勒让德变换

n点高斯-勒让德公式高斯-勒让德公式是数学中一种重要的插值方法，用于在一组已知数据点之间进行插值计算。

该公式是由德国数学家高斯和法国数学家勒让德独立发现的，因此得名高斯-勒让德公式。

高斯-勒让德公式的作用是通过已知数据点的函数值来估计在其他位置上函数的值。

这个公式有很多应用领域，比如在物理学中用于近似计算积分、在信号处理中用于信号重建等。

假设我们有n个数据点，记作(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中xi是自变量的取值，yi是函数在xi处的取值。

我们希望在这些数据点之间进行插值计算，得到其他位置上函数的近似值。

高斯-勒让德公式的基本思想是构造一个关于自变量x的多项式，使得这个多项式经过已知数据点。

这个多项式称为勒让德多项式，记作Pn(x)。

勒让德多项式是关于x的n次多项式，具有特殊的形式和性质。

根据高斯-勒让德公式，我们可以将函数在n个数据点之间的插值计算表示为以下形式的线性组合：f(x) ≈ c1 * P0(x) + c2 * P1(x) + ... + cn * Pn(x)其中，f(x)表示要插值的函数，P0(x), P1(x), ..., Pn(x)是勒让德多项式，c1, c2, ..., cn是待定系数。

为了确定这些系数，我们需要解一个线性方程组。

具体地说，我们需要求解以下方程组：y1 ≈ c1 * P0(x1) + c2 * P1(x1) + ... + cn * Pn(x1)y2 ≈ c1 * P0(x2) + c2 * P1(x2) + ... + cn * Pn(x2)...yn ≈ c1 * P0(xn) + c2 * P1(xn) + ... + cn * Pn(xn)这个方程组可以用矩阵表示为Ax = b的形式，其中A是一个n×n 的矩阵，x和b都是n维列向量。

解出系数向量x后，我们就可以得到函数在其他位置上的近似值。

这样，我们就完成了对函数在n个数据点之间的插值计算。

统计力学中的勒让德变换阎玉立;张印杰【摘要】勒让德变换是理论物理学中一个重要的工具,多变量函数的勒让德变换有明显的对称性.系综是统计力学教学中的核心内容.利用勒让德变换的无量纲性,从微正则系综的特性函数熵的勒让德变换出发,类比的定义了配分函数的勒让德变换.同时得到各种系综的特性函数和配分函数以及它们之间的关系和相应的热力学公式.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)010【总页数】4页(P5-7,23)【关键词】勒让德变换;系综;特性函数【作者】阎玉立;张印杰【作者单位】河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002;河北大学物理科学与技术学院,河北保定071002【正文语种】中文【中图分类】O414.2在经典力学[1]、热力学和统计力学[2，3]等本科生和研究生的物理课程中勒让德变换经常应用，经典力学中拉格朗日函数和哈密顿函数的关系用勒让德变换表达，热力学中内能和自由能、吉布斯函数等状态函数的关系用勒让德变换表达.虽然勒让德变换经常被应用，但它总作为新的方法出现，并且这些应用过程中都没有体现勒让德变换的对称性[4，5].有人介绍了单变量函数的勒让德变换，从代数方法、几何方法两个方面讨论了勒让德变换的性质，解释了变换的对称性和一些结构问题[6].我们把勒让德变换推广到多变量函数的勒让德变换，得到变换的对称性及偏微商的关系，并且应用到经典力学和热力学中[7].在统计力学中，系综的变化相应于热力学中对熵进行勒让德变换[3].本文研究勒让德变换在统计力学中的应用.从微正则系综的基本关系出发，利用勒让德变换的无量纲性，从熵的勒让德变换类比地定义了配分函数的变换，从而导出了其他几种系综的特性函数和配分函数及它们之间的关系和相应的热力学公式.多变量函数：Φ=Φ(x1，x2,…,xn)，其中xi(i=1，2，…，n)为独立变量.为方便，假设Φ在N维空间都是光滑和可导的，在每一点都有si=∂Φ∂xi=∂iΦ，则如果将函数Φ=Φ(x1,x2,…,xn)中的m(m≤n)个独立变量xj(j=1，2,…,m)用其对应变量sj代替，通过勒让德变换构成一个新函数Ψ，Lj:Φ(x1,x2,…,xm,xm+1,…,xn)→Ψ(s1,s2,…,sm,xm+1,…,xn),考虑式(1)，则dΨ=∑mj=1(sjdxj+xjdsj)-∑ni=1sidxi ,j=1,2,…,m；i=1,2,…,n;m≤n,化简得任意给定一组变量就唯一决定一个函数，不同函数实质上是用它的独立变量组来区分的.因此任一函数的微分形式可表为把式(4)前半部分同式(3)比较得xj=∂Ψ∂sj，与sj=∂Φ∂xj可以看出变换前后对应的两个变量是互相关联的.另外式(2)可改写为变换前后的两个函数是等效的，勒让德变换具有明显的对称性[7].系综方法是统计力学教学中的核心内容，一般研究3种系综:微正则系综、正则系综和巨正则系综.自变量数目为n的体系，相互等价的特性函数的数目N为[7]对具有3个自变量的均匀系统，等价特性函数的数目有8个，即共有8种系综.本文从微正则系综的基本关系出发，利用熵的勒让德变换，类比的定义了配分函数的变换，同时得到各种系综的特性函数和配分函数.微正则系综的特性函数是熵，相应的热力学公式：如果从熵开始经勒让德变换到其他函数是很困难的.由于历史原因，勒让德变换的变量并不总是成对出现的，例如，一个系统的能量E与温度的倒数(β=1/kT，k为玻耳兹曼常量)是成对的，然而关于温度的日常经验是如此普遍，温度经常用于很多关系中，比方熟悉的方程：F=E-TS，这个方程把自由能和熵联系起来，但也遮掩了β和E之间的对称性.如果我们定义无量纲的量：S′=S/k，F′=βF，它们之间的二元性可以完美的表示为F′(β)+S′(E)=βE.因此我们把式(7)改写为微分形式[3]：如果我们从无量纲的量S′出发，用勒让德变换得到其他无量纲的量，3对对应的变量为β，E ；α，N；γ，V.为了把无量纲的量最终表达为统计力学中的特性函数，我们还需知道β、α、γ的常用表达.由热力学公式dS=1T dE+pT dV-μT dN，则比较式(9)与式(10)得则式(9)变为d ln Ω=d(Sk)=βdE+βpdV-βμdN，从上式得β=(∂ln Ω∂E)V，N，p=1β (∂ln Ω∂V)E，N，和μ=-1β(∂ln Ω∂N)E，V.从Sk (E，V，N)出发经勒让德变换到其他函数，并类比定义配分函数的变换.与Sk (E，V，N)函数等效的特性函数的数目共有7个，令x1↔E，x2↔V，x3↔N，s1↔β，s2↔γ，s3↔α.3.1.1 微正则系综的特性函数是熵，从Sk (E，V，N)出发改变一个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综.设变量变换为E→β，即系统与外界之间只有能量的交换，由式(5)得上式改写为Ψ1(β，V，N)=βE-Sk(E，V，N)，把β=1/kT代入，得令Ψ1=βF，则有F+TS=E，即熟悉的热力学方程.F(T，V，N)为自由能函数，正则系综的特性函数.由式(3)，可得函数的微分方程dΨ1=Edβ-γdV-αdN，再考虑γ=βp，α=-βμ，有若把Ψ1=βF代入上式，则有dF=-SdT-pdV+μdN，即我们熟悉的自由能的微分方程.设变量变换为V→γ，即系统与外界之间只有力的相互作用，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ2(E，γ，N)+Sk (E，V，N)=γV.设变量变换为N→α，即系统与外界之间只有粒子数的交换，得到一种新的系综，由式(5)得Ψ3(E，V，α)+Sk (E，V，N)=αN.3.1.2 从Sk (E，V，N)出发改变两个变量的勒让德变换有3种，即有3种特性函数，对应3种系综设变量变换为E→β，V→γ，即系统与外界之间只有能量的交换和力的相互作用，由式(5)得Ψ4(β，γ，N)+Sk (E，V，N)=βE+γV，令Ψ4=βG，把β=1/kT，γ=βp代入，得G+TS=E+pV，G为吉布斯函数，即熟悉的热力学引入的物理量. 设变量变换为E→β，N→α，即系统与外界之间只有能量的交换和粒子数的交换，由式(5)得Ψ5(β，V，α)+Sk (E，V，N)=βE+αN，令Ψ5=βJ，把β=1/kT，α=-βμ代入，得J+TS=E-μN， J(T，V，μ)为巨热力学势，正是巨正则系综的特性函数.设变量变换为V→γ，N→α，即系统与外界之间只有力的相互作用和粒子数的交换，由式(5)得Ψ6(E，γ，α)+Sk (E，V，N)=γV+αN.3.1.3 从Sk (E，V，N)出发改变3个变量的勒让德变换有1种，即有1种特性函数，对应1种系综设变量变换为E→β，V→γ，N→α，即系统与外界之间不仅有能量、粒子数的交换，也有力的相互作用，由式(5)得Ψ7(β，γ，α)+Sk (E，V，N)=βE+γV+αN.最后一种勒让德变换改变3个变量，即能量、粒子数、体积都改变得到的是零系综，因此实际上只有7种系综分布.由式(8)再考虑β=1/kT，微正则系综的配分函数为Ω(E，V，N)=eSk=eβTS.设变量变换为E→β，特性函数由Sk (E，V，N)经勒让德变换到Ψ1(β，V，N)：相应的，则配分函数Ω(E，V，N)变换到配分函数：即正则系综的配分函数.同理，类比特性函数其他勒让德变换可得相应系综的配分函数.设变量变换为V→γ，配分函数变换为 A(E，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-γV.设变量变换为N→α，配分函数变换为 B(E，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-αN.设变量变换为E→β，V→γ，配分函数变换为C(β，γ，N)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γV.设变量变换为E→β，N→α，配分函数变换为Ξ(β，V，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-αN，即巨正则系综的配分函数.设变量变换为V→γ，N→α，配分函数变换为D(E，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-γVe-αN.设变量变换为E→β，V→γ，N→α，配分函数变换为M(β，γ，α)=∑EΩ(E，V，N)e-βEe-γVe-αN.对正则系综的配分函数式(16)，两边取对数，ln Z(β，V，N)=βTS-βE=-β(E-TS)，再考虑式(15)有正则系综的配分函数和特性函数的关系：则正则系综的特性函数F=-kTln Z(β，V，N)，这是正则系综里面重要的热力学量的表达式.再考虑式(14)有 d ln Z=-dΨ1=-Edβ+βpdV-βμdN，则有正则系综的热力学公式：E=-(∂lnZ∂β)V，N，p=1β(∂lnZ∂V)β，N，μ=-1β(∂lnZ∂N)β，V与我们在统计力学中学过的一样.同理，类比于特性函数的勒让德变换，从Ω(E，V，N)出发可以得到其他系综的配分函数和特性函数之间的关系及相应的热力学公式.通过介绍多变量函数的勒让德变换在统计力学中的应用，可以更进一步的理解勒让德变换的对称性及应用的广泛性.从以上的介绍，特性函数的变换和配分函数的变换与统计力学中的介绍相统一，从数学的角度，在统计力学中从一种系综到另一种系综不过是在进行变量变换的勒让德变换，而勒让德变换不会改变系统的性质，所以从这个观点来看，这些系综是等价的.如果能在学课程之前了解勒让德变换，会对学生学习统计力学有很大帮助.【相关文献】[1] 周衍柏.理论力学教程[M].3版.北京:高等教育出版社，2009:231-237.[2] 汪志诚.热力学统计物理[M].4版.北京:高等教育出版社，2008:51-70.[3] David chandler.现代统计力学[M].鞠国兴,译.北京:高等教育出版社，2013:61-63.[4] 李英德.常用数学工具在热力学关系式证明中的应用[J].大学物理，2009，28(2):24-27.[5] 汤引生，李英.麦氏恒等式与麦氏关系式证明与应用[J].商洛学院学报，2010，24(6):92-94.[6] R.K.P.Zia， Edward F.Redish， Susan R.McKay.Making Sense of the Legendre Transform[J].Am J Phys,2009,77(7):614.[7] 阎玉立，张印杰.认识勒让德变换[J].大学物理，2013，32(11):8-11.。

勒让德变换的定义
哎呀，说起勒让德变换的定义啊，这可是个科学上头的东西，咱们得认真点儿来摆。

咱们四川这边儿说嘛，勒让德变换啊，就有点像咱们做菜的变换口味，让原来的菜变得更香更美味。

这变换嘛，就是把一个函数给变了形，变得更方便咱们去研究它的性质。

换到贵州那边儿，他们可能会说，勒让德变换就像咱们贵州的酸汤鱼，虽然鱼还是那条鱼，但酸汤一泡，味道就完全不一样了。

这变换嘛，就是让咱们能看清函数的真面目，知道它到底是个啥玩意儿。

陕西方言说起来，勒让德变换可能就是那个把复杂的问题变得简单的工具，就像咱们陕西的面条，虽然看起来简单，但里面的门道可多了。

这变换就是那把能解开复杂函数之谜的钥匙。

再说说北京那边儿，他们可能会更直接点说，勒让德变换就是一种数学工具，就像咱们北京的烤鸭，虽然制作过程复杂，但吃起来就是那么回事儿，让人回味无穷。

这变换也是，虽然听起来高大上，但真正掌握了，就会觉得其实也就那么回事儿。

总的来说呢，勒让德变换就是一种把复杂函数变得简单，方便咱们去研究它的性质和特点的工具。

不管你是哪儿的人，只要掌握了它，就能更好地去理解和应用数学这门科学。

勒让德变换推导热力学函数勒让德变换是热力学中常用的一种数学工具，用于在不同的热力学量之间进行转换。

其中最常见的应用就是在内能、熵、焓和自由能之间进行转换。

下面我们以内能和熵为例，来推导勒让德变换的公式。

设内能U是一个关于熵S和体积V的函数，即U=U(S,V)。

我们现在要求得一个新的函数F，使得它也是一个关于S和V的函数，但是它的全微分形式为dF=TdS-VdP，其中T是温度，P 是压强。

为了达到这个目的，我们可以对U做一个勒让德变换。

首先，我们对U关于S求偏导数，得到dU=（∂U/∂S）dS+（∂U/∂V）dV。

我们希望得到的dF 的形式为dF=TdS-VdP，因此我们需要把上式中的dV转化为dP。

这可以通过对U关于V求偏导数来实现，即（∂U/∂V）=T（∂S/∂V）-P。

将其代入上式得到：dU=（∂U/∂S）dS+T（∂S/∂V）dV-PdV根据热力学基本方程式dU=TdS-PdV，我们可以将上式简化为：dU= TdS-（P-T（∂S/∂V））dV我们希望得到的dF的形式为dF=TdS-VdP，因此我们需要让上式中的-PdV变为-VdP。

这可以通过对上式中的P-T（∂S/∂V）做勒让德变换来实现。

我们定义一个新的函数F=F(S,P)，使得：dF=（∂F/∂S）dS+（∂F/∂P）dP根据定义，我们有：∂F/∂S=T∂F/∂P=V因此，我们可以将上式中的-PdV转化为-VdP，得到：dU= TdS-VdP这就是勒让德变换的公式，它使得我们可以在内能和熵之间进行转换。

类似地，我们可以对其他热力学量进行勒让德变换，从而实现它们之间的转换。

勒让德转换10/02/03在课上以及叙述过程中，我们已经看到勒让德转换是怎样使我们能够在那些我们可能在实际生活中遇到试验条件下控制独立变量。

比如说,在实际生活中不可能将系统的熵（常数）作为控制变量，我们会本能的去测量和控制相对更为容易操作的温度。

为了改变独立变量，我们现在给出勒让德转换公式(T,V ,N)→ U(S,V ,N)-TS TS N V S U N V T −→Φ),,(),,(通过我们已经学过的知识，势能Φ通常被认为是赫姆霍茨自由能，F 。

它的变换形式是：dF=-SdT-PdV+dN dN PdV SdT dF μ+−−=为了更全面的表达勒让德变换，我们可以用矩阵符号来表示系统的内能和赫姆霍茨势能：i i X Y /Φ TS PV N μ＋ — ＋),,(N V S U ),,(N V T F — — ＋矩阵的解释如下：第一栏表明了势能Φ，通过圆括号内的几个独立变量参数表征。

矩阵的第一行表示了共轭对，用于定义系统并建立系统与外部环境能量之间的相互作用。

我们可以按如下步骤记下势能的变化形式：i i X Y 1 确认势能Φ的独立变量。

以U(S,V ,N) 为例，它的独立变量是S,V ,N2 独立变量在积分形式的势能Φ表达式中应以积分形式出现。

对U(S,V ,N)，dS,dV 和dN 出现在dU 的表达式中。

3 独立变量还必须乘以它们各自的变量，对于U(S,V ,N)，我们有TdS, PdV , μdN 。

4 对于积分形式的势能Φ， 每一个积分形式的共轭对的符号是通过横截相对应的势能Φ和共轭对所在的那行决定的。

对于内部能量我们最终得到：i i X Y dN PdV TdS dU μ+−=注意到做功由PV 外的其他因素决定，i i i X Y ∑对于内部能量表达式来说总是正的。

我们可以使用上述矩阵得到勒让德变换的内能：比如说，从(S,V ,N)变换到(T,V ,N)，使用以下方法我们可以很方便的得到正确的变换结果，甚至可以用积分形式来表示：1 确认以独立变量出现在势能中的强度特性(s)。

勒让德变换维基百科，自由的百科全书跳转至：导航、搜索xy-图展示出函数的勒让德变换。

函数用红色表示，在切点的切线用蓝色表示。

切线与 y-轴相交于点；这里，是勒让德变换的值，。

特别注意，穿过在红线上任何其它点，而拥有同样斜率的直线，其与 y-轴相交点必定比点高，证明确实是极大值。

勒让德变换（Legendre transformation或Legendre transform）。

为一个在数学物理中常见的技巧。

在物理中应用在热力学与经典力学中。

目录[隐藏]∙ 1 概述∙ 2 定义o 2.1 最大值式定义o 2.2 反函数式定义∙ 3 数学性质o 3.1 标度性质o 3.2 平移性质o 3.3 反演性质o 3.4 线形变换性质4 应用o 4.1 热力学o 4.2 经典力学(哈密顿力学)o 4.3 正则变换o 4.4 参阅o 4.5 参考文献[编辑]概述为了研究一个系统内部蕴藏的数学结构，我们会将表述此系统的函数关系改用一个新函数来表示，其变量是的导数，。

而的值是如右图蓝线在 y 轴的截距换句话说，从 x 值到 y 值的函数，转换成 f(x) 在 x 点的导数到在 x 点切线 y 截距的函数这程序是由阿德里安-马里·勒壤得所发明的，因此称为勒让德变换。

称函数为的勒让德变换；用方程表示。

此式子表示中的 u 对而言是个参数，且参数 u 会满足的。

即求算表达式关于变量的极值。

为方便讨论，把讨论限定在为严格单调递增。

会有这方程是因为在也就是斜率不变的状况下，对每个而言，所有与曲线相交且斜率为的直线族为。

若令，该直线即是在的切线方程。

把x当作常数并由右图直接观察可知，在的情况下，值是最小的，也就是说直线方程中这部分是最大的，而正好，正是原方程所求的极值。

勒让德变换是点与线之间对偶性关系（duality）的一个应用。

函数设定的函数关系可以用点集合来表示；也可以用切线(在严格单调递增的讨论下，切线跟导数p有一对一的关系)集合表示。

勒让德变换哈密顿量
勒让德变换是一种将一个系统的拉格朗日方程转化为哈密顿方程的方法。

它通过定义新的变量，将系统的广义坐标和广义动量重新组合，将拉格朗日方程转化为哈密顿方程。

勒让德变换的步骤如下：
1. 定义广义动量：将系统的拉格朗日量（Lagrangian）关于广
义速度（generalized velocity）偏导数的负值定义为广义动量（generalized momentum）。

即p_i=\frac{\partial L}{\partial
\dot{q_i}}，其中L为系统的拉格朗日量，q_i为广义坐标，\dot{q_i}为广义速度。

2. 定义哈密顿量：将广义动量与广义速度相乘的项加到拉格朗
日量上，定义为哈密顿量（Hamiltonian）。

即H=\sum_i p_i
\dot{q_i}-L。

3. 求解哈密顿方程：根据哈密顿原理，系统的运动由哈密顿方
程决定。

哈密顿方程为\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}和\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}。

勒让德变换将原始的每个广义坐标和广义动量之间的关系转化为了每个广义坐标和广义速度之间的关系，从而更方便地描述系统的动
力学行为。

同时，哈密顿量的形式也有助于研究系统的一些特性，如
能量守恒等。

数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点，故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分，即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l ．故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l 次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式（2）11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−．(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式（5）11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式：令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式（5）1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式（2）可得如下结果；212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式（2）P (cos )n θ，这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1：设k 为正整数，可以证明：222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x 为奇函数，则展开式的系数20n C =；若需展开的函数()f x 为偶函数，则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，()f x 是三次多项式，设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=，则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道：20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数，显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性，显然。

勒让德多项式变换
勒让德多项式是一类常见的正交多项式，它在物理学和数学领域中有广泛的应用。

勒让德多项式可以通过变换来得到不同形式的表示。

下面是一些常见的勒让德多项式变换：
1. 勒让德多项式展开为幂级数：勒让德多项式可以通过泰勒级数展开来表示。

这个展开式可以用于计算勒让德多项式的近似值。

2. 勒让德多项式的递推关系：勒让德多项式之间存在递推关系，即P_n(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)，其中P_n(x) 表示n 阶勒让德多项式。

3. 勒让德多项式的归一化：勒让德多项式可以通过归一化来得到归一化的勒让德多项式。

归一化的勒让德多项式被广泛应用于概率密度函数和正交性的研究中。

4. 勒让德多项式的逆变换：勒让德多项式可以通过逆变换来得到原始函数的表达式。

这个逆变换可以用于将勒让德多项式转换回原始函数的形式。

这些是勒让德多项式的一些常见变换方法，它们在数学和物理学中有广泛的应用。

勒让德变换武际可. §1 勒让德变换的提出法国数学家、天文学家勒让德（Legendre, Asrien-Marie ，1752-1833）出生在一个比较富有的家庭，从小受到良好的教育。

18岁时，通过了数学物理的毕业论文答辩。

只后在大学教授过数学，31岁时被选入科学院。

1789年法国大革命后，于1790年宣布要对当时相当混乱的度量衡制度进行改革。

科学院组成了一个由拉格朗日为首的委员会。

委员会建议以从赤道到北极的一千万分之一为长度基本单位――米，这个方案于1791年被法国国民议会通过。

于是就要着手实际测量从赤道到北极的长度。

勒让德参加了测量，并且是经度局的一名成员。

1813年拉格朗日逝世，勒让德接替他成为经度局的主席。

他在数学上的贡献，勒让德多项式就是在计算地球形状时的一项创造。

勒让德在数学上的贡献是多方面的，他在解析数论、椭圆函数、几何学、天体力学等方面都有重要的贡献。

1787年，勒让德在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。

勒让德变换在勒让德的贡献中，开始并没有引起人们广泛的注意，而且，开始只是对于几何问题的讨论引进的。

不过随着历史的发展，它在无论是数学还是力学与物理中都显示了它的重要性，经过人们对它的推广，被广泛应用于许多方面。

勒让德变换是从以下偏微分方程出发的∂∂∂++=∂∂∂∂222220z z zR S T x x y y（1.1）其中若令,z zp q x y ∂∂==∂∂，再令R 、S 、T 仅是p,q 的函数。

令曲面(,)z f x y =的切平面为0px qy z v +--=， （1.2）则应当有222220v v v R S T q p q p∂∂∂-+=∂∂∂∂ （1.3） （1.2）式在变量x,y 与它们的对偶变量p,q 之间给了一个变换。

把这个变换具体写出来就是对它求微商得,;,v v zzp q x y x y p q ∂∂∂∂====∂∂∂∂ （1.4）考虑到上面变换的雅科比矩阵应当互逆，即222222p p zz x y x x y q q zz x y x y y ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，222222xy vv pp p p q xy vv q q p q q ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪⎪=⎪∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭于是有2222222222222222111,,,z v z v z vx q x y p q y p vv p p q v v p qq ∂∂∂∂∂∂==-=∂∆∂∂∂∆∂∂∂∆∂∂∂∂∂∂∆∂∂∂∂∂其中＝这个变换把一个拟线性方程（1.1）变到一个线性方程（1.3）。

勒让德多项式和勒让德变换的区别
勒让德多项式和勒让德变换是运用来求解多项式方程的两种数学方法。

两者之间有一定的区别。

1. 计算方法不同：勒让德多项式通过多项式的展开式来进行运算，而勒让德变换则是通过将多项式展开式中的系数变换为一系列的表达式来进行计算的。

2. 运用范围不同：勒让德多项式常用于求解有限阶多项式方程的根，而勒让德变换则可以用于解决任意阶多项式方程的根。

3. 实现方法不同：勒让德多项式可以采用手算、程序编写等方式，而勒让德变换则可以采用秦九韶算法来实现。

勒让德多项式和勒让德变换都可以用于解决多项式方程的根，但是根据不同的情况，采用不同的计算方法比较合适。

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