专题1 集合与常用逻辑用语、不等式 第2讲 不等式与线性规划

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

集合与常用逻辑用语1．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 答案 D解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >32， 得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32，3，故选D. 2．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案 D解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1(1)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N等于() A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}(2)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是____________．答案(1)C(2)②④解析(1)M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，考查交集的定义，由数轴可以看出M∩N＝{x|1≤x≤4}．(2)①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③错．所以答案为②④.思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1(1)若全集U＝{0,1,2,4}，且∁U A＝{1,2}，则集合A等于()A．{1,4} B．{0,4}C．{2,4} D．{0,2}(2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512答案 (1)B (2)C 解析 (1)集合A ＝∁U (∁U A )＝{0,4}，故选B.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14， ⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1， 取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112. 故选C.热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题．其中正确的命题序号是________．(2)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)① (2)B解析 (1)①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x＝lg x lg 2，log 3x ＝lg x lg 3，因为lg 2<lg 3，所以1lg 2>1lg 3，当x ∈(0,1)时，lg x lg 2<lg x lg 3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误．③中原命题的逆命题为：若a <b ，则am 2<bm 2，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误．所以答案应填①.(2)若直线l 的倾斜角为α＝π2，它满足“α>π4”的要求，但此时直线l 的斜率不存在，则p 不是q 的充分条件；若直线l 的斜率k >1，则倾斜角π4<α<π2，则p 是q 的必要条件．综上可得，p 是q 的必要不充分条件．思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且qD ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( )①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题； ④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.A ．1B ．2C ．3D ．4(2)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x ＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z .所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A.(2)因为2x >1，所以x >0，即命题q ：x >0.因为p ：1<x <2能够推出q ，而q 不一定能推出p ，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故选A.热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)设p ，q 是两个命题，如果綈(p ∨q )是真命题，那么( )A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)D (2)C解析 (1)由綈(p ∨q )是真命题可得p ∨q 是假命题，由真值表可得p 是假命题且q 是假命题．(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假 (2)命题p ：∃b ∈R ，使直线y ＝－x ＋b 是曲线y ＝x 3－3ax 的切线．若綈p 为真，则实数a 的取值范围是( )A ．a <13B ．a ≤13C ．a >13D ．a ≥13答案 (1)B (2)A解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确． (2)由y ＝x 3－3ax 得y ′＝3x 2－3a ≥－3a .因为命题“∃b ∈R 使直线y ＝－x ＋b 是曲线y ＝x 3－3ax 的切线”是假命题，所以直线y ＝－x ＋b 的斜率－1∉[－3a ，＋∞)，即－1<－3a ，解得a <13.故选A.1．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于()A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－1}C．{x|x<1} D．{x|x≥1}押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．答案 C解析M＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，∴∁R N＝{x|x≤－1}，∴M∪(∁R N)＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤－1}＝{x|x<1}，故选C.2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M＝{(x，y)|y＝1 x}；②M＝{(x，y)|y＝e x－2}；③M＝{(x，y)|y＝cos x}；④M＝{(x，y)|y＝ln x}．其中是“Ω集合”的所有序号为()A．②③B．③④C．①②④D．①③④押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．答案 A解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念．答案 A解析 当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝0时，必要条件不成立．故选A.4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．答案 C解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因此递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ；必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2； ③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0.所以①②为真，选C.A组专题通关1．已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于() A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}答案 A解析A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以有(∁R A)∩B＝{－2，－1}，故选A.2．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于() A．(0,8) B．{3,5,7}C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}答案 D解析由M中不等式变形得：log2x<3＝log28，即0<x<8，∴M＝{x|0<x<8}，∵N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.3．命题“∀x∈[－2，＋∞)，x＋3≥1”的否定为()A．∃x0∈[－2，＋∞)，x0＋3<1B．∃x0∈[－2，＋∞)，x0＋3≥1C．∀x∈[－2，＋∞)，x＋3<1D．∀x∈(－∞，－2)，x＋3≥1答案 A解析根据全称命题的否定规则可知应选A.4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B等于() A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1≤x≤0}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}答案 D 解析 由x 2－2x ≤0，得0≤x ≤2，所以B ＝{x |0≤x ≤2}．又A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．故选D.5．“a ＝5”是“点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3，得|a －2|＝3，解得a ＝5或a ＝－1，所以“a ＝5”是“点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3”的充分不必要条件，故选B.6．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真 答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．7．已知命题p ：2x x －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1]B ．[－3，－1]C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－3] 答案 C解析 由p ：2x x －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，qD ⇒/p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.8．下列命题是假命题的是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βC ．向量a ＝(2，－1)，b ＝(3,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x <1”的既不充分也不必要条件答案 A解析 对于选项A ，当φ＝π2时，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，该命题是假命题；对于选项B ，当α＝π2，β＝－π4时，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，所以该命题是真命题；对于选项C ，a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝63＝2，所以该命题为真命题；对于选项D ，由|x |≤1，当x ＝1时，x <1不成立，由x <1得不出|x |≤1，所以“|x |≤1”是“x <1”的既不充分也不必要条件，所以该命题为真命题．9．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________.答案 (－1,2)解析 由不等式的解法，可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，由交集的计算方法可得，M ∩N ＝{x |－1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,4]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4]． 11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”； ③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是： “∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．B 组 能力提高13．下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋x －2≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析 A 正确，因为此时m 2>0；B 正确，特称命题的否定就是全称命题；C 不正确，因为命题“p 或q ”为真命题，那么p ，q 有一个真，p 或q 就是真命题；D 项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.14．已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2 (r >0)，若p ：1≤r ≤3；q ：圆C 上至多有3个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由点到直线的距离公式，得圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离为2，故0<r <1时，圆上到直线的距离为1的点为0个；r ＝1时，圆上有1个点满足；1<r <3时，圆上有2个点满足；r ＝3时，圆上有3个点满足；r >3时，圆上有4个点满足．故选A.15．下列选项错误的是( )A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题答案 D解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.16．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0，若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件，综上，答案为⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]． 17．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}， 所以A △B ＝{1,6,10,12}．。

专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语总序1考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．热点一集合的关系及运算例1(1)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y 恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是_______．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β.思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义． 答案 (1)充要 (2)④ 解析 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |.(2)由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，①错；因为ab 2>cb 2，且b 2>0，所以a >c .而a >c 时，若b 2＝0，则ab 2>cb 2不成立，由此知“ab 2>cb 2”是“a >c ”的充分不必要条件，②错；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，③错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．(2)“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log 3M >log 3N ，又因为对数函数y ＝log 3x 在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M >N ；当M >N 时，由于不知道M 、N 是否为正数，所以log 3M 、log 3N 不一定有意义．故不能推出log 3M >log 3N ，所以“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的充分不必要条件．热点三 逻辑联结词、量词例3 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则下列命题正确的是________． ①命题p ∨q 是假命题 ②命题p ∧q 是真命题 ③命题p ∧(非q )是真命题 ④命题p ∨(非q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围 是___________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(非q )是真命题，命题p ∨(非q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得非p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得非q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p真q假；②p假q真；③“p∧q”为假；④“p∧q”为真(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(非p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案(1)③(2)(1，＋∞) 解析(1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2R sin C>2R sin B(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>b ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(非p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2} 解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题①p∧q；②非p∧非q；③非p∧q；④p∧非q为真命题的是________．答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、非p为假命题，非q为真命题，非p∧非q、非p∧q为假命题，p∧非q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(非p)∧(非q)”为真命题；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案②解析命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(非p )∧(非q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10；由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)， 得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [0,1) 解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数 为_ ．答案 13 解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7 解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分 解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1. log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件． 5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要 解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角， 所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件． 7．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝_______. 答案{x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是________．答案 2 解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1 消去y 得x 2＋x ＝0，由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断①p 为真；②非q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．正确的是________．答案 ③ 解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞) 解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞) 解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1， 则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________. 答案 －4 解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a ＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1 解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确； 对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集． 对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上， 故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

以下是集合与常用逻辑用语、等式与不等式的知识点总结：
1. 集合：集合是数学中一个基本概念，主要是明确的概念的加总。

集合的常用表示方法包括列举法和描述法，子集、真子集、集合相等则是集合之间关系的三大类。

2. 常用逻辑用语：包括四种命题、充分条件和必要条件、全称命题和特称命题，以及简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”。

3. 等式与不等式：等式和不等式是数学中的基础概念，表示数量间的关系。

等式是表示相等的数学表达式，而不等式则是表示大小关系的数学表达式。

4. 等式的性质：等式的两边加上或减去同一个数或整式，结果仍相等；等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

5. 不等式的性质：正数乘以不等式两边，不等号的方向会发生变化；不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向会发生变化。

以上内容仅供参考，如需更多信息，可查阅相关教材或咨询数学老师。

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合核心素养立意下的命题导向1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.[理清主干知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.(1)A的子集个数是2n；(2)A的真子集个数是2n－1；(3)A的非空子集个数是2n－1；(4)A的非空真子集个数是2n－2.4．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪BA∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合的交集A∩BA∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁U A∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(集合的表示)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9B．8C．5 D．4答案：A2．(并集与交集的运算)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}答案：D3．(全集与补集的运算)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}答案：C4．(相等集合)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 021＋y2 020＝________.答案：－1二、易错点练清1．(忽视元素的互异性)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( ) A ．1 B ．0或1或3 C ．0或3D ．1或3解析：选C 由B ⊆A ，得m ＝3或m ＝m ， 解m ＝m ，得m ＝0或m ＝1，由集合元素的互异性知m ≠1.∴m ＝0或3.2．(忽视空集的情形)已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．0或1或－1解析：选D 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M ，当N ＝∅时，a ＝0；当N ≠∅时，1a ＝a ，解得a ＝±1，故a 的值为±1,0.3．(忽视集合运算中端点取值)已知集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |x ≥3}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，如图所示，所以m ≥3.答案：[3，＋∞)考点一 集合的基本概念[典例] (1)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4(2)设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，B ＝{|a －2|,3}，已知4∈A 且4∉B ，则a 的取值集合为________．[解析] (1)将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.(2)因为4∈A ，即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3，a 2－3a ，a ＋2a ＋7，所以a 2－3a ＝4或a ＋2a ＋7＝4.若a 2－3a ＝4，则a ＝－1或a ＝4；若a ＋2a ＋7＝4，即a 2＋3a ＋2＝0，则a ＝－1或a ＝－2.由a 2－3a 与a ＋2a ＋7互异，得a ≠－1. 故a ＝－2或a ＝4.又4∉B ，即4∉{|a －2|,3}， 所以|a －2|≠4，解得a ≠－2且a ≠6. 综上所述，a 的取值集合为{4}． [答案] (1)A (2){4} [方法技巧]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．[针对训练]1．(多选)实数1是下面哪个集合中的元素( ) A ．整数集Z B.{}x |x ＝|x |C.{}x ∈N |－1<x <1D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x ＋1≤0解析：选ABD 对于A ，∵1是整数，∴1∈Z ，故A 正确． 对于B ，∵x ＝|x |，∴x ≥0，∵1>0，∴B 正确．对于C ，∵{}x ∈N |－1<x <1＝{}0，1不在集合中，∴C 不正确．对于D ，∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x ＋1≤0＝{}x ∈R |－1<x ≤1，1是集合中的元素，∴D 正确．故选A 、B 、D.2．已知集合A ＝{1，x 2}．若x 2∈{1,3,9，x }，则x ＝________.解析：由题意知，x 2≠1，∴x ≠±1.∵x 2∈{1,3,9，x }，∴若x 2＝3，则x ＝±3，经检验可知符合题意；若x 2＝9，则x ＝±3，经检验，x ＝3不满足集合元素的互异性，舍去；若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，经检验，x ＝1不满足集合元素的互异性，舍去．综上可知x ＝3或－3或－3或0.答案：3或－3或－3或03．设集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为________．解析：因为集合A ，B 中有唯一的公共元素9，所以9∈A .若2a －1＝9，即a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，则集合A ，B 中有两个公共元素－4,9，与已知矛盾，舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{9，－2，－2}，B 中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.答案：－3考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] (1)法一：A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．法二：因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．(2)因为B ⊆A ，所以，①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[答案] (1)A (2)(－∞，3][方法技巧] 解决有关集合间的基本关系问题的策略(1)一般利用数轴法、Venn 图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论．(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数．[提醒]不能忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法．[针对训练]1．已知集合M＝{x|y＝1－x2，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．M N B．N MC．M⊆∁R N D．N⊆∁R M解析：选B依题意知，M＝{x|y＝1－x2，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m ∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N M.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D求解一元二次方程，得A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，易知B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3,4}的子集个数，即有22＝4个，故选D.考点三集合的基本运算考法(一)集合间的交、并、补运算0，1，2，3，4，集合A＝[例1](1)(多选)(2021·山东滨州期末)设全集U＝{}{}0，1，3，则()0，1，4，B＝{}0，1A．A∩B＝{}B．∁U B＝{}40，1，3，4C．A∪B＝{}D．集合A的真子集个数为8(2)(2021年1月新高考八省联考卷)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A ．∅B ．MC ．ND ．R[解析] (1)∵全集U ＝{}0，1，2，3，4，A ＝{}0，1，4，B ＝{}0，1，3，∴A ∩B ＝{}0，1，∁U B ＝{2,4}，A ∪B ＝{0,1,3,4}，集合A 的真子集个数为23－1＝7，故选A 、C.(2)如图所示，易知答案为B.[答案] (1)AC (2)B[方法技巧] 解决集合运算问题3个技巧 看元素 构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合 化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形 常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图考法(二) 利用集合的运算求参数[例2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________．[解析] (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.(2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，只能是a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．[针对训练]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝() A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}解析：选C因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∪B＝{x|1≤x<4}．2．已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则(∁R A)∩B＝()A．(－1,0] B．[－1,2)C．[1,2) D．(1,2]解析：选C∵A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，∁R A＝{x|x≤－1或x≥1}，则(∁R A)∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.3．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，3) D．(－∞，3]解析：选C因为A∩B≠∅，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a<3，故选C.一、创新命题视角——学通学活巧迁移集合中的新定义问题类型(一)定义新运算[例1]定义集合A与B的运算“*”为：A*B＝{x|x∈A或x∈B，但x∉(A∩B)}．设X是非负偶数集，Y＝{1,2,3,4,5}，则(X*Y)*Y＝()A．X B．YC．X∩Y D．X∪Y[解析]由题意可知，X∩Y＝{2,4}，X∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}，∴X*Y＝{0,1,3,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)∩Y＝{1,3,5}，(X*Y)∪Y＝{0,1,2,3,4,5,6,8,10，…}．∴(X*Y)*Y＝{0,2,4,6,8,10，…}＝X.故选A.[答案] A[名师微点]正确分析新运算法则，把新运算法则所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟悉的数学情境．注意结合集合的基础知识解答．类型(二)定义新概念[例2]已知集合A0＝{x|0<x<1}．给定一个函数y＝f(x)，定义集合A n＝{y|y＝f(x)，x ∈A n－1}，若A n∩A n－1＝∅对任意的x∈N*成立，则称该函数具有性质“∅”．(1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________．(2)给出下列函数：①y＝1x；②y＝x2＋1；③y＝cosπ2x＋2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________．[解析](1)答案不唯一，合理即可．示例：对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0<x<1}，所以A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<3}，…，显然符合A n∩A n－1＝∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y＝x＋1.(2)对于①，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|x>1}，A2＝{x|0<x<1}，…，依次循环下去，符合A n∩A n－1＝∅.对于②，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|1<x<2}，A2＝{x|2<x<5}，A3＝{x|5<x<26}，…，根据函数y＝x2＋1的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合A n∩A n－1＝∅.对于③，A0＝{x|0<x<1}，A1＝{x|2<x<3}，A2＝{x|1<x<2}，A3＝{x|1<x<2}，不符合A n∩A n－1＝∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②.[答案](1)y＝x＋1(2)①②[名师微点]解决集合创新型问题的方法紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质二、创新考查方式——领悟高考新动向1．现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多人数是55B．最少人数是55C．最少人数是75 D．最多人数是80解析：选B设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0≤x≤20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，x＋card(A)＋card(B)－y＝100.∴x＋75＋80－y＝100，∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？现有如下表示：已知A＝{x|x＝3n ＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈(A∩B∩C)，则整数x的最小值为()A．128 B．127C．37 D．23解析：选D∵求整数的最小值，∴先将23代入检验，满足A，B，C三个集合，故选D.3．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________．解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4.若③正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4.若④正确，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2.所以符合条件的数组共6个． 答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 64．已知U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .求集合A .解：假设a 1∈A ，则a 2∈A .又若a 3∉A ，则a 2∉A ，∴a 3∈A ，与集合A 中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a 1∉A .假设a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，且a 1∉A ，与集合A 中有且仅有两个元素不符，∴假设不成立，∴a 4∉A .故集合A ＝{a 2，a 3}，经检验知符合题意．[课时跟踪检测] 1．(多选)若集合M ⊆N ，则下列结论正确的是( ) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ⊆(M ∩N )D ．(M ∪N )⊆N解析：选ABCD 由于M ⊆N ，即M 是N 的子集，故M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ，从而M ⊆(M ∩N )，(M ∪N )⊆N .2．(2020·天津高考)设全集U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝ {－3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{－3,3}B ．{0,2}C ．{－1,1}D ．{－3，－2，－1,1,3}解析：选C 法一：由题知∁U B ＝{－2，－1,1}，所以A ∩(∁U B )＝{－1,1}，故选C. 法二：易知A ∩(∁U B )中的元素不在集合B 中，则排除选项A 、B 、D ，故选C.3．(2019·北京高考)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝()A．(－1,1) B．(1,2)C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)解析：选C将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．由图可得A∪B＝{x|x>－1}．4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为() A．3 B．2C．1 D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．6．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{4}，则A∪B＝()A．{2,3,4} B．{1,3,4}C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4}解析：选A∵A∩B＝{4}，∴2a＝4，则a＝2，b＝4.∴A∪B＝{2,3,4}．7．已知全集U＝{x|－1<x<9}，A＝{x|1<x<a}，A是U的子集，若A≠∅，则a的取值范围是()A．{a|a<9} B．{a|a≤9}C．{a|a≥9} D．{a|1<a≤9}解析：选D由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是{a|1<a≤9}．8．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若A∩B＝{0}，则B的子集有() A．2个B．4个C．8个D．16个解析：选B∵A∩B＝{0}，∴0∈B，∴m＝0，∴B＝{x|x2－3x＝0}＝{0,3}．∴B 的子集有22＝4个．故选B.9．(多选)已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(x －2)的定义域为M ，集合N ＝{}x |x 2－2x >0，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∩(∁U N )＝∅C ．M ∪N ＝UD ．M ＝∁U N解析：选AB 由x －2>0得x >2，所以M ＝(2，＋∞)．由x 2－2x >0得x <0或x >2，所以N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，∁U N ＝[0,2]，所以M ∩(∁U N )＝∅，M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ≠U ，M ≠∁U N .故选A 、B.10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．[(∁I A )∩B ]∩C B ．[(∁I B )∪A ]∩C C ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．[A ∩(∁I B )]∩C解析：选D 由图知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C .则阴影部分表示的集合是[A ∩(∁I B )]∩C .12．(2021·湖北八校联考)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k ＋16，k ∈N ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m 2－13，m ∈N ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n 2＋16，n ∈N ，则集合A ，B ，C 的关系是( )A ．A CB B ．C A B C ．A B ＝CD ．A B C解析：选A ∵集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝n 2＋16，n ∈N ，∴当n ＝2a (a ∈N )时，x ＝2a 2＋16＝a ＋16，此时C ＝A ，∴A C .当n ＝b －1(b ∈N *)时，x ＝b －12＋16＝b 2－12＋16＝b 2－13(b ∈N *)．而集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝m 2－13，m ∈N ，当m ＝0时，－13∈B ，但－13∉C ，∴集合C B .综上，A C B ，故选A.13．已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝________.解析：P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}， ∵P ∪Q ＝R ，P ∩Q ＝(2,3]，∴Q ＝{x |－1≤x ≤3}， ∴－1,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－a ，(－1)×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，∴a ＋b ＝－5. 答案：－514．若集合{x |x 2＋2kx ＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k 的取值集合是________．解析：由题意知，方程x 2＋2kx ＋1＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4k 2－4＝0，解得k ＝±1，∴满足条件的实数k 的取值集合是{1，－1}． 答案：{1，－1}15．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________________.解析：由题意知A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，所以A *B ＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 答案：[－3,0)∪(3，＋∞)16．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }，∴∁U A ＝{x |x <－m }． ∵B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，∴－m ≤－2，即m ≥2.∴m 的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词核心素养立意下的命题导向1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．2．以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则p是q的充分条件p⇒q A⊆Bp是q的必要条件q⇒p A⊇Bp是q的充要条件p⇒q且q⇒p A＝Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q p A Bp是q的必要不充分条件p q且q⇒p A Bp是q的既不充分p q且q p A B且A⊉B也不必要条件[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃名称全称命题特称命题形式结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(充分、必要条件的判断)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．(全称命题的否定)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为__________________________________．答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”3．(特称命题的否定)命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定为________________．答案：∀x∈R，x2－x－1≤04．(全(特)称命题的真假判断)下列命题中的真命题是______(填序号)．①∃x0∈R，lg x0＝1；②∃x0∈R，sin x0＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.解析：当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x≤0时，x3≤0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．答案：①②④二、易错点练清1．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数2．(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．答案：充分不必要考点一充分条件与必要条件的判断[典例](1)(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2020·浙江高考)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] (1)由a 2>a 得a >1或a <0，反之，由a >1得a 2>a ，则“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选A.(2)由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．故选B.[答案] (1)A (2)B[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法1．(多选)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a ＞b ＞0”是“a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件解析：选BC c ＝0时，由ac ＝bc 不能得出a ＝b ，A 错误；1a ＞1b 与a ＜b 相互不能推导，如a ＝2，b ＝－1时，满足1a ＞1b 但不满足a ＜b ，反之若a ＝－1，b ＝2，满足a ＜b 但不满足1a ＞1b ，∴“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件，B 正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C 正确；由a ＞b ＞0能得出a n ＞b n ，当a ＝－4，b ＝－2时，a 2＞b 2，但a ＜b ，D 错误．2．设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件，故选A.考点二 根据充分、必要条件求参数范围[典例] (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1](2)已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[解析] (1)由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.(2)p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}．由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.[答案] (1)B (2)(－∞，－7]∪[1，＋∞) [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[针对训练]1．若“x >2”是“x >a ” 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a <2} B ．{a |a ≤2} C ．{a |a >2}D ．{a |a ≥2}解析：选C “由x >2”是“x >a ”的必要不充分条件，知{x |x >a }是{x |x >2}的真子集，将这两个集合表示在数轴上(如图)，由数轴知a >2，故选C.2．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解2x －1x －1<0，得12<x <1，所以p ：12<x <1；由q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 即q ：a ≤x ≤a ＋1.要使p 是q 的充分不必要条件， 则⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，解得0≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 考点三 全称量词与存在量词考法(一) 全(特)称命题的否定[例1] (1)(2021·石家庄模拟)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1(2)(2021·山东师范大学附中模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是增函数，则 綈p 为( )A ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数B ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数C ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数D ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 [解析] (1)因为x x －1>0，所以x <0或x >1，所以x x －1>0的否定是0≤x ≤1，所以命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.(2)由特称命题的否定可得綈p 为“∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数”． [答案] (1)B (2)D [方法技巧]全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．考法(二) 全(特)称命题的真假判断 [例2] (多选)下列命题说法错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1[解析] 根据指数函数的性质可得e x >0，故A 错误；x ＝2时，2x >x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，ab 没有意义，故C 错误；因为“x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D 正确．故选A 、B 、C.[答案] ABC[方法技巧] 判断全称命题、特称命题真假的思路考法(三) 根据全(特)称命题的真假求参数[例3] (2021·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)[解析] 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.故选C.[答案] C[方法技巧]根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[针对训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是()A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2解析：选C根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N *，使得n≤x2”．故选C.2．下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝0C．∀x∈R,3x>0 D．∀x∈R，x2>0解析：选D∃x0＝1，lg x0＝0；∃x0＝0，tan x0＝0；∀x∈R,3x>0；∀x∈R，x2≥0，所以D为假命题．故选D.3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则()A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.4．已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.答案：(0,4)创新思维角度——融会贯通学妙法避免充分必要条件在解题应用中的失误学习充分条件和必要条件的重要意义，在于自觉地把它们应用到解题中，其实有许多题目，本身虽然没有出现充分条件和必要条件的字样，但在思考中，会运用充要条件的概念．如果理解不到位，在做题时就会经常出错．一、解题变形时错将必要不充分条件代替充要条件[例1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求f (x )的解析式． [错解展示] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 当a ＝－3，b ＝3时，f (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋9.[易错矫正] 本题错误的根源在于：f ′(x 0)＝0是连续可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要而非充分条件，只有在x ＝x 0的左右两侧导数符号相反时，函数f (x )才在x ＝x 0处取得极值．在错解中得到a ，b 的值后，再进一步对驻点情况加以判定．当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝0的驻点是x ＝－113和x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x⎝⎛⎭⎫－∞，－113－113 ⎝⎛⎭⎫－113，1 1 (1，＋∞)由表格可知，f ′(x )在x ＝1两侧符号相反，故f (x )在x ＝1处取得极小值10，符合题意． 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，经检验，不合题意，应舍去． 综上，所求解析式是f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16. 二、解题变形时错将充分不必要条件代替充要条件[例2] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .[错解展示] 因为S 3＋S 6＝2S 9，所以a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0.由q ≠0得方程2q 6－q 3－1＝0，所以(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，解得q ＝－342或q ＝1. [易错矫正] 在错解中，由a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ，整理得q 3(2q 6－q 3－1)＝0时，应有a 1≠0和q ≠1.在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因为q ≠1是数列{a n }为等比数列的充分不必要条件，因此，在解题时应先讨论公比q ＝1的情况，再考虑q ≠1的情况．若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1但a 1≠0， 即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9⇒a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2·a 1(1－q 9)1－q ⇒q 3(2q 6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，所以2q 3＋1＝0，解得q ＝－342. [名师微点]解题变形时先求出其必要条件，然后再检验其充分性并将扩大的部分舍去；或先求出一个充分条件，再对可能出现的遗漏进行补充．三、解题变形时错将既不充分也不必要条件当成充要条件[例3] 若函数f (x )＝a －3x1＋a ·3x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则a 的值为________．[错解展示] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0.即a －11＋a＝0，所以a ＝1.[易错矫正] f (0)＝0是函数f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件，而本题错作为充要条件来用．因为f (x )是奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0.即a －3x 1＋a ·3x ＋a －3－x 1＋a ·3－x ＝0，所以(a 2－1)(3－x ＋3x )(1＋a ·3x )(1＋a ·3－x )＝0对定义域中的任意x 都成立，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝1－3x 1＋3x，此时函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)；当a ＝－1时，f (x )＝－1＋3x1－3x，此时函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，都关于原点对称．故a ＝±1.[答案] ±1 [课时跟踪检测]1．(2021·青岛模拟)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( ) A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8x B ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8x C ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0.故选C.2．(2021·山东济宁期末)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2解析：选B ∀x ∈R,2x －1>0，根据y ＝2x －1的图象知A 正确；∀x ∈N *，(x －1)2>0，取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 错误；∃x 0∈R ，lg x 0<1，取x 0＝1，计算lg x 0＝0<1，故C 正确；∃x 0∈R ，tan x 0＝2，y ＝tan x 的值域为R ，故D 正确．故选B.3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x ≥0，得x ≤2；由(x －1)2≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，据此可知：“2－x ≥0”是“(x －1)2≤1”的必要不充分条件．4．(2021·福州质检)已知函数f (x )＝3x －3－x ，∀a ，b ∈R ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 易知函数f (x )＝3x －3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a >b ”可得“f (a )>f (b )”，由“f (a )>f (b )”可得“a >b ”，即“a >b ”是“f (a )>f (b )”的充要条件．5．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0解析：选AC 命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B 选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题，又选项A 、C 中的命题为假命题，选项D 中的命题为真命题，故选A 、C.6．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1D ．－1<x <1解析：选D ∵集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x ≥1}，x ∈A 且x ∉B ，∴－1<x <1；又当 －1<x <1时，满足x ∈A 且x ∉B ，∴“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是“－1<x <1”．7．已知p ：m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.8．(2021·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.9．(多选)下列命题正确的是( ) A ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B ．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”C ．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的必要不充分条件D ．设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件解析：选ABD 若1a <1，则a >1或a <0，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，故B 正确；当x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，当x 2＋y 2≥4时却不一定有x ≥2且y ≥2，如x ＝5，y ＝0，因此“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；因为“ab ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件，所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选A 、B 、D.10．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选D ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.11．(多选)设a 是实数，则a <5成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a <6 B ．a <4 C ．a 2<25D ．3a ＋4≤20。