2013年中考数学二轮专题复习 专题五 开放探索问题

开放性问题•选择题•填空题1. （2013?徐州，13, 3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：________________ .考点：中心对称图形. 专题：开放型.分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可.解答：平行四边形是中心对称图形•故答案可为：平行四边形.点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形.2. （2013上海市，15, 4分）如图3,在厶ABC和厶DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE , AC // DF，请添加一个条件，使△ ABC DEF，这个添加的条件可以是_____________ .（只需写一个，不添加辅助线）I莠畫1 AC-DF ｛普军不推一）.I若点.】*店型，平行的性盾.空等三痢黔們剽宅・【分析】由3F =C3・根摒等韋加和相等，- CE + FG 3C<Fi由农詩壬、根齬甲行娃伍内建爾相等的性就.・△人艾和△DEP申有一角卫衬应相等.• •+根抿全等三角护的判定，丽I] AC-DFr可由SAS 可由ASA肖AABCttA^Z?! 可由AAS AASCi： A3rF.3. （2013四川巴中，14, 3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，/仁/2，BC=EF，要使△ ABC DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD考点：全等三角形的判定. 专题：开放型.:可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加.解答：解：添加CA=FD ，可利用 SAS 判断△ ABC ◎△ DEF .故答案可为CA=FD .点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一.4.（ 2013江西南昌，15, 3分）若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt △ ABC 的两条直角边长，且 S A ABC =3，请写出一个 符合题意的一元二次方程 __________________ .【答案】x 2— 5x+6=0【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程.【方法指导】 本题是道结论开放的题（答案不唯一） ，已知直角三角形的面积为 3 （直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保 证方程的根为整数），如直角边长分别为 2、3的直角三角形的面积就是 3，以2、3为根的_ 2 2一元二次方程为 x -5 x *6=0 ；也可以以1、6为直角边长，得方程为 x - 7 x ，6=0.5. （2013山东荷泽，12, 3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”.“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径” （例如圆的直径就是它的“面径”）•已知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 _____ （写出1个即可）.【答案】,3或'、2 .（写出1个即可）.【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高与一边平行的线段（如图），设DE=x 因为△ ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有（-）2 =-.2 2解得x= 2.综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系【方法指导】根据规定内容的定义， 思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分 的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2 ）与一边平行的线•要把一个三角形面积进行两等份， 这样的直线有无数条， 都过这个三角形三边中线的交点 （重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形三.解答题1. （2013山西，25, 13分）（本题13分）数学活动一一求重叠部分的面积。

2013年中考数学规律探索型问题12．（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（ ）A ．52012﹣1B ．52013﹣1C ．D ．【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013， 因此，5S ﹣S=52013﹣1，S=．【答案】选C ．【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ．【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数．【答案】122 k k【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小．18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________ 【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012. 【答案】-2012【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n 个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解．答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n 个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）=2)121(-+n n =n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n 个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．18．(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()na b +（n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如222()2a b a ab b +=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，33223()33a b a a b ab b +=+++展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出4()a b +的展开式.4()a b += ▲ .分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案．解答：解：由题意，4432234()464a b a a b a b ab b +=++++， 故填432234464a a b a b ab b ++++．点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案．17. （2012山东莱芜， 17，4分） 将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点321,,A A A ….,按此规律，则点A2012在射线 上.【解析】根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环， 2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点12A 所在的直线一样。

2013年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一）一、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

二、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 10．（2012•德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C．2 D．1考点：解二元一次方程组。

点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM 取得最大值时，则M的坐标为．考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。

点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

第6课开放探索问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，∴在△ABE与△CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，又∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE=BF，又AD=BC，∴AD﹣DE=BC﹣BF，即AE=CF，∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得 1800x ·90%=1800x +4解得x =36 经检验x =36是原方程的根 ∴x +4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？ 设1班有x 人，则根据题意得1800x +4=180090x %解得x =50 ，经检验x =50是原方程的根∴90x % =45 答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题 考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目． 例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角扳的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF=EG ；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB=a 、BC=b ，求EFEG的值． 分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB ，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt △FED ≌Rt △GEB ，则问题得证；（2）首先点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为H 、I ，然后利用SAS 证得Rt △FEI ≌Rt △GEH ，则问题得证；（3）首先过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，易证得EM ∥AB ，EN ∥AD ，则可证得△CEN∽△CAD ，△CEM ∽△CAB ，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME ∽△FNE ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB ， 又∵ED=BE ，∴Rt △FED ≌Rt △GEB ， ∴EF=EG ；（2）成立．证明：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为H 、I ，则EH=EI ，∠HEI =90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF =90°， ∴∠IEF=∠GEH ，∴Rt △FEI ≌Rt △GEH ， ∴EF=EG ；（3）解：如图，过点E 分别作BC 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则∠MEN=90°， ∴EM ∥AB ，EN ∥AD ．∴△CEN ∽△CAD ，△CEM ∽△CAB ，∴,NE CE EM CEAD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD bEM AB a==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ，∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ， ∴EF ENEG EM=，∴EF bEG a=． 评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）． （1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan ∠PEF 的值不变．过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，同（1）的方法证明△APB ∽△DCP ，得相似比PF GF PE AP ==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值； （3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点O 1，O 2，连接O 1O 2，线段O 1O 2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是△BPC 的中位线． 解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AP =1，CD =AB =2，则PB =5，∴∠ABP +∠APB =90°， 又∵∠BPC =90°， ∴∠APB +∠DPC =90°， ∴∠ABP =∠DPC ， ∴△APB ∽△DCP ， ∴AP PB CD PC =即152PC=， ∴PC =25；（2）tan ∠PEF 的值不变．理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形，∴∠A =∠PFG =90°，GF =AB =2， ∴∠AEP +∠APE =90°， 又∵∠EPF =90°， ∴∠APE +∠GPF =90°， ∴∠AEP =∠GPF ， ∴△APE ∽△GPF ， ∴PF GF PE AP ==21=2， ∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PFPE=2， ∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF 的中点经过的路线长为5．评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ，∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n nn n n故答案为： 122++n n n评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ， 当PQ ∥BC 时： 设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b ∴PQ 1：5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y ⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xyMO PCBA（3）存在，设R 的坐标为（x ，322++-x x ） ∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQRx x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍）∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y ∴R （12+，2）yxMPOCBA评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练 1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可) 2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个．．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）． 3．（ 4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ． （2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．第二部分 练习部分 1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限： y=﹣x （答案不唯一） ．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k 的符号，再写出符合条件的正比例函数即可． 解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC 中，AB=8，AC=6，在△DEF 中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF 相似，则需添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC ：EF=2：1．∵在△ABC 中，AB=8，AC=6，在△DEF 中，DE=4，DF=3， ∴AB ：DE=2：1，AC ：DF=2：1， ∵BC ：EF=2：1． ∴△ABC ∽△DEF ． 故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B ，C ，F ，E 在同直线上，∠1=∠2，BC=EF ，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明．（1）添加的条件是 ； （2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝x1的一个交点; （第14题）ACDoNM F E RxyMOPCBAG命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝ x8的一个交点; 命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝x27的一个交点; … … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数); （2）证明你猜想的命题n 是正确的． 7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +与ab 的大小关系是2a b+＞ab ． 当a=4，b=4时，2a b +与ab 的大小关系是2a b+=ab ．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ． （1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +与ab 的大小关系是：2a b+≥ab ． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图．试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下： 如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x 2+5等，（本题答案不唯一） 故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x 2+5等． 2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC ＝90°； 由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC ＝BD ．【答案】∠ABC ＝90°（或AC ＝BD 等）3．解：根据弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm ， 当x=2时，弹簧总长为11cm ，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ，故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN ∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCONOD OM∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限， ∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）． 【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）． 2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可． 【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等 4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一．【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角 故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ， 故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一； （2）证明：在△ABC 和△ADE 中， ∠B =∠D ， AB =AD ， ∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =xn 3的一个交点(n 是正整数)． (2)把 ⎩⎨⎧==2ny n x 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2， ∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上，∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = xn 3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +＞ab ，2a b+=ab ． ●探究证明：（1）∵AB =AD+BD=2OC ， ∴OC=2a b+. ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ． ∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴AD CDCD BD=． 即CD 2=AD•BD=ab， ∴CD=ab ．（5分） （2）当a=b 时，OC=CD ，2a b+=ab ； a≠b 时，OC ＞CD ，2a b+＞ab ．●结论归纳：2a b+≥ab ．●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长为l 米，则112()4l x x x x=+≥⋅=4. 当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=． （2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ， ∴AE=AF=EF ，∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ， 即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB ， ∴∠BED=∠FCE ， ∴△DBE ≌△EFC ， ∴DB=EF ， ∴AE=BD ．（3）答：CD 的长是1或3．。

中考数学专题复习《开放探索》课件+教案中考数学模拟试题一、教学目标：1. 让学生掌握开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生在中考数学考试中的得分率。

二、教学内容：1. 开放探索题的基本类型：条件开放、方法开放、结论开放等。

2. 开放探索题的解题方法：画图分析、列方程解答、猜想验证等。

3. 典型例题解析：结合中考真题，分析开放探索题的解题思路。

4. 模拟试题训练：针对性练习，巩固所学知识。

三、教学过程：1. 导入：以中考真题为例，让学生感受开放探索题的特点和挑战。

2. 知识讲解：介绍开放探索题的基本类型和解题方法。

3. 例题解析：分析典型例题，引导学生掌握解题思路。

4. 练习巩固：布置适量练习题，让学生运用所学知识。

5. 总结提升：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。

四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的数量和质量。

3. 模拟试题成绩：评估学生在模拟试题中的表现，发现问题所在。

五、课后作业：1. 复习开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 准备下一节课的内容，提前预习。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究开放探索题的解题方法。

2. 利用多媒体课件，展示开放探索题的典型例题和模拟试题。

3. 组织小组讨论，让学生互相交流解题思路和经验。

4. 给予学生充分的时间独立思考和解决问题，及时给予指导和鼓励。

七、教学资源：1. 多媒体课件：展示开放探索题的典型例题和模拟试题。

2. 练习题库：提供丰富的开放探索题练习题，供学生巩固所学知识。

3. 教学参考书：提供相关知识点的详细解释和例题解析。

4. 学生手册：收录学生的练习成果和优秀解题案例。

八、教学步骤：1. 回顾上节课的内容，复习开放探索题的基本类型和解题方法。

2. 讲解新的开放探索题型，引导学生掌握解题思路和技巧。

浙教版数学2013年中考第二轮专题复习针对性强化训练——开放性问题答案1.解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2.证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE，∴CE=BF，∠AFB=∠DEC，∴CE∥BF，即CE和BF的数量关系是CE=BF，位置关系是CE∥BF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，主要考查学生运用性质进行推理的能力．3.解：（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）若选择如果①②，那么③，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF；若选择如果①③，那么②，证明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4.解：本题答案不唯一，下列解法供参考．①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系．②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地．点评：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．．5.解：“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：y=﹣6x+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣6x+1（答案不唯一）．点评：本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正负决定平移的方向．6.解：答案不唯一，如x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．故可填x2﹣3．点评：此题考查在实数范围内分解因式，属开放型试题，比较简单．7.解：此题答案不唯一，如：，，①+②得：2x=4，解得：x=2，将x=2代入①得：y=﹣1，∴一个二元一次方程组的解为：．故答案为：此题答案不唯一，如：．点评：本题主要考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，注意正确理解定义是解题的关键．8.解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，∴k﹣2＜0，解得k＜2．∴k可以为：1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．点评：本题考查的是反比例函数的性质，根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围是解答此题的关键．9.解：设反比例函数的解析式为：y=，∵一次函数y=﹣2x+6与反比例函数y=图象无公共点，则，∴﹣2x2﹣6x﹣k=0，即△=（﹣6）2﹣8k＜0解得k＞，则这个反比例函数的表达式是y=；故答案为：y=．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是：两个函数在同一直角坐标系中的图象无公共点，其k要满足﹣2x2﹣6x﹣k=0，△＜0．10.解：设此函数的解析式为y=（k＞0），∵此函数经过点（1，1），∴k=1，∴答案可以为：y=（答案不唯一）．故答案为：y=（答案不唯一）．点评：本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．11.解：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；理由是：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，又∵∠BDE=∠CDF，∴∠B=∠C，即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF；故答案为：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD．点评：本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．12.解：添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A=90°．点评：本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定的应用，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键，此题是一道比较好的题目．13.解：原式=×+1=+1∵a≠0，a≠±2，∴a可以等于1，当a=1时，原式=1+1=2．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意a不能取0、2、﹣2．14.解：（1）∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③都符合，又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故答案为：③，①．（2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家．点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．15.解：猜想：AE=CF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边平行且相等，注意数形结合思想的应用．16.证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF．图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．17.解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AC=BC=×2=，∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AE•AC，∴AE===•AD2，当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1，∴AE的最小值为×12=，∴CE的最大值=﹣=；②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD=1；当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC，∴DC=CA=，∴BD=BC﹣DC=2﹣，∴当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2﹣．点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

初三数学总复习专题复习：探索开放问题的复习一、题型解读传统的解答题和证明题||，其条件和结论都是由题目明确给出的||，我们可以“由因导果”或“执果索因”||。

开放探究型问题||，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的||，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点||，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性||，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、条件结论都开放等．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论||，没有固定的形式和方法||，要求我们认真收集和处理问题的信息||，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动||，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．题型涉及选择、填空和解答．二、解题策略开放性、操作性、探索性和综合性是此类问题的明显特征||。

这类题目形式新颖||，涉及的基础知识和基本技能十分广泛||，解答过程中有较多的创造性和探索性||，解答方法灵活多变||，既需要扎实的基础知识和基本技能||，又需要具备一定的数学能力||，以及思维的创造性和良好的个性品质||。

由于题型灵活、综合性强、结构独特等||，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路||，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括||，从特殊到一般||，从而得出规律．2．反演推理法（反证法）||，即假设结论成立||，根据假设进行推理||，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定||，难以统一解答时||，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏||，分门别类加以讨论求解||，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法||，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略||，因而具体操作时||，应更注重数学思想方法的综合运用．三、呈现形式（一）开放型问题1.条件开放型：条件开放题是指结论给定||，条件未知或不全||，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件||，即从题目的结论出发||，逆向追索||，逐步探求．例1.（17西城二模26）学习了《平行四边形》一章以后||，小东根据学习平行四边形的经验||，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小东的探究过程||，请补充完整：（1）在四边形ABCD 中||，对角线AC 与BD 相交于点O ．若AB ∥CD ||，补充下列条件中能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是；（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A ）BC ＝AD （B ）∠BAD =∠BCD （C ） AO ＝CO ||，（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1；②画出图形||，并写出命题1的证明过程；（3）小东进一步探究发现：若一个四边形ABCD 的三个顶点A||，B||，C 的位置如图所示||，且这个四边形满足CD =AB ||，∠B =∠D ||，但四边形ABCD 不是平行四边形||，画出符合题意的四边形 ABCD ||，进而小东发现：命题2“一组对边相等||，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．例2.（17海淀一模29）在平面直角坐标系xOy 中||，若P ||，Q 为某个菱形相邻．．图．1．的．两个顶点||，且该菱形的两条对角线分别与x 轴||，y 轴平行||，则称该菱形为点P ||，Q 的“相关菱形”．图1为点P ||，Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A 的坐标为（1||，4）||，点B 的坐标为（b ||，0）||，（1）若b =3||，则R （1-||，0）||，S （5||，4）||，T （6||，4）中能够成为点A ||，B 的“相关菱形”顶点的是；（2）若点A ||，B 的“相关菱形”为正方形||，求b 的值；（3）B 的半径为2||，点C 的坐标为（2||，4）．若B 上存在点M ||，在线段AC 上存在点N ||，使点M ||，N 的“相关菱形”为正方形||，请直接写出b 的取值范围．2.结论开放型：给出问题的条件||，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性||，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征||，进行猜想、类比、联想、归纳||，透彻分析出给定条件下可能存在的结论||，然后经过论证作出取舍．例3.（17年北京中考12）写出一个比3大且比4小的无理数.例4.（16年北京中考12）下图中四边形均为矩形||，根据图形||，写出一个正确的等式：______________________.例5.（16年西城一模13）已知函数满足下列两个条件：①当0x >时||，y 随x 的增大而增大；②它的图象经过点（1||，2）||，请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ． Q P y x O 图1例6.（16年北京中考20）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根||。

姓名九年级数学专题复习(六) 开放探索性问题课前准备：1、在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子．观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了_____________块石子．3、图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S 1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S 2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S 3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n 个图中所有圆的面积之和S n ＝ ．典型例题例1：如图，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ． ①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．例2：探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 的面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）． （1）写出设计方案．并画出相应的图形； （2）说明方案设计理由．例3.如图所示，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE ，交 BC 于 D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且A F ＝CE ．⑴ 求证：四边形ACEF 是平行四边形；⑵ 当∠B 的大小满足什么条件时，四边形A CEF 是菱形？请回答并证明你的结论； ⑶ 四边形ACEF 有可能是正方形吗？为什么？课后练习1. 如图所示，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y ＝x ＋1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y ＝x ＋1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n 个正方形的边长为_________．2.如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点C 1，C 1B 1⊥AB 于点B 1，设弧BC 1，C 1B 1，B 1B 围成的阴影部分的面积为S 1，然后以A 为圆心，AB 1为半径作弧B 1C 2，交斜边AC 于点C 2，C 2B 2⊥AB 于点B 2，设弧B 1C 2，C 2B 2，B 2B 1围成的阴影部分的面积为S 2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S 3=．3.下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为 ．4.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也类似的性质？完成下列填空： 一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？5. 某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分．式方程．．．解决的问题，并写出解题过程．6.●观察计算 当a=5，b=3时，2a b +ab 2a b +＞ab a=4，b=4时，2a b+ab 关系是2a b+ab ●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ．（1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +ab 的大小关系是：2a b+ab ●实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．7.某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．当x 为何值时，S 取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值； （2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB 、BC 、AD 的距离与O2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l ）中S 取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．8. 矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）．（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．已知用“<”或“>”填空⎩⎨⎧>>12,355+2 3+1⎩⎨⎧->-->-21,53 -3-1 -5-2 ⎩⎨⎧<-<12,41 1-2 4+1。

2013年中考数学复习第十三讲-----探索、开放、创新型试题研究1、【专题精讲】近年来全国各地中考试题中频频出现探索型问题，这类问题由于没有明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件，因而对考生的能力要求较高。

开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力重要的内容，学习中应重视并应用.探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．一. 常见的问题的类型：1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。

3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。

4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。

二. 常用的解题切入点：由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．2、【典例精析】中考探索性试题的几种类型探索性问题的试题是指给出一列数、一列等式、一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论，或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变的规律性。

专题五 开放探索问题1. 写出一个不可能事件________．解析 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件． 答案 明天是三十二号2．已知一次函数的图象经过点(0，1)，且满足y 随x 的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为________． 解析 设一次函数的解析式为：y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵一次函数的图象经过点(0，1)， ∴b ＝1，∵y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，故答案为y ＝x ＋1(答案不唯一，可以是形如y ＝kx ＋1，k ＞0的一次函数)．答案 y ＝x ＋1(答案不唯一，可以是形如y ＝kx ＋1，k ＞0的一次函数)．3．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x ＞0时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为________(写出一个即可)．解析 本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．答案 y ＝2x，y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋5(本题答案不唯一)4．请写出一个解为x ＝2的一元一次方程：_________________________________. 答案 答案不唯一，如x －2＝0，2x ＝4等5．(2010·毕节)请写出含有字母x 、y 的五次单项式________(只要求写一个)． 答案 答案不唯一，例如x 2y 3，x 3y 2等．6．如图所示，E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个条件：________，使得△ADF ≌△CBE .答案 不唯一，如：AF ＝CE ，AE ＝CF ，∠ADF ＝∠CBE 等．7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是________．答案 答案不唯一，如AC ＝BD ，∠ADC ＝90°等8．如图，反比例函数y ＝k x的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1，2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的P 点坐标为________．答案 答案不唯一，x 、y 满足xy ＝2且x <0，y <0均可9．先化简，再把x 取一个你最喜欢的数代入求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x 2－4x ＋4＋2－x x ＋2÷x x －2.分析 将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x 的取值不能使原式的分母、除式为0. 解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋2）（x －2）（x －2）2＋2－x x ＋2·x －2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x －2－x －2x ＋2·x －2x ＝（x ＋2）2－（x －2）2（x ＋2）（x －2）·x －2x＝8x （x ＋2）（x －2） ·x －2x＝8x ＋2当x ＝6时，原式＝1.10．已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)．分析 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．解析 根据三角形的三边关系，得 第三边应大于8－4＝4，而小于8＋4＝12， 又∵三角形的两边长分别为4和8， ∴4＜x ＜12，故答案为在4＜x ＜12之间的数都可以． 答案 在4＜x ＜12之间的数都可以11.如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC ，垂足为E .(1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可．)(2)若∠ABC 是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形．(要求：写出6个结论即可，其他要求同(1)．) 解 下列结论可供选择： (1)①DE 是⊙O 的切线； ②AB ＝BC ； ③∠A ＝∠C ； ④DE 2＝BE ·CE ； ⑤CD 2＝CE ·CB ； ⑥∠C ＋∠CDE ＝90°； ⑦CE 2＋DE 2＝CD 2.(2)若∠ABC 为直角时， ①CE ＝BE ；②DE ＝BE ； ③DE ＝CE ；④DE ∥AB ； ⑤CB 是⊙O 的切线； ⑥DE ＝12AB ；⑦∠A ＝∠CDE ＝45°； ⑧∠C ＝∠CDE ＝45°； ⑨CB 2＝CD ·CA ； ⑩CD CA ＝CE CB ＝DE AB； ⑪AB 2＋BC 2＝AC 2； ⑫CD DA ＝CE EB.12．已知点A (1，2)和B (－2，5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A 、B 两点． 解 法一 设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，2)，B (－2，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2 ①4a －2b ＋c ＝5 ② 则①－②得3b －3a ＝－3， 即a ＝b ＋1. 设a ＝2，则b ＝1， 将a ＝2，b ＝1代入①， 得c ＝－1， 故所求的二次函数为y ＝2x 2＋x －1.又设a ＝1，则b ＝0，将a ＝1，b ＝0代入①，得c ＝1， 故所求的另一个二次函数为y ＝x 2＋1.法二 因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C (0，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ＋c ，5＝4a －2b ＋c ，c ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a －2b ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12，c ＝0，故所求的二次函数为y ＝32x 2＋12x ，用同样的方法可以求出另一个二次函数．13．已知，如图，△ABC 是边长为3 cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t (s)，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？(2)设四边形APQC 的面积为y (cm 2)，求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23？如果存在，求出相应的t 值；若不存在，说明理由．解 (1)当∠BPQ ＝90°时，在Rt △BPQ 中，∠B ＝60°，BP ＝3－t ，BQ ＝t . ∵cos B ＝BP BQ， ∴BP ＝BQ ·cos B ， 即3－t ＝t ·12.解之，得t ＝2. 当∠BQP ＝90°时，在Rt △BP Q 中，∠B ＝60°，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，∵cos B ＝BQ BP，∴BQ ＝BP ·cos B ， 即t ＝(3－t )·12.解之，得t ＝1. 综上，t ＝1或t ＝2时， △PBQ 是直角三角形． (2)∵S 四边形APQC ＝S △ABC －S △PBQ ，∴y ＝12×3×3·sin 60°－12×(3－t )·t ·sin 60°＝34t 2－334t ＋934. 又∵S 四边形APQC ＝23S △ABC ，∴34t 2－334＋934＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×3×sin 60°， 整理得，t 2－3t ＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＜0，∴方程无实根，∴无论t 取何值时，四边形APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的23.14．(2012·广州)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，F 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，设∠ABC ＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE 的长； (2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k ，使得∠EFD ＝k ∠AEF ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF ，当CE 2－CF 2取最大值时，求tan ∠DCF 的值． 分析 (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；(2)①连接CF 并延长交BA 的延长线于点G ，证明△AFG 和△CFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF ＝GF ，AG ＝CD ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF ＝GF ，再根据AB 、BC 的长度可得AG ＝AF ，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF ＝∠G ＝∠AFG ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC ＝2∠G ，然后推出∠EFD ＝3∠AEF ，从而得解；②设BE ＝x ，在Rt △BCE 中，利用勾股定理表示出CE 2，表示出EG 的长度，在Rt △CEG 中，利用勾股定理表示出CG 2，从而得到CF 2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答． 解 (1)∵α＝60°，BC ＝10， ∴sin α＝CE BC，即sin 60°＝CE 10＝32，解得CE ＝5 3； (2)①存在k ＝3， 使得∠EFD ＝k ∠AEF .理由如下：连接CF 并延长交BA 的延长线于点G ，如图所示，∵F 为AD 的中点，∴AF ＝FD ， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠G ＝∠DCF ，在△AFG 和△DFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠G ＝∠DCF ∠AFG ＝∠DFC （对顶角相等）AF ＝FD， ∴△AFG ≌△DFC (AAS)， ∴CF ＝GF ，AG ＝DC ， ∵CE ⊥AB ，∴EF ＝GF (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF ＝∠G ， ∵AB ＝5，BC ＝10，点F 是AD 的中点， ∴AG ＝5，AF ＝12AD ＝12BC ＝5，∴AG ＝AF ， ∴∠AFG ＝∠G ，在△EFG 中，∠EFC ＝∠AEF ＋ ∠G ＝2∠AEF ， 又∵∠CFD ＝∠AFG (对顶角相等)， ∴∠CFD ＝∠AEF ，∴∠EFD ＝∠EFC ＋∠CFD ＝2∠AEF ＋∠AEF ＝3∠AEF ， 因此，存在正整数k ＝3， 使得∠EFD ＝3∠AEF ；②设BE ＝x ，∵AG ＝CD ＝AB ＝5， ∴EG ＝AE ＋AG ＝5－x ＋5＝10－x ， 在Rt △BCE 中，CE 2＝BC 2－BE 2＝100－x 2，在Rt △CEG 中，CG 2＝EG 2＋CE 2＝(10－x )2＋100－x 2＝200－20x ， ∵CF ＝GF (①中已证)，∴CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CG 2＝14CG 2＝14(200－20x )＝50－5x ，∴CE 2－CF 2＝100－x 2－50＋5x＝－x 2＋5x ＋50＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋50＋254，∴当x ＝52，即点E 是AB 的中点时，CE 2－CF 2取最大值，此时，EG ＝10－x ＝10－52＝152，CE ＝ 100－x 2＝100－254＝5152，所以，tan ∠DCF ＝tan ∠G ＝CE EG ＝5152152＝153.。