初等几何研究试题标准答案()(李长明版)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==初等数学研究李长明篇一：初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题,p497第3题,p498第9题答案初等数学研究(李长明周焕山编) p494第7题，p497第3题，p498第9题答案7.在直角梯形ABCD中，AB是垂直二底的腰，另一腰切以AB为直径之圆于E，过E作底的平行线交AB于F，求证：AC平分EF.证明: ∠DAB=∠ABC=90°, 圆O以AB为直径, ∴AD,BC均与圆O相切; 又圆O与CD相切于E, ∴AD=ED;EC=BC;又AD∥EF∥BC,∴FG/BC=AF/AB=DE/DC=AD/DC=EG/EC=EG/BC.∴EG=FG .即AC平分EF.3.凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积.求证：ABCD是平行四边形证明：作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,BM⊥AC于M,DN⊥AC于N.BD平分凸四边形ABCD的面积，∴12BD?AE=12BD?CF?AE=CF.又∠AEO=∠CFO=90?,∠AOE=COF(对顶角相等).??AEO??CFO∴AO=CO,同理易证得：BO=DO.?凸四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分)9.在?ABC中，∠B≠90,BC边的垂直平分线交求证：DE//BC.?AB于D,?ABC的外接圆在A,C两点之切线交于E.证明：连结OA,OC,CD. AE,CE是圆O的切线，∴∠OAE=∠OCE=90?.∴BD=CD.∴∠DBC=∠DCB.2倍),∠BDC=180?-∠DCB-∠DBC.=∠ACE.(同弧弦切角等于圆周角∴∠AOC+∠AEC=180?. DM是BC的垂直平分线又∠AOC=2∠ABC.(同弧圆心角是圆周角的∴∠ACE=∠ADE.(同弧圆周角相等∴∠ADE=∠ABC.∴DE//BC∴∠BDC=180?-2∠DBC=180?-∠AOC=∠AEC.∴A,D,C,E四点共圆.),∠ABC)篇二：初等几何研究试题答案(1)(李长明版)初等几何研究试题答案（I）一、线段与角的相等1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.证明:(1)连接AC、AE、AF、AD在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4所以△ACE≌△AFD∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4∵DF=CE∴△ACE≌△AFD∴AD=AE在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD, 求证:BD平分∠ABC.12证明:延长AE,BC交于点F∠AED=∠BCA=90? ∠ADE=∠BDC∴∠CBD=∠CAF又∠ACF=∠BCA=90? AC=BC∴?ACF??BCD∴AF=BD11BD∴AE=AF22又ABEE⊥BE又AE=∴BE平分∠ABF即BD平分∠ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o －3α ∴A、B、D、E共圆同理A、C、D、E共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、ADC ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC∴BD∥AH, AD∥BH∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R ∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o又∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO, ∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG, 又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF ／CF, ∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.证:如图所示设AC、ED的交点为F。

初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。

《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。

2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。

3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。

4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。

5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。

6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。

7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。

8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。

9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。

11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。

三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。

求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。

求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。

L2 D'
。
D B
C
L1
A
E'
E
证明：A.B.C 为 L1 上顺次取的三点，D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆，记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中，以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时， 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. （1） 当 D 移至 F 时，AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离，其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 （2） 当 L2 移过 AB 的中点时， 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明：棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明：连接 OM、ON（如图） 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM

初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。

大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。

方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。

a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。

（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。

（3）若a>b ，则ac mc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。

3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。

则a=b 。

（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。

则a <b 。

（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。

当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。

初等几何研究参考答案初等几何是数学中的一门基础学科，它研究的是平面和空间中的点、线、面以及它们之间的关系。

在学习初等几何的过程中，我们经常会遇到各种问题和难题，而参考答案则是我们解决问题的重要工具之一。

本文将探讨初等几何研究中的参考答案，并探讨其在学习过程中的作用和意义。

初等几何的参考答案是指针对具体问题给出的解答或解决方法。

它可以帮助我们验证自己的解答是否正确，也可以作为我们学习的参考和借鉴。

在学习初等几何的过程中，我们经常会遇到一些难题，有时候我们可能会陷入困境，不知道如何下手。

这时，参考答案就可以给我们提供一个思路和解题的方法，帮助我们更好地理解和掌握知识。

参考答案不仅仅是解答问题的工具，它还能够帮助我们培养一些重要的数学思维和解决问题的能力。

在初等几何中，我们需要运用一些基本的几何知识和定理来解决问题，而参考答案则可以帮助我们理清思路，找到解决问题的关键点。

通过参考答案的学习和借鉴，我们可以提高我们的分析和推理能力，培养我们的逻辑思维和数学思维。

然而，我们在使用参考答案的时候也需要注意一些问题。

首先，我们不能完全依赖于参考答案，而应该注重自己的思考和独立解题能力。

参考答案只是给出了一种解答方法，我们需要通过自己的思考来理解和掌握这个方法，并且能够灵活运用到其他类似的问题中。

其次，我们需要对参考答案进行深入的分析和思考，而不仅仅是简单地照搬答案。

通过自己的思考和分析，我们可以更好地理解问题的本质和解题的思路，从而提高我们的数学能力。

在学习初等几何的过程中，我们还可以通过参考答案来进行自我评估和提高。

通过对参考答案的对比和分析，我们可以找出自己解题中存在的问题和不足之处，从而加以改进和提高。

同时，我们还可以通过参考答案来扩展和拓宽我们的数学知识，了解一些更深入的定理和推论。

这样，我们就可以在初等几何的学习中不断进步，提高自己的数学水平。

总之，初等几何的参考答案在我们的学习中起着重要的作用。

它不仅可以帮助我们解决问题，还可以培养我们的数学思维和解决问题的能力。

《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC). 3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

初等⼏何研究试题答案（6）李长明版六、关于共线点与共点线1、证明四边形两双对边中点连线的交点与两对⾓线之中点共线证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图)∵E.H 分别是AB.AD 的中点， F,G 分别是BC.CD 的中点∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG ∴四边形EFGH 是平⾏四边形∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ?△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对⾓线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正⽅形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的⾓平分线，⾃E,F 作AC 的垂线，垂⾜分别是P,Q 求证：△BPQ 的外⼼与B ，C 共线A DCFBEP Q证明：∵FQ ⊥AC∴∠ABE=∠AQF ⼜∵∠EAF=45° ∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即AD AP=AFAE∴AQ AB =ABAP利⽤切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外⼼在BC 上，等价于AB,APQ 是切，割线∴△BPQ 的外⼼在BC 上3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上的⾼，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任⼀割线交☉A 于D 、E ，交CH 于F(D 在B 、F 之间),⼜作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。

求证：（1）A 、H 、D 共圆。

（2）E 、H 、G 共线。

（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成⽐例证明：如图所⽰：连结AE 、AD（1）∵BC 2=BH ·BA(摄影定理） BC 2=BD ·BE(割线定理）∴BD ·BE=BH ·BA∴A 、H 、D 、E 四点共圆 (2）∵∠ABD=∠ABG∴∠GBH=∠DBH(对称性）⼜∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对⾓等于内对⾓）∠AHE=∠EDA （同弧所对的⾓）⼜∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶⾓）∴E 、H 、G 三点共线 (3)∵∠ABD=∠ABG∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) ⼜∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线∴HC 平分∠DHE∴HC 、HB 是∠DHE 的内外⾓平分线∴FE DF =HE HD =BEBD4.设P是正⽅形ABCD内的⼀点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝着BC 旋转90BP ⾄Q.求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3设AP=1 则 BP=2 CP=3 ∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45°∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2 ⼜∵四边形ABCD 是正⽅形∴AB=BC ②∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90°∴∠ABP=∠CBQ ③∴△ABP≌△CBQ(由①②③可得到)∴PA=QC=1⼜∵PQ2+QC2=(2√2)2+12=32=PC2∴∠PQC=90°,∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°⼜∵∠APB=180°-45°=135°∴∠BQC=∠APB=135°即A、P、Q共线（∠APB、∠BQP是邻补⾓）5. 在?ABC中，D,E,F分别在AB.BC.CA上，使得DE=BE,EF=CE.求证：?ADF的外⼼O 在∠DEF的⾓平分线上。

初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。

D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。

由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。

习题二1.2.3.解：()()()则有设.2112444222234b ax x m x m p qx px x ++=+++-+-2223422342)4(44)1()1(2444b abx x a b ax x m x m p qx px x +++++=+++++- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++==∴222)1(2)1(24444-bm ab m p a b q a p ⎪⎩⎪⎨⎧--=+=-=∴1412n m b a q a p4.证明：（1）因个互异的根的是方程501,,,,15432=-x λλλλ 又()())()1(1112345x F x x x x x x x -=++++-=- 所以的根，依据因式定理，（是方程0)F ,,,432=x λλλλ()()())1.....(..........)()F(432λλλλ----=x x x x x（2）设)2.......().........()()(()()(G 5255x S x F x R x x xQ x F x =++=） ()()而）知，由（,0)()G (1432====λλλλG G G⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++0)1(R )1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(0)1()1()1(342422λλλλλλλλQ p R Q p R Q p R Q p 因为由以上方程组易得：,01)(234=++++=λλλλλT0)1(R ,0)1(,0)1(P ===Q故由因式定理可知，x-1是P(x),Q(x)和R(x)的因式，又根据（2），x-1也是F(x),S(x)的因式，但x-1不是F(x)的因式，所以x-1是Ｓ（ｘ）的因式 5.即（，推出由题设,3),2-0c b a 333222abc c b a ca bc ab c b a =++++=++=++)(21(-222c b a ca bc ab ++=++） )(31333c b a abc ++=))(222333c b a c b a ++++因此（）c a c a c b c b b a b a c b a ++++++++=()()(222222555 )()()(222222555b c a a c b c b a c b a -+-+-+++= )(555ac bc ab abc c b a +++++=2.3222333555c b a c b a c b a +++++++=)).(65222333555c b a c b a c b a ++++=++∴（2.35222333555c b a c b a c b a ++++=++∴6.解：由试除法知，当k=2时，有一次因式，为了探求二次因式，可用待定系数法，求得当k=1时，)2)(1()(22-+-=x x x x f))(-22234q px x n mx x a akx kx x ++++=-+-（设nq x np mq x n mp q x m p x ++++++++=)()()(234⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-=++-=+)4.......(....................23.....................2)2.(....................)1...(..........1nq k np mq k n mp q m p ）（则有： 由（4），有⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==1212,212-1q n q n q n q n ，)5.....(....................22-),321k p m q n =+⎩⎨⎧-==有代入（把 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=21011K )6(........................................)1(3232)1(151q n p m k p k m 故当）得：）（由（ 不合）不满足，故代入（⎩⎨⎧-==212q n………………….7.解：（1）原式=2222444y x y x y x y x -++++）（ =[][]222244)(.)(y x xy y x xy y x y x +++-+++ ()()[]()[]xy y x xy y x y x y x ++-++-+=222222.()[]()[]()[]()xy y x xy y x xy y x xy y x +++++-+++=2222222.()()[]xy y x xy y x xy y x +++-+++=22222()()xy y x y xy x ++⋅++=22222 ()2222y xy x ++=（2）原式=()[]()11212++++x x x x ()[]211++=x x=()221++x x（3）此多项式是对称多项式。

《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。

6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。

14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

五、关于平行与垂直1、I是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于D 、E 和F. 求证:EF ⊥AD.证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF=⌒AF ，⌒AE =⌒CE∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE∴EF ⊥AD2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.ADECFIBPQRSDCBA证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒AP =⌒PB ,⌒BQ =⌒QC ,⌒CR =⌒RD ,⌒DS =⌒SA ∴⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS又∵⌒PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒DS , ⌒SP +⌒RQ =⌒AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA ∴⌒PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。

证明：设AC 和BD 相交于点O ，作AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，ABCDFOE连接AF，CE∵对角线BD平分四边形ABCD的面积∴S△ABD＝S△CBD∴AE=CF又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴AE∥CF∴四边形AECF为平行四边形∴AO=CO同理可得 BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。

求证：EFGH是平行四边形。

GCHD YEAFBX证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF∴△GCH≌△AEF∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE∵AB∥CD∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形OO5. 在△ABC 的各边上向外作正方形BCDE 、CAFG 、ABHI,其中心依次为O 1，O 2, O 3求证：AO 1┴O 2 O 3证明：如上图所示取AC 中点M ，连结MO 2、CE 、AE 、HC ∵ BH=AB BC=CE∠HBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC 即∠HBC=∠ABE ∴△ABE ≌△HBC ∴AE=HC HB=AB BE=BC 又∵∠HBA=90º ∴AE ┴HC又∵O 3 、M 、O 1、中点GFAIHBECDOO 3MO 2∴O 3M=21HC MO 1=21AE 又∵HC=AE∴MO 1=┴O 3M 且 MO 1┴O 3M又∵AM=MO 2 ∠AM O 2 +AMO 3 =∠O 1MO 3 +∠AM O 3即∠O 1MO 2 =∠AM O 1∴△O 2MO 3≌△AM O 1∴ AM=M O 2 AO 1=O 2 O 3 ∠AM O 2 =90º ∴AO 1┴O 3M6. 正方形ABCD 内任取一点E ，连AE 、BE ，在△ABE 外分别以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF . 求证：NC ∥AF证明：连结CF 、DN .如图所示 。

七、关于共圆点与共点圆1、两圆相切，自其公切线上任一点作两直线，一线割圆于A、B，另一线割圆于C、D，求证：A、B、C、D共圆。

证明：设共切点为T由切割线定理得：PT2=PA·PBPT2=PC·PD∴PA·PB=PC·PD∴A、B、C、D共圆。

2. 四圆依次外切，求证四切点共圆。

证明：设O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD.则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)再注意到四边形O1O2O3O4顺次ABCD，即知四边形ABCD对角互补∵O1，O2，O3，O4顺次外切于ABCD∴则∠ABC=12(∠AO2B+∠BO3C)∠CDA=12(∠CO1D+∠DO1A)∵四边形O1O2O3O4顺次ABCD ∴四边形ABCD对角互补3.设P、M分别在正方形ABCD的边DC、BC上，PM与⊙A（半径为AB）相切，线段PA、MA 分别交对角线BD于Q、N. 求证：五边形PQNMC内接于圆。

证明：连结MQ、AT∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′∴∠1′＋∠2′＝45°∴α=45°＋∠2 β＝∠MAP＋∠2＝45°＋∠2∴α＝β∴A、B、M、Q共圆∴∠ABM＋∠MQA＝180°且∠ABM＝90°∴∠MQA＝90°∴M、C、P、Q共圆同理P、N、M、C共圆∴M、C、P、Q、N五点共圆。

4. 设O为△ABC内一点，AA’,BB’,CC’均以O为中点。

求证：△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点证：连接B’M,CM, A’M,设△BCA’外接圆与△A’B’C’外接圆的另一交点M（≠A’），如图，则由BCMA’,A’MB’C’内接于圆可知∠B’MC=∠1+∠2=∠3+∠4由对称性知BC∥B’C’,过A‘作BC的平行线，则有∠3+∠4=∠5+∠6=∠BA’C’再由对称性知∠BA’C’=∠B’AC∴∠B’MC=∠B’AC∴M在△CAB’的外接圆上同理，M在△ABC’的外接圆上故△BCA’, △CAB’, △ABC’与△A’B’C’的外接圆共点。

《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。

A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。

A.83； B.23； C.43； D.53。

3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。

A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。

4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。

A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。

5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。

A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。

6.下列语句正确的是________。

A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。

B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。

C.圆的一部分叫做弧。

D.能够互相重合的弧叫做等弧。

7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。

8.下列关于平移的说法中正确的是___________。

A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。

二、 判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。