2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练

2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律（附答案）1．计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020的值为（）A．0B．﹣1C．2020D．﹣20202．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a20203．已知函数f（x）＝，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），N＝f （）+f（）+f（）+…+f（）+f（），则M+N＝（）A．2014B．C．2013D．4．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．715．在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）A．B．C．D．6．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示进行排列，则﹣2021应排在（）A．A位置B．B位置C．D位置D．E位置7．已知f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）的值为（）A．6B．4028C．4042D．40488．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，…，依此类推，则a2035的值为（）A．﹣2035B．2035C．﹣1018D．﹣10179．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．10．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．11．一组按规律排列的式子：，，，，，其中第8个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．12．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．13．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．14．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．15．已知a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），则a2020的值是．16．正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．17．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．18．如果a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝．19．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；71×79＝5609；24×26＝624；35×35＝1225；53×57＝3021；…（1）计算83×87＝，552＝．（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；（3）证明得出的结论．20．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．21．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足c＝ab+2a﹣b，则称这个数列为“梦数列”．（1）若0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，则y＝；（2）如果数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，求x的值；（3）如果数列…，2m，n，5…是“梦数列”，求代数式8m﹣2n+4mn﹣9的值．22．有一系列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132﹣92＝8×11；第4个：172﹣132＝8×15；……（1）请写出第5个等式：．（2）请写出第n个等式，并加以验证．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．23．观察下列等式：＝1，＝，＝．将以上三个等式的两边分别相加，得：+＝1＝1＝．（1）直接写出计算结果：＝．（2）计算：．（3）猜想并直接写出：＝．（n 为正整数）24．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列等式：＝1，＝，将以上三个等式相加得：＝1＝1＝．（1）猜想并写出：＝；（2）直接写出下列各式的结果：①＝；②＝；（3）探究并计算：．25．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…（1）用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，发现c与a，b的数量关系是；（2）等式右边括号内的三个数可用a，b表示为：；（3）用a，b表示你发现的等式，并加以证明．26．定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：①1⊙3＝1×3﹣（﹣1）﹣（﹣3）＝7，②（﹣1）⊙（﹣2）＝（﹣1）×（﹣2）﹣1﹣2＝﹣1，③0⊙（﹣2）＝0×（﹣2）﹣0﹣2＝﹣2，④4⊙（﹣3）＝4×（﹣3）﹣（﹣4）﹣3＝﹣11，…（1）计算（﹣5）⊙3的值；（2）有理数的加法和乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？请说明理由．27．有一列数，按一定规律排成1，，，，，，…．（1）这列数中的第7个数是，第n个数是．（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？28．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第⑤个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．29．我们将不大于2020的正整数随机分为两组，第一组按照升序排列得到a1＜a2＜…＜a1010，第二组按照降序排列得到b1＞b2＞…＞b1010．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|的所有可能值．30．观察下列等式：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．参考答案1．解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，∵2020÷4＝505，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×505＝﹣2020．故选：D．2．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．3．解：根据题意可知：f（2）＝＝，f（）＝÷（1+）＝，∴f（2）+f（）＝+＝1，…可得：f（2014）+f（）＝1，又∵f（1）＝，∴M+N＝2013+＝．故选：D．4．解：1＝1×2﹣1，5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．5．解：观察数列发现规律：第n组的分数有n个，它们的分子是从1开始的连续自然数，分母是从n开始的连续降序自然数，因为前100组有：1+2+3+…+100＝5050个分数，所以5055个数在第101组的第5个，分母为101﹣4＝97，分子是5，所以第5055个数为：．故选：B．6．解：由图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，∵（2021﹣1）÷5＝2020÷5＝404，∴﹣2021应排在E位置，故选：D．7．解：∵f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），f（4）＝0（取4×5的末位数字），f（5）＝0（取5×6的末位数字），f（6）＝2（取6×7的末位数字），f（7）＝6（取7×8的末位数字），f（8）＝2（取8×9的末位数字），f（9）＝0（取9×10的末位数字），f（10）＝0（取10×11的末位数字），f（11）＝2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2021÷5＝404…1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝（2+6+2+0+0）×404+2＝10×404+2＝4040+2＝4042，故选：C．8．解：由题意可得，a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，…，∵（2035﹣1）÷2＝2034÷2＝1017，∴a2035＝﹣1017，故选：D．9．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．10．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．11．解：∵＝（﹣1）2•，﹣＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第8个式子是，第n个式子为：（﹣1）n+1•．故答案是：；（﹣1）n+1•．12．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．13．解：因为a n，n＝a n，1＝，所以a11，11＝a11，1＝，a12，12＝a12，1＝，因为a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝．故答案为：．14．解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第1列上面的数字的平方减去30，302﹣30＝870．故答案为：870．15．解：∵a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），∴a2＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，∴a2020＝﹣＝﹣1010，故答案为：﹣1010．16．解：第一行第二列对应的数字为：2＝1×2，第二行第三列对应的数字为：6＝2×3，第三行第四列对应的数字为：12＝3×4，第四行第五列对应的数字为：20＝4×5，…第20行，第21列对应的数字为：20×21＝420；故答案为：420；17．解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．18．解：∵a1＝4a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝4，…数列以4，﹣，三个数依次不断循环，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝，故答案为：．19．解：（1）∵83×87＝7221，552＝3025，（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个位和十位．（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10﹣y＝10（x+1）﹣y，（10x+y）[10（x+1）﹣y]＝100x（x+1）+y（10﹣y），前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．故答案为：（1）7221；3025．20．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．21．解：（1）∵0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，∴y＝﹣1×2+2×（﹣1）﹣2＝﹣2+（﹣2）+（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）∵数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，∴6x﹣1＝3x+2x﹣3，解得x＝﹣2，即x的值为﹣2；（3）∵数列…，2m，n，5…是“梦数列”，∴5＝2mn+4m﹣n，∴8m﹣2n+4mn﹣9＝2（2mn+4m﹣n）﹣9＝2×5﹣9＝1．22．解：（1）由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，∴第5个等式为：212﹣172＝8×19，故答案为：212﹣172＝8×19；（2）第n个等式为：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．验证：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣（16n2﹣24n+9）＝32n﹣8＝8（4n﹣1），∴（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）；（3）8×3+8×7+8×11+……+8×399＝52﹣12+92﹣52+132﹣92+……+4012﹣3972＝4012﹣12＝402×400＝160800．23．解：（1）＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；（2）＝1﹣+…+＝1﹣＝＝；（3）＝×（1﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝×＝，故答案为：．24．解：（1）由题意可得，＝，故答案为：；（2）①＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；②＝＝1﹣+…+＝1﹣＝＝，故答案为：；（3）＝×（+…+）＝×（）＝×＝．25．解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则c＝a+b，故答案为：c＝a+b；（2）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则等式右边括号内的三个数可表示为a2+b2+ab，故答案为：a2+b2+ab；（3）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab），证明：∵a2+b2+（a+b）2＝a2+b2+a2+2ab+b2＝2（a2+b2+ab），∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）．26．解：（1）观察已知等式可知：（﹣5）⊙3＝﹣5×3﹣5﹣（﹣3）＝﹣17；（2）“⊙”运算满足交换律，理由如下：因为a⊙b＝ab﹣（﹣a）﹣（﹣b）＝ab+a+b；b⊙a＝ba﹣（﹣b）﹣（﹣a）＝ab+b+a＝ab+a+b＝a⊙b．所以a⊙b＝b⊙a．27．解：（1）∵一列数为1，，，，，，…．∴这列数的第n个数为，当n＝7时，这个数是＝﹣，故答案为：﹣，；（2）设这三个数是4x，﹣2x，x，则4x+（﹣2x）+x＝，解得x＝﹣，则﹣2x＝，4x＝﹣，故这三个数中最大的数是．28．解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，∴第5个等式为：﹣﹣＝﹣；（2）第n个等式为：﹣﹣＝﹣，证明：左边＝＝﹣，右边＝﹣，∴左边＝右边，∴原式成立．29．解：（1）若a k≤1010，且b k≤1010，则a1＜a2＜…＜a k≤1010，1010≥b k＞b k+1＞…＞b1010，则a1，a2，…a k，b k，……，{b1010，共1011个数，不大于1010不可能；（2）若a k＞1010，且b k＞1010，则a1010＞a1009＞…＞a k+1＞a k＞1010及b1＞b2＞…＞b k＞1010，则${b}_{1}，……，{b}_{k}，{a}_{k}……{a}_{1010}共1011个数都大于100，也不可能；∴|a1﹣b1|，……，|a1010﹣b1010|中一个数大于1010，一个数不大于1010，∴|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|＝1010×1010＝1020100．30．解：（1）12+22+32+42+52＝＝55，即12+22+32+42+52的值是55；（2）∵12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…∴第n个算式是12+22+32+…+n2＝；（3）62+72+82+92+…+592+602＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52）＝﹣＝73810﹣55＝73755。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《找规律之图形变化类》（二）1．探究题：（1）数轴上到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点1000距离相等的点表示的数是；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是：；（2）当x＝时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为：（3）如图，将一块正方形纸片，第一次剪成四个大小形状一样的正方形，第二次再将其中的一个正方形，按同样的方法，剪成四个小正方形，如此循环进行下去．剪n次后图中共有个正方形．2．如图所示，由一些点组成形如三角形的图案，每条“边”（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n＝7，100时，S是多少？3．AB是⊙O的直径，把AB分成n条线段，以每条线段为直径分别画小圆，设⊙O的半径为r，那么⊙O的周长l＝2πr，⊙O的面积S＝πr2．计算：（1）如图①，把AB分成两条相等的线段，则每个小圆的周长；（2）如图②，把AB分成三条相等的线段，则每个小圆的周长l3＝；（3）如图③，把AB分成n条相等的线段，则每个小圆的周长l n＝．（4）如图④，把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长与大圆的周长的关系为．请依照上面的探索方法和步骤，分别计算出如图①、②、③中每个小圆面积与大圆面积的关系．（直接写出结论，不要求写过程）4．观察如图，解答下列问题．（1）图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第七层有几个小圆圈？第n层呢？（2）某一层上有77个圆圈，这是第几层？（3）数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．比如：前两层的圆圈个数和为（1+3）或22，由此得，1+3＝22．同样，由前三层的圆圈个数和得：1+3+5＝32．由前四层的圆圈个数和得：1+3+5+7＝42．由前五层的圆圈个数和得：1+3+5+7+9＝52．…根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来．（4）计算：1+3+5+…+19的和；（5）计算：11+13+15+…+99的和．5．用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：（3分）图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n个图形棋子的枚数．6．某市民广场地面铺设地砖，决定采用黑白2种地砖，按如下方案铺设，首先在广场中央铺3块黑色砖（如图①），然后在黑色砖的四周铺上白色砖（如图②），再在白色砖的四周铺上黑色砖（如图③，再在黑色砖的四周铺上白色砖（如图④）这样反复更换地砖的颜色，按照这种规律，直至铺满整个广场．观察下图，解决下列问题．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3（2）按照这种规律第n个图形一共用去地砖多少块．（用含n的代数式表示）7．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干图案：（1）当黑砖n＝1时，白砖有块，当黑砖n＝2时，白砖有块，当黑砖n ＝3时，白砖有块．（2）第n个图案中，白色地砖共块．8．如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是；画出相应的图形．（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是；小正方形的个数最少是（直接填写结果）（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是．9．如图，用正方体石墩垒石梯，下图分别表示垒到一、二、三阶梯时的情况．那么照这样垒下去，请你观察规律，并完成下列问题．（1）填出下表中未填的两个空格：阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9（2）当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩多少块（用含n的代数式表示）？并求当n ＝100时，共用正方体石墩多少块？10．用火柴棒按下图的方式搭三角形（1）填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5 …．火柴棒根数（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形，需要多少根火柴棒？参考答案1．解：（1）到点100和到点1000距离相等的点表示的数是550；到点m和点﹣n距离相等的点表示的数是；（2）当x＝2时，代数式﹣（x﹣2）2+10有最大值，最大值为10；（3）根据题意可知：后一个图形中的个数总比前一个图形中的个数多3个，即剪第1次时，可剪出4个正方形；剪第2次时，可剪出7个正方形；剪第3次时，可剪出10个正方形；剪第4次时，可剪出13个正方形；…剪n次时，共剪出小正方形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1．故答案为：550，；2，10；3n+1．2．解：∵第一图形中有3×2﹣3＝3个点，第二个图形中有3×3﹣3＝6个点，第三个图形中有4×3﹣3＝9个点…∴S＝3n﹣3，当n＝7时，S＝3n﹣3＝3×7﹣3＝18，当n＝100时，S＝3n﹣3＝3×100﹣3＝297．3．解：（2）根据l＝2πr，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L＝×2πr＝l，3故答案为：l；（3）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n＝×2πr＝l．故答案为：l；（4）把AB分成n条不相等的线段，记n个小圆的周长分别为C1，C2，…，∁n，则n个小圆的周长为：2π（r1+r2+…+r n）＝2πr，大圆的周长的关系为：2πr，故n个小圆的周长与大圆的周长的关系为：相等，以r为半径的圆的面积为：S＝πr2．把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2＝π×（r）2＝πr2＝S；把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3＝πr2＝S；把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积S n＝S．故答案为：相等．4．解：（1）第七层有13个小圆圈，第n层有（2n﹣1）个小圆圈；（2）令2n﹣1＝77，得，n＝39．所以，这是第39层；（3）1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（4）1+3+5+…+19＝102＝100；（5）11+13+15+…+99＝（1+3+5+...+99）﹣（1+3+5+ (9)＝502﹣52＝2475．5．解：（1）填写下表：图形编号（1）（2）（3）（4）（5）（6）图形中的棋子 6 9 12 15 18 21 （2）根据（1）中的数字规律可得：3（n+1）＝3n+3．6．（1）填表图形序号数①②③④…地砖总数（包括黑白地砖） 3 15 35 63 （2）（2n﹣1）（2n+1）7．解：（1）观察图形得：当黑砖n＝1时，白砖有6块，当黑砖n＝2时，白砖有10块，当黑砖n＝3时，白砖有14块；（2）根据题意得：∵每个图形都比其前一个图形多4个白色地砖，∴可得规律为：第n个图形中有白色地砖6+4（n﹣1）＝4n+2块．故答案为6，10，14，4n+2．8．解：（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是3或6，作图如下：（2）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是4或7或10，作图如下：（3）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 2n；小正方形的个数最少是①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；（4）一个4×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 4或6或9或12．故答案为：3或6；4或7或10；2n；①n为偶数，有个；②n为奇数，有个；4或6或9或12．9．解：（1）第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝3；第一级台阶中正方体石墩的块数为：＝9；第一级台阶中正方体石墩的块数为：；…依此类推，可以发现：第几级台阶中正方体石墩的块数为：3与几的乘积乘以几加1，然后除以2．阶梯级数一级二级三级四级石墩块数 3 9 18 30 （2）按照（1）中总结的规律可得：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，∴当n＝100时，共用正方体石墩15150块．答：当垒到第n级阶梯时，共用正方体石墩块；当n＝100时，共用正方体石墩15150块．10．解：（1）从左向右依次填：7，9，11；（2）由图可知，n个三角形需2n+1根火柴棒．。

2021年九年级数学中考二轮复习《探索图形的变化规律》专题突破训练1．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F2．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图ⓝ表示，那么第50个图形中的白色小正方形地砖的块数是（）A．150B．200C．355D．5053．如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．27C．35D．404．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．20135．根据右图中已填出的“√”和“×”的排列规律，把②、③、④还原为“√”或“×”且符合右图的排列规律，下面“〇”中还原正确的是（）A．B．C．D．6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．27．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2019次跳后它停在的点所对应的数为（）A．1B．2C．3D．58．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角9．如图中的每次个图是由若干盆花组成的四边形图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案中花盆的总数是S，按此规律推断，S与n的函数关系式是（）A．S＝n2B．S＝4n C．S＝4n﹣4D．S＝4n+410．探索以下规律：根据规律，从2018到2020，箭头的方向图是（）A．B．C．D．11．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层…．则第2020层正方体的个数为（）A．2009010B．2005000C．2041210D．200412．一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．13．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为．14．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆……按此规律排列下去，第9个图形中圆的个数是个．15．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．16．观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n个“星阵”中的★的个数是．17．如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么由一张A4的纸可以裁张A8的纸．18．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．19．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为个．20．如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为．21．设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3＝；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD n F n E n，其面积S n＝．22．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝．24．观察下表：序号123…图形xxyxxxxxyyxxyyxxxxxxxyyyxxyyy…xxyyyxxxx我们把某格中各字母的和所得多项式称为“特征多项式”．例如，第1格的“特征多项式”为4x+y．回答下列问题：（1）第3格的“特征多项式”为，第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为﹣10，第2格的“特征多项式”的值为﹣16，求x，y的值．25．用若干根火柴可以摆出六个正方形，如下图就是一种摆法，请你再画出与下图不同的两种摆法示意图．并回答：要摆出六个正方形至多需要根火柴，至少需要根火柴．（摆出的六个正方形中，每个正方形的边仅限于一根火柴．）26．观察下面图形，按规律在两个箭头所指的“田”字格内分别画上适当图形（只对一个2分）27．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：①→4×0+1＝4×1﹣3②→4×1+1＝4×2﹣3③→4×2+1＝4×3﹣3④→⑤→…（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．28．（1）计算：；（2）解方程组：；（3）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：根据规律填空：①第4个图案中有白色地面砖块；②第n个图案中有白色地面砖块。

2021年九年级数学中考复习《图形的变换综合》考前专题突破训练（附答案） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为( )A ．65B ．75C ．3225D ．36252．等边△ABC 的边长为6，点O 是三边垂直平分线的交点，∠FOG=120°，∠FOG 的两边OF ，OG 分别交AB ，BC 与点D ，E ，∠FOG 绕点O 顺时针旋转时，下列四个结论正确的是（ ）①OD=OE ；②ODE BDE S S ∆∆=；③2738ODBE S =；④△BDE 的周长最小值为9. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，DEF ∆是由ABC ∆绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是A ．（1，1）B ．（2，0）C ．（0，1）D ．（3，1）4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 2 021OB 2 021．则点B 2 017的坐标（ ）A ．（22 021，－22 021）B ．（22 020，－22 020）C ．（22 021，22 021）D ．（22 020，22 020）5．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=65°，则∠EFD的度数是( )A．15B．20C．25D．306．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：①以点O为中心逆时针方向旋转180°；②先以A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格，向上平移4格；③先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将三角形ABC变换成三角形PQR的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③7．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为()A．2B．3C．13D．108．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P 成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）9．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合C．沿所在直线折叠后，与重合D．沿所在直线折叠后，与重合10．如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（）A．180°﹣αB．90°12α-C．180°12α-D．90°12α+11．如图，将平行四边形ABCD 绕点D 逆时针旋转150，得到平行四边形DEFG ，这时点C 、E 、G 恰好在同一直线上，延长AD 交CG 于点H .若2AD =，75A ∠=，则HG =__________．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 可以看作是△DEF 经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF 得到△ABC 的过程____.13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，线段AD 由线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，当直线EF 恰好经过点D 时，CG 的长等于_____．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝2，点D 是AC 边的中点，E 是直线BC 上一动点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF 、EF ，在点E 的运动过程中线段AF 的最小值为_____．15．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边AB 、AD 上的点，且A E =AF ，连接EF ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转45°，使E 落在E 1，F 落在F 1，联接BE 1并延长交DF 1于点G ，如果AB =22，AE =1，则DG =______.16．如图，将ABC △的边AB 绕着点A 顺时针旋转()090a α︒︒<<得到AB '，边AC绕着点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AC '，联结B C ''．当90αβ︒+=时，我们称AB C ''△是ABC △的“双旋三角形”．如果等边ABC △的边长为a ，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a 的代数式表示）．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），点P 是x 轴上一动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AQ ，当点P 从点（−3，0）运动到点（1，0）时，点Q 运动的路径长为____.18．如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是______．19．如图，将矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边'B C 交CD 边于点G 。

2021年中考数学二轮复习《探索数字的变化规律》自主学习达标测评（附答案）1．观察下列各算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式的规律，你认为22020的末位数字应该是（）A．2B．4C．6D．82．观察下列等式：（1）13＝12；（2）13+23＝32；（3）13+23+33＝62；（4）13+23+33+43＝102；根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（）A．45B．54C．55D．653．在一列数：a1，a2，a3，…，a n中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（）A．1B．3C．7D．94．按一定规律排列的单项式：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，﹣11a6，…，第n个单项式是（）A．（﹣1）n+1•（2n﹣1）•a n B．（﹣1）n（2n﹣1）•a nC．（﹣1）n+1•（2n+1）•a n D．（﹣1）n•（2n+1）•a n5．在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2020次输出的结果为（）A．3B．6C．1010D．20236．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点：若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从1这点开始跳，则经过2020次后它停在哪个数对应的点上（）A．1B．2C．3D．57．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位8．观察下列等式：12+22＝×2×（2+1）×（2×2+1），12+22+32＝×3×（3+1）×（2×3+1），12+22+32+42＝×4×（4+1）×（2×4+1），…，按此规律计算102+112+122+…+172+182的值是（）A．1204B．1724C．1824D．21099．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．18910．设一列数a1，a2，a3，…，a2015，…中任意三个相邻的数之和都是20，已知a2＝2x，a18＝9+x，a65＝6﹣x，那么a2020的值是（）A．2B．3C．4D．511．为了求1+2+22+23+…+2100的值，令S＝1+2+22+23+…+2100，……①则2S＝2+22+23+24…+2101，……②②﹣①得S＝2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100＝2101﹣1．仿照以上推理计算1+3+32+33+34+35+…+3100的值是．12．观察下列式子：a1＝＝﹣；a2＝＝﹣；a3＝＝﹣；a4＝＝﹣；…，按此规律，计算a1+a2+a3+…+a2020＝．13．根据图中数字的规律，则代数式x﹣（y﹣x）的值是．14．观察下列式子：1×3+1＝22；7×9+1＝82；25×27+1＝262；79×81+1＝802；…可猜想第2020个式子为．15．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，则a+b﹣c的值是．16．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．17．观察下面三行数﹣3，9，﹣27，81，…；①1，﹣3，9，﹣27，…；②﹣2，10，﹣26，82，…．③（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）设x，y，z分别为第①②③行的第2020个数，求x+6y+z的值．18．观察下列等式解答问题：（1）52﹣51＝4×51；（2）53﹣52＝4×52；（3）54﹣53＝4×53．…（1）按此规律，第④个等式为；第n个等式为；（用含n的代数式表示，n为正整数）（2）按此规律，计算：①4×51+4×52+4×53+4×54+4×55；②51+52+53+…+5n．19．阅读下列材料并解决有关问题：13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，所以13+23＝（1+2）2；13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，所以13+23+33＝（1+2+3）2；13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，所以13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；（1）13+23+33+43+53＝．（2）按照材料提示，求13+23+33+…+n3（n为整数）；（3）求113+123+133+143+153的值．20．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（）；23﹣22＝＝2（）；24﹣23＝＝2（）；……（1）请仔细观察，写出第5个等式；（2）请你找规律，写出第n个等式；（3）计算：2+22+…+22018+22019﹣22020．21．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣．将以上三个等式两边分别相加，得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．（1）猜想并写出：＝．（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+＝；②+++…+＝．（3）探究并计算+++…+．22．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为，一次项为；（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝．参考答案1．解：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以2020÷4＝505，则22020的末位数字是6．故选：C．2．解：观察下列等式：（1）13＝12；（2）13+23＝32；（3）13+23+33＝62；（4）13+23+33+43＝102；…∴第十个等式为：13+23+…+93+103＝（1+2+3+4+…+9+10）2＝552；故选：C．3．解：由题意可得，a1＝7，a2＝1，a3＝7，a4＝7，a5＝9，a6＝3，a7＝7，a8＝1，…，∵2021÷6＝336…5，∴这一列数中的第2021个数是9，故选：D．4．解：∵一列单项式：a，﹣3a2，5a3，﹣7a4，9a5，﹣11a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•（2n﹣1）•a n，故选：A．5．解：由题意可得，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，…，由上可得，从第三次开始，输出结果依次以6，3循环出现，∵（2020﹣2）÷2＝2018÷2＝1009，∴第2020次输出的结果为3，故选：A．6．解：第1次跳后落在3上；第2次跳后落在5上；第3次跳后落在2上；第4次跳后落在1上；…4次跳后一个循环，依次在1，3，5，2这4个数上循环，∵2020÷4＝505，∴应落在1上．故选：A．7．解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．故选：A．8．解：102+112+122+…+172+182＝（12+22+32+…+172+182）﹣（12+22+32+…+82+92）＝﹣＝2109﹣285＝1824．故选：C．9．解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．10．解：由题可知，a1+a2+a3＝a2+a3+a4，∴a1＝a4，∵a2+a3+a4＝a3+a4+a5，∴a2＝a5，∵a4+a5+a6＝a3+a4+a5，∴a3＝a6，……∴a1，a2，a3每三个循环一次，∵18÷3＝6，∴a18＝a3，∵65÷3＝21…2，∴a65＝a2，∴2x＝6﹣x，∴x＝2，∴a2＝4，a3＝11，∵a1，a2，a3的和是20，∴a1＝5，∵2020÷3＝673…1，∴a2020＝a1＝5，故选：D．11．解：令S＝1+3+32+33+34+35+…+3100…①则3S＝3+32+33+34+35+…+3101…②②﹣①得2S＝3101﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+35+…+3100＝．故答案为：．12．解：，，，，…，可得：，a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故答案为：．13．解：观察数字的变化可知：21+1＝5；42+1＝17；62+1＝37；所以82+1＝x，所以x＝65，因为2×5+2＝12；4×17+4＝72；6×37+6＝228；所以8x+8＝y，所以y＝8×65+8＝528，所以x﹣（y﹣x）＝65﹣（528﹣65）＝﹣398．故答案为：﹣398．14．解：观察发现，第n个等式可表示为（3n﹣2）×3n+1＝（3n﹣1）2，当n＝2020时，（32020﹣2）×32020+1＝（32020﹣1）2，故答案为：（32020﹣2）×32020+1＝（32020﹣1）2．15．解：由图可知，左上角的数字依次为0，2，4，6，8，10，右上角的数字都是左上角的数字加3，左下角的数字都是左上角的数字加4，右下角的数字都是前一幅图中右上角数字与本幅图中左下角数字的乘积加1，则a＝10+3＝13，b＝10+4＝14，c＝（8+3）×14+1＝155，∴a+b﹣c＝13+14﹣155＝﹣128，故答案为：﹣128．16．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．17．解：（1）∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243，729…；∴第①行数是：（﹣3）1，（﹣3）2，（﹣3）3，（﹣3）4，…（﹣3）n；（2）第②行数是第①行数相应的数乘﹣即﹣×（﹣3）n，第③行数的比第①行的数大1即（﹣3）n+1．（3）∵x＝32020，y＝﹣×32020＝﹣32019，z＝32020+1，∴x+6y+z＝32020﹣6×32019+32020+1＝1．18．解：（1）①52﹣51＝4×51，②53﹣52＝4×52，③54﹣53＝4×53，第④个等式为：55﹣54＝4×54；第n个等式为5n+1﹣5n＝4×5n，故答案为：55﹣54＝4×54；5n+1﹣5n＝4×5n；（2）①4×51+4×52+4×53+4×54+4×55＝（52﹣51）+（53﹣52）+（54﹣53）+（55﹣54）+（56﹣55）＝52﹣51+53﹣52+54﹣53+55﹣54+56﹣55＝56﹣51＝15620；②51+52+53+ (5)＝＝＝．19．解：（1）由题目中的式子可得，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，故答案为：（1+2+3+4+5）2；（2）由题目中的式子可得，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；（3）113+123+133+143+153＝（13+23+33+...+153）﹣（13+23+33+ (103)＝（1+2+3+…+15）2﹣（1+2+3+…+10）2＝1202﹣552＝14400﹣3025＝11375．20．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝21；23﹣22＝4＝22；24﹣23＝8＝23；故答案为：1；4，2；8，3；解：（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ，（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n，（3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝﹣2．21．解：（1）＝﹣；故答案为：；（2）①原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；②原式＝1﹣++﹣+…+﹣＝1﹣＝；故答案为：①；②；（3）+++…+＝1+++++++…+＝1+（+）+（+）+（+）+…+（+）+＝1++++…++＝1++﹣+﹣+…+﹣+＝2﹣+＝．22．解：（1）由题意得：（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x；（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，解得m＝﹣3；（3）通过题干以及前两问知：a2020＝2021×1＝2021．故答案为：15x3，﹣11x；2021。

2021中考数学图形的变化专项突破练习一、选择题（本大题共8道小题）1. 由一些完全相同的小正方体搭成的立体图形，从上面看和从左面看所得的平面图形如图所示，则搭成这个立体图形的小正方体的个数是()A．5或6或7 B．6或7C．6或7或8 D．7或8或92. 如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，如果BC=5，EC=3，那么平移的距离为()A.2B.3C.5D.73. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()4. 下列四个几何体中，是三棱柱的为()5. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()6. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于点D，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为()A.B.C.3 D.8. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从左面看和从上面看得到的平面图形相同的是()二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示的图形中，是棱柱的有______．(填序号)10. 在平面直角坐标系中，将点A(4，2)绕原点按逆时针方向旋转90°后，其对应点A′的坐标为________．11. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=.12. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.13. 已知点P(x，y)的坐标满足等式(x－2)2＋|y－1|＝0，且点P与点P′关于y轴对称，则点P′的坐标为________．14. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.15. 如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是________．16. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.17. 在小正方形组成的15×15的网格图中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．(1)现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1；(2)若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2.18. 图是由边长为1的小正方形组成的8×4的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D.(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；(2)所画图形是________对称图形；(3)求所画图形的周长(结果保留π)．19. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.20. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED.(1)试判断△BEC是不是等腰三角形，并说明理由；(2)在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形？请说明理由．21. 如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．22. (1)如图(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.①求证：BE＋CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．2021中考数学图形的变化专项突破练习-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A[解析]观察图形，发现平移前后B，E为对应点，C，F为对应点.根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5-3=2.3. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.4. 【答案】 C5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.7. 【答案】D[解析]在AB上取一点G，使AG=AF，又∵∠CAD=∠BAD，AE=AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴FE=EG，∴CE+EF=CE+EG，∴当C，E，G三点共线，且CG垂直AB时，CE+EF的值最小，最小值为.8. 【答案】B二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】②⑥10. 【答案】(－2，4)11. 【答案】90°[解析]∵旋转图形的旋转中心到对应点的距离相等，∴分别作线段AA1，CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则α=∠ADA1=90°.12. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2=18，∴AB=AE==3.13. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x－2)2≥0，|y－1|≥0，又(x－2)2＋|y－1|＝0，∴x －2＝0且y－1＝0，即x＝2，y＝1.∴点P的坐标为(2，1)．那么点P关于y轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．14. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.15. 【答案】(－2 3，－2)[解析] 过点B作BH⊥y轴于点H，如图．∵△OAB 为等边三角形，A(0，4)，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝3OH＝2 3，∴点B的坐标为(2 3，2)．∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是(－2 3，－2)．16. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题（本大题共2道小题）17. 【答案】(1)旋转后得到的图形A1B1C1D1如解图所示．(2)将四边形ABCD先向右平移4个单位，再向下平移6个单位，四边形A2B2C2D2如图所示．解图18. 【答案】解：(1)如图所示：(2)轴(3)所画图形的周长＝半径为4的圆的周长＝2π×4＝8π.四、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．(3)△A1B1C1(1，－1)20. 【答案】解：(1)△BEC是等腰三角形．理由：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE.∵EC平分∠BED，∴∠DEC＝∠BEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴△BEC是等腰三角形．(2)连接BO并延长至点F，使OF＝OB，连接FE，FC，△FCE即为所求．四边形BCFE是菱形．理由：∵OB＝OF，OE＝OC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵BC＝BE，∴▱BCFE是菱形．21. 【答案】解：(1)∵点D和点D1是对称点，∴对称中心是线段DD1的中点，∴对称中心的坐标是(0，5 2)．(2)B(－2，4)，C(－2，2)，B1(2，1)，C1(2，3)．22. 【答案】解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.∴DG＝DE，CG＝BE.又∵DE⊥DF，∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF.②BE2＋CF2＝EF2.证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.(2)EF＝BE＋CF.证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，∴将△CDF 绕点D 逆时针旋转120°得到△BDM ，∴△BDM ≌△CDF ，∴DM ＝DF ，BM ＝CF ，∠BDM ＝∠CDF ，∠DBM ＝∠C.∵∠ABD ＋∠C ＝180°，∴∠ABD ＋∠DBM ＝180°，∴点A ，B ，M 共线，∴∠EDM ＝∠EDB ＋∠BDM ＝∠EDB ＋∠CDF ＝∠BDC －∠EDF ＝120°－60°＝60°＝∠EDF.在△DEM 和△DEF 中，⎩⎨⎧DE ＝DE ，∠EDM ＝∠EDF ，DM ＝DF ，∴△DEM ≌△DEF ，∴EF ＝EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋CF.。

2021届东营中考数学复习专题类型突破专题二探索规律问题训练专题类型突破话题二：探索法律类型一数式规律命题视角？数字法初探(2021泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】依次观察每个“字段”中相同位置的数字，找出数字变化规律，然后观察同一“字段”中每个位置的数字关系。

[独立回答]解数式规律型问题的一般方法（1）当给定的一组数字是整数时，首先观察这组数字是自然数序列、正数序列、奇数序列、偶数序列还是平方、平方加1或减1后的正整数序列，然后观察这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号，最后结合数字定律和符号定律得出结果；（2）当数是分数和整数的组合时，首先将这组数据中的所有整数写成分数，然后分别推导分子和分母定律，最后得到这组数据中第n项的定律；（3）当给定的代数公式包含系数时，首先观察每个项的系数之间是否有一定的对称性，如自然序列、正整数序列、奇数序列、偶数序列或交替，然后观察索引中是否有相似的规律，最后将系数律律和索引律结合起来得到结果1．(2021百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是()a．－121b、－100c．100d、 1212．(2021十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，例如，如果A1=A2+a3，则A1的最小值为（）a．32b、 36c．38d、 403．(2021枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：…则2018在第________行．命题角度?数字循环类规律探索一百一十一(2021成都中考)已知a＞0，s1＝，s2＝－s1－1，s3＝，s4＝－s3－1，s5＝，…(即当n为大于as2s411，Sn=；当n是大于1的偶数时，Sn=-Sn-1-1），根据该定律，s2022=____sn－1【分析】根据sn数的变化找出sn的值每6个一循环，结合2018＝336×6＋2，此题得解．【自主解答】数圈定律的问题是出现了几个数圈。

2021中考数学专题复习规律探索问题之图形变化类专题训练5（附答案详解）1．如图，下面的图形是将三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有三角形的个数是( )A．481 B．483 C．485 D．4872．如图，如果在正方形中画1条纵线和1条横线，便把正方形分成4部分(如图①)；如果在正方形中画2条纵线和2条横线，便把正方形分成9部分(如图②)；如果在正方形中画3条纵线和3条横线，便把正方形分成16部分(如图③...如果在正方形中画9条纵线和9条横线.便把正方形分成（）部分A．72B．81C．100D．1213．观察图中正方形四个顶点所标的数字，按照规律确定数字“2020”应标在()A．第506个正方形的右上角B．第505个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第506个正方形的左下角4．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形．．．．．．，如此下去，则第2019个图中共有正方形的个数为()A．2018个B．6049个C．6052个D．6055个5．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为( )A ．50B ．45C ．41D ．366．下列图案是用长度相同的牙签按- -定规律摆成的．摆图案()1需8根牙签,摆图案()2需15根牙签···按此规律．摆图案()n 需耍牙签的根数是（ ）A ．78n +B ．74n +C ．71n +D ．71n - 7．设点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数k y x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜时，1y ＜2y ，则一次函数2y x k =-+的图象不经过的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑦个图形中五角星的个数为( )A ．90B ．94C ．98D ．1029．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形A 1B 1C 1D 1，算出了它的面积．然后分别取正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点A 2、B 2、C 2、D 2作出了第二个正方形A 2B 2C 2D 2，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形A 3B 3C 3D 3，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是（ ）A ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B ．6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C ．5142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D ．6144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 10．如图，已知∠MON ＝30°，点A 1，A 2，A 3，…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，…在射线OM 上，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…均为等边三角形．若OB 1＝1，则△A 8B 8B 9的边长为（ ）A ．64B ．128C ．132D ．25611．阅读思考，完成下列填空．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的""L 形纸片．图②是张a b ⨯的方格纸(a b ⨯的方格纸指边长分别为,a b 的长方形，被分成a b ⨯个边长为1的小正方形，其中2,2a b ≥≥，且,a b 为正整数)．把图①放置在图②中．使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法?问题探究;探究一：把图①放置在22⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图③,显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在32⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形．如图④,在32⨯的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知,把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．探究三：把图①放置在2a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在2a ⨯的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有________种不同的放置方法．探究四:把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑥,在3a ⨯的方格纸中，共可以找到_______个位置不同的22⨯方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有________种不同的放置方法．……问题解决:把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_________种不同的放置方法．12．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.（1）按图示规律填空： 图形标号① ② ③ … 小木棒的根数9 …（2）按照这种规律搭下去，搭第n 个图形需要________根小木棒；（3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数.13．细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．2112+=，112S =； 2213+=，222S =； 2314+=，33S =……（1）请在横线上直接写出15OA 的长度______；（2）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（3）求2221220S S S +++的值．14．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图1,2,3,4为她们剌绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，研究发现第n 个图案中共有()2221n n -+个；小正方形．(n 为整数，且1n ≥)（1）请写出第5个图案中有____个小正方形；（2）猜想第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为（3）证明（2）中的猜想．15．问题提出：用若干个边长为1的小等边三角形拼成n 层的大等边三角形，共需要多少个小等边三角形？共有线段多少条？图①图②图③问题探究：如图①，是一个边长为1的等边三角形，现在用若干个这样的等边三角形再拼成更大的等边三角形.（1）用图①拼成两层的大等边三角形，如图②，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，共用了123+=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()312⨯+条；还有边长为2的等边三角形1个，则有长度为2的线段31⨯条；所以，共有线段()()3121212312⨯++=⨯++=条.（2）用图①拼成三层的大等边三角形，如图③，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共用了1236++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段()3123⨯++条；还有边长为2的等边三角形123+=个，则有长度为2的线段()312⨯+条；还有边长为3的等边三角形1个，则有长度为3的线段31⨯条；所以，共有线段()()31231213123430⨯+++++=⨯+++=条.……问题解决：（3）用图①拼成四层的大等边三角形，共需要多少个图①三角形？共有线段多少条？请在方框中画出一个示意图，并写出探究过程；（4）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条； （5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了 个图①三角形，共有线段 条，其中边长为2的等边三角形共有 个.（6）拓展提升：如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，共需要 个小等边三角形，共有线段 条.16．图a 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b ；再分别连接图b 中间小三角形的三边的中点，得到图c（1）图b 有 个三角形，图c 有 个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形（用n 的代数式表示结论）． （3）当n ＝10时，第10个图形中有多少个三角形？17．发现问题、探索规律，要有一双敏锐的双眼，下面的图形是由边长为1的小正方形按照某种规律排列而成的．（1）观察图形，填写下表：图形个数（n ） （1） （2） （3） 正方形的个数8 图形的周长 18 （2）推测第n 个图形中，正方形有 个，周长为 ．（3）写出第30个图形的周长．18．观察下列图形的构成规律，按此规律，第20个图形中棋子的个数为_________．19．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．20．按照图（1）、（2）、（3）的方式分割三角形，所得三角形总个数分别是5个、9个、13个，照此规律分割下去，第n 个图中共有_________个三角形．21．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB BC CD DA 、、、边上分别取点1111A B C D 、、、，111114AA BB CC DD a ====，在边11111111A B B C C D D A 、、、上分别取点2222A B C D 、、、，使121212121114A A B B C C D D A B ====．．．．．依次规律继续下去，则正方形n n n n A B C D 的面积为__________．22．如图所示，图(a)是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图(a)的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图(b)，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图(c)，(d)，……，记第()3n n ≥)块纸板的周长为P n ．则3P P -=1____；1n n PP --=_______．23．如图，n 个全等的等腰三角形的底边在同一条直线上，底角顶点依次重合．连接第一个三角形的底角顶点1B 和第n 个三角形的顶角顶点n A 交12A B 于点n P ，则122:=n A B P B _________．24．如下图所示，它们是一个按一定规律构造的，第（1）个图中有3个三角形，第（2）个图中有7个三角形，第（3）个图中有_____个三角形，依次规律第n 个图形中有__________个三角形．25．用等边三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，按照这样的规律继续拼下去，则第n 个图案中等边三角形的个数为_____________（用含n 的代数式表示）.26．如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.27．如图，，点P是边上一个动点（不与点O重合），当的度数为_____时，为直角三角形.28．如图由正五边形构成，在图1中有5个点，图2中有12个点，图3中有22个点，以此类推，图4（最长边上有5个点）中共有_____个点；图n（最长边上有n+1个点）中共有_____个点．（用含n的代数式表示）．29．按《航空障碍灯（MH/T6012﹣1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯（AviationObstructionlight）．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达__秒．30．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形中共有________个〇.参考答案1．C 【解析】 【分析】先数出前3个图形中三角形的个数，找出规律，即可得到第5个图的三角形个数． 【详解】第1个图中三角形的个数为5，第2个图中三角形的个数为253223117⨯+=⨯-=， 第3个图中三角形的个数为3173223153⨯+=⨯-= 依次类推，第n 个图中三角形的个数为231⨯-n ∴第5个图中三角形的个数为5231=485⨯- 故选C ． 【点睛】本题考查图形规律问题，由前几个图形找出规律，得出第n 个图中三角形个数的代数式是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】根据题意寻找规律可知如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分，以及进行求解即可. 【详解】解：由题意可知：如果在正方形中画1条纵线和1条横线，则把正方形分成2242(11)==+部分； 如果在正方形中画2条纵线和2条横线，则把正方形分成2293(21)==+部分； 如果在正方形中画3条纵线和3条横线，则把正方形分成22164(31)==+部分； 所以如果在正方形中画n 条纵线和n 条横线，则把正方形分成2(1)n +部分；即有在正方形中画9条纵线和9条横线，则把正方形分成2(91)100+=部分. 故选：C. 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据题意找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】根据每个正方形需要4个数字这一规律,用2020÷4得出结果判断即可. 【详解】由题意知：2020÷4=505,所以2020这一数字正好能标完第505个正方形,且根据每个小正方形数字排列顺序可知,最后一个数字应该位于正方形的左下角. 故选B. 【点睛】本题考查了规律探索题,解决本题的关键是正确理解题意,能够找到数字之间存在的规律. 4．D 【解析】 【分析】根据后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个，即可得到答案． 【详解】由题意得：后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个， ∴第n 个图形中正方形的个数=（3n-2）个，（n ≥1，且n 为整数）， ∴第2019个图中共有正方形的个数=3×2019-2=6055（个）， 故选D ． 【点睛】本题主要考查探究图中正方形个数的规律，找出“后面图中的正方形个数比前一个图中正方形个数多3个”是解题的关键． 5．C 【解析】【分析】根据题目中的图形，可以写出前几个图形中涂有阴影的小正方形的个数，从而发现其中的变化规律，进而得到第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数． 【详解】 解：由图可得，第1个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×1=5， 第2个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×2=9， 第3个图形中，涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×3=13， …故第10个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：1+4×10=41， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中涂有阴影的小正方形的个数的变化规律，求出相应的图形中涂有阴影的小正方形的个数． 6．C 【解析】 【分析】根据图案（1）、（2）、（3）中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n 个图案需火柴棒（7n+1）根． 【详解】图案（1）有:178+=根小木棒, 图案（2）有:17215+⨯=根小木棒， 图案（3）有:17322+⨯=根小木棒,则图案（7）有:17750+⨯=元50根小木棒， ……第n 个图案有:()17n +根小木棒. 故选：C 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化． 7．A 【解析】∵点()11A ,x y 和()22B ,x y 是反比例函数ky x=图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，即y 随x 增大而增大，∴根据反比例函数ky x=图象与系数的关系：当0k >时函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故k ＜0． ∴根据一次函数图象与系数的关系：一次函数1y=k x+b 的图象有四种情况： ①当1k 0>，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当1k 0>，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当1k 0<，b 0>时，函数1y=k x+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当1k 0<，b 0<时，函数1y=k x+b 的图象经过第二、三、四象限．因此，一次函数2y x k =-+的1k 20=-<，b=k 0<，故它的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ． 8．C 【解析】 【分析】根据前三个图形可得到第n 个图形一共有22n 个五角星，当n=7代入计算即可． 【详解】解：第①个图形一共有2221=⨯个五角星；第②个图形一共有2822=⨯ 个五角星；第③个图形一共有21823=⨯个五角星；……第n 个图形一共有22n 个五角星，所以第⑦个图形一共有22798⨯= 个五角星． 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查规律探索，解题的关键是找准规律． 9．C 【解析】 【分析】依次求出正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4，正方形A 2B 2C 2D 2的面积为4×12；正方形A 3B 3C 3D 3的面积为4×14；正方形A 4B 4C 4D 4的面积为4×18，即可得到规律进行求解. 【详解】正方形A 1B 1C 1D 1的面积为4；顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1中点得正方形A 2B 2C 2D 2，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为正方形A 1B 1C 1D 1面积的一半，即4×12；顺次连接正方形A 2B 2C 2D 2得正方形A 3B 3C 3D 3，则正方形A 3B 3C 3D 3的面积为正方形A 2B 2C 2D 2面积的一半，即4×14；顺次连接正方形A 3B 3C 3D 3中点得正方形A 4B 4C 4D 4，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为正方形A 3B 3C 3D 3面积的一半，即4×18． …第六个正方形A 6B 6C 6D 6的面积是4×（12）5， 故选：C ． 【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律题型的基本解题步骤. 10．B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出112233////B A A B A B ，以及212a a =，得出3144a a ==，4188a a ==，5116a a =⋯进而得出答案．【详解】解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，∴∠A 1B 1B 2＝∠A 1B 2O ＝60°，A 1B 1＝A 1B 2，∵∠O ＝30°，∴∠A 2A 1B 2＝∠O +∠A 1B 2O ＝90°， ∵∠A 1B 1B 2＝∠O +∠OA 1B 1， ∴∠O ＝∠OA 1B 1＝30°， ∴OB 1＝A 1B 1＝A 1B 2＝1，在Rt △A 2A 1B 2中，∵∠A 1A 2B 2＝30° ∴A 2B 2＝2A 1B 2＝2，同法可得A 3B 3＝22，A 4B 4＝23，…，A n B n ＝2n ﹣1，∴△A 8B 8B 9的边长＝27＝128， 故选：B ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．11．探究二:8；探究三: ()1;(44)a a --；探究四: ()22;(8)8a a --；问题解决:()()411a b --【解析】 【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按什么规律变化的，通过分析找出各部分的变化规律后直接利用规律求解， 【详解】 解：探究二：根据探究一，把图①放置在32⨯的方格纸中．使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有248⨯=种不同的放置方法；故答案为：8； 探究三：根据探究二，，在2a ⨯的方格纸中，共可以找到(1)a -个位置不同的22⨯方格，根据探究一的结论可知，每个22⨯的方格纸中，有4种不同的放置方法，所以在2a ⨯的方格纸中共可以找到(1)4(44)a a -⨯=+种不同的放置方法；故答案为：(1)a -；(44)a +； 探究四：与探究三相比，矩形的宽改变了，边长为a ，有(a-1)个边长为2的线段，同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，所以在3a ⨯的方格纸中，可以找到2(1)(22)a a -=-个位置不同的22⨯方格，根据探究一，在3a ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形共有(22)4(88)a a -⨯=-种不同的放置方法； 故答案为：(22)a -；(88)a -； 问题解决：在a b ⨯的方格纸中，共可以找到(1)(1)a b --个位置不同的22⨯方格，依照探究一的结论，把图①放置在a b ⨯的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4(1)(1)a b --种不同的放置方法．故答案为：4(1)(1)a b --． 【点睛】本题考查的知识点是规律型-图形的变化类，探寻规律要认真观察，仔细思考，善用联想来解决这类问题．12．（1）16，23；（2）72n +；（3）702 【解析】 【分析】（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据；（2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案； （3）根据（2）的代数式即可求得100n =时的小木棒的数量． 【详解】（1）第一个图形中小木棒的根数为9； 第二个图形中小木棒的根数为9+7=16； 第三个图形中小木棒的根数为16+7=23； 填表如下：故答案为：16，23； （2）根据（1）的规律：可以发现第几个图形中小木棒的根数为：()97172n n +-=+； 故答案为：72n +；（3）当100n =，需要的小木棒的根数为：71002702⨯+=． 故答案为：702． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键．13．（1（2）21n +=，n S =n是正整数）；（3）1052．【解析】 【分析】（1）根据已知式子即可推断出15OA 的长度； （2）观察已知等式，即可得出规律； （3）根据（2）中总结出的规律，计算即可. 【详解】 （1）由题意，得123OA OA OA ==……∴15OA = （2）观察已知式子，可得规律：21n +=，2n S =n是正整数）；（3）2222221220222S S S ⎛⎛⎛++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭12204+++=1052=． 【点睛】此题主要考查图形类规律的探索，解题关键是认真观察图形与已知条件. 14．（1）41；（2）4n ；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）首先观察给出的四个图，可以得出正方体的个数分别为1，14+，148++14812+++，总结一般性的规律，将一般性数列转化为特殊的数列再求解．（2）根据（1）得出的一般规律，可写出第n 个图案中正方形的个数，再与第1n +个图案中正方形的个数做差即可得解．（3）利用数列的求和公式可得第n 个图案中正方形的个数是：()21481241221n n n +++++-=-+，利用此规律可写出第1n +个图案中正方形的个数是()214812414221n n n n +++++-+=++，再让它们做差即可得证．【详解】（1）∵第一个图案中正方形的个数是：1 第二个图案中正方形的个数是：145+= 第三个图案中正方形的个数是：14813++= 第四个图案中正方形的个数是：1481225+++=第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-∴第五个图案中正方形的个数是：148121641++++= 故答案是：41（2）∵由（1）可知第n 个图案中正方形的个数是：()1481241n +++++-第1n +个图案中正方形的个数是：()14812414n n +++++-+∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为()()1481241414812414n n n n +++++-+-+++++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴第()1n +个图案和第n 个图案中小正方形个数之差为4n 故答案是：4n（3）证明：根据题意，得第()1n +个图案中正方形的个数为()()221211n n +-++． ()()222 1 211n n n =++-++． 2221n n =++．∴第()1n +个图案和第n 个图案中正方形个数之差为()222212214n n n n n ++--+=【点睛】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析、观察、总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般的求解方法，再求具体问题．15．（3）10（个），60条；作图见解析，详见解析（4）210；4620（5）(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）55；660 【解析】 【分析】（3）仿照（1）（2）即可作图求解； （4）根据题意发现规律即可求解； （5）根据题意发现规律即可求解；（6）根据题意知相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，故可求解． 【详解】（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了123410+++=（个）图①三角形，如图，从上往下，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第4层有4个，共用了123410+++=个图①的等边三角形，则有长度为1的线段3(1234)⨯+++条；还有边长为2的第边三角形1236++=个，则有长度为2的线段3(123)⨯++条；还有边长为3的等边三角形1+23=个，则有长度为3的线段3(12)⨯+条；还有边长为4的等边三角形1个，则有长度为4的线段31⨯条；所以共有60条线段：3(1234123121)4(12345)60⨯+++++++++=⨯++++=条.（4）根据（1）（2）（3）用图①拼成20层的大等边三角形，共用了12320210++++=个图①三角形，共有线段20(12321)4620⨯++++=条；故答案为：210；4620；（5）用图①拼成n 层的大等边三角形，共用了(1)1232n n n +++++=个图①三角形，共有线段(1)(2)[123(1)]2n n n n n +++++++=条，其中边长为2的等边三角形共有(1)123(1)2n n n -++++-=个.故答案为：(1)2n n +；(1)(2)2n n n ++；(1)2n n -（6）如果用边长为3的小等边三角形拼成边长为30的大等边三角形，相当边长为1的小等边三角形拼成边长为10的等边三角形，共用了1231055++++=个图①三角形，共有线段10(12311)660⨯++++=条；故答案为：55；660． 【点睛】本题考查的是图形的变化规律、三角形的认识，根据题意找出三角形的个数的变化规律是解题的关键．16．（1）b 中有5个三角形，c 中有9个三角形；（2）当n ＝n 时有4n ﹣3个三角形；（3）当n＝10时，有个三角形．【解析】【分析】（1）直接数出三角形的个数，即可；（2）根据题意，后面图形中的三角形个数比前一个图形中的三角形个数多4个，第一个图形中有1个三角形，进而即可得到答案；（3）把n＝10代入第（2）题的代数式，即可得到答案．【详解】（1）图b中有5个三角形，图c中有9个三角形．故答案是：5，9；（2）依题意得：n＝1时，有1个三角形；n＝2时，有5个三角形；n＝3时，有9个三角形；…∴当n＝n时，有4n﹣3个三角形．（3）当n＝10时，有40﹣3＝37个三角形．【点睛】本题主要考查用代数式表示图形的变化规律，找到图形中三角形个数的变化规律，是解题的关键．17．（1）详见解析；（2）5n+3，10n+8；（3）308．【解析】【分析】（1）依此数出n＝1，2，3，…，正方形的个数，算出图形的周长；（2）根据（1）规律依此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数及周长；（3）把n＝30代入（1）进行计算即可得到答案．【详解】解：（1）（2）推测第n 个图形中，正方形的个数为5n +3，周长为10n +8． （3）第30个图形的周长：10×30+8＝308． 【点睛】本题考查图形的变化规律，解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程． 18．61 【解析】 【分析】根据各个图形中棋子的个数，找出棋子的变化规律，并归纳公式即可得出结论． 【详解】解：第1个图形中棋子的个数为4=3＋1； 第2个图形中棋子的个数为7=3×2＋1； 第3个图形中棋子的个数为10=3×3＋1； ∴第n 个图形中棋子的个数为3n ＋1 ∴第20个图形中棋子的个数为3×20＋1=61 故答案为：61． 【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解决此题的关键． 19．()2n 1+ 【解析】解：第1个图形中点的个数为：1+3=4， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， …，第n 个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．故答案为（n+1）2．20．（4n +1）． 【解析】 【分析】根据题目中的图形变化规律可知,每一次变化增加四个三角形,从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得, 图（1）所得三角形总个数为:1+4=5; 图（2）所得三角形总个数为：1+4×2=9; 图（3）所得三角形总个数为：1+4×3=13; 所以第n 个图中共有（4n +1）个三角形; 故答案为:（4n +1）． 【点睛】本题主要考查图形的变化类，解答本题的关键是发现题目中图形的变化规律，求出相应的三角形的个数.21．258na ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用勾股定理可得A 1B 12=58a 2，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积，同理可求出正方形A 2B 2C 2D 2的面积，得出规律即可得答案． 【详解】∵正方形ABCD 的边长为a ，111114AA BB CC DD a ====， ∴A 1B 12=A 1B 2+BB 12=2231()()44a +=58a 2，A 1B 1=104a ，∴正方形A 1B 1C 1D 1的面积为58a 2， ∵121212121114A AB BC CD D A B ====，∴A 2B 22=2231()()44+=(58)2a 2，∴正方形A 2B 2C 2D 2的面积为(58)2a 2， ……∴正方形n n n n A B C D 的面积为(58)n a 2， 故答案为：(58)n a 2 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键． 22．14112n -【解析】 【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P 1，P 2，P 3，P 4，……根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案． 【详解】 P 1=1+1+1=3， P 2=1+1+12=52， P 3=1+1+14×3=114，P 4=1+1+14×2+18×3=238，… ∴P 1-P 3=3-114=14，p 3-p 2=114-52=14=（12）2， P 4-P 3=238-114=18=（12）3，∴P n -P n-1=11()2n -=112n -，故答案为：14；112n -【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 23．n 【解析】 【分析】连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3，根据平行线的判定得到A 1B 1∥A 2B 2，又根据A 1B 1=A 2B 2，得到四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形，从而得到A 1A 2∥B 1B 2，从而得出A 1An ∥B 1B 2，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接A 1An,根据全等三角形的性质得到∠AB 1B 2=∠A 2B 2B 3， ∴A 1B 1∥A 2B 2， 又A 1B 1=A 2B 2，∴四边形A 1B 1B 2A 2是平行四边形. ∴A 1A 2∥B 1B 2，A 1A 2=B 1B 2=A 2A 3, 同理可得，A 2A 3=A 3A 4 =A 4A 5=…= A n-1A n. 根据全等易知A 1，A 2，A 3，…,An 共线， ∴A 1An ∥B 1B 2，∴P n B 1B 2∽△P n A n A 1，。