示，已知ABC∆中，AD是中线，（1）画出以点D为对称中心，与ABD∆成中心对称的三角形；（2）猜想2AD与AB AC+的大小关系，并说明理由.23.2.2中心对称图形基础训练1.下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）2．如图，对于它的对称性表述正确的是（）A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形3．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．下列图形中是中心对称图形的有（）个.A．1 B．2 C．3 D．45．线段是中心对称图形，它的对称中心是；平行四边形是对称图形，它的对称中心是.6.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有条.7.如图，在数轴上，A，P两点表示的数分别是1，2，1A，2A关于点O对称，2A，3A关于1点P对称，A，4A关于点O对称，4A，5A关于点P对称……依此规律，则点14A表示的数3是.8.如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形），再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形.9.图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A，B，C在格点上.（1）在图①中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）；（2）在图②中确定格点E，并画出以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）.10.如图，将正方形ABCD中的ABD∆的位置，EF交AB于M，GF∆绕对称中心O旋转至GEF交BD于N，请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论.23.2.3 关于原点对称的点的坐标基础训练1.如图所示，已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为()2,3-，则点C 的坐标为（ ） A ．()3,2-B ．()2,3--C ．()3,2-D ．()2,3-2．在平面直角坐标系中，点()3,4P -关于原点对称的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果点(),P x y 关于原点对称的点是'P ，则'P 的坐标是（ ） A ．(),x yB ．(),x y -C ．(),x y -D ．(),x y --4．如图，点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1-，()0,2，()3,0.从下面四个点()3,3M ，()3,3N -，()3,0P -，()3,1Q -中选择一个点，使以点A ，B ，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ） A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．点()2,3P -关于x 轴对称的点的坐标是 ，关于原点对称的点的坐标是 .6.以下各点中，()5,0A -，()0,2B ，()2,1C -，()2,0D ，()0,5E ，()2,1F -，()2,1G --，关于原点对称的两点是.7.点(),4A a 与点()3,B b 关于原点对称，则a =，b =.8.如图所示，PQR ∆是ABC ∆经过某种变换后得到的图形，如果ABC ∆中任意一点M 的坐标是(),a b ，那么它的对应点N 的坐标为.9.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =.（1）试在图中作出ABC ∆以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90︒后的图形11AB C ∆； （2）若点B 的坐标为()3,5-，试在图中画出直角坐标系，并标出A ，C 两点的坐标； （3）根据（2）中的坐标系作出与ABC ∆关于原点对称的图形222A B C ∆，并标出2B ，2C 两点的坐标.10.直角坐标系第二象限内的点()22,3P x x +与另一点()2,Q x y +关于原点对称，试求2x y +的值.能力提高1．已知点()1,1A a -和()2,1B b -关于原点对称，则a b +的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．3-2．如图，将ABC ∆绕点()0,1C 旋转180︒得到''A B C ∆，设点A 的坐标为(),a b ，则点'A 的坐标为（ ）A ．(),a b --B ．(),1a b ---C ．(),1a b --+D ．(),2a b --+3．下列命题：（1）关于中心对称的两个图形一定不全等；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形；（3）两个全等的图形一定成中心对称.其中真命题的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．如图，顺次连接矩形ABCD 各边中点，得到菱形EFGH ，这个由矩形和菱形所组成的图形（ ）A ．是轴对称图形但不是中心对称图形B ．是中心对称图形但不是轴对称图形C ．既是轴对称图形又是中心对称图形D ．没有对称性5．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线分别交AD ，BC 于点E ，F .如果四边形AEFB 的面积为8，则平行四边形ABCD 的面积是.6.已知0a <，则点()21,3P a a ---+关于原点对称的点'P 在第象限.7.如图所示，点A ，B ，C 的坐标分别是()2,4，()5,1，()3,1-.若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D 的坐标为.8.如图，将等腰三角形ABC 绕底边BC 的中点O 旋转180︒. （1）画出旋转后的图形.（2）旋转后得到的三角形与原三角形拼成什么图形？说明理由.（3）要使拼成的图形为正方形，那么ABC ∆还应满足什么条件？为什么？9.如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别是()1,1A ，()4,2B ，()3,4C . （1）试画出ABC ∆向左平移5个单位长度后得到的111A B C ∆； （2）试画出ABC ∆关于原点对称的222A B C ∆；（3）在x 轴上求作一点P ，使PAB ∆周长最小，试画出PAB ∆，并直接写出点P 的坐标.拓展探究1.有一块如图所示的土地，请划出一条分界线，把这块土地平均分给两户农民.（在以下的几个图形中用三种方法进行分割）2.有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，两位木工师傅通过测量可知∠=∠=︒，AD CD=.现要将其拼成正方形，思考一段时间后，一位木工师傅说“我可B D90以将这两块木板拼成一个正方形.”另一位木工师傅说：“我可以将一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形.”两位师傅把每一块木板都只分割一次，你知道他们是怎么做的吗？画出图形，并说明理由.23.2 参考答案：23.2.1 中心对称 基础训练1．C 2．D 3．C 4．180 1：1 5．AD DCA ∠ 中心 6．3cm 215cm 7．略 8．（1）略 （2）15 （3）四边形ACDF 为平行四边形，因为它的对角线互相平分． 9．（1）111A B C ∆如图所示；（2）222A B C ∆如图所示． 10．（1）如图所示（2）2AD AB AC <+．理由：ABD ∆与ECD ∆成中心对称，ADB EDC ∴∆∆≌．CE AB ∴=． AE CE AC >+，2AD AB AC ∴<+．23.2.2 中心对称图形 基础训练1．D 2．B 3．B 4．B 5．线段的中点 中心 对角线的交点 6．4 7．25-8．答案不唯一，如图（1）、（2）、（3）、（4）中任何一个位置都行． 9．（1）如图（1）；（2）如图（2）．10．猜想：BM FN =．证明：在正方形ABCD 中，BD 为对角线，O 为对称中心，BO DO ∴=，45BDA DBA ∠=∠=︒．GEF ∆为ABD ∆绕O 点旋转所得，FO DO ∴=，F BDA ∠=∠，OB OF ∴=，OBM OFN ∠=∠，OBM OFN ∴∆∆≌，BM FN ∴=．23.2.3 关于原点对称的点的坐标 基础训练1．D 2．D 3．D 4．C 5．(2,3) (2,3)- 6．C 和F 7．3- 4- 8．(,)a b -- 9．如图所示的11AB C ∆；（2）建立如图所示的直角坐标系，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为(3,1)-； （3）如图所示的222A B C ∆，点2B 的坐标为(3,5)-点2C 的坐标为(3,1)-．10．根据题意，得2(2)(2)0x x x +++=，3y =-．11x ∴=-，22x =-． 点P 在第二象限， 220x x ∴+<．1x ∴=-．27x y ∴+=-． 能力提高1．A 2．D 3．B 4．C 5．16 6．四 7．(0,1) 8．（1）略；（2）菱形，理由是它的四条边都相等； （3）90∠=︒，因为有一个角是直角的菱形是正方形．9．如图所示，A ，B C 向左平移5个单位后的坐标分别为(4,1)-，(1,2)-，(2,4)-，连接这三个点，得111A B C ∆．（2）如图所示，A ，B ，C 关于原点的对称点的坐标分别为(1,1)--，(4,2)--，(3,4)--连接这三个点，得222A B C ∆．（3）如图所示，(2,0)P ．作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于点P ，则点P 即为所求作的点．拓展探究1．如图2．如图（1），将两块四边形拼成正方形，连接BD ，将DBC ∆绕D 点顺时针旋转90度，即可得出B BD '∆，此时三角形BB D '是等腰直角三角形，同理可得到正方形B EBD '．如图（2）将一个四边形拼成正方形，过点D 作DE BC ⊥于点E ，过点D 作DF BA ⊥交BA 的延长线于点F ，90FDA ADE CDE ADE ∴∠+∠=∠+∠=︒，FDA CDE ∴∠=∠，(AAS)AFD CED ∴∆∆≌，FD DE ∴=．又90B F BED ∠=∠=∠=︒，∴四边形FBED 为正方形．。
人教版九年级数学上册《23.2中心对称》同步练习题(附答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．点关于原点的对称点坐标是（）A．B．C．D．2．下列图形中，一定是中心对称但不一定是轴对称图形的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．平行四边形3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．若点的坐标为，为坐标原点，将绕点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（）A．B．C．D．5．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（b，a）C．（﹣b，a）D．（b，﹣a）6．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么中心对称的坐标为（）．A．B．C．D．7．如图，已知△ABC与△CDA关于点O中心对称，过点O任作直线分别交AD、BC于点M、N，下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤△AOM和△CON成中心对称.其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．在平面坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点、，线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，则点坐标为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b= ．10．已知点M（﹣，3m）关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围是．11．线段是中心对称图形,对称中心是;平行四边形也是中心对称图形,对称中心是.12．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是13．如图，直线垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点.若OB=3，OC=2，则阴影部分的面积之和为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．直角坐标系第二象限内的点P(x2＋2x，3)与另一点Q(x＋2，y)关于原点对称，试求x＋2y的值．15．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′关于点A成中心对称，试判定四边形BDB′D′的形状，并说明你的理由．16．如图，已知△ABC中，BD是中线．（1）尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．（2）猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（3）若点O的坐标为(0， 0)，点B的坐标为(2， 3)；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标。
23.2.2 中心对称图形知能演练提升能力提升1.下列图案中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )2.下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的.其中不是中心对称图形的是( )3.经过长方形对称中心的任意一条直线,把长方形分成面积分别为S1,S2的两部分,则( )A.S1<S2B.S1=S2C.S1>S2D.S1与S2的关系由直线的位置确定4.盈盈想在图中再加一个方格,使整个图形被直线l分成的两部分全等,这个方格可放的位置有.5.如图,网格中有1个四边形和2个三角形.(1)请你画出3个图形关于点O的中心对称图形;(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度能与自身重合?6.如图,四边形ABCD是关于点O的中心对称图形,求证:四边形ABCD是平行四边形.7.有一块方角形的钢板如图所示,请你用一条直线将其分为面积相等的两个部分(不写作法,保留作图痕迹,在图中直接画出).创新应用8.认真观察下面的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:(1)请写出这4个图案都具有的两个共同特征.特征一: ;特征二: .(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征.★9.用9根长度相同的小棒搭成如图所示的图形,你能移动若干根小棒使这9根小棒搭成的图形成中心对称图形吗?若能,至少要移动多少根小棒?画出移动后所得的图形.答案：能力提升1.C2.B3.B4.②③放在②处时,整个图形是轴对称图形,被直线l分成的两部分全等;放在③处时,整个图形是中心对称图形,对称中心为中间正方形的中心,此时被直线l分成的两部分也全等.5.解:(1)如图.(2)有4条对称轴,至少旋转90°能与自身重合.6.分析:因为四边形ABCD是中心对称图形,所以A与C,B与D分别是关于点O的对称点,则线段AC,BD都经过点O,且被点O平分,故此四边形是平行四边形.证明:连接AC,BD.因为四边形ABCD是关于点O的中心对称图形,所以点O在AC,BD上,且AO=OC,OB=OD.所以四边形ABCD是平行四边形.7.解:答案不唯一.例如下面的图①,图②,图③.创新应用8.解:(1)特征一:都是轴对称图形;特征二:都是中心对称图形.(2)如图.9.解:至少移动两根小棒,如图是移动后所得的图形:。
《中心对称》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF的长为（）A．2B．2C．D．42．（5分）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O43．（5分）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′4．（5分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（）A．相等B．垂直C．相等并且平行D．相等并且平行或相等并且在同一直线上5．（5分）若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为．8．（5分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．9．（5分）如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为，∠ACD的度数为°．10．（5分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB＝4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC＝40°，当t＝秒时，点P与点C中心对称，且对称中心在直径AB上．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，点E沿射线DC 方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转90°得到点F（F在射线DA上），点G与点E 关于点D成中心对称（点G在射线DB上），连接GE、EF、FG得到△GEF．（1）求BC的长；（2）在点E的运动过程中，设DE＝x，△GEF与△ABC的重叠部分面积为S，求S与x 的函数关系式．12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．13．（10分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．（1）根据图形直接写出点C的坐标：；（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．14．（10分）如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．15．（10分）如图是两个等边三角形拼成的四边形．（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．《中心对称》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，则EF的长为（）A．2B．2C．D．4【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AC平分∠BAD，求出∠ABO＝30°，求出AO，BO、DO，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，推出EF∥BD，推出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出即可．【解答】解：如图所示：连接BD、AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵∠AOB＝90°，∴AO＝AB＝×2＝1，由勾股定理得：BO＝DO＝，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD＝（2）＝，故选：C．【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．2．（5分）如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心；【解答】解：如图，连接HC和DE交于O1，故选：A．【点评】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大．3．（5分）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′【分析】根据中心对称的性质即可判断．【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．故选：D．【点评】本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等形．4．（5分）已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，则AB与A′B′的关系是（）A．相等B．垂直C．相等并且平行D．相等并且平行或相等并且在同一直线上【分析】根据中心对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于点O成中心对称，∴AB与A′B′的关系是相等并且平行或相等并且在同一直线上，故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称的图形性质，得出对应边是解题关键．5．（5分）若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法正确的是（）①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行分析即可．【解答】解：①这两个图形一定全等，说法正确；②对称点的连线一定经过对称中心，说法正确；③一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，说法错误；故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握中心对称的性质．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是．【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，∴在Rt△EDA中，AE的长是：＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了中心对称以及勾股定理，正确得出DC，DE的长是解题关键．7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】根据中心对称定义结合坐标系确定B点位置即可．【解答】解：∵A（﹣2，1），点B与点A关于点O中心对称，∴点B的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．8．（5分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为cm2．【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．故答案为：cm2．【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．9．（5分）如图，在△ABC中，点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，若AB＝6，∠BAC＝40°，则CD的长度为6，∠ACD的度数为40°．【分析】直接利用中心对称图形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出答案．【解答】解：∵点O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O中心对称，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝6，AB∥DC，∴∠BAC＝∠ACD＝40°．故答案为：6，40．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形ABCD是平行四边形是解题关键．10．（5分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB＝4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC＝40°，当t＝或或或秒时，点P与点C中心对称，且对称中心在直径AB上．【分析】根据中心对称的定义，可得P点的位置，根据弧长公式，可得，根据路程除以速度等于时间，可得答案．【解答】解：如图，当∠AOP1＝40°时，P1与C1对称，＝4π×＝，t＝÷π＝；当∠AOP2＝140°时，P2与C1对称，＝4π×＝π，t＝÷π＝；当∠AOP3＝220°时，P3与C2对称，＝4π×＝，t＝÷π＝；当∠AOP4＝320°时，P4与C1对称，＝4π×＝π，t＝÷π＝；故答案为：或或或．【点评】本题考查了中心对称，利用中心对称得出P点的位置是解题关键，又利用了弧长公式，要分类讨论，以防遗漏．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）△ABC中，AD⊥BC于D，tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，点E沿射线DC 方向一直运动，将点E绕点D逆时针旋转90°得到点F（F在射线DA上），点G与点E 关于点D成中心对称（点G在射线DB上），连接GE、EF、FG得到△GEF．（1）求BC的长；（2）在点E的运动过程中，设DE＝x，△GEF与△ABC的重叠部分面积为S，求S与x 的函数关系式．【分析】（1）解直角三角形求出BD，CD即可解决问题；（2）分三种情形：①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG．②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．③当x≥12时，重叠部分是△ABC．分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan∠B＝，tan∠C＝1，AD＝6，∴CD＝AD＝6，BD＝2AD＝12，∴BC＝BD+CD＝18．（2）①如图1中，当0＜x≤6时，重叠部分是△EFG，S＝×2x×x＝x2．②如图2中，当6＜x＜12时，重叠部分是五边形ACGM．作BK∥GF交DF的延长线于K，作MH⊥BC于H．易知：AB＝6，DB＝DK＝12，∵FM∥BK，∴＝，∴＝，∴AM＝（x﹣6），∵MH∥AD，∴＝，∴＝，∴MH＝﹣x，∴S＝S△ABC﹣S△BMG＝×6×18﹣×（12﹣x）×（﹣x）＝﹣x2+x+．③当x≥12时，重叠部分是△ABC，S＝54，综上所述，S＝．【点评】本题考查旋转变换，中心对称，解直角三角形，平行线的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC＝CD，BC＝CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；（3）∠ACB＝60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC＝BC，然后求出AD＝BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．【解答】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，BC＝CE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE与BD平行且相等；（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE，∵△ABC的面积为5cm2，∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2；（3）∠ACB＝60°时，四边形ABDE为矩形．理由如下：∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AD＝2AC，BE＝2BC，∴AD＝BE，∴四边形ABDE为矩形．【点评】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定，熟记各性质与判定方法是解题的关键．13．（10分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．（1）根据图形直接写出点C的坐标：（6，4）；（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．【分析】（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线必过中心作出直线m 即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．【解答】解：（1）∵B（6，0）、D（0，4），∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，∴点C的坐标为（6，4）；故答案为：（6，4）；（2）直线m如图所示，对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），设直线m的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线m的解析式为y＝﹣x+6．【点评】本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．14．（10分）如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．【分析】首先设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，由正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，易得四边形DED′F是正方形，又由正方形ABCD的边长为1，即可求得BD的长，继而求得OD、DE的长，则可求得y与x之间的函数关系式．【解答】解：如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，∴四边形DED′F是正方形，∵正方形ABCD的边长为1，∴BD＝＝，∵OB＝x，∴OD＝BD﹣OB＝﹣x，∴DE＝＝（﹣x）＝2﹣x，∴y＝S正方形DED′F＝DE2＝（2﹣x）2．∴y与x之间的函数关系式为：y＝（2﹣x）2．【点评】此题考查了中心对称的性质与正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．15．（10分）如图是两个等边三角形拼成的四边形．（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心．（2）若△ACD旋转后能与△ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．【分析】（1）根据旋转对称图形的定义得出即可；（2）利用△ACD旋转后能与△ABC重合，结合图形得出旋转中心．【解答】解：（1）这个图形是旋转对称图形，对称中心为AC的中点；（2）3个，旋转中心可以为：点A，点C，AC的中点．【点评】此题主要考查了旋转对称图形的定义，正确根据旋转的性质得出旋转中心是解题关键．。
23． 2 中心对称（第三课时）◆随堂检测1、以下标记既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D2、已知点 P（ - b， 2）与点 Q（3， 2a ）对于原点对称，则 a +b的值是________.3、已知a0 ，则点P(a2 , a 1 )对于原点的对称点P′在（）A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限D．第四象限4、如图，利用对于原点对称的点的坐标的特色，作出与线段AB?对于原点对称的图形．提示：点 P（ x，y）对于原点的对称点为P′（ -x ， -y ）.y4321 -4 -3-2-1-1B O1 2 3x A-2-3◆典例剖析已知△ ABC， A（-3 ， 2）， B（ -2 ， -1 ），C（ 2，3）利用对于原点对称的点的坐标的特色，作出△ABC对于原点对称的△A 1B1C1．y3C(2,3)A2(-3,2)1-3 -2-1O 1 2 3xB(-2,-1)-1-2第12 题剖析： 要作出△ ABC 对于原点的对称图形，只需作出点A 、点B 和点C 对于原点的对称点A ′、B ′、C ′即可．依照中心对称的点的坐标特色： 点 P （x ，y ）对于原点的对称点 P ′的坐标为 （-x ，-y ），可得 A ′、B ′、C ′三点的坐标.解： ∵点 P （x ， y ）对于原点的对称点为 P ′（ -x ， -y ） ,∴△ ABC 的三个端点 A （ -3 ， 2）， B （ -2 ，-1 ），C （ 2，3）对于原点的对称点分别为A ′（ 3，-2 ）、B ′（ 2，1）、 C ′（ -2 ， -3 ）．挨次连接A ′B ′、 B ′C ′、 C ′ A ′，即可获得所求作的△A ′B ′C ′．y3C (2,3 )A 2(3,2)1-3-2-1O 1 23xB -1( 2 ,-1)-2◆课下作业●拓展提升1、以下图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的2、已知点 A 的坐标为 (a ， b) ，O 为坐标原点， 连接 OA ，将线段 OA 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°得 OA 1 ， 则点 A 1的坐标为（ ）A 、 ( a ， b) B、 (a ， b) C 、 ( b ， a) D 、 (b ， a)3、如图，四边形EFGH 是由四边形 ABCD 经过旋转获得的．假如用有序数对（ 2，1）表示方格纸上 A 点的地点，用（ 1，2）表示 B 点的地点，那么四边形 ABCD 旋转获得四边形 EFGH时的旋转中心用有序数对表示是____________.P′为________.4、直线y x 3 上有一点P(3,n )，则点P对于原点的对称点5、以下图，请在网格中作出△ABC对于点O对称的△A1B1C1，再作出△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°后的△A2B1C2.6、如图①、②均为7 6 的正方形网格，点A、 B、 C 在格点上．（ 1）在图①中确立格点 D ，并画出以 A、B、C、D 为极点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（2）在图②中确立格点E，并画出以A、B、C、E为极点的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）A AB C B C图①图②●体验中考1、（ 2009年，枣庄市）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．（1）察看图①、②中所画的“ L”型图形，而后各补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图形，图②中所成的图形是中心对称图形；（ 2）补画后，图①、②中的图形是否是正方体的表面睁开图：答：①中的图形，②中的图形．2、（ 2009 年，淄博市）如图，点A， B， C 的坐标分别为（填“是”或“不是”）(0， 1)，(0，2)，(3，0) ．从下边四个点M (3，3)，N (3，3) ， P( 3，0) ， Q( 31)，中选择一个点，以A， B， C 与该点为极点的四边形不是中心对称图形，则该点是（）A．M B．N C．P D．Q参照答案：◆随堂检测1、 A.2、 2.∵点 P（ - b， 2）与点 Q（ 3， 2 a）对于原点对称，∴ b 3, a 1 ，∴a b 2 .3、D.∵当 a 0 时，点P(a2, a 1)在第二象限，∴则点P对于原点的对称点P′在第四象限.应选D.4、解：线段 AB 的两个端点 A（0， -1 ），B（ 3， 0）对于原点的对称点分别为A′（ 1， 0），B′（ -3 ， 0） , 连接 A′ B′ , 即可获得与线段 AB对于原点对称的线段 A′ B′． ( 图略 )◆课下作业●拓展提升1、 A.2、 C．绘图可得点A1的坐标为 ( b， a) ．3、（ 5， 2）.、（-3，-6）.将点 P n)代入 y x 3 得，n 6，∴对称点 P′为（-3，-6）.4(3,5、图略 .6、解：（ 1）如图：（ 2）如图：●体验中考1、（ 1）以以下图：（ 2）图①— 1（不是）或图①—2（是），图②（是）2、 C．。
人教版九年级数学23.2 中心对称一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，如果甲、乙两图关于点O对称，那么乙图中不符合题意的一块是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图所示的图案中，是中心对称图形的是()4. 若点A(－3，2)关于原点的对称点是点B，点B关于x轴的对称点是点C，则点C的坐标是()A．(3，2) B．(－3，2)C．(3，－2) D．(－2，3)5. 如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形菱形OA′B′C′，再作菱形OA′B′C′关于点O的中心对称图形菱形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是()图25－K－1A．(2，－1) B．(1，－2)C．(－2，1) D．(－2，－1)6. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O47. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()A．点E B．点FC．点G D．点H8. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点9. 如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.P是半圆AC的中点，连接BP交AC于点D.若半圆所在圆的圆心为O，点D，E关于圆心O对称，则图两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是()A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＝S 2D ．不确定10. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共8道小题）11. 王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称．如果王老师家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．12. 点P (1,2)关于原点的对称点P ′的坐标为__________．13. 若点A (x ＋3，2y ＋1)与点A ′(y －5，1)关于原点对称，则点A 的坐标是________．14. 若将等腰直角三角形AOB 按图所示的方式放置，OB ＝2，则点A 关于原点对称的点的坐标为________．15. 如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2.若以AC 的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′＝________．16. 在平面直角坐标系中，若点A(x＋1，2y＋1)与点A′(y－2，x)关于原点O对称，则代数式x2－y2的值为________．17. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为________．18. 如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为____________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.20. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．21. 如图，△ABO与△CDO关于点O中心对称，点E，F在线段AC上，且AF ＝CE.求证：DF＝BE.22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1.(2)作出点A关于x轴的对称点A′.若把点A′向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求a的取值范围．人教版九年级数学23.2 中心对称-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] .2. 【答案】C3. 【答案】D4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] ∵点C的坐标为(2，1)，∴点C′的坐标为(－2，1)，∴点C″的坐标为(2，－1)．故选A.6. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.7. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.8. 【答案】D[解析] 因为P，O是对称点，所以PO的中点是对称中心．9. 【答案】C[解析] ∵P是半圆AC的中点，∴半圆关于直线OP对称，且点D，E关于圆心O对称，因而S1，S2在直径AC上面的部分面积相等．∵OD＝OE，∴CD＝AE.∵△CDB的底边CD与△AEB的底边AE相等，高相同，∴它们的面积相等，∴S 1＝S 2.10. 【答案】A二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】4 [解析] ∵王老师、杨老师两家所在的位置关于学校对称， ∴王老师、杨老师两家到学校的距离相等． ∵王老师家距学校2千米， ∴他们两家相距4千米． 故答案为4.12. 【答案】(－1，－2)13. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．14. 【答案】(－1，－1)[解析] 如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D.∵△AOB 是等腰直角三角形，OB ＝2，∴OD ＝AD ＝1，∴A(1，1)，∴点A 关于原点对称的点的坐标为(－1，－1)．15. 【答案】25 [解析] ∵△ABC 绕AC 的中点O 旋转了180°，∴OB ＝OB′，∴BB′＝2OB. 又∵OC ＝OA ＝12AC ＝1，BC ＝2，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∴BB′＝2OB ＝2 5.16. 【答案】5[解析] ∵点A (x ＋1，2y ＋1)与点A ′(y －2，x )关于原点O 对称，∴⎩⎨⎧x ＋1＋y －2＝0，2y ＋1＋x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2. 故x 2－y 2＝9－4＝5. 故答案为5.17. 【答案】(0，1)18. 【答案】(－a ，－b ＋2)[解析] 如图，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，过点A′作A′D′⊥y 轴于点D′，则△ACD ≌△A′CD′，∴A′D′＝AD ＝a ，CD′＝CD ＝－b ＋1，∴OD′＝－b ＋2，∴点A′的坐标为(－a ，－b ＋2)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1如图所示．(2)平移后的△A 2B 2C 2如图所示，其中点B 2的坐标为(0，－2)，点C 2的坐标为(－2，－1)．(3)△A 1B 1C 1 (1，－1)20. 【答案】解：(1)∵点D 和点D 1是对称点， ∴对称中心是线段DD 1的中点， ∴对称中心的坐标是(0，52)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B 1(2，1)，C 1(2，3)．21. 【答案】证明：∵△ABO 与△CDO 关于点O 中心对称， ∴BO ＝DO ，AO ＝CO.∵AF ＝CE ，∴AO －AF ＝CO －CE ， 即FO ＝EO.在△FOD 和△EOB 中，⎩⎨⎧FO ＝EO ，∠FOD ＝∠EOB ，DO ＝BO ，∴△FOD ≌△EOB(SAS)， ∴DF ＝BE.22. 【答案】【思维教练】要作△ABC 关于点O 的中心对称图形，可先分别求出点A ，B ，C 关于点O 中心对称点，再顺次连接即可；(2)先作出点A′，再根据点A′在ΔA 1B 1C 1，从而得出平移距离a 满足A′A 1<a <A′D(其中点D 是A′A 1与B 1C 1的交点)． 解：(1)如解图，△A 1B 1C 1就是所求作的图形：(2分) (2)A′如图所示；(4分)a 的取值范围是4＜a ＜6.(6分)。
九年级数学上册《中心对称》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．将一张圆形纸片对折再对折，得到如下左图，然后沿着虚线剪开，得到两部分．其中一部分展开后的平面图形是（）A．B．C．D．2．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．直角三角形BC ，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，6积为（）A．3B．6C．12D．244．成中心对称的两个图形，下列说法正确的是（）①一定形状相同；②大小可能不等；③对称中心必在图形上；④对称中心可能只在一个图形上；⑤对称中心必在对应点的连线上．A ．①③B ．③④C ．④⑤D ．①⑤5．如图，点A 是反比例函数()20=>y x x 的图象上任意一点，AB x ∥轴交反比例函数3y x=-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD ，其中C ，D 在x 轴上，则ABCD S 为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36．如图，点O 是矩形ABCD 的对称中心，点E 在AB 边上，连接CE ．若点B 与点O 关于CE 对称，则CB ：AB 为（ ）A ．12 B C D二、填空题7．如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．8．在平面内，相交的两条直线是中心对称图形，它的对称中心是________．9．如图，△ABC 和△DEC 关于点C 成中心对称，若AC ＝1，AB ＝2，△BAC ＝90°，则AE 的长是_________．10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 中点，点F 在射线AC 上，连接DF ，将ADF 沿DF 翻折，点A 对应点为点G ，当DG AC ⊥时，线段AG 的长为______．11．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，60ABC ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，点N 在AC 上且AN ＝2，点M 在BC 上且BM ＝23BC ，P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为____．12．如图，在平面直角坐标系中，等边ABC 与等边BDE 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A 、B 、D 在x 轴上，若等边BDE 的边长为12，则点C 的坐标为_________．三、解答题13．请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分(保留作图痕迹)．14．如图，已知ABC 和A B C ''''''△ 及点O ．(1)画出ABC 关于点O 对称的；(2)若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，请确定点O '的位置．15．已知90ABN ∠=︒，在ABN ∠内部作等腰ABC ，AB AC =，()090BAC αα∠=︒<≤︒．点D 为射线BN 上任意一点（与点B 不重合），连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，连接EC 并延长交射线BN 于点F ．(1)如图1，当90α=︒时，线段BF 与CF 的数量关系是_________；(2)如图2，当090α︒<<︒时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若60α=︒，AB =BD m =，过点E 作EP BN ⊥，垂足为P ，请直接写出PD 的长（用含有m 的式子表示）．16．全等三角形知识结构图17．在平面直角坐标系中，(),P a b 是第一象限内一点，给出如下定义：1a k b =和2k b a=两个值中的最大值叫做点P 的“倾斜系数”k ．(1)求点()6,2P 的“倾斜系数”k 的值；(2)△若点(),P a b 的“倾斜系数”2k =，请写出a 和b 的数量关系，并说明理由；△若点(),P a b 的“倾斜系数”2k =，且3a b +=，求OP 的长；(3)如图，边长为2的正方形ABCD 沿直线AC ：y x =运动，(),P a b 是正方形ABCD 上任意一点，且点P 的“倾斜系数”k <a 的取值范围．参考答案与解析：1．C【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可根据折痕形成的对角线特点进行判定．【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直平分．故选C ．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，以及菱形的判定．掌握“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是解题关键．2．C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．C【分析】由题意，图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．【详解】由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得：所求的面积=116412 22ABCDS=⨯⨯=．故选C．【点睛】本题考查中心对称图形的判定和性质，掌握中心对称图形的性质是解题关键．4．D【分析】根据成中心对称的图形的性质，对各小题分析判断后利用排除法求解．【详解】△成中心对称的两个图形能够完全重合，所以一定形状相同，故本小题正确；△成中心对称的两个图形能够完全重合，所以大小一定相等，故本小题错误；△对称中心不一定在图形上，故本小题错误；△对称中心不一定在任何一个图形上，故本小题错误；△对称中心为对应点连线的中点，所以必在对应点的连线上，故本小题正确．综上所述：正确的有△△．故选D．【点睛】本题考查了中心对称，是基本概念题，熟练掌握成中心对称图形的性质是解题的关键．5．B【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把y=b代入y=2x得，b=2x，则x=2b，即A的横坐标是2b；把y =b 代入y =-3x 得，b =-3x ，则x =3b ，B 的横坐标是：-3b． 则AB =2b -（-3b）=5b ． 则S ▱ABCD =5b×b =5． 故选：B ．【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A 、B 的纵坐标是同一个值，表示出AB 的长度是关键．6．C【分析】连接DB ，AC ，OE ，利用对称得出OE ＝EB ，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC ＝BC ，进而解答即可．【详解】解：连接DB ，AC ，OE ，△四边形ABCD 是矩形，△AC ＝DB ，△ABC ＝90°，OC ＝OA ＝OB ＝OD ，△点B 与点O 关于CE 对称，△OE ＝EB ，△OEC ＝△BEC ，在△COE 与△CBE 中，OE BE OEC BEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△COE△△CBE （SAS ），△OC ＝CB ，△AC ＝2BC ，△△ABC ＝90°，△AB，即CB ：AB故选：C ．【点睛】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB 是解题的关键．7．110º【分析】先根据等腰三角形的性质求出△ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出△2+△ABE=180º，代入求解即可．【详解】解：△ABC是等腰三角形，△A=120º，△△ABC=△C=(180º-△A)÷2=30º，△四边形ODEF是平行四边形，△OF∥DE，△△2+△ABE=180º，即△2+30º+40º=180º，△△2=110º．故答案为：110º．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．8．两条直线的交点【分析】根据中心对称图形定义，我们可知图形绕交点旋转180°后，仍然能与原图形重合，所以两条直线的交点即为图形的对称中心．【详解】解：△两条相交直线绕他们的交点旋转180°后，仍能与原图形重合△两直线的交点就是图形的对称中心．故答案为：两条直线的交点．9．【分析】根据中心对称的性质AD=DE及△D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．【详解】△△DEC与△ABC关于点C成中心对称，△△ABC△△DEC，△AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，△D＝△BAC＝90°，△AD＝2，△△D＝90°，△AE故答案为【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．10．【分析】由勾股定理求得AB 的长，延长GD 交AC 于E ，则DE △BC ，DE 是△ABC 的中位线，可得AE 、DE 、DG 的长，再由勾股定理解Rt △AGE 即可解答；【详解】解：由题意作图如下，延长GD 交AC 于E ，·Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10=，△GE △AC ，BC △AC ，△DE △BC ，△D 是AB 中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE =12BC =3，AE =12AC =4，由折叠性质可得：DG =AD =12AB =5，Rt △AGE 中，EG =ED +DG =8，由勾股定理得：AG=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中位线，折叠的性质，正确作出辅助线是解题关键．11．2【分析】作点N 关于BD 的对称点N '，连接,MN PN ''，从而可得PM PN PM PN MN ''-=-≤，再根据菱形的性质、等边三角形的判定证出CMN '△是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得2MN '=，由此即可得． 【详解】解：四边形ABCD 是菱形，6AB =， 6AB BC ∴==，OA OC =，AC BD ⊥，60ABC ∠=︒，ABC ∴是等边三角形，6,60AC AB ACB ∴==∠=︒，3OA OC ∴==，2AN =，1ON ∴=，如图，作点N 关于BD 的对称点N '，连接,MN PN ''，则1,ON ON PN PN ''===，2,CN OC ON PM PN PM PN MN ''''∴=-=-=-≤，当且仅当,,P N M '共线时，等号成立， 23BM BC =，6BC =， 123CM BC ∴==， CMN '∴是等边三角形，2MN CM '∴==，即PM PN -的最大值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．12．(4,【分析】作CF △AB 于F ，根据位似图形的性质得到BC △DE ，根据相似三角形的性质求出OA 、AB ，根据等边三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：作CF △AB 于F ，△等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，△BC△DE，△△OBC△△ODE，△BC OB DE OD=，△△ABC与△BDE的相似比为13，等边△BDE边长为12，△1, 12123==+BC OBOB解得，BC=4，OB=6，△OA=2，AB=BC=4，△CA=CB，CF△AB，△AF=2，由勾股定理得，CF△OF=OA+AF=2+2=4，△点C的坐标为(4,故答案为：(4,．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、等边三角形的性质、掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．13．见解析【详解】试题分析：根据平行四边形的性质，过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分；根据圆的性质，过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分，所以过平行四边形的中心与圆心的直线就是所要求作的直线．所以过平行四版型的中心和圆心的直线就是所求做的直线.解：如图所示.点睛：本题考查了中心对称图形的性质，熟悉过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键.14．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接三角形的各顶点与O 的连线，并延长相同长度，找到对应点，顺次连接．（2）若A B C ''''''△与A B C '''关于点O '对称，连接两组对应点的连线的交点O 就是对称点．（1）（2）【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．15．(1)BF =CF(2)成立；理由见解析 (3)62m PD =-或PD =0或62m PD =-【分析】（1）连接AF ，先根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（2）连接AF ，先说明EAC BAD ∠=∠，然后根据“SAS”证明ACE ABD ∆∆≌，得出90ACE ABD ∠=∠=︒，再证明Rt Rt ABF ACF ≌，即可得出结论；（3）先根据60α=︒，AB =AC ，得出△ABC 为等边三角形，再按照60BAD ∠︒＜，60BAD ∠=︒，60BAD ∠︒＞三种情况进行讨论，得出结果即可．（1）解：BF =CF ；理由如下：连接AF ，如图所示：根据旋转可知，90DAE α∠==︒，AE =AD ，△△BAC =90°，△90EAC CAD ∠+∠=︒，90BAD CAD ∠+∠=︒，△EAC BAD ∠=∠，△AC =AB ，△ACE ABD ∆∆≌（SAS ），△90ACE ABD ∠=∠=︒，△1809090∠=︒-︒=︒ACF ，△在Rt△ABF 与Rt△ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， △Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），△BF =CF ．故答案为：BF =CF ．（2）成立；理由如下：连接AF ，如图所示：根据旋转可知，DAE α∠=，AE =AD ，△BAC α∠=，△EAC CAD α∠-∠=，BAD CAD α∠-∠=，△EAC BAD ∠=∠，△AC =AB ，△ACE ABD ∆∆≌，△90ACE ABD ∠=∠=︒，△1809090∠=︒-︒=︒ACF ，△在Rt△ABF 与Rt△ACF 中AB AC AF AF =⎧⎨=⎩， △Rt Rt ABF ACF ≌（HL ），△BF =CF ．（3）△60α=︒，AB =AC ，△△ABC 为等边三角形，△60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，AB AC BC ===，当60BAD ∠︒＜时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌， △1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，△AB = tan tan30BF BAF AB∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==， 4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌，△CE BD m ==，△4EF CF CE m =+=+，906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒，△90EPF ∠=︒，△906030FEP ∠=︒-︒=︒， △()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+， △6622m m PD BP BD m =-=+-=-； 当60BAD ∠=︒时，AD 与AC 重合，如图所示：△60DAE ∠=︒，AE AD =，△△ADE 为等边三角形，△△ADE =60°，△9030ADB BAC ∠=︒-∠=︒，△603090ADE ∠=︒+︒=︒，△此时点P 与点D 重合，0PD =；当60BAD ∠︒＞时，连接AF ，如图所示：根据解析（2）可知，Rt Rt ABF ACF ≌，△1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，△AB =tan tan30BFBAF AB ∴∠=︒=，即tan304BF AB =⨯︒==，4CF BF ∴==，根据解析（2）可知，ACE ABD ∆∆≌，△CE BD m ==，△4EF CF CE m =+=+，△906030FBC FCB ∠=∠=︒-︒=︒，60EFP FBC FCB ∴∠=∠+∠=︒，△90EPF ∠=︒，△906030FEP ∠=︒-︒=︒， △()1142222m PF EF m ==+=+， 42622m m BP BF PF ∴=+=++=+， △6622m m PD BD BF m ⎛⎫=-=-+=- ⎪⎝⎭； 综上分析可知，62m PD =-或PD =0或62m PD =-． 16．见解析 【详解】17．(1)3(2)△a -2b 或b =2a，△OP (3)a>【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；（2）△由点(),P a b 的“倾斜系数”2k =，由a b =2或b a =2求解即可；△由a =2b 或b =2a ，又因a +b =3，求出a 、b 值，即可得点P 坐标，从而由勾股定理可求解；（3）当点P 与点D 重合时，且ka 有最小临界值，此时，b a 2a a+a ；当点P 与B 点重合，且ka 有最大临界值，此时，ab =2a a =-a得k <a 的取值范围．（1） 解：由题意，得632=，2163=， △3>13，△点()6,2P 的“倾斜系数”k =3；（2）解：△a =2b 或b =2a ，△点(),P a b 的“倾斜系数”2k =， 当ab =2时，则a =2b ； 当ba =2时，则b =2a ，△a =2b 或b =2a ；△△(),P a b 的“倾斜系数”2k =， 当ab =2时，则a =2b△3a b +=，△2b +b =3，△b =1，△a =2，△P (2，1)，△OP= 当ba =2时，则b =2a ，△3a b +=，△a +2a =3，△a=1，△b=2，△P(1，2)△OP=综上，OP（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且ka有最小临界值，如图，连接OD，延长DA交x轴于E，此时，ba则2 aa+=解得：a；△k<则1a>;当点P与B点重合，且ka有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，此时，a b =则2a a - 解得：a△k <则3a >综上，若P 的“倾斜系数”k <a>【点睛】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求临界值．。
