2022-2023学年浙教版数学九上期中复习专题6 图形的旋转(学生版)

2022-2023学年九年级上数学：旋转
一．选择题（共5小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列所说的图形中，不是中心对称图形的是（）
A．菱形B．等边三角形C．矩形D．正方形
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）
A．2B．2C．3D ．
4．由圆和正五边形所组成的图形如图所示，那么这个图形（）
A．是轴对称图形但不是中心对称图形
B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是中心对称图形又是轴对称图形
D．既不是中心对称图形也不是轴对称图形
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）
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3.2 图形的旋转同步练习2024-2025学年九年级上册数学浙教版知识要点1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心.2.图形的旋转的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等.(2)对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.3.当图形旋转的角度为 180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称.例1 如图3-2-1,在平面直角坐标系中，将边长为1 的正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转45°后得到正方形 OA₁B₁C₁,依此方式，绕点O 连续旋转 2023 次得到正方形OA₂₀₂₃B₂₀₂₃C₂₀₂₃,那么点 A₂₀₂₃的坐标为 ( )A.(√22,−√22) B. (0,-1)C.(−√22,√22) D. (-1,0)例2 如图3-2-2,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,D为AB的中点,点 P在AC上,且CP= 1,将CP绕点C在平面内旋转,点 P 的对应点为点 Q,连结AQ,DQ,DC.当∠ADQ=90°时,AQ的长为 .例3 如图3-2-3,在△ABC中,点 D在AB 边上,CB=CD,将边CA绕点C 旋转到 CE 的位置,使得∠ECA=∠DCB,连结DE,交AC于点 F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED.(2)求∠AFE的度数.同步训练1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )2.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是 ( )3.如图，将一块三角尺 ABC绕顶点A 按顺时针方向旋转到△AB'C',点 B'恰好落在CA的延长线上,∠B = 30°,∠C = 90°, 则∠BAC'的度数为 ( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4.如图，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转55°得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 ( )A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°5.如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格线的交点，且坐标为(2，2).将线段 OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后,点 A 的坐标变为 .6.如图，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上.若 DE⊥AC,∠CAD = 25°, 则旋转角α的度数为 .7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,4),B(0,2),C(3,2).(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A₁B₁C₁.(2)将△ABC平移后得到△A₂B₂C₂,连结A₁C₂,C₁C₂.若点 A 的对应点A₂的坐标为(2,2),求△A₁C₁C₂的面积.8.如图,在△AOB 中,OA=4,OB=6,AB=2 √7,将△AOB 绕原点O 旋转 90°,则旋转后点 A 的对应点A'的坐标为 ( )A.(4,2)或(-4,2)B.(2√3,−4)或(−2√3,4)C.(−2√3,2)或(2√3,−2)D. (2,-2 √3)或( (−2,2√3)9.如图，正方形OABC 的边长为2，将正方形OABC绕点O 按逆时针方向旋转α°(0<α<180)得到正方形OA'B'C',连结 BC'.当点A'恰好落在线段 BC'上时，线段 BC'的长度为 .10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°.若AE=10,求CE 的长.11.如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一条直线上时，求AM的长.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.(2)若摆动臂AD 按顺时针方向旋转90°，点 D 的位置由△ABC外的点 D₁旋转到其内的点 D ₂处，连结D₁D₂，如图②，此时∠AD₂C=135°,CD₂=60,求BD₂的长.12.正方形ABCD的对角线相交于点O(如图①)，如果∠BOC 绕点O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图②),连结 EF,那么在点 E由B 到A 的过程中，线段EF 的中点G 的运动轨迹是 ( )A. 线段B. 圆弧C. 折线D. 无法判断。

3.2 图形的旋转教学目标1、知识技能①了解生活中旋转现象的存在；图形旋转的概念；②理解并掌握图形旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心和旋转角度等基本概念；③理解图形的旋转变换是由旋转中心和旋转角度所决定的；④理解图形的旋转的性质.2、数学思考①在探索实物与旋转图形的关系过程中，发展学生对具体图形的概括能力，培养几何直觉；②通过对旋转图形的探讨，培养学生的探索发现事物变化中的内在规律.3、解决问题能从具体事物中抽象出几何图形，并用几何图形旋转的知识解释一些现实旋转变化现象.4、情感态度经历探索图形在旋转变换中的变化情况的过程，体会旋转变换对研究图形变化的重要性,发展初步的审美意识，增强对图形的欣赏意识，提高学数学的兴趣.教学重点对生活中的旋转现象作数学上的分析，理解旋转及图形旋转变化中的对应点、对应角、对应线段等概念以及图形的旋转的性质.教学难点对旋转现象进行分析研究及探索.教学过程一、创设情境师：（结合动画欣赏）在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多如图所示的物体的旋转的现象：时钟上的秒针在不停的转动；大风车的转动给人们带来快乐；飞速转动的电风扇叶片给人们带来一丝丝的凉意.在下图中图形都可以看成是由一个或几个基本平面图形转动而产生的奇妙画面.师：这些图形有什么特征？生：这些图形都可以看成是一个图形绕着某一点旋转而形成的新图形.师：这就是我们将要学习的图形的旋转.（投影显示课题及下面文字）如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P´，像这样的运动就叫做旋转，这悬挂点就叫做小球旋转的旋转中心.二、探究归纳（投景显示）如图（1），点A绕着点O转过80°到了点A´的位置，那么点A´与点A称为对应点，点O就是旋转中心，而∠AOA´的度数等于旋转角度80°.（1）（1）如图（2），线段AB绕着点O转过60°到了线段A´B´的位置，那么线段A´B´和线段AB称为对应线段，而点B´和点是对应点.师：如图（下），△AOB绕着点O旋转45°到了△A´OB´的位置，那么图中旋转中心是点，旋转的角度是，对应点是，对应线段是，∠A 与∠A´称为对应角，图中对应角还有.生：旋转中心是点O，旋转的角度是45°.对应点是：点A与点A´，点B与点B´；对应线段是：线段AB与线段A´B´，线段OA与线段OA´，线段OB与线段OB´.对应角还有：∠B与∠B´，∠AOB与∠A´OB´.师：从三个图形中我们可以发现：旋转中心在旋转过程中，图形的旋转是由和决定的.生：旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定的.（学生回答后投影粗体显示）师：请同学们看看下面的图（投影显示下图），如果旋转中心在△ABC的外面点O处，转动60 ，将整个△ABC旋转到△A´B´C´的位置.那么这两个三角形的顶点、边与角是如何对应的呢？注：对照图形，学生不难指出对应顶点、对应边及对应角，学生讲完后可显示教材配套光盘自带动画演示，加深学生对旋转的印象.三、实践应用引例如右图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置.（1）旋转中心是哪个点？（2）旋转了多少度？（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？师：在这一旋转过程中，哪个点始终不动？生：A点.师：旋转中心是哪个点？生：当然也是A点.师：很好！图中，旋转的角度可以用哪些角来表示？生：∠BAC、∠DAE.（注：注意纠正学生有可能指错为∠DAC）师：不错！那旋转的角度是多少度呢？为什么？生：60°，因为∠ABC是等边三角形的内角，等于60°.师：你能指出图中的对应线段吗？生：线段AB的对应线段为AC，线段AD的对应线段为AE，线段BD的对应线段为CE.师：那你认为M点应转到什么位置呢？生：当然应对应转到AC的中点.（引伸）师：我想再问一下，如果连接DE，你认为△ADE是什么三角形？生甲：线段AE是由AD旋转得到的，AD = AE，所以△ADE是等腰三角形. 生乙：不对，∠DAE也等于旋转的角度，应也是60°，所以△ADE应是等边三角形.师：真了不起！正如生乙所说，说等边三角形应更确切些.结合讲解课本中的例题1和例题2.例点M是线段AB上一点，线段AB绕着点M顺时针方向旋转90°，旋转后的线段与原线段的位置有何关系？如果逆时针方向旋转90°呢？师：请同学们先按题意画出图形.[学生画完后投影显示图（1）、（2）解顺时针方向旋转90°，如上图（3）所示，A´´B´´与AB互相垂直.逆时针方向旋转90°，如上图（2）所示，A´B´与AB互相垂直.评（1）线段旋转90°后与原线段位置互相垂直.（2）注意图形顺时针方向旋转后的位置和逆时针方向旋转后的位置不同. 四、练习巩固：教材P73练习1、2.五、课堂小结先由学生小结，教师补充.（教师补充完后投影显示）（1）图形的旋转是将一个图形绕着一点顺（逆）时针转过某个角度；（2）旋转中心在旋转过程中保持不动；（3）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定的；（4）图形旋转后所得图形与原图形全等；对应点到旋转中心的距离相等及每一对对应点旋转过的角度等于旋转的角度.六、作业1、举出现实生活中旋转的一些实例.2、教材P75作业题第2、3题.设计说明本节课图形多，且涉及图形的变化，因此设计时采用计算机辅助教学，其主要文字及图片用幻灯（PowerPoint）显示方便简洁，不仅为节省时间，更重要的是让学生欣赏图片，开始上课就激发他们对本节课的兴趣。

2022-2023学年浙教新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．一份粽子礼盒中装有豆沙、咸蛋黄、鲜肉三种不同口味的粽子，从这个礼盒中随机取出一个粽子，则取出鲜肉粽子的可能性最大的是（ ）A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒2．⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（ ）A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定3．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤，则b﹣a的最大值为（ ）A．1B．+1C．D．4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（ ）A．4πB．6πC．8πD．9π5．在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）A．12个B．15个C．18个D．20个6．如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）A．（1，﹣6）B．（﹣1，6）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）7．将抛物线y＝x2+3x﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）A．y＝（x+3）2﹣B．y＝（x+7）2﹣C．y＝（x﹣1）2﹣D．y＝（x﹣1）2﹣8．二次函数y＝﹣2x2+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）A．﹣5≤y≤3B．﹣1≤y≤3C．﹣5≤y≤1D．﹣5≤y≤0 9．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E （2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（ ）A．4B．4C．5D．510．如图所示：两个同心圆，半径分别是2与4，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是（ ）A．22+6B．20+8C．18+10D．16+12二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣2的对称轴是 ．12．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ．13．若抛物线y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则这条抛物线必经过点 ．14．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AB＝4，∠C＝30°，则⊙O的半径为 ．15．已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是 ．16．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的 性质；（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为 ．三．解答题（共8小题，满分80分）17．如图，以△OAB的顶点D为圆心的⊙O交AB于点C，D，且AC＝BD，OA与OB相等吗？说明理由．18．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率．19．如图，在网格内，A（﹣1，3）、B（3，1）、C（0，4）、D（3，3）．（1）试确定△ABC的形状 ．（2）画出△ABC的外接圆⊙M．（3）点P是第一象限内的一个格点，∠CPD＝45°．①写出一个点P的坐标 ．②满足条件的点P有 个．20．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ；（2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是 ；（3）先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．21．如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），且OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A的坐标；（3）若点D是在第三象限抛物线上的动点，连接AD、OD．设点D的横坐标为m，△ADO 面积为s，求s关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，s有最大值？最大值是多少．22．如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：（1）＝；（2）CD＝CE．23．用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度．24．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴于点C，过C作CB∥x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：A．有1个豆沙、2个咸蛋黄和5个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；B．有2个豆沙、3个咸蛋黄和3个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；C．有3个豆沙、3个咸蛋黄和2个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为＝；D．有4个豆沙、3个咸蛋黄和1个鲜肉的礼盒中取出咸肉粽子的可能性为；故选：A．2．解：∵⊙O的直径为15cm，∴⊙O的半径为7.5cm，∵O点与P点的距离为8cm，∴点P在⊙O外．故选：B．3．解：函数的图象如图所示，当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝时，x＝，故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（，），同理点C（，﹣）则b﹣a的最大值为﹣＝1+，故选：B．4．解：如图，连接OC、OD．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周长＝2×4π＝8π．故选：C．5．解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：，解得：x＝12，则白球有30﹣12＝18个；故选：C．6．解：A点绕O点逆时针旋转90°，得到点A''（﹣1，2），A''向下平移4个单位，得到A'（﹣1，﹣2），故选：D．7．解：∵y＝x2+3x﹣4＝（x+3）2﹣，∴将抛物线y＝x2+3x﹣4向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线的解析式为y＝（x+3﹣5）2﹣+2，即y＝（x﹣2）2﹣．故选：D．8．解：∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝0，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵﹣1≤x≤2，当x＝0时，取得最大值y＝3，当x＝﹣1时，y＝1，当x＝2时，y＝﹣5，∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是﹣5≤y≤3，故选：A．9．解：把E（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，∵点E（2，4），四边形CDFE为正方形，∴CD＝CE＝4，设点A横坐标为m，则A（m，8），代入y＝x2得m2＝8，解得m＝2或m＝﹣2（舍去）．∴AB＝2m＝4．故选：B．10．解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12，故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．解：抛物线y＝﹣（x+3）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣3．故答案为：直线x＝﹣3．12．解：设白色棋子的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的解，答：白色棋子的个数为10个；故答案为：10．13．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此抛物线必过点（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）14．解：连接AO并延长交⊙O于D，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C＝30°，∴AD＝2AB＝2×4＝8，∴⊙O的半径为4，故答案为：4．15．解：令y＝0，∴x2+（m+1）x﹣m﹣2＝0，∴（x﹣1）[x+（m+2）]＝0，∴x＝1或x＝﹣（m+2），∴A（1，0），B（﹣m﹣2，0），∴OA＝1，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣m﹣2，∴C（0，﹣m﹣2），∴OC＝m+2，如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝1，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝1，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）．16．解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性．故答案为：不稳定性；（2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设y＝ax2+24，∵点（4，0）在该抛物线上，∴0＝a×（4）2+24，解得，a＝，∴y＝﹣x2+24，当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16，∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2，∴∠B1＝90°，故答案为：90°．三．解答题（共8小题，满分80分）17．解：OA与OB相等．理由如下：如图，过O作OE⊥AB于E，∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD，∴CE＝DE，∵AC＝BD，∴AE＝BE，∵OE⊥AB，∴OA＝OB．18．解：∵共10个球，有2个黄球，∴P（黄球）＝＝；答：从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是．19．解：如图所示：（1）∵AC＝，BC＝3，AB＝2，AC2+BC2＝AB2∴△ABC的形状是直角三角形．故答案为直角三角形；（2）△ABC的外接圆⊙M即为所求作的图形；（3）点P是第一象限内的一个格点，∠CPD＝45°．①写出一个点P的坐标（1，7）或（4，6）或（3，7）或（4，4）或（3，1）．②满足条件的点P有5个．故答案为（1，7）或（4，6）或（3，7）或（4，4）或（3，1）．5．20．解：（1）2，3，4，5共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为；故答案为：；（2）2+3＝5，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为；故答案为：；（3）画树状图如下：由树状图可知，共有16种可能结果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，52，53，54，55，其中恰好是4的倍数的共有4种，即24，32，44，52，所以两位数恰好是4的倍数的概率是＝．21．解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）由抛物线y＝ax2+3ax+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣和B（1，0）知，抛物线与x轴的另一交点坐标A（﹣4，0）；（3）设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为（0，m2+m﹣3）．∵A（﹣4，0），∴OA＝4．∴s＝OA•|y D|＝×|m2+m﹣3|＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+．即：s＝﹣（m+）2+（﹣4＜m＜0）．∴当m＝﹣时，s的最大值是．22．证明：（1）∵BC＝AC，∴∠B＝∠A，∵OE＝OB＝OA＝OD，∴∠AOD＝∠A＝∠B＝∠OEB．∵∠AOD+∠ODA+∠A＝180°，∠BOE+∠B+∠OEB＝180°，∴∠BOE＝∠AOD，∴＝．（2）∵∠AOD＝∠BOE，∴BE＝AD．∵BC＝AC，∴AC﹣AD＝BC﹣BE，即CD＝CE．23．解：（1）根据题意，得：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8；（2）根据题意，得：当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m；（3）S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵≤x＜8，对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝时，S最大，最大值＝．答：当AB的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．24．解：（1）当a＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，得：y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝﹣3时，即﹣3＝﹣x2+4x﹣3，解得：x1＝0，x2＝4，∴B（4，﹣3），∴BC＝4，OC＝3，∴OB＝＝＝5；（2）存在，当a＝﹣1或﹣时，使得△OBD为等腰三角形．在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，∴C（0，3a）、B（4，3a），∵点A是抛物线的顶点，∴A（2，﹣a），如图，过点A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，将BD与x轴的交点记为点G，则E为OG的中点，∵AE∥BD，∴DG＝2AE＝﹣2a，∴BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，分下列三种情形：①若OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，∴a＝﹣1，②若OD＝BD＝﹣5a，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，∵a＜0，∴a＝﹣；③若OD＝OB，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，∴此种情况不可能；综上所述，a＝﹣1或﹣；（3）由（2）知，BD＝DG+BG＝﹣5a，又∵点M是△OBD的外心，∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD⊥x轴，∴n＝﹣a，∵M（m，n），D（4，﹣2a），∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，∴8m＝24n2+16，∴m＝3n2+2．。

灿若寒星制作3.2 图形的旋转1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)2.对下列生活现象的解释，其数学原理运用错误的是(B )A. 把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B. 木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C. 将自行车的车架设计为三角形是运用了“三角形的稳定性”的原理D. 将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理(第3题)3.如图，将一把含30°角的直角三角尺ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，则三角尺ABC 旋转的角度是(D )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°4.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D.若∠A ′DC ＝90°，则∠A 的度数为(B )A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°(第4题) (第5题)灿若寒星制作5.如图，将等边三角形ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，连结AD ，B D.有下列结论：①AC ＝AD ；②BD ⊥AC ；③四边形ACED 是菱形.其中正确的个数是(D )A. 0B. 1C. 2D. 36.如图，△ABC 的顶点坐标为A (－2，3)，B (－3，1)，C (－1，2)，以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ′，点A ′，B ′，C ′分别是点A ，B ，C 的对应点.(第6题)(1)求过点B ′的反比例函数的表达式. (2)求线段CC ′的长.【解】 (1)根据旋转的性质得， 点B 的对应点B ′的坐标为(1，3).设过点B ′的反比例函数的表达式为y ＝kx ， 则k ＝3×1＝3，∴过点B ′的反比例函数的表达式为y ＝3x . (2)∵点C (－1，2)，∴OC ＝（－1）2＋22＝ 5. ∵△ABC 以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°， ∴OC ′＝OC ＝5，∠COC ′＝90°， ∴CC ′＝OC 2＋OC ′2＝10.灿若寒星制作(第7题)7.如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝90°，AB ∥x 轴，OB ＝2，反比例函数y ＝kx 经过点B.将△AOB 绕点B 逆时针旋转，使点O 的对应点D 落在x 轴的正半轴上.若AB 的对应线段CB 恰好经过点O .(1)求点B 的坐标和反比例函数的表达式.(2)判断点C 是否在反比例函数的图象上，并说明理由. 【解】 (1)∵AB ∥x 轴， ∴∠ABO ＝∠BO D. ∵∠ABO ＝∠CBD ，∴∠BOD ＝∠OBD ，∴BD ＝O D. 又∵OB ＝BD ，∴△BOD 是等边三角形， ∴∠BOD ＝60°.设AB 与y 轴相交于点E ，则∠BOE ＝30°. ∵OB ＝2，∴BE ＝1，∴OE ＝3， ∴点B (1，3).∵反比例函数y ＝kx 经过点B ， ∴k ＝1×3＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x .(2)点C 在反比例函数的图象上.理由如下： ∵∠ABO ＝60°，∠AOB ＝90°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2O B. ∵AB ＝BC ，∴BC ＝2O B.∴OC＝O B.∴点C(－1，－3).∵－1×(－3)＝3，∴点C在反比例函数的图象上.8.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60 s时，菱形的对角线交点D的坐标为(B)(第8题)A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)【解】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，∴点D的坐标为(1，1).∵每秒旋转45°，∴第60 s时，共旋转45×60＝2700(度)，2700÷360＝7.5(周)，∴OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1).9.在如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是(B)A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D(第9题)(第9题解)【解】如解图，连结PP1，MM1，作PP1，MM1的垂直平分线，两条垂直平分线刚好交于点B，即旋转中心就是点B.灿若寒星制作灿若寒星制作(第10题)10.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，∠D ＝90°，BC ＝CD ＝12，∠ABE ＝45°.若AE ＝10，求CE 的长.【解】 过点B 作BF ⊥DA ，交DA 的延长线于点F . ∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，且BC ＝CD ， ∴四边形BCDF 为正方形.将△BAF 绕点B 逆时针旋转90°至△BM C. ∵∠ABE ＝45°，∴∠ABF ＋∠CBE ＝45°. ∴∠CBE ＋∠MBC ＝45°，即∠MBE ＝45°. 在△ABE 与△MBE 中，∵⎩⎨⎧AB ＝MB ，∠ABE ＝∠MBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△MBE (SAS ). ∴AE ＝ME ＝EC ＋MC ＝EC ＋AF .设EC ＝x ，则AF ＝10－x ，AD ＝12－(10－x )＝x ＋2，DE ＝12－x . 在Rt △ADE 中，∵AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴(x ＋2)2＋(12－x )2＝102，∴x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6. ∴CE 的长为4或6.11.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝BC ＝5，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B 的对应点为点D ，点C 的对应点为点E ，连结BD ，BE .灿若寒星制作(第11题)(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形.②求证：BF⊥AD，AF＝DF.(2)在旋转过程中，过点D作DG⊥AB，垂足为G，连结CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值.【解】(1)①∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形.②由①得△ABD是等边三角形，∴AB＝B D.∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE.又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线.∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF.(第11题解)灿若寒星制作(2)如解图.∵∠DAG ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝∠DAG ＋∠DAE ＋∠ABC ＝180°. 又∵∠DAG ＋∠DAE ＋∠BAE ＝180°， ∴∠BAE ＝∠ABC ， ∴BC ∥AE .又∵AE ＝AC ＝BC ，∴四边形AEBC 是菱形，∴CE ⊥AB ，BH ＝12AB ＝3，BE ＝BC ＝5，∴CE ＝2CH ＝2×52－32＝8， ∴BE ＋CE ＝13.12.如图，P是正方形ABCD 内一点，PB ＝2，PC ＝1，∠BPC ＝135°，则AP 的长为 5 .(第12题)【解】 把△ABP 绕点B 顺时针旋转90°，到△CBQ 的位置，连结PQ . ∵△CBQ 由△ABP 旋转90°得到， ∴PB ＝QB ，∠PBQ ＝90°. ∴△PBQ 是等腰直角三角形. ∵PB ＝2，∴PQ ＝（2）2＋（2）2＝2. 易得∠BPQ ＝45°，∴∠CPQ ＝135°－45°＝90°，即△PCQ是直角三角形.∴AP＝CQ＝PC2＋PQ2＝12＋22＝ 5.初中数学试卷灿若寒星制作灿若寒星制作。