人教版九年级数学 中心对称

专题23.4 中心对称（知识讲解）【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称图形与轴对称图形的识别1．1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念分析判断即可．解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．故选：A．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．举一反三：【变式1】习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；故符合题意的是选项B；故选：B．【点拨】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．【变式2】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项错误；B 、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B 选项正确；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C 选项错误；D 、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 选项错误．故答案为B ．【点拨】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．类型二、利用中心对称图形作图2．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以ABC A 下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；ABC A O A B C '''V （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上ABC A A 的．A B C '''V【分析】（1）分别作出A ，B ，C 三点关于O 点对称的点，，，然后顺次连接即可得A 'B 'C '；A B C '''V（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可．解：（1）如图1所示；（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．举一反三：【变式1】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.【变式2】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2；（2）△A 2B 2C 2与△ABC 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见分析；（2）（0，2）.解：分析：（1）根据中心对称和平移性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接可得；（2）根据中心对称的概念即可判断．详解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求；（2）由图可知，△A 2B 2C 2与△ABC 关于点（0，2）成中心对称．【点拨】本题考查了中心对称作图和平移作图，熟练掌握中心对称的性质和平移的性质是解答本题的关键. 中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.类型三、利用中心对称图形性质求值3.如图，与关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且ABO A CDO △AF =CE ．求证：FD =BE．【分析】根据中心对称得出OB =OD ，OA =OC ，求出OF =OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB =OD ，OA =OC ．∵AF =CE ，∴OF =OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，，BOE OB OD DOF OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD =BE ．举一反三：【变式1】如图，在中，D 为BC 上任一点，交AB 于点ABC A //DE AC 交AC 于点F ，求证：点关于AD 的中点对称．//E DF AB ，E F，试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称．证明：如图，连接EF 交于点O ．交AB 与交AC 于F ，//DE AC //E DF AB ，四边形AEDF 是平行四边形，∴点关于AD 的中点对称．∴E F ，【变式2】如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．(1)图中哪两个图形成中心对称；(2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．【点拨】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．类型四、坐标系中的中心对称图形4、在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+P C1的最小值为 ．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；（3【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C；（3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．解：（1）（2）如图所示（3）如图，作C 1点关于x 轴的对称点C 4在Rt ΔC 4DB 1中，C 4B 1=举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）的坐标满足方程（x+3），求点P 分别关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标．【答案】点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得、的值，即得到点的坐标，然后x y P 求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标.P x y解：由题意，得x+3=0，y+4=0，解得x=﹣3，y=﹣4，P 点的坐标为（﹣3，﹣4），点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【点拨】本题是一道小综合题，涉及了非负数性质、点的坐标及点关于轴、轴以x y 及原点的对称的性质，是考查学生综合知识运用能力的好题.【变式2】在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C ．（1）若A 点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC ．设AB 与y 轴的交点为D ，则= ；ADOABC S S D D （2）若点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则△ABC的形状为．【答案】（1）；（2）直角三角形．14【分析】（1）由A 点的坐标为（1，2），根据关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，求出B 、C 的坐标，继而得到点D 的坐标，在坐标轴上描出A 、B 、C ，顺次连接A 、B 、C 三点可得到△ABC ；根据各点的坐标可得到AD 、OD 、AB 、BC 的长度，然后利用三角形面积公式即可得到答案；（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（−a ，b ），C 点坐标为（−a ，−b ），则AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，至此结合x 轴与y 轴的位置关系就不难判断出△A BC 的形状.解：（1）∵A 点的坐标为（1，2），点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O的对称点为点C ，∴B 点坐标为（-1，2），C 点坐标为（-1，-2），连AB ，BC ，AC ，AB 交y 轴于D 点，如图，D 点坐标为（0，2），∴S △ADO =OD •AD =×2×1=1，S △ABC =BC •AB =×4×2=4，12121212∴=；ADO ABC S S A A 14（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（-a ，b ），C 点坐标为（-a ，-b ），AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，AB =2|a |，BC =2|b|，∴△ABC 的形状为直角三角形．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P (a ，b)关于原点的对称点P′的坐标为(–a ，–b )．也考查了关于x 轴、y 轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．类型三、中心对称图形的综合运用5、已知：如图，三角形ABM 与三角形ACM 关于直线AF 成轴对称，三角形ABE 与三角形DCE 关于点E 成中心对称，点E 、D 、M 都在线段AF 上，BM 的延长线交CF 于点P ．（1）求证：AC=CD ；（2）若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，∴∠F=∠MCD.【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.举一反三：【变式1】如图，已知点A（2，3）和直线y=x，（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B 、C 的坐标；（2）若点D 是点B 关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】（1）B （3，2），点C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由见分析.【分析】（1）依据关于直线y =x 的对称点的坐标特征以及关于原点的对称点的坐标特征，即可得到B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）先依据轴对称和中心对称的性质，得到四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC =BD ，即可得出四边形ABCD 是矩形．解：（1）∵A （2，3），∴点A 关于直线y =x 的对称点B 和关于原点的对称点C 的坐标分别为：B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵B （3，2）关于原点的对称点为D （﹣3，﹣2）．又∵点B 点D 关于原点对称，∴BO =DO ．同理AO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵A 关于直线y =x 的对称点为B ，点A 关于原点的对称点C ，∴AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形．【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．【变式2】（1）画图：图①为正方形网格，画出绕点顺时针旋转后的图ABC A O 90 形．（2）尺规作图：在图②中作出四边形关于点对称的图形（不写作法，保留ABCD O 作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．【分析】（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连接即可；（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连接即可．解：（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连结DE ，EF ，FD ，如图①，则为所求；DEF A（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A ，'如图②，四边形为所求．A B C D ''''【点拨】本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．。

中心对称（三种题型）【知识梳理】一．中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．二．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．三．关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．【考点剖析】一．中心对称（共16小题）1．（2023春•江夏区校级期末）下列说法中正确的是（）A．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及平行四边形的性质分别进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；D、经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积，故本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了正方形、菱形、矩形的判定定理以及平行四边形的性质．注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系．2．（2023AG∥l∥HC．若缩小的实像是物体的，则物体（焦点F1和F2关于O点对称）到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为．【分析】首先证明四边形OHCD是矩形，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】解：∵l∥HC，CD⊥l，OH⊥l，∴四边形OHCD是矩形，∴OH＝CD，∵AB∥OH，∴△ABF1∽△HOF1，∴＝＝，∵OF1＝OF2，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，中心对称，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2023•金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝20，AC＝15，点D，E分别是AB、AC的中点，点G，F在BC边上（均不与端点重合），DG∥EF．将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是．【分析】如图：连接DE，作AH⊥BC于H，首先证明，要求四边形MNFG周长的取值范围，只要求MG的最大值和最小值即可．【解答】解：如图：连接DE AH⊥BC于H，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝20，AC＝15，∴，∵，∴AH＝12，∵AD＝DB，AE＝EC，∴，∵DG∥EF，∴四边形DGFE是平行四边形，∴，∴MN∥BC，GM∥FN，∴四边形MNFG是平行四边形，∴当MG＝NF＝AH时，可得四边形MNFG周长的最小值＝，当G与B重合时可得周长的最大值为65，∵G不与B重合，∴49≤l＜65，故答案为：49≤l＜65．【点评】本题考查了旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题．4．（2021秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，求证：四边形ADCF是矩形．【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再由对角线相等证明四边形ADCF是矩形．【解答】解：∵AC＝BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，AE＝AC，∵AC＝BC，∴AE＝DE，∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴△ADE≌△CFE，∴AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AE＝CE，DE＝EF，AE＝DE，∴AE＝CD＝DE＝EF，∴AC＝DF，∴四边形ADCF是矩形．【点评】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键．5．（2023•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．点O为矩形ABCD的对称中心B．点O为线段AB的对称中心C．直线BD为矩形ABCD的对称轴D．直线AC为线段BD的对称轴【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意；线段AB的中点是为线段AB B错误，不符合题意；矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形是解答本题的关键．6．（2023•任丘市二模）如图由6×6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将△ABC绕着点O顺时针旋转180°．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【分析】将△ABC绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答．【解答】解：将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图，旋转前后的两个三角形可形成平行四边形，正确；△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上，正确．故选：C．【点评】本题考查了中心对称，平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2023•房山区二模）下列图形中，点O是该图形的对称中心的是（）A．B．C．D．【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与原来图形重合，那么就说这个图形叫中心对称图形，这个点叫做对称中心，由此即可判断．【解答】解：由中心对称图形的定义，得到选项B中的图形是中心对称图形，并且点O是该图形的对称中心，故B符合题意；选项A、C、D中的图形不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义，8．（2023•海港区一模）如图．在平面直角坐标系中▱ABCD的顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（7，5）．（1）点D的坐标为．（2）当正比例函数y＝kx的图象平分▱ABCD面积时，k的值为．【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）根据平分▱ABCD面积必过对角线交点求解即可．【解答】解：（1）∵A（1，2），B（4，2），∴AB＝3，∵▱ABCD，∴AB＝CD＝3，∵C（7，5）∴D（4，5），故答案为：（4，5）；（2）设▱ABCD对角线交点为Q，则Q为对角线AC中点，∵A（1，2），C（7，5），∴，∵正比例函数y＝kx的图象平分▱ABCD面积，∴正比例函数y＝kx的图象过，∴，解得，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，求正比例函数解析式，解题的关键是根据平分平分▱ABCD面积必过对角线交点，再利用中点坐标公式求出．9．（2023•碑林区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，则线段PQ 的长度为．【分析】连接AC，BD交于O C作CM⊥AD于M，由四边形ABC是平行四边形，得AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，又PQ将平行四边形的面积平分，可知CQ＝AP＝2，DP＝BQ＝1，由含30°角的直角三角形性质可得DM＝CD＝1，CM＝DM＝，故M，P重合，再根据勾股定理可得答案．【解答】解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：∵四边形ABC是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∵PQ将平行四边形的面积平分，∴O在PQ上，由平行四边形的中心对称性可知CQ＝AP＝2，∴DP＝BQ＝1，∵∠MDC＝∠ABC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴DM＝CD＝1，CM＝DM＝，∴DM＝DP，∴M，P重合，∴CP＝，∠PCQ＝∠DPC＝90°，∴PQ＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，涉及勾股定理及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．10．（2022秋•利川市期末）如图，将△ABC绕点O旋转180°，得到△A'B'C'，当点O不在△ABC三边所在直线上时，求证：四边形BCB'C'是平行四边形．【分析】连接BB'，CC'，根据旋转的性质可得BO＝B'O，CO＝C'O，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．【解答】证明：连接BB'，CC'，∵B点绕O点旋转180°到B'，∴BO＝B'O，∵C点绕O点旋转180°到C'，∴CO＝C'O，∴四边形BCB'C'是平行四边形．【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的判定方法是解题的关键．11．（2023春•瑞安市月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【分析】先证明△BEF是等边三角形，求出EF，同理可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．【解答】解：连接BD，AC，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在Rt△OBE中，，，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴，同法可证，△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，∴，，∴四边形EFGH的周长为．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．（2023•古冶区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上，将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD的平移过程可能是（）A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】先根据A点坐标推出正方形ABCD中的C点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，已知B、C在x轴上，且点A的坐标为（﹣6，4），∴根据正方形的性质可得正方形的边长AB＝4，∴B点坐标为（﹣6，0），C点坐标为（﹣2，0），∵正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分，∴正方形ABCD的对称中心的坐标为AC的中点坐标，∴对称中心的坐标为（﹣4，2），∵将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，∴正方形ABCD的平移过程即为对称中心的平移过程，∵正方形ABCD的对称中心的坐标为（﹣4，2），平移后的正方形的对称中心为坐标原点，∴可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度．故选：D．【点评】本题考查中心对称，正方形的性质，点的平移等知识点，求出原来正方形的对称中心，结合对称中心点的平移方式得到正方形的平移方式是解题的关键．13．（2023•西安一模）如图，直线l平分正方形ABCD的面积，直线l分别与AB、CD交于点E、F，BH⊥直线l于H，连接AH，若AB＝2，则AH长的最小值为．【分析】连接BD交EF于O，取OB中点M，连接AM，作MN⊥AB于N，由正方形的性质得到O是BD的中点，求出OB的长，得到MH，MB的长，由勾股定理求出AM的长，由三角形三边关系得到AH ≥AM﹣MH＝﹣1，于是即可求出AH长的最小值．【解答】解：连接BD交EF于，取OB中点M，连接AM，作MN⊥AB于N，∵直线l平分正方形ABCD的面积，∴O是BD的中点，∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴BD＝AB＝4，∴OB＝BD＝2，∵BH⊥FE，∴∠BHO＝90°，∵M是OB中点，∴MH＝OB＝1，∵MN⊥AB，∠MBN＝45°，∴△NBM是等腰直角三角形，∴MN＝BN＝BM，∵BM＝OB＝1，∴MN＝BN＝，∴AN＝AB﹣BN＝2﹣＝，∴AM＝＝＝，∵AH≥AM﹣MH＝﹣1，∴AH长的最小值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查中心对称，正方形的性质，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅助线，由三角形的三边关系得到AH≥AM﹣MH．14．（2023•舟山一模）如图1中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P沿线段AC以5cm/s 的速度从点A向点C运动，另有一动点Q与点P同时出发，沿线段BC以相同的速度从点B向点C运动．作PD⊥AB于点D，再将△APD绕PD的中点旋转180°，得到△A′DP；作QE⊥AB于点E，再将△BQE绕QE的中点旋转180°，得到△B′EQ．设点P的运动时间为xs．（1）如图（2）当A′点落在BC边上时x的值为；（2）如图1，在点P，Q运动中，当点A′在△B'EQ内部时x的取值范围为．【分析】（1）利用锐角三角函数的意义直接求出；（2）找出分界点①A刚好到达BE边时，②A刚好到达EQ边时，利用同一条线段两种算法求出x值，即可得x的取值范围．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8cm．BC＝6cm，∴AB＝10cm，cos A＝sin A＝，tan A＝，由题意得：AP＝5x，∴P A＝AD＝AP cos∠A＝×5x＝4x，CP＝8﹣5x，∴cos∠CP A＝cos∠A＝＝＝，∴x＝，故答案为：．（2）同（1）可得sin B＝，cos B＝tan B＝，①A刚好到达BE边时，由旋转可知，四边形ADAP是平行四边形，四边形BEBQ是平行四边形，∴AP∥DA，BQ∥EB，∴∠ADE＝∠A，∠BED＝∠B，∴∠ADE+∠AED＝∠A+∠B＝90°，即∠DAE＝90°，∵DA＝P A＝BO＝5x，则BE＝BO•cos∠B＝3x，DE＝＝×5x＝，∴4x++3x＝AB＝10，∴x＝；②A刚好到达EQ边时，∵DQ⊥AB，∴DE＝AD cos∠ADE＝5x×＝4x，∴4x+4x+3x＝AB＝10，∴x＝，∴＜x＜．故答案为：＜x＜．【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，解直角三角形等知识，具体的规划是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题．15．（2022秋•惠济区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）填空：①当α的度数是时，四边形AFCE为菱形；②当α的度数是时，四边形AFCE为矩形；【分析】（1）证明OA＝OC，OE＝OF可得结论；（2）①当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，证明四边形AFCE、四边形AFEB是平行四边形，再证明△ABE是等边三角形即可解决问题．②当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，取BC中点M，连接AM，首先证明△ABM是等边三角形，推出∠OCE＝30°即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）①当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，理由：∴AF＝CE，AF∥BC，∴AF∥BE，∵∠α＝∠ABC＝60°，∴AB∥EF，∴四边形AFEB是平行四边形，∴AF＝BE＝CE，∵BC＝8，AB＝4，∴AB＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝CE，∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是菱形，故答案为：60°；②当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，理由：同（1）得：四边形AFCE是平行四边形，取BC中点M，连接AM，∵AB＝BM＝4，∠B＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠AMB＝60°，AM＝BM＝AB＝CM，∴∠ACM＝∠MAC＝30°，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵OE＝OF，OA＝OC，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形，故答案为：30°．【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．16．（2023•滁州二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，点E为AD边上一点，且AE＝2，在BC边上存在一点F，CD边上存在一点G，线段EF平分菱形ABCD的面积，则△EFG周长的最小值为．【分析】作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，由∠ABC＝60°，AB＝8，得BH＝4，AH＝4，而AE＝2，有DE＝6，可得DN＝3，EN＝3，EM＝2EN＝6，在Rt△EMK中，KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，故MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，根据线段EF平分菱形ABCD的面积和菱形的对称性知CF＝AE＝2，可证∠EFH＝∠EFT＝90°，即可得FM＝＝2，又EF+CG+EG＝EF+CG+GM，知当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，从而可得△EFG周长的最小值为4+2．【解答】解：作E关于CD的对称点M，过M作KT⊥BC交BC延长线于T，交AD延长线于K，连接FM交DC于G，过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠ABC＝60°，AB＝8，∴BH＝4，AH＝4，∵AE＝2，∴DE＝6，∵∠EDN＝60°，∠END＝90°，∴∠DEN＝30°，DN＝3，EN＝3，∴EM＝2EN＝6，在Rt△EMK中，KM＝EM＝3，EK＝KE＝9，∴MT＝KT﹣KM＝AH﹣KM＝，∵线段EF平分菱形ABCD的面积，∴EF过对称中心，由菱形的对称性知CF＝AE＝2，∴HF＝BC﹣BH﹣CF＝8﹣4﹣2＝2，∴HF＝AE，∵HF∥AE，∠EHF＝90°，∴四边形HFEA是矩形，EF＝AH＝4，∴∠EFH＝∠EFT＝90°，∴四边形EFTK是矩形，∴FT＝EK＝9，∴FM＝＝2，∵EF+CG+EG＝EF+CG+GM，∴当M，G，F共线时，EF+CG+EG，即△EFG周长的最小，此时△EFG周长的最小值即为EF+FM，∴△EFG周长的最小值为4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，中心对称的性质，勾股定理的应用，确定△PEF周长取值最小时，M，G，F共线是解题的关键．二．中心对称图形（共7小题）17．（2023•南宁三模）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：选项B、C、D都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．选项A不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．18．（2023•江夏区校级模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．【解答】解：A、不是中心对称图形，所以不符合题意；B、不是中心对称图形，所以不符合题意；C、不是中心对称图形，所以不符合题意；D、是中心对称图形，所以符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．19．（2023•梁溪区模拟）给出下列4种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是．（在横线上填写图形前的标号即可）【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：①线段是轴对称图形，也是中心对称图形；②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；③矩形是轴对称图形，不是中心对称图形；④正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形；则既是轴对称图形又是中心对称图形是：①④．故答案为：①④．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两180度后两部分重合．20．（2023•富锦市校级三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、原图是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．21．（2022•吉林二模）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件．（1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形；（3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：答案不唯一．（1）（2）（3）【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．22．（2023春•南京期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．23．（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．（1）求证：BE+CF＞EF；（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解；（2）由（1）中的全等得到∠C＝∠CBG．∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠EBG＝90°，可得三边之间存在勾股定理关系．【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）解：BE2+CF2＝EF2．证明如下：∵∠A＝90°，∴∠EBC+∠FCB＝90°，由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2．【点评】本题主要考查了条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形，难度适中．三．关于原点对称的点的坐标（共9小题）24．（2023•沁阳市模拟）在平面直角坐标系中，点（a﹣3，4）关于原点的对称点为（5，﹣b），则ab的值为（）A．﹣8B．8C．6D．﹣12【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵点（a﹣3，4）关于原点的对称点为（5，﹣b），∴a﹣3＝﹣5，﹣b＝﹣4，解得：a＝﹣2，b＝4，则ab的值为：（﹣2）×4＝﹣8．故选：A．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．25．（2023•曲阜市二模）在平面直角坐标系中，已知P（﹣3，5）和点Q（3，m﹣1）关于原点对称，则m ＝．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【解答】解：∵P、Q两点关于原点对称，∴横、纵坐标均互为相反数，∴m﹣1＝﹣5，解得m＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．26．（2022秋•锦江区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）利用关于原点对称点的性质得出答案；（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2+8＝10或﹣8＝﹣6，故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．27．（2023春•温州期末）在直角坐标系中，点A（1，4）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣1，4）C．（4，1）D．（﹣1，﹣4）【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标，纵坐标都互为相反数”解答．【解答】解：在平面直角坐标系中，点（1，4）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：D．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．28．（2023•游仙区模拟）点M（﹣2，6）关于坐标原点的中心对称点为（）A．M'（﹣6，2）B．M'（2，﹣6）C．M'（﹣1，3）D．M'（3，﹣1）。