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![信息安全数学基础习题答案[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/951f2bd7bb0d4a7302768e9951e79b8969026841.png)
信息安全数学基础习题答案[1]信息安全数学基础习题答案第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z因此70|n2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。
因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。
《信息安全数学基础》课程教学大纲课程编码：ZJ28603课程类别：专业基础课学分： 4 学时：64学期： 3 归属单位：信息与网络工程学院先修课程：高等数学、C语言程序设计、线性代数适用专业：信息安全、网络工程（中韩合作）一、课程简介《信息安全数学基础》（Mathematical foundation of information security）是信息安全、网络工程（中韩合作）专业的专业理论课程。
本课程主要讲授信息安全所涉及的数论、代数和椭圆曲线论等基本数学理论和方法，对欧几里得除法、同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域等知识及其在信息安全实践中的应用进行详细的讲述。
通过课程的学习，使学生具备较好的逻辑推理能力，具备利用数学理论知识解决信息安全实际问题的能力，树立信息安全危机意识和防范意识，树立探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。
二、课程目标本课程教学应按照大纲要求，注重培养学生知识的学习和应用能力，使学生在学习过程中，在掌握信息安全领域所必需的数学基础知识的同时，提升学生的理论水平、业务素质、数学知识的应用能力，支撑人才培养方案中“课程设置与人才培养目标达成矩阵”相应指标点的达成。
课程目标对学生价值、知识、能力、素质要求如下：课程目标1：激发学生爱国主义情怀和专业知识钻研精神，使其树立正确的价值观。
课程目标2：培养学生树立信息安全危机意识和防范意识。
课程目标3：激发学生树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。
课程目标4：使学生掌握整除的相关概念和欧几里德算法的原理与应用。
课程目标5：使学生掌握同余式的求解方法及其在密码学中的经典应用。
课程目标6：使学生掌握群环域等代数结构的特点及其在密码学中的经典应用。
课程目标7：使学生掌握信息安全数学基础中的专业韩语知识。
三、教学内容与课程目标的关系四、课程教学方法1、理论课堂（1）采用案例式教学，讲述我国科技工作者将自主科研创新和国家重大需求相结合，经过不懈努力取得辉煌成果的真实事件，激发学生爱国主义情怀和专业知识探究热情，使学生树立正确的价值观。
信息安全数学基础 pdf
1 信息安全数学基础
信息安全数学基础是当下信息安全领域的重要组成部分。
它不仅
涉及数学基本原理，还关联着计算机科学、密码学、计算机技术等学
科的理论体系。
信息安全基于一些数学理论尤其是密码学，利用特定的数学基础，利用数学理论实现安全信息传输，保护系统、数据库及网络安全，使
之达到全面的安全保护。
例如，在信息安全领域，密钥及算法安全性
建立在数论理论上，如随机数发生、数论理论等。
信息安全数学基础通常包括数学基本原理、数据结构、计算机科学、密码学、计算机技术等广泛的学科的系统学习。
它的研究，不仅
需要对各门学科深入的研究，还要加强对这些学科之间的联系与融合，从学科角度探求祕钥的基本原理及其衍生的用途。
信息安全数学基础的研究将有助于培养学生具有良好的系统化学
习与研究理论能力，增强学生应用和研究数学原理、方法和软件工具，提高学生针对信息安全领域问题进行分析和处理的能力，更好地把握
和应对今后信息安全领域的发展。
信息安全数学基础的研究给信息安全领域的发展带来了很大的推
动力，是当代信息化经济社会发展的重要基础，特别是互联网安全与
政府、军队、企业、学校等重要网络应用系统的安全保护，势在必行。
因此，从培养学生的角度出发，对信息安全数学基础进行系统地学习和研究，将有利于培养具有素质的信息安全专业人才。
第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。
b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。
加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。
c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的对称加密算法有DES、AES等。
d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。
常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。
e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。
哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。
2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。
b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。
请计算加密后的密文长度。
答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。
根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。
所以加密后的密文长度为1024/2=512位。
c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。
答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。
信息安全数学基础答案【篇一：信息安全数学基础习题答案】xt>第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k?z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1?z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1 即k1=7 k2，k2?z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2?z因此70|n32．证明：因为a-a=(a-1)a(a+1)3当a=3k，k?z 3|a 则3|a-a3当a=3k-1，k?z 3|a+1 则3|a-a3当a=3k+1，k?z 3|a-1 则3|a-a3所以a-a能被3整除。
3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0?z22（2 k0+1）＝4 k0+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k2所以（2 k0+1）=8k+1 得证。
34．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a-a3由第二题结论3|（a-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1所以6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k?z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。
1/26．证明：因为191＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191所以191为素数。
1/2因为547＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547所以547为素数。
数b 1, …, b k 同余式组 x ≡ b 1 (mod m 1)… … … …x ≡ b k (mod m k )有唯一解。
令m ＝m 1…m k ，m ＝m i M i ，i ＝1,…,k ，则同余式组的解为： x ≡ M 1' M 1b 1＋…＋ M k ' M k b k (mod m ) ， 其中 M i ' M i ≡1 (mod m i ) , i ＝1 , 2 ,…, k 。
10．正整数n 有标准因数分解式为 k kp p n αα 11=，则n 的欧拉函数 。
三．证明题 （写出详细证明过程）：（每题5分，共20分）1．证明：如果正整数a ，b 满足(a , b )＝1，则 (a n , b n )＝1。
证明： (i)由1.4节定理1：若(a , c )＝1， 则 (ab , c )＝ (b , c )。
从而(a 2 , b )＝(aa , b )＝ (a , b )＝1，以此类推 (a n , b )＝(aa n －1 , b )＝(a n －1 , b )＝(aa n －2 , b ) ＝ (a n －2 , b )＝…＝ (a 2 , b )＝(aa , b )＝ (a , b )＝ 1 (b ，a n ) ＝(a n , b )＝1，类似的(b n , a n )＝(bb n －1 , a n )＝(b n －1 , a n )＝(bb n －2 , a n ) ＝ (b n －2 , a n )＝…＝ (b 2 , a n )＝(bb , a n )＝ (b , a n )＝ 12．证明：设m 是一个正整数，a ≡ b (mod m )，则(a , m )＝(b , m )。
证 设 a ≡b (mod m ) , 则存在整数 k 使得 a ＝b ＋mk , 根据1.3定理3，有 (a , m )＝(b , m )。
3．设m 是一个正整数，a 满足(a , m )＝1，则存在整数a '，1 ≤ a ' < m 使121111()(1)(1)(1)(1)p nk n n n p p p p ϕ=-=---∏得aa'≡1 (mod m)。
信息安全数学基础姜正涛定理1.13
定理1.13：欧拉定理
欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了模运算的一些基本性质。
欧拉定理的表述如下：
若a和n是正整数，且a与n互质，则有a^φ(n) ≡1 (mod n)，其中φ(n)表示小于n的正整数中与n互质的数的个数，也称为欧拉函数。
欧拉定理的证明需要用到一些数论知识，下面我们将对欧拉定理进行详细的解释和证明。
首先，我们需要了解一些基本的数论概念和符号。
在数论中，我们通常用“a ≡
b (mod n)”表示a与b在模n意义下同余，即a-b能够被n整除。
例如，2 ≡
8 (mod 3)，因为2-8=-6能够被3整除。
另外，我们还需要了解欧拉函数的定义和性质。
欧拉函数φ(n)表示小于n的正整数中与n互质的数的个数。
例如，φ(6)=2，因为小于6的正整数中与6互质的数只有1和5。
欧拉函数有以下性质：
1. 若p是质数，则φ(p)=p-1。
2. 若p和q是不同的质数，则φ(pq)=(p-1)(q-1)。
3. 若n可以分解为n=p1^k1*p2^k2*...*pm^km的形式，则φ
(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm)。
接下来，我们来证明欧拉定理。
首先，我们需要证明一个引理：
引理1：若a和n是正整数，且a与n互质，则a^φ(n) ≡1 (mod n)。
证明：我们可以将小于n的正整数中与n互质的数分为若干个互不相交的集合，每个集合中的数与a的乘积在模n意义下都相等。
具体地，我们可以将小于n 的正整数中与n互质的数分为以下几个集合：
1. {1, a, a^2, ..., a^(k-1)}，其中k是小于n的最小正整数，使得a^k ≡1 (mod n)。
2. {a^k, a^(2k), ..., a^((t-1)k)}，其中t是小于n的正整数，使得a^t ≡1 (mod n)，且k是小于t的最小正整数，使得a^k ≡1 (mod n)。
3. {a^((t-1)k+j)}，其中j=0,1,...,k-1，t是小于n的正整数，使得a^t ≡1 (mod n)，且k是小于t的最小正整数，使得a^k ≡1 (mod n)。
显然，这些集合互不相交，且它们的并集包含了小于n的所有与n互质的正整数。
因此，我们有：
a^φ(n) ≡a^ {1, a, a^2, ..., a^(k-1)} * a^ {a^k, a^(2k), ..., a^((t-1)k)} * a^ {a^((t-1)k+j)} (mod n)
由于a与n互质，因此a^k ≡1 (mod n)，且a^t ≡1 (mod n)。
因此，上式可以进一步化简为：
a^φ(n) ≡a^ {1, a, a^2, ..., a^(k-1)} * a^ {a^k, a^(2k), ..., a^((t-1)k)} * a^ {a^((t-1)k+j)} ≡1 (mod n)
因此，引理1得证。
接下来，我们来证明欧拉定理：
定理1.13：若a和n是正整数，且a与n互质，则有a^φ(n) ≡1 (mod n)。
证明：由于a与n互质，因此n可以分解为n=p1^k1*p2^k2*...*pm^km的形式，其中p1,p2,...,pm是不同的质数。
根据欧拉函数的性质3，我们有：
φ(n) = n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm)
因此，我们有：
a^φ(n) ≡a^(n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pm)) (mod n)
由于a与n互质，因此a也与p1,p2,...,pm互质。
根据欧拉函数的性质2，我们有：
a^φ(p1^k1) ≡1 (mod p1^k1)
a^φ(p2^k2) ≡1 (mod p2^k2)
...
a^φ(pm^km) ≡1 (mod pm^km)
因此，我们有：
a^φ(n) ≡a^φ(p1^k1)*a^φ(p2^k2)*...*a^φ(pm^km) (mod n)
由于p1,p2,...,pm是不同的质数，因此它们两两互质。
根据中国剩余定理，我们可以得到：
a^φ(n) ≡1 (mod n)
因此，欧拉定理得证。
欧拉定理是数论中的一个重要定理，它在密码学中有着广泛的应用。
例如，在RSA加密算法中，欧拉定理被用来证明RSA算法的正确性。
此外，欧拉定理还可以用来求解模方程和离散对数问题等数论问题。
