【浙教版初中数学】《图形的旋转》随堂练习

3.2 图形的旋转同步练习2024-2025学年九年级上册数学浙教版知识要点1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心.2.图形的旋转的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等.(2)对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.3.当图形旋转的角度为 180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称.例1 如图3-2-1,在平面直角坐标系中，将边长为1 的正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转45°后得到正方形 OA₁B₁C₁,依此方式，绕点O 连续旋转 2023 次得到正方形OA₂₀₂₃B₂₀₂₃C₂₀₂₃,那么点 A₂₀₂₃的坐标为 ( )A.(√22,−√22) B. (0,-1)C.(−√22,√22) D. (-1,0)例2 如图3-2-2,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,D为AB的中点,点 P在AC上,且CP= 1,将CP绕点C在平面内旋转,点 P 的对应点为点 Q,连结AQ,DQ,DC.当∠ADQ=90°时,AQ的长为 .例3 如图3-2-3,在△ABC中,点 D在AB 边上,CB=CD,将边CA绕点C 旋转到 CE 的位置,使得∠ECA=∠DCB,连结DE,交AC于点 F,且∠B=70°,∠A=10°.(1)求证:AB=ED.(2)求∠AFE的度数.同步训练1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )2.如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是 ( )3.如图，将一块三角尺 ABC绕顶点A 按顺时针方向旋转到△AB'C',点 B'恰好落在CA的延长线上,∠B = 30°,∠C = 90°, 则∠BAC'的度数为 ( )A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4.如图，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转55°得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 ( )A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°5.如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A 为网格线的交点，且坐标为(2，2).将线段 OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后,点 A 的坐标变为 .6.如图，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转角α(0°<α<180°)得到△ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上.若 DE⊥AC,∠CAD = 25°, 则旋转角α的度数为 .7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0,4),B(0,2),C(3,2).(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A₁B₁C₁.(2)将△ABC平移后得到△A₂B₂C₂,连结A₁C₂,C₁C₂.若点 A 的对应点A₂的坐标为(2,2),求△A₁C₁C₂的面积.8.如图,在△AOB 中,OA=4,OB=6,AB=2 √7,将△AOB 绕原点O 旋转 90°,则旋转后点 A 的对应点A'的坐标为 ( )A.(4,2)或(-4,2)B.(2√3,−4)或(−2√3,4)C.(−2√3,2)或(2√3,−2)D. (2,-2 √3)或( (−2,2√3)9.如图，正方形OABC 的边长为2，将正方形OABC绕点O 按逆时针方向旋转α°(0<α<180)得到正方形OA'B'C',连结 BC'.当点A'恰好落在线段 BC'上时，线段 BC'的长度为 .10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°.若AE=10,求CE 的长.11.如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂 AD 可绕点A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一条直线上时，求AM的长.②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.(2)若摆动臂AD 按顺时针方向旋转90°，点 D 的位置由△ABC外的点 D₁旋转到其内的点 D ₂处，连结D₁D₂，如图②，此时∠AD₂C=135°,CD₂=60,求BD₂的长.12.正方形ABCD的对角线相交于点O(如图①)，如果∠BOC 绕点O 按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E，F(如图②),连结 EF,那么在点 E由B 到A 的过程中，线段EF 的中点G 的运动轨迹是 ( )A. 线段B. 圆弧C. 折线D. 无法判断。

浙教版九年级数学上册图形的旋转同步练习【练习1】一、填空题．1．如下图，△ABC的∠BAC=90°，AB=AC=5cm．△ABC 按逆时针方向转动一个角度后成为△ACD，那么图中________是旋转中心，旋转_______度，点B与点_____是对应点，点C与点______是对应点，∠ACD=______，AD=________．2．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB=135°，BE=3cm，△AEB 按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，图中_______是旋转中心，旋转_______度，点A 与点_________是对应点，点E与点________是对应点，△BEF是______三角形，∠CBF= ∠______，∠BFC=________度，∠EFC=_______度，BF=______cm．3．如下图，△ABC、△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC和DE 区分是底边，图中△______与△_______，可以经过以点________为旋转中心，旋转角度为________，其中∠BAD=∠________，CE=_______．二、解答题．4．如下图，△ABO绕O点旋转后，G点是B的对应点，作出△AOB 旋转后的三角形．5．如下图，任画一个直角△ABC，其中∠B=90°，取△ABC外一点P 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，作出旋转后的三角形．6．将图中，阴影局部的图形绕着点O按顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．7．如下图，香港特别行政区区徽是由五个异样的花瓣组成的，它可以看作是什么〝基本图案〞经过怎样的旋转而失掉的？【练习1】参考答案一、1．A 90 C D ∠B AC2．B 90 C F 等腰三角形∠ABE〔AEB〕135 90 3cm 3．ABD ACE A 42°∠CAE BD二、4．略5．先找到图案中的关键点把关键点绕着O按顺时针方向转动60°，失掉它各自的对应点，即可取得旋转后的图形．6～7．略【练习2】◆基础检测1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同一方向延续旋转三次,每次旋转90°,把圆分红四局部,那么〔〕A．这四局部不一定相等B．这四局部相等B．前一局部小于后一局部D．不能确2、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为〔〕A．30°B．60°C．120°D．180°3、如下图的图形是旋转对称图形，它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的？4、如下图的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么其旋转的角度至少为5、如上图案可以看做是哪个基本图形经过几次旋转失掉的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？◆典例剖析我们在生活中可以看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后重合，如以下图所示，这四个图形都是旋转对称图形．请大家观察下面的图形，然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合？解：图〔1〕绕着一点旋转180°后能与自身重合．图〔2〕绕着一点旋转120°或240°后能与自身重合．图〔3〕绕着一点旋转90°或180°或270°后能与自身重合．图〔4〕绕着一点旋转72°划144°或216°或288°后能与自身重合．●拓展提高1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其他图案旋转的度数不同的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、如下图图形旋转一定角度能与自身重合，那么旋转的角度能够是〔〕A．30°B．60°C．90°D．120°3、如下图的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，那么旋转的角度为〔〕A．45°或90°B．90°或180°C．180°或270°D．n·45°〔1≤n≤8，且n为正整数〕4、如图，等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC，以图中的某个点为旋转中心，旋转△DBC与△ABC重合，那么旋转中心为〔写出一切满足条件的点〕．A5、如图，是某设计师设计的方桌布图案的一局部，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要留意应用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否那么你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！6、如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF: 〔1〕EBC∠与相等吗？FDC∠〔2〕△DCF能与△BCE重合吗？〔3〕BE与DF垂直吗？●体验中考1、如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，假设AP=3，求PP′的长．【练习2】参考答案◆基础检测1、B.旋转对称图形:绕着某电脑旋转一定的角度与自身重合，此题是旋转o 902、B 假设一幅旋转对称图形有n 个图案，那么这个图形至少旋转α=no360倍后，能与自身重合，即旋转倍后都能与自身重合．此题至少旋转︒=606360o3、等或或O o o 1359045 图形旋转n n o 45=α倍后，均能与自身重合．4、o72. o o725360= 5、 此题图案可以看作由一个菱形经过6次旋转失掉的，每次旋转o 60，旋转中心在图形的中心．●拓展提高1、B. A 、C 、D 都是旋转o 60与自身重合，而B 旋转o 120与自身重合．2、C ︒=904360o3、D4、B 、C 、BC 的中点5、基本图形是其中一个菱形，经过5次旋转失掉．每次旋转了60度，旋转中心是整个图案的中心．6、解：∵CE=CF,BC=CD,∠DCF=∠DCB=90°,∴△DCF 可看作由△BCE 以点C 为旋转中心顺时针旋转90°失掉的，所以〔1〕EBC FDC ∠=∠，〔2〕△DCF 能与△BCE 重合〔3〕延伸BE 交DF 于点G,∵EBC FDC ∠=∠，F BEC ∠=∠在△BEG 中，︒=∠∴︒=∠+∠=∠+∠9090BGF BEC EBC F EBC即BE ⊥DF●体验中考1、∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=AP=3．。

浙教新版九年级上学期《3.2 图形的旋转》同步练习卷一．选择题（共18小题）1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．3．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB1C1，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°而得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FDE D．AB∥DE5．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移6．观察下列图案，其中旋转角最大的是（）A．B．C．D．7．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是（）A．45°B．60°C．120°D．135°8．我们知道，国旗上的五角星是旋转对称图形，它旋转与自身重合时，至少需要旋转（）A．36°B．60°C．45°D．72°9．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A．45B．60C．90D．12010．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45°B．60°C．72°D．108°11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF 滚动2017次时，点F的坐标是（）A．（2017，0）B．（2017，）C．（2018，）D．（2018，0）12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B的坐标为（0，1），OD＝2，则这种变化可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度13．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）14．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．15．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．16．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．17．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．18．将如图所示的“点赞”圈案以点O为中心，顺时针旋转90°后得到的图案是（）A．B．C．D．二．填空题（共13小题）19．观察如图所示的变化规律，在空白处填上适当的图形．20．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是米．21．一副三角板按如图位置摆放，将三角板ABC绕着点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），如果AB∥DE，那么α＝．22．把图中的风筝图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为度时，旋转后的图形能与原来的图形重合．23．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为cm2．24．如图绕着中心最小旋转能与自身重合．25．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，再将A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，则点A″的坐标为．26．如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是．27．平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点P线段AB 上一动点，将线段AB绕原点O旋转一周，点P的对应点为P′，则P′C的最大值为，最小值为．28．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得线段A′B，点A的对应点为A′，连接AA′交线段BC于点D．（Ⅰ）作出旋转后的图形；（Ⅱ）＝．29．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，（I）∠ACB的大小为（度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．30．如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是度．31．如图是4×4的正方形网格，请选取一个白色的正方形并涂上阴影，使图中阴影部分是一个中心对称图形．三．解答题（共11小题）32．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗？为什么？33．如图是游乐园中的大型旋转车的简图，游人坐在旋转车的车斗中，任凭旋转车不停地旋转，但总是头朝上，绝不会掉下来．试问车斗所作的移动是什么移动？请在下面答案中选一个正确的答案．（A）旋转；（B）对称；（C）平移；（D）以上答案都不对．34．如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．（1）旋转中心是点，旋转了度；（2）如果AB＝7，AC＝4，求中线AD长的取值范围．35．如图，在△ABC中，∠BAC＝15°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴翻折到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由．36．想一想：如图称为太极图，圆形图案由两条形状和大小完全一样的白鱼和黑鱼组成，也称为“阴阳鱼”，若太极图的直径为1.5m，你能算出一条白鱼或黑鱼的面积吗？37．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，面积为74的正方形．在Rt△ABC中，若直角边BC＝5，将四个直角三角形中边长为5的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”．（1）这个风车至少需要绕着中心旋转才能和本身重合；（2）求这个风车的外围周长（图乙中的实线）．38．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）（1）若△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．39．动手画一画，请把如图补成以A为对称中心的中心对称图形．40．阅读理解：我们制定，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（，）．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，﹣1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为；（2）在（1）的基础上另取两点B（﹣1，2）、C（﹣1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A 的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P4、P8的坐标分别为、．41．如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在下面每个图形中，选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．42．如图，在网格中有一个四边形图案．（1）请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°的图形，关于点O对称的图形以及逆时针旋转90°的图形，并将它们涂黑；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积；（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．浙教新版九年级上学期《3.2 图形的旋转》2018年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转即可选出答案．【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了旋转，关键是掌握旋转的定义．2．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答．【解答】解：A、B、C中只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D可经过平移，又可经过旋转得到．故选：D．【点评】本题考查平移、旋转的性质：①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．3．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB1C1，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，阴影部分为含30°锐角的直角三角形．已知长直角边可求短直角边长，再代入面积公式计算求解．【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′＝15°，∴∠C′AB＝∠CAB﹣∠CAC′＝45°﹣15°＝30°，AC′＝AC＝2，∴阴影部分的面积＝×2×tan30°×2＝，故选：A．【点评】此题考查旋转的性质及解直角三角形，掌握旋转的性质及三角函数的定义是解题的关键．4．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°而得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO＝EOC．∠ACB＝∠FDE D．AB∥DE【分析】旋转180°后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中∠ACB与∠FDE不是对应角，不能判断相等．【解答】解：根据旋转的性质可知，点A与点D是对应点，BO＝EO，AB∥DE，∠ACB＝∠DFE≠∠FDE．故选：C．【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．【解答】解：顺时针旋转90°，向右平移．故选：A．【点评】此题将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答：（1）①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．6．观察下列图案，其中旋转角最大的是（）A．B．C．D．【分析】根据定义，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形叫做旋转．【解答】解：A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．【点评】根据旋转的定义来判断旋转的度数．如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．7．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是（）A．45°B．60°C．120°D．135°【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为360°÷3＝120°．故选：C．【点评】本题考查旋转的性质：变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．8．我们知道，国旗上的五角星是旋转对称图形，它旋转与自身重合时，至少需要旋转（）A．36°B．60°C．45°D．72°【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选：D．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A．45B．60C．90D．120【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为120．故选：D．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．如图，香港特别行政区区徽中的紫荆花图案，该图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45°B．60°C．72°D．108°【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF 滚动2017次时，点F的坐标是（）A．（2017，0）B．（2017，）C．（2018，）D．（2018，0）【分析】正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；因为2017÷6＝336余1，点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，纵坐标为，所以点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，由此即可解决问题．【解答】解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；∴2017÷6＝336余1，∴点F滚动1次时的横坐标为2，纵坐标为，点F滚动7次时的横坐标为8，纵坐标为，∴点F滚动2107次时的纵坐标与相同，横坐标的次数加1，∴点F滚动2107次时的横坐标为2017+1＝2018，纵坐标为，∴点F滚动2107次时的坐标为（2018，），故选：C．【点评】本题考查坐标与图形的变化，规律型：点的坐标，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B的坐标为（0，1），OD＝2，则这种变化可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度【分析】依据Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD＝2，可得将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE．【解答】解：∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD ＝2，∴DO＝BC＝2，CO＝3，∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE；故选：C．【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．13．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）【分析】利用旋转的性质，旋转中心在各对应点的连线段的垂直平分线上，则作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相点P（0，1）即为旋转中心．【解答】解：作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相交于点P（0，1），如图，所以△DEF是由△ABC绕着点P逆时针旋转90°得到的．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是利用旋转的性质确定旋转中心．14．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．15．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．【分析】将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，可判断△AOB与△DOE关于点O中心对称．【解答】解：△AOB与△DOE关于点O中心对称的只有D选项．故选：D．【点评】本题考查了旋转作图的知识，解答本题的关键是掌握中心对称的定义．16．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B选项不是中心对称图形，故本选项错误；C选项为中心对称图形，故本选项正确；D选项不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．17．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称和旋转的性质即可得到结论．【解答】解：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选：B．【点评】本题考查了轴对称和旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．将如图所示的“点赞”圈案以点O为中心，顺时针旋转90°后得到的图案是（）A．B．C．D．【分析】根据大拇指顺时针绕O旋转90°的位置可得答案．“点赞”圈案以点O为中心，顺时针旋转90°后得到的图案是，【解答】解：故选：B．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．二．填空题（共13小题）19．观察如图所示的变化规律，在空白处填上适当的图形．【分析】观察三个图形的变化规律，判断旋转中心，旋转方向，旋转角，得出结论．【解答】解：根据图形的变化规律可知它是绕图形的中心顺时针旋转90度作为一次变换，故第3个图象应该是．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．20．如图，某游乐场的摩天轮（圆形转盘）上的点距离地面最大高度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，此时，他离地面的高度是121.75米．【分析】设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C，根据已知条件求出旋转了240°，那么∠AOC＝120°．过点O作OE⊥CD于点E，构建矩形BDEO和直角△OEC，利用矩形的性质和解该直角三角形来求CD的长度即可．【解答】解：设此人从点A处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点C．∵旋转一周约需30分钟．某人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟，∴此人旋转了×20＝240°，∴∠AOC＝120°．如图，过点O作OE⊥CD于点E，则四边形BDEO是矩形，∴DE＝OB＝160﹣＝83.5（米）．在直角△OEC中，∵∠COE＝120°﹣90°＝30°，OC＝＝76.5米，∴CE＝OC＝38.25米，∴CD＝CE+DE＝38.25+83.5＝121.75（米）．故答案为121.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．21．一副三角板按如图位置摆放，将三角板ABC绕着点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），如果AB∥DE，那么α＝30°．【分析】利用平行线的性质得到∠ABE＝∠BED＝30°，然后根据旋转的性质得到α的度数．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED＝30°，即α＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．22．把图中的风筝图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为90度时，旋转后的图形能与原来的图形重合．【分析】图案，可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90°．故答案为：90【点评】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．23．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为4cm2．【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【解答】解：每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2，∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4．【点评】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．24．如图绕着中心最小旋转90°能与自身重合．【分析】该图形被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90°的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，最少顺时针旋转360°÷4＝90°后，能与其自身重合．故答案为：90°．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．25．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，再将A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，则点A″的坐标为（6，0）．【分析】根据题意画出图形，即可解决问题；【解答】解：如图，由图象可知：A″（6，0）．故答案为（6，0）．【点评】本题考查坐标与图形不会﹣旋转，平移等知识，解题的关键是学会正确画出图形，属于中考常考题型．26．如图，线段AB的两个顶点都在方格纸的格点上，建立平面直角坐标系后，A、B两点的坐标分别是（1，0）和（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，则此时点B的坐标是（﹣2，﹣3）．【分析】依据线段AB绕点A逆时针旋转90°后再沿y轴负方向平移4个单位，即可得到点B的坐标．。

3.2 图形的旋转一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图所示，和都为等腰直角三角形，若经旋转后能与重合，下列说法正确的是( )A. 旋转中心为点，旋转角为B.旋转中心为点，旋转角为C. 旋转中心为点，旋转角为D. 旋转中心为点，旋转角为2. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则( )A. B. C. D.3. 如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于( )A. B. C. D.4. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则( )A. B. C. D.5. 如图，中，，，，把绕点旋转后得到，则点的坐标为( )A. B. 或C. 或D.6. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是( )A. B. C. D.7. 如图所示，两个圆中的一个圆是由另一个圆旋转而得到的，则它的旋转中心有( )A. 个B. 个C. 无数个D. 无法确定8. 如图，边长为的正方形绕着点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.9. 如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；；按此规律继续旋转，直到点为止，则等于( )A. B. C. D.10. 在锐角中，，，（如图），将绕点按逆时针方向旋转得到（顶点、分别与、对应），当点在线段的延长线上时，则的长度为( )A. B. C. D.二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，绕点旋转后，顶点的对应点为，则，点的对应点分别为，图中相等的线段有组．12. 如图所示，绕点顺时针旋转至，，，，则，，度，度．13. 如图所示，若把绕点旋转一定的角度就得到，那么；对应边，，；对应角，，．14. 如图，中，．将绕点顺时针旋转得到，与交于，则．15. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则度．16. 如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置，则的横坐标．17. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去，直至得．若在第段抛物线上，则．18. 如图，在坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为．19. 如图，已知梯形中，，，，，，把线段绕点逆时针旋转到位置，连接，则的长为．20. 如图的平面直角坐标系中有一个正六边形，其中的坐标分别为和．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点中，会过点的是点．三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图，不用量角器，在方格纸中画出绕点顺时针方向旋转后得到的．22. 如图，在三角形中，，将三角形绕顶点按顺时针方向旋转得到三角形，观察图并回答问题：Ⅰ ；（填“ ”或“ ”或“ ”）Ⅱ 此旋转过程中的旋转角是：；Ⅲ 求的余角的度数．23. 如图，试画出四边形绕点逆时针旋转之后的图形，的坐标是；．24. 如图，在中，，如果将该三角形绕点按顺时针方向旋转到的位置，点恰好落在边的中点处，求旋转角的大小．25. 在正方形中，点，，分别是边，，的中点，点是直线上一点．将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．Ⅰ 如图 1，求证：，且；Ⅱ 如图 2，若点在线段的延长线上，猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．Ⅲ 若点在线段的反向延长线上，请在图 3中补全图形并直接写出线段，，之间满足的数量关系．答案第一部分1. D2. A3. C4. B5. B6. C7. C8. C9. B 10. B第二部分11. ，；12. ；；；；；；13. ，；，，；，，14.15.16.17.18.19.20.第三部分21. 如图即为所求．22. （1）（2）或（3）由将三角形绕点按顺时针方向旋转得到三角形得，．因为，所以，所以．23.如图四边形即为所求．；24. 在中，点为的中点，，又由旋转的性质可得，，，是等边三角形，旋转角等于．25. （1）正方形，，，分别是边，，的中点，，，．，．．即．（2）；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，，，，，，，在和中，，，，，．是等腰直角三角形，，，即．（3）．。

浙教版九年级数学上册同步练习：33.2图形的旋转知识点1图形旋转的定义图3－2－11．如图3－2－1，△ABO经过旋转失掉△A′B′O，且∠AOB＝25°，∠AOB′＝20°，那么线段OB的对应线段是________；∠OAB的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________．2．以下现象中，不属于图形的旋转的是()A．钟摆的运动B．行驶中的汽车车轮C．方向盘的转动D．电梯的升降运动3．如图3－2－2，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针．．．旋转90°后，失掉的图形为()图3－2－2图3－2－3知识点2图形旋转的性质4．如图3－2－4所示，将一个含30°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，那么三角板ABC旋转的角度是()A．60°B．90°C．120°D．150°3－2－43－2－55．如图3－2－5，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后失掉△COD，假定∠AOB ＝15°，那么∠AOD的度数是________．图3－2－66．如图3－2－6，将△ABC绕点A顺时针旋转60°失掉△AED.假定线段AB＝3，那么BE＝________．7．如图3－2－7，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)，现将△ABC绕点A顺时针旋转90°.(1)旋转后点C的坐标是________；(2)画出旋转后的三角形．图3－2－7知识点3中心对称8．如图3－2－8，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，那么以下判别不正确的选项是()A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′C．AB＝A′B′ D．OA＝OA′3－2－83－2－99．如图3－2－9，在平面直角坐标系中，假定△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，那么对称中心点E的坐标是________．10．2021·金华改编如图3－2－10，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标区分为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1.图3－2－1011．如图3－2－11，假设齿轮A以逆时针方向旋转，那么齿轮E旋转的方向是()图3－2－11A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定12．如图3－2－12，E，F区分是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连结CE，DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，那么旋转角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°3－2－123－2－1313．如图3－2－13，将线段AB绕点O顺时针旋转90°失掉线段A′B′，那么点A(－2，5)的对应点A′的坐标是________．14．如图3－2－14所示，正方形ABCD的边BC上有一点E，∠DAE的平分线交CD 于点F.求证：AE＝DF＋BE.图3－2－1415．创新学习效果：如图3－2－15①，点E，F区分在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判别BE，EF，FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你应用图①证明上述结论．[类比引申]如图②，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F 区分在边BC，CD上，那么当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探求运用]如图③，在某公园的同一水平面上，四条路途围成四边形ABCD.AB＝AD＝80米，∠B ＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，路途BC，CD上区分有景点E，F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E，F之间修一条蜿蜒的路途，求路途EF的长(结果准确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．图3－2－15详解详析1．OB′∠OA′B′点O45°2．D 3.A4．D[解析] 旋转角是∠CAC′＝180°－30°＝150°.5．60°[解析] 由旋转可知∠BOD＝45°，∠AOB＝15°，∴∠AOD＝60°.6．3[解析] ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°失掉△AED，∴∠BAE＝60°，AB＝AE，∴△BAE是等边三角形，∴BE＝AB＝3.故答案为3.7．(1)(2，1)(2)略8．B[解析] 由于△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，所以可得∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′.应选B.9．(3，－1)10．解：如图，△A1B1C1就是所求作的图形．11．B[解析] 齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转．应选B.12．D[解析] 如图，连结OC，OD.∵O为正方形ABCD的中心，∴OD＝OC，OD⊥OC，∴∠DOC＝90°.由题意得点D的对应点为C，∠DOC即为旋转角，那么将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转90°到△CBE的位置．应选D. 13．5，2)[解析] 如图，区分过点A，A′作AC⊥x轴于点C，A′C′⊥x轴于点C′.由旋转的性质可得AO＝A′O，∠AOA′＝90°，∴∠AOC＋∠A′OC′＝90°.∵∠C＝∠C′＝90°，∴∠A′OC′＋∠OA′C′＝90°，∴∠AOC＝∠OA′C′，∴△ACO≌△OC′A′，∴AC＝OC′，OC＝A′C′.∵A(－2，5)，∴OC′＝AC＝5，A′C′＝OC＝2，∴A′(5，2)．14证明：如下图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABF′，那么∠3＝∠1，∠AFD＝∠F′，∠ABF′＝∠D，BF′＝DF.∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠AFD＝∠F AB，∠ABF′＝∠D＝90°，∴∠ABF′＋∠ABC＝180°，∴F′，B，C三点共线．∵∠F AB＝∠2＋∠BAE，∴∠AFD＝∠2＋∠BAE.又∵∠DAE的平分线交CD于点F，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠2，∴∠AFD＝∠3＋∠BAE，∴∠F ′＝∠3＋∠BAE .∵∠F ′AE ＝∠3＋∠BAE ，∴∠F ′AE ＝∠F ′，∴AE ＝EF ′＝BF ′＋BE ＝DF ＋BE .15．解：[发现证明]证明：∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合，∴△ABE ≌△ADG ，∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG .∵∠BAE ＋∠DAF ＝90°－∠EAF ＝45°，∴∠DAG ＋∠DAF ＝45°，即∠GAF ＝45°.∵在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF ＝90°，∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G ，D ，F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF ，∴EF ＝GF .又GF ＝DG ＋FD ＝BE ＋FD ，∴EF ＝BE ＋FD .[类比引申]∠EAF ＝12∠BAD [探求运用]如图，连结AF ，延伸BA ，CD 交于点O .在△AOD 中，∠ODA ＝180°－∠ADC ＝60°，∠OAD ＝180°－∠BAD ＝30°，AD ＝80米，∴∠AOD ＝90°，AO ＝40 3米，OD ＝40米．∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝40 3(米)，∴AO ＝OF ，∴∠OAF ＝45°，∴∠DAF ＝45°－30°＝15°，∴∠EAF ＝90°－15°＝75°，∴∠EAF ＝12∠BAD . 由条件得∠B ＝60°，∠BAE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝80米．再由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)． 即路途EF 的长约为109米．。

3.2 图形的旋转一．填空题1．（2019春•高邮市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点D处，则∠ACD＝．2．（2019春•锦州期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为．3．（2019春•海陵区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且∠DAG＝60°，若EC＝，则AB＝．4．（2019春•天津期末）如图，已知正方形ABCD，对角线AC的中点为O，点O同时是正方形A1B1C1O的一个顶点，A1O交AB于点E，C1O交BC于点F．若这两个正方形的边长都是3，将正方形A1B1C1O绕点O转动．（1）两个正方形重叠部分的面积改变（填“会”或“不会”）．（2）两个正方形重叠部分的面积若改变，说明理由；若不改变，直接写出重叠部分的面积．请将答案写在横线上．5．（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．二．选择题6．（2019春•成华区期末）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°7．（2019•河南模拟）如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BA ⊥y轴于点A，连接OB将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°，得到△A′OB′，则点B′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（3，）D．（，1）8．（2019春•宛城区期末）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，当A′B′⊥AC．∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（）A．44°B．43°C．42°D．40°9．（2019•青白江区模拟）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A 旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．（2019春•襄汾县期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为9，BF＝1，则AE的长为（）A．3 B．4 C．D．11．（2019春•历下区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，则∠EAC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．（2019春•兰陵县期中）如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC＝4，AC ＝3，则下列说法正确的是（）A．DE＝3 B．AE＝4C．∠ACB是旋转角D．∠CAE是旋转角13．（2019春•南海区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE．下列说法中，正确的有（）①DE⊥AB；②∠BCE是旋转角；③∠BED＝30°；④△BDE与△CDE面积之比是：1．A．1个B．2个C．3个D．4个14．（2019春•沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（）A．B．C．4 D．615．（2019春•桂林期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三．解答题16．（2019•南岗区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1），并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2（点A1的对应点为A2，点B1的对应点为B2，点C1的对应点为C2）．17．（2019春•工业园区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点B落在BC边上的点D处，得△ADE若DE∥AB，∠ACB＝40°，求∠DEC的度数．18．（2019春•无棣县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，连接EM，AE，且使得∠MAE＝45°．（1）求证：ME＝EF；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．19．（2019•道里区三模）如图，在△ABC中，AC＝AB，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B、C分别对应点D、E），BD和CE交于点F．（1）求证：CE＝BD；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求BF的长．20．（2019春•商河县期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为（用含α的式子表示）．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．参考答案一．填空题1．（2019春•高邮市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点D处，则∠ACD＝20°．【思路点拨】由旋转的性质可得CD＝CB，可得∠B＝∠CDB＝55°，由三角形的外角的性质可求∠ACD的度数．【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠B＝55°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点D处，∴CD＝CB∴∠B＝∠CDB＝55°，∵∠CDB＝∠A+∠ACD∴∠ACD＝55°﹣35°＝20°故答案为：20°【点睛】本题是旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．2．（2019春•锦州期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为20°．【思路点拨】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝140°，由等腰三角形的性质可求∠B 的度数．【答案】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝140°∴∠B＝20°故答案为：20°【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．3．（2019春•海陵区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且∠DAG＝60°，若EC＝，则AB＝2．【思路点拨】根据旋转的性质可知AB＝AE＝DC＝x，则在Rt△ADE中，根据30°直角三角形的性质可知AE＝2DE，构造关于x的方程即可．【答案】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，∴AE＝AB．设AB＝x，则CD＝AE＝x，DE＝x﹣，∵∠DAG＝60°，∠GAE＝90°，∴∠DAE＝30°，在Rt△ADE中，AE＝2DE，∴x＝2（x﹣），解得x＝2．故答案为2．【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．4．（2019春•天津期末）如图，已知正方形ABCD，对角线AC的中点为O，点O同时是正方形A1B1C1O的一个顶点，A1O交AB于点E，C1O交BC于点F．若这两个正方形的边长都是3，将正方形A1B1C1O绕点O转动．（1）两个正方形重叠部分的面积不会改变（填“会”或“不会”）．（2）两个正方形重叠部分的面积若改变，说明理由；若不改变，直接写出重叠部分的面积．请将答案写在横线上．【思路点拨】（1）由“ASA”可证△AOE≌△BOF，可得S△AOE＝S△BOF，即可求解；（2）求出正方形的面积，即可求解．【答案】解：（1）连接BO，在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，且OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴S△AOE＝S△BOF，∴S四边形OEBF＝S△EOB+S△OBF＝S△EOB+S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD，故答案为：不会（2）∵两个正方形的边长都是3，∴重叠部分的面积＝×9＝故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE ≌△BOF是本题的关键．5．（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．【思路点拨】如图，过点D作DE⊥AC于E，有旋转的性质可得DP＝BP，∠DPB＝90°，由“AAS”可证△DEP≌△PCB，可得DE＝CP，EP＝BC＝9，可求AE+DE＝6，由勾股定理和二次函数的性质可求解．【答案】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS）∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6∴AE+DE＝6，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝AE2+（6﹣AE）2，∴AD2＝2（AE﹣3）2+18，当AE＝3时，AD有最小值为3，故答案为3【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用二次函数的性质求最小值是本题的关键．二．选择题6．（2019春•成华区期末）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A逆时针旋转，点B的对应点是点B′，若点B′、A、C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°【思路点拨】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【答案】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．7．（2019•河南模拟）如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，2），过点B作BA ⊥y轴于点A，连接OB将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°，得到△A′OB′，则点B′的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（3，）D．（，1）【思路点拨】将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到OE．连接BE交OB′于F，作FH⊥x轴于H，B′G⊥x轴于G．首先确定点F的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【答案】解：将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到OE．连接BE交OB′于F，作FH⊥x轴于H，B′G⊥x轴于G．∵B（1，2），可得E（2，﹣1），∵∠BOF＝∠EOF，OB＝OE，∴BF＝EF，∴F（，），∴OF＝＝，OB＝OB′＝＝，∵FH∥B′G，∴＝＝，∴＝＝，∴OG＝，B′G＝，∴B′（，）故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（2019春•宛城区期末）如图，把△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C，当A′B′⊥AC．∠A＝47°，∠A'CB＝128°时，∠B'CA的度数为（）A．44°B．43°C．42°D．40°【思路点拨】根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝47°，则∠A′CA＝90°﹣47°＝43°，由∠BCB′＝∠A′CA＝43°，则∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′可求．【答案】解：根据旋转的性质可知∠A′＝∠A＝47°，∴∠A′CA＝90°﹣47°＝43°．根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′＝∠A′CA＝43°，∴∠B′CA＝∠A′CB﹣∠A′CA﹣∠BCB′＝128°﹣43°﹣43°＝42°．故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．9．（2019•青白江区模拟）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A 旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【思路点拨】由旋转的性质可得AD＝AC，∠DAC＝∠EAB，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解．【答案】解：如图，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝70°，∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴AD＝AC，∠DAC＝∠EAB，∴∠ADC＝∠DCA＝70°∴∠DAC＝∠EAB＝40°故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，熟练运用旋转的旋转是本题的关键．10．（2019春•襄汾县期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为9，BF＝1，则AE的长为（）A．3 B．4 C．D．【思路点拨】由旋转的性质可得BF＝DE＝1，S△AFB＝S△ADE，可求AD＝3，由勾股定理可求AE的长．【答案】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置∴BF＝DE＝1，S△AFB＝S△ADE，∴S正方形ABCD＝S四边形AECF＝9∴AD＝3∴AE＝＝故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，求出AD的长是本题的关键．11．（2019春•历下区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，则∠EAC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【思路点拨】用性质的性质可知△ACE是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【答案】解：由题意：A，D，E共线，又∵CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠EAC＝∠E＝45°，故选：B．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．12．（2019春•兰陵县期中）如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC＝4，AC ＝3，则下列说法正确的是（）A．DE＝3 B．AE＝4C．∠ACB是旋转角D．∠CAE是旋转角【思路点拨】由旋转的意义可得，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度后得到△ADE，此时对应边为；AC＝AE，AB＝AD，CB＝ED，旋转角为∠CAE或∠BAD，以此逐个进行判断，得出答案．【答案】解：由旋转的性质得：DE＝BC＝4，故A不正确；AE＝AC＝3，故B不正确；旋转角是∠CAE，故D正确；∠ACB不是旋转角，故C不正确；故选：D．【点睛】考查旋转的性质，对应边相等、对应角相等，理解旋转角的意义等知识，掌握这些知识是前提和基础．13．（2019春•南海区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝22.5°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，点B的对应点是点E，连接BE．下列说法中，正确的有（）①DE⊥AB；②∠BCE是旋转角；③∠BED＝30°；④△BDE与△CDE面积之比是：1．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】由旋转的性质可得AC＝DC，BC＝CE，∠ABC＝∠CED＝22.5°，∠BCE是旋转角，可判断①②，由等腰三角形的性质可判断③④．【答案】解：如图，连接AD，延长ED交AB于点F，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点A的对应点D落在边BC上，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ABC＝∠CED＝22.5°，∠BCE是旋转角，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠CED＝90°∴∠AFE＝90°∴DE⊥AB，故①②正确∵∠BCE＝90°，BC＝CE∴∠BEC＝45°∴∠BED＝∠BEC﹣∠CED＝22.5°故③错误∵AC＝CD，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ADC＝45°∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD∴∠ABC＝∠BAD＝22.5°∴AD＝BD＝CD∴△BDE与△CDE面积之比是：1．故④正确故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．14．（2019春•沙县期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC，则BC1的长为（）A．B．C．4 D．6【思路点拨】根据旋转的性质得出AC＝AC1，∠BAC1＝90°，进而利用勾股定理解答即可．【答案】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故选：B．【点睛】此题考查旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．15．（2019春•桂林期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，由点O，点M，点B，点N四点共圆可判断①，由“SAS”可证△DCM ≌△CNB，由勾股定理可判断④．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°∵将∠COB绕点O顺时针旋转，∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD∴△OCM≌△OBN（ASA）∴CM＝BN，∠CDM＝∠BCN∵∠CDM+∠CMD＝90°∴∠BCN+∠CMD＝90°∴CN⊥DM故②正确∵∠MON＝∠ABC＝90°∴点O，点M，点B，点N四点共圆∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM故①错误∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△DCM≌△CNB（SAS）故③正确∵AB＝BC，BN＝CM∴AN＝BM∵BN2+BM2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2；故④正确故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题16．（2019•南岗区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1），并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2（点A1的对应点为A2，点B1的对应点为B2，点C1的对应点为C2）．【思路点拨】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．【答案】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．（2）△A2B2C2即为所求．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（2019春•工业园区期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点B落在BC边上的点D处，得△ADE若DE∥AB，∠ACB＝40°，求∠DEC的度数．【思路点拨】根据旋转的性质得到∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，∠AED＝∠ACD＝40°，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，推出△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，于是得到结论．【答案】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得△ADE，∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，∠AED＝∠ACD＝40°，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，∴∠DEC＝60°﹣40°＝20°．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．18．（2019春•无棣县期末）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，连接EM，AE，且使得∠MAE＝45°．（1）求证：ME＝EF；（2）求证：EF2＝BE2+DF2．【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AME≌△AFE（SAS），进而得出∠AEM＝∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【答案】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABM，∴MB＝DF，AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAM＝45°，∠MAF＝90°∴∠FAE＝45°，∴∠MAE＝∠FAE，在△AME和△AFE中，∴△AME≌△AFE（SAS）ME＝EF．（2）由（1）得△AME≌△AFE，∴ME＝EF，∵∠ABM＝∠ADF＝45°，∠ABD＝45°，∴∠MBE＝90°．在Rt△MBE中，∵MB2+BE2＝ME2，又∵MB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．19．（2019•道里区三模）如图，在△ABC中，AC＝AB，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（点B、C分别对应点D、E），BD和CE交于点F．（1）求证：CE＝BD；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求BF的长．【思路点拨】（1）由旋转的性质可得AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC，由“SAS”可证△AEC≌△ADB，可得CE＝BD；（2）由平行四边形的性质可得DF＝AC，AC∥BD，可得∠ABD＝∠BAC＝45°，可求∠BAD ＝90°，可得BD＝AB＝2，即可求BF的长．【答案】证明：（1）∵把△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE∴△ABC≌△ADE∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE∴∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC∴AD＝AB＝AC＝AE∵∠DAB＝∠EAC，AD＝AB，AC＝AE∴△AEC≌△ADB（SAS）∴CE＝BD（2）∵四边形ADFC是平行四边形∴DF＝AC，AC∥BD∴∠ABD＝∠BAC＝45°∵AB＝AD∴∠DBA＝∠BDA＝45°∴∠BAD＝90°∴BD＝AB＝2∵DF＝AC＝AB＝2∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．20．（2019春•商河县期中）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为60°；②当∠B＝∠E＝α时，此时旋转角的大小为2α（用含α的式子表示）．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC 的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【思路点拨】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD＝2∠B即可解决问题．（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．【答案】解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，∵CA＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴旋转角为60°，故答案为60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA＝CD，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠DCH，∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠ACH＝∠B，∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，∴旋转角为2α．故答案为2α．（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC＝∠EMC＝90°，∵△ACB≌△DCE，∴BC＝EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，∴△CBN≌△CEM（AAS），∴BN＝EM，∵S△BDC＝•CD•BN，S△ACE＝•AC•EM，∵CD＝AC，∴S△BDC＝S△ACE．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

初中数学浙教版九年级上册3.2图形的旋转同步练习一、单选题（共10题；共20分）1.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）A. B. C. D.2.如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是（）A. 逆时针旋转90°B. 顺时针旋转90°C. 逆时针旋转45°D. 顺时针旋转45°3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C 上，则∠ACB的大小为（）A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°4.如图所示是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后不能与原图重合，则这个角度可能是A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（）A. B. C. D.6.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°7.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A. 点MB. 格点NC. 格点PD. 格点Q8.一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为a(0<a<90°)，被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角a为（）A. 108°B. 120°C. 72 °D. 36°9.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（）A. 75°B. 25°C. 115°D. 105°10.如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O……依此规律，得到等腰直角三角形A2 017OB2 017.则点B2 017的坐标（）A. （22 017，－22 017）B. （22 016，－22 016）C. （22 017，22 017）D. （22 016，22 016）二、填空题（共5题；共5分）11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=32°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为________．12.如图，将△ABC绕点旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝________°.13.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度a(0°<a<90°)，得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB=46°，则a的度数是________。

3.2 图形的旋转旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；旋转变换是全等变换，即旋转前后的两个图形全等，每一对对应点与旋转中心的连线所成的角就是旋转角度．1.如图所示，四边形ABCD为正方形，O为对角线AC，BD的交点，则△COD绕点O(C)可以得到△DOA.A.顺时针旋转90°B.顺时针旋转45°C.逆时针旋转90°D.逆时针旋转45°(第1题) （第2题）（第3题）(第4题)2.如图所示，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为(A).A.(2，2)B.(-2，2)C.(2，-2)D.(22，22)3.如图所示，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为(B).A.30°B.40°C.50°D.60°4.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC，BC=2，若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，则BB′的值是(B).A.5B.25C.3D.23(第5题)(第6题)(第7题) （第8题）5.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连结AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为(A).A.6B.43C.33D.36.如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD 的度数是45°．7.如图所示，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2-2．8.如图所示，点A的坐标为(-1，5)，点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(5，3)，点D的坐标为(3，-1)，小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标是 (1，1)或(4，4) .9.如图所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度.正方形ABCD 顶点都在格点上．(1)若将正方形ABCD 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 到达点B 1，点C 到达点C 1，点D 到达点D 1，求点B 1，C 1，D 1的坐标．(2)若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x 2+ax+1=0的一个根，求a的值．(第9题)【答案】(1)B 1(2，-1)，C 1(4，0)，D 1(3，2). (2)AC1=2213+=10，∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是10-3.∴(10-3)2+(10-3)a+1=0，解得a=-210.10.如图所示，在△ABC 中，∠ACB=135°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AED，连结CD ，CE ．(第10题)(1)求证：△ACD 为等腰直角三角形．(2)若BC=1，AC=2，求四边形ACED 的面积．【答案】(1)∵△AED 是△ABC 旋转90°得到的，∴△ABC ≌△AED.∴∠CAD=90°，AC=AD.∴△ACD 是等腰直角三角形.(2)∵△ACD 是等腰直角三角形∴∠ADC=∠ACD=45°，AC=AD=2.∴CD=22AD AC +=22.∵∠ADE=∠ACB=135°，∴∠CDE=∠ADE -∠ADC=90°.∵DE=BC=1，∴S 四边形ADEC =S △ACD +S △CDE =21×2×2+21×22×1=2+2.11.如图所示，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为(B ). A.22B.32C.3D.无法确定（第11题）(第12题)(第13题)12.如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为(B ).A.30°B.60°C.90°D.150°13.如图所示，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BO′，则下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S=150°；④S 四边形AOBO ′=6+33；⑤S △AOC +S △AOB =6+493.其中正确的结论是(A ).A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③14.如图所示，将正五边形ABCDE 的点C 固定，并依顺时针方向旋转，若要使新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在直线BC 上，则至少要旋转 72° ．(第14题)(第15题) （第16题）（第16题答图）15.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．16.如图所示，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE 的长是 2+6 .【解析】如答图所示，连结AD.设AE 与CD 交于点O.由题意得CA=CD ，∠ACD=60°，∴△ACD 为等边三角形.∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴CD＝AD=AC=22.∵AC=AD，CE=ED ，∴AE 垂直平分DC.∴EO=21DC=2.在Rt△AOD 中，AD ＝22，OD ＝21CD ＝2，∴OA＝22OD AD -＝()()22222-＝6.∴AE=EO+OA=2+6. 17.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连结EQ ，求证：(1)EA 是∠QED 的平分线.(2)EF 2=BE 2+DF 2.（第17题）【答案】(1)∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF ，∠BAQ=∠DAF. ∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°.∴∠QAE=45°.∴∠QAE=∠FAE.在△AQE 和△AFE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE QAE AE AQ ，∴△AQE≌△AFE(SAS).∴∠AEQ=∠AEF.∴EA 是∠QED 的平分线. (2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE=EF.∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.由旋转的性质得∠ABQ＝∠ADB＝45°.∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°.在Rt △QBE 中，QB 2+BE 2=QE 2，∵QB=DF，∴EF 2=BE 2+DF 2.18.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．(1)当点D′恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值．(2)如图2所示，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D．(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△BCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．(第18题)【答案】(1)∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2.在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E =30°.∵CD∥EF，∴α=30°.(2)∵G 为BC 中点，∴CG=1.∴CG=CE.∵长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至长方形CE′F′D′， ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG.∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.在△GCD′和△E′CD 中，∵，∴△GCD′≌△E′CD.∴GD′=E′D.(3)能.旋转角α的值为135°或315°时，△DCD′与△BCD′全等.19.【聊城】如图所示，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，使点B 落在AB 边上点B′处，此时，点A 的对应点A′恰好落在BC 边的延长线上.下列结论中，错误的是(C ).A.∠BCB ′=∠ACA ′B.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACD.B′C 平分∠BB′A′（第19题）（第20题）20.【南宁】如图所示，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至①位置，第二次旋转至②位置……则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为（6053，2） .21.如图所示，图1是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图2的程序移动.(1)请在图1中用圆规画出光点P经过的路径．(2)在图1中，所画图形是轴对称 (填“轴对称”或“中心对称”)图形，所画图形的周长是4π (结果保留π)．(第21题)【答案】(1)图略(2)轴对称4π22.(1)如图1所示，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是点Q.若PA=3，PB=22，PC=5，求∠BQC的度数．(2)如图2所示，点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．（第22题）（第22题答图）【答案】(1)如答图1所示，连结PQ.由旋转可知：BQ=BP=22，QC=PA=3.∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABP绕点B顺时针旋转90°，才能使点A与点C重合，即∠PBQ=90°.∴∠PQB=45°，PQ=4.在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2.∴∠PQC=90°.∴∠BQC=90°+45°=135°.(2)如答图2所示，将△ABP绕点B顺时针旋转，使点A与点C重合，此时点P的对应点是点P′.由旋转知，△APB≌△CP′B，∴∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12.∵△ABC 是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针旋转60°，才能使点A与点C重合，得∠PBP′=60°.∵P′B=PB=5，∴△PBP′是正三角形.∴∠PP′B=60°，PP′=5.在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12.∴PC2=PP′2+P′C2.∴∠PP′C=90°.∴∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°.。

3.2 图形的旋转1．图形旋转的性质：图形经过旋转所得的图形与原图形________；对应点到旋转中心的距离________；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于____________．2．圆既是一个轴对称图形，又是一个________对称图形．A组基础训练1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是( )2．在图形旋转中，下列说法错误的是( )A．图形上各点的旋转角度相同B．对应点到旋转中心的距离相等C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到D．旋转不改变图形的大小、形状3．如图所示的图形由四个相同的正方形组成，通过旋转不可能得到的图形是( )第3题图4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC ＝90°，则∠A的度数为( )第4题图A ．45°B ．55°C ．65°D ．75° 5．下图中的各种变换分别属于平移、轴对称、旋转中的哪种图形变换(填空)?第5题图①________ ②________ ③________6.如图，△ABC 经过旋转得到△A′B′C′，且∠AOB ＝25°，∠AOB ′＝20°，则线段OB 的对应线段是________；∠OAB 的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________．第6题图7．如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合．若每个．．叶片的面积为4cm 2，∠AOB 为120°，则图中阴影部分的面积之和为________cm 2.第7题图8.如图，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标为________．第8题图9．如图，在△ABC 和△AEF 中，∠B ＝∠E ，AB ＝AE ，BC ＝EF ，∠BAE ＝25°，∠F ＝60°. (1)求证：∠BAE ＝∠CAF ；(2)△ABC可以经过图形变换得到△AEF，请你描述这个变换；(3)求∠AMB的度数．第9题图10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°.(1)求证：EF＝DF＋BE；(2)若DF＝3，BE＝2，求正方ABCD的边长．第10题图B组自主提高11．如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是( )第11题图A．(1，1)B．(1，2)C．(1，3)D．(1，4)12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为________．第12题图13．在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF.(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF 的长．第13题图C组综合运用14．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.第14题图(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．3．2 图形的旋转【课堂笔记】1．全等相等旋转的角度 2.中心【课时训练】1－4.BCCB5.①旋转②平移③轴对称6.OB′∠OA′B′点O 45°7. 48.(7，3)9.(1)∵∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC－∠PAF＝∠EAF－∠PAF，即∠BAE＝∠CAF；(2)通过观察可知，△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF；(3)由(1)知，∠C＝∠F＝60°，∠CAF＝∠BAE＝25°，∴∠AMB＝∠C＋∠CAF ＝60°＋25°＝85°.第10题图10. (1)将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF ＝BF′，∠DAF ＝∠BAF′，∴∠EAF ′＝45°，在△FAE 和△F′AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF′，∠FAE ＝∠EAF′AE ＝AE ，，∴△FAE ≌△F ′AE(SAS)，∴EF ＝EF′＝DF ＋BE. (2)∵DF＝3，BE ＝2，∴EF ＝5，设边长为x ，在△CFE 中，(x －3)2＋(x －2)2＝52，∴x ＝6，(x ＝－1舍去)．∴正方形的边长为6.11. B 12. 85°第13题图13．(1)AD 与CF 还相等，理由：∵四边形ODEF ，四边形ABCO 为正方形，∴∠DOF ＝∠COA ＝90°，DO ＝OF ，CO ＝OA ，∴∠COF ＝∠AOD，∴△COF ≌△AOD(SAS)，∴AD ＝CF ； (2)如图，连结DF ，交EO 于G ，则DF⊥EO，DG ＝OG ＝12EO ＝1，∴GA ＝4，∴CF ＝AD ＝DG 2＋GA 2＝1＋42＝17.14．(1)30°－12α； (2)△ABE 为等边三角形．证明：连结AD ，CD ，∵线段BC 绕点B逆时针旋转60°得到线段BD ，则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°，又∵∠ABE＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－12α；且△BCD 为等边三角形，在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD.∴△ABD ≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α.在△ABD 与△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC＝∠BAD，∠EBC ＝∠ABD，BC ＝BD.∴△ABD ≌△EBC(AAS)．∴AB＝BE.又∠ABE＝60°.∴△ABE 为等边三角形； (3)∵∠BCD＝60°，∠BCE ＝150°，∴∠DCE ＝150°－60°＝90°，∵∠DEC ＝45°，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DC ＝CE ＝BC ，∵∠BCE ＝150°，∴∠EBC ＝180°－150°2＝15°，而∠EBC＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.。

浙教版九年级上册第三章圆的基本性质图形的旋转同步测试一、单项选择题〔共10题；共20分〕1.如下图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，那么三角板ABC旋转的角度是〔〕A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°2.如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，假定AC⊥A’B’，那么∠BAC等于〔〕A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°3.点A的坐标为，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，那么点A1的坐标为〔〕A. B. C. D.4.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°失掉△AB′C′，衔接BB′，假定AC′∥BB′，那么∠CAB′的度数为〔〕A. 45°B. 60°C. 70°D. 90°5.如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其他三个图案旋转的角度不同，它是〔〕A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系中，A〔0，2〕，B〔6，0〕，点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O逆时针旋转90°后点P的对应点P′的坐标是〔〕A. 〔﹣3，〕B. 〔-，3〕C. 〔，﹣3〕D. 〔﹣1，〕7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，假定AC⊥A′B′，那么∠BAC等于〔〕A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°8.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，那么旋转角的度数为〔〕A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°9.线段MN在直角坐标系中的位置如下图，将MN绕点M逆时针旋转90°失掉线段M1N1，那么点N的对应点N1的坐标为〔〕A. 〔0，0〕B. 〔﹣5，﹣4〕C. 〔﹣3，1〕D. 〔﹣1，﹣3〕10.如下图，△ABC与△A’B’C’关于点O成中心对称，那么以下结论不成立的是〔〕A. 点A与点A’是对称点B. BO＝B’O’C. ∠ACB＝∠C’A’B’D. △ABC≌△A’B’C’二、填空题〔共6题；共6分〕11.如图的组合图案可以看作是由一个正方形和正方形内经过一个〝基本图案〞半圆停止图形的〝运动〞变换而组成的，这个半圆的变换方式是________ ．12.如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m〔0°＜m＜360°〕，失掉线段AP，衔接PB，PC．当△BPC是等腰三角形时，m的值为________13.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转失掉△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，∠A=54°，那么∠B′CB的度数是________14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后失掉的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是________ 度．15.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰恰在AB上，∠AOD=90°，那么∠D的度数是________°．16.如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°失掉△OA1B1，那么∠A1OB=________ ．三、解答题〔共4题；共20分〕17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．〔1〕将△ABC向左平移6个单位长度失掉失掉△A1B1C1；〔2〕将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°失掉△A2B2C2，请画出△A2B2C2；〔3〕假定点O的坐标为〔0，0〕，点B的坐标为〔2，3〕；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标18.如图，直角坐标系中，Rt△DOC的直角边OC在x轴上，∠OCD=90°，OD=6，OC=3，现将△DOC绕原点O按逆时针方向旋转，失掉△AOB，且点A在x轴上．〔1〕请直接写出：∠A的度数〔2〕央求出线段OD扫过的面积．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A〔﹣3，4〕，B〔﹣4，2〕，C〔﹣2，1〕，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称．〔1〕画出△A1B1C1，并写出A1的坐标；〔2〕P〔a，b〕是△ABC的AC边上一点，△ABC经平移后点P的对称点P′〔a+3，b+1〕，请画出平移后的△A2B2C2．20.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后失掉△DBE〔点A对应点为D〕，线段AC交线段DE于点F，求∠EFC的度数．四、综合题〔共4题；共40分〕21.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90。

3.2图形的旋转基础知识训练知识点一、图形的旋转的定义1.下列现象属于旋转的是（B）A．摩托车在急刹车是向前滑动B．拧开自来水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．空中下落的物体2. 如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（B ）A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B.把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C.把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D.把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°3. 香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同的花瓣组成，它是由其中一瓣经过次旋转得到的. 44. 如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．知识点二、图形的旋转的性质5. 在等边△ABC中，D是AC上一点，连结BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连结ED，若BC＝5，BD＝4，则下列结论错误的是（ B ）A．AE∥BC B．∠ADE＝∠BDCC．△BDE是等边三角形D．△ADE的周长是96. △ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是__________．答案：120°解析：因为△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点，所以点O也是三条边的垂直平分线的交点，即点O是△ABC的外心，因此∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，旋转的最小角度是120°．7. 已知：如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3 cm，BO＝4 cm，将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D＝cm．答案：1.5 解析：∵D 点为AB 的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得：OD ＝12AB ＝122.5=．由题意可得：OB 1＝OB ＝4．所以B 1D ＝OB 1－OD ＝4－2.5＝1.5．8. 如图，Rt △ABC 的斜边AB =16, Rt △ABC 绕点O 顺时针旋转后得到C B A Rt '''∆，则C B A Rt '''∆的斜边B A ''上的中线D C '的长度为_____________ .8综合技能训练9. 如图△OAB 绕点O 逆时针旋转85°到△OCD 的位置，已知∠AOB ＝45°，则∠AOD 等于( C )A ．55°B ．45°C ．40°D ．35°10. （2017山东泰安，18，3分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A 对应，则角α的大小为A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°1A答案：C ，解析：AA '和BB '的垂直平分线即为旋转中心O ，根据网格的特征可知90AOA '∠=︒,所以旋转角︒=90α.11. 如图，将△ABC 沿BC 翻折得到△DBC ， 再讲△DBC 绕点C 点逆时针旋转60°得到△FEC ，延长BD 交EF 于H ，已知∠ABC ＝ 30°，∠BAC ＝ 90°，AC ＝ 1，则四边形CDHF 的面积为答案：C解析：∵AC ＝1，∠ABC ＝30°，∴BC ＝2，AB ＝3，由翻折可得，CD ＝AC ＝1，∠BDC ＝∠BAC ＝90°，∠DBC ＝∠CBA ＝30°，由旋转可得，∠E ＝∠DBC ＝30°，CE ＝BC ＝2，∴DE ＝CE －CD ＝1，DH ＝31，∴6331121=⨯⨯=DHE S △，又23==CAB CFE S S △△, 则DEH CFE S S -△＝33.12. 下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?解：整个图形可以看作是左边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的。

《3.2 图形的旋转》课时同步训练2020-2021年数学浙教新版九（上）一．选择题（共10小题）1．下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．65°4．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°5．如图四个圆形网案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（）A．B．C．D．6．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°7．在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）A．（3，2）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）8．如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90度，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（）A．（3，1）B．（3，2）C．（2，3）D．（1，3）9．如图，是用围棋子摆出的图案（把棋子的位置用有序数对表示，如A点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）A．黑（3，3），白（3，1）B．黑（3，1），白（3，3）C．黑（1，5），白（5，5）D．黑（3，2），白（3，3）10．如图，右边图形是由左边图形绕一点顺时针旋转90°而成的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．由8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为．12．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是．13．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为度．14．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．15．如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）填空：△ABC是三角形，它的面积等于平方单位；（2）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转后对应的△A′C′B，则A′点的坐标是（，），C′点的坐标是（，）．16．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号为；若与图中阴影构成轴对称图形，涂黑的小正方形序号为．三．解答题（共7小题）17．（1）计算：+﹣2﹣1；（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是；在前16个图案中有个；第2008个图案是．18．如图，将给出的4张扑克牌摆成第一行的样子，然后将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，你能判断出被旋转过的1张牌是哪一张吗？为什么？19．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．20．如图平行四边形ABCD是旋转对称图形，点是旋转中心，旋转了度后能与自身重合，则AD＝，DC＝，AO＝，DO＝．21．如图①，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为．22．如图，△ABC各顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）．（1）在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1；（2）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积是．23．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．任务：（1）如图2，是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是；（2）已知：一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a+b＝；（3）请你在图3中设计一个格点多边形（要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形但不是中心对称图形）参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；B、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；故选：C．2．解：根据旋转的性质和旋转的方向得：△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案是A，故选：A．3．解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC＝AC′，∴∠CAC′＝180°﹣2∠ACC′＝180°﹣2×65°＝50°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝50°．故选：C．4．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．故选：C．5．解：A图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A不正确；B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B不正确；C图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C不正确；D图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D正确，故选：D．6．解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选：B．7．解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．8．解：由图知A点的坐标为（﹣3，1），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（1，3）．故选：D．9．解：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；B、当摆放黑（3，1），白（3，3）时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．10．解：左右两个图形不全等，A错．B，C两个图形旋转后对角线不对应，所以B，C都是错的．D图中右边图形是由左边图形绕一点顺时针旋转90°而成的，所以D对．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解；由分针60分钟旋转360°，得分针1分钟旋转360°÷60＝6°，分针旋转了40﹣15＝25分钟，8时15分到8时40分，时钟的分针旋转的角度为6°×25＝150°，故答案为：150°．12．解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°，而∠B＝100°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∴∠α＝80°﹣30°＝50°．故答案为：50°．13．解：五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为14．解：直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，∵旋转前后三角形全等，∠O′AO＝90°，∠B′O′A＝90°∴OA＝O′A，OB＝O′B′，O′B′∥x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．15．解：（1）等腰直角三角形，5；（2）按题意要求画出图形，由图形可以看出，A′（3，3），C′（0，2）．16．解：当涂黑②时，将图形绕O旋转180°，与原图重合，阴影部分为中心对称图形．故答案为②．当涂黑⑤⑥⑦时，与阴影部分组成轴对称图形．故答案为⑤⑥⑦．三．解答题（共7小题）17．解：（1）原式＝＝2；（2）根据分析，知应分别为，5，．18．解：被旋转过的1张牌是第二张牌．理由如下：第一张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，第二张牌是中心对称图形，第三张牌，因为最中间只有一张，所以不是中心对称图形，第四张牌，因为最中间的图案不是中心对称，所以不是中心对称图形，∵将其中的1张牌旋转180°成第二行的样子，∴被旋转过的1张牌是第二张．19．（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠DBE＝∠CBE＝30°，在△BDE和△BCE中，，∴△BDE≌△BCE（SAS）；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA＝BE，AD＝EC＝ED，又∵BE＝CE，∴AB＝BE＝ED＝AD，∴四边形ABED为菱形．20．解：如图平行四边形ABCD是旋转对称图形，点O是旋转中心，旋转了180度后能与自身重合，则AD＝BC，DC＝AB，AO＝OC，DO＝OB．故答案为：O；180，BC；AB；OC；OB．21．解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．故答案为：（36，0）．22．解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求的三角形；（2）如图所示，△A2B2C2为所求的三角形；（3）在（2）的条件下，AC边扫过的面积S＝﹣＝5π﹣＝．故答案为：．23．解：（1）由“皮克定理”可得：S＝5+﹣1＝7.5；故答案为：7.5；（2）∵S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，∴a+﹣1＝15，解得：a＝8，则b＝16，故a+b＝24，故答案为：24；（3）如图所示：。