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第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系）kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5）式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
微分提法解法（1）平衡微分方程,=+j i ij X σ（2）几何方程)(21,,i j j i ij u u +=ε（3）物理方程[]ij kk ij ij Eδμσσμε−+=)1(1（4）边界条件ji ij X n =σii u u =定解问题求解方法（1）按位移求解（平衡微分方程（2）按应力求解（（（（（求解联立的微分方程组求解特点：（解析解微小单元平衡变形材料性质§5-4 弹性体的形变势能和外力势能变分提法解法基本思想：所有可能的解求解线性方程组整个弹性系统能量关系变分方程在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题能量法（a ）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。
（b ）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
（c ）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。
——位移法——力法有限单元法边界元法离散元法数值解法求解方法数值解法基本思想：导数差分求解线性方程组实质：变量离散变分方程区域离散单元可能解求解大型的线性方程组有限单元法边界单元法离散单元法1. 形变势能的一般表达式Px单向拉伸：1形变势能（）U 11l l A P Δ11比能三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ三向应力状态：σσyσzyzτzy τyxτxyτxz τzx τ次序无关形变比能y y x x εσεσ111++yz yz zx zx τγτγ++1形变势能：2. 形变势能的应变分量表示)(12x y y E μεεμσ+−=)(12y x x E μεεμσ+−=xy xyE γμτ)1(2+=22212122(1)2xy x y xy E U μεεμεεγμ−⎡⎤=+++⎢⎥−⎣⎦2x y x y εεμεε+++⎢111表明：3. 形变势能的位移分量表示222121()()2()2(1)2E u v u v u v U x y x y x y μμμ⎡⎤∂∂∂∂−∂∂=++++⎢⎥−∂∂∂∂∂∂⎣⎦()()2(μ++++⎢外力的虚功：;,,Z Y X ZY X ,,Xu Yv +Xu Yv +由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：§11-2 位移变分方程1. 泛函与变分的概念（1）泛函的概念xF泛函P1)(xMEIB l x泛函形变势能泛函（2）变分与变分法自变量的增量函数增量微分问题P1)(xMEIBlx)(xy)(xy yδP1)(xMEIB lx ) (xy)(xy yδ自变函数的增量泛函的增量变分问题变分的运算变分与微分运算：)(x f =⎟)(x f =⎟)(x f =⎟⎟变分运算与微分运算互相交换变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换复合函数的变分：y δ+复合函数的变分：y δ+⎢++⎥⎢′+y y y y δδδδ极大值极小值2. 位移变分方程形变势能位移变分qP应力边界S σ满足：平衡方程、几何真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：wv u δδδ,,满足两个条件：（（wv u δδδ,,满足两个条件：（（qP应力边界S σw位移的变分虚位移由于位移的变分，引起的外力功的变分和外力势能的变分为：X u Y δδ+X u Y δδ+微小的为约束所允许（2）考察弹性体的能量变化从而引起形变势能的变分为：()()()y xy u v u δδεδδγδ==+，，由于位移的变分，引起的应变的变分为：设：位移变分方程Lagrange 变分方程WU δδ=X u Y δδ+它表明：在实际平衡状态发生位移的变分时，物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
第5章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程），并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。
自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。
有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学）、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。
有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。
变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。
本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method ）的完全及不完全广义变分原理和为分区集合体的分区（Sub-region ）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed ）模型和杂交（Hybrid ）模型为基础的变分原理。
在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。
§5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为)3,2,1(=i x i ，体积为V 的弹性体中任意一点的位移参数为)3,2,1(=i u i 、应力分量为ij σ以及应变分量为)3,2,1,(=εj i ij 。
由线弹性力学理论，我们可以得到如下的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。
（1）力的平衡方程0,=+σi j ij F （在V 内） （5-1） 式中i F 表示体力，j ij ,σ表示应力分量ij σ对坐标分量j x 的偏导数（以下相同）。
（2）应变位移关系式（几何关系）)(21,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-2） （3）应力应变关系式（物理关系） kl ijkl ij a ε=σ （5-3）kl ijkl ij b σ=ε （5-3’）式中ijkl a 为弹性模量系数，ijkl b 为劲度系数，ijkl a 和ijkl b 都具有对称性。
（4）在弹性体的边界上，表面S 可划分为两部分：外力已知的边界σS 及位移为已知的边界u S ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即u S S S +=σ （5-4）在力的边界σS 上，i j ij T n =σ （5-5） 式中i T 为已知边界力，j n 为σS 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。
在位移边界u S 上，i i u u = （5-6） 式中i u 为已知边界位移。
（5-5）式和（5-6）式统称为“边界条件”。
上述的诸方程共有15个，即3个平衡方程，6个应变位移关系方程，6个物理关系方程。
而未知变量也共计15个：6个应力分量ij σ，6个应变分量ij ε和3个位移分量i u 。
因此该问题是可以求解的。
小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度）A 和余应变能泛函（余应变能密度）B 可表示为kl ij ijkl ij a A εε=ε21)( （5-9） kl ij ijkl ij b B σσ=σ21)( （5-10） 不难看出，)(ij A ε和)(ij B σ有以下关系，)()(ij ij ij ij B A σ+ε=σε （5-11）并且容易证明ij ij ij B σ∂σ∂=ε)( （5-12） ij ij ij A ε∂ε∂=σ)( （5-13） （一）虚功原理与总位能原理这里用ij εδ和i u δ分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。
则由虚功原理可写出虚功方程为0dS δdV δd δV i =--εσ⎰⎰⎰σS i i i V ij ij u T u F V （5-14）(5-14)式成立是有条件的，要求ij εδ和i u δ在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满足给定位移边界条件，即)δδ(21δ,,i j j i ij u u +=ε （在V 内） （5-15a ） 0δ=i u （在u S 上） （5-15b ）虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容许的任意虚位移，（5-14）式成立。
反过来，如果（5-14）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。
值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。
如果用下面泛函表示弹性体的总位能P ∏，⎰⎰σ--ε=∏S i i V i i ij S u T V u F A d d ])([p （5-16） 对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，⎰⎰σ=--εσ=∏S i i V i i ij ij S u T V u F 0d δd ]δδ[δP （5-17） 将（5-14）式与（5-17）式比较，显然，（5-17）式就是（5-14）式。
所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。
由于⎰⎰⎰σ=+σ=εσV j i ij i j j i V ij V ij ij V u V u u V d δd )δδ(21d δ,,, （5-18） 利用格林公式，上式等号右边积分可变换为 ⎰⎰⎰σ-σ=σV i j ij S i j ij V j i ij V u S u n V u d δd δd δ,, 并引用（5-15b ）式，则（5-17）式可化为 0d δ)(d δ)(,=σ-++σ⎰⎰σS i j ij i Vi i j ij S u n T V u F 因为i u δ为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即0,=+σi j ij F （在V 内）及力的边界条件（5-5）即i j ij T n =σ（在σS 上）。
（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2）和位移边界条件（5-6）的所有容许的i u 中，实际的i u 使弹性体的总位能取最小值。
（二）余虚功原理与总余能原理余虚功原理中，可取ij σδ表示弹性体内的应力变分，即虚应力。
另外，i T δ表示弹性体指定位移边界上的表面边界力的变分。
与虚功方程相类似的余虚功方程可表示为0d δd δ=-σε⎰⎰uS i i V ij ij S u T V （5-19） 余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5）式的条件下成立，即满足（5-1）式和（5-5）式的变分形式的条件为0δ,=σj ij （在V 内） （5-20）0δ=i T （在σS 上） （5-21）现在定义下面的泛函为弹性体的总余能c ∏⎰⎰-σ=∏uS i i V ij S u T V B d d )(c （5-22） 现在对（5-22）式取驻值，即0δc =∏，则有0d δd )(δδc =-σ=∏⎰⎰uS i i V ij S T u V B (5-23) 利用格林公式，上式中的体积分项可化为⎰⎰⎰⎰⎰σ-σ=σ=σε=σVj ij i S ij j i V ij j i ij V ij V ij V u S n u V u V V B d δd δd δd δd )(δ,, 考虑到（5-21）式后，（5-23）式可写成0d δd δ)(,=σ-σ-⎰⎰V j ij i S j ij i i V u S n u u u (5-24) 再考虑到ij σδ应满足（5-20）式，且ij σδ为独立量，则由c ∏的驻值条件可以导出位移边界uS 上的协调条件为0=-i i u u （5-25）（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力ij σ中，实际的应力ij σ使弹性体的总余能取最小值。
上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 P ∏应满足的条件是（5-2）式和（5-6）式，而最小余能原理的泛函c ∏应满足的条件是（5-1）式和（5-5）式。
这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。
§5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理§5.2.1 完全广义变分原理现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。
在§5.1节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。
如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。
于是形成了下面的完全广义变分原理。
（1） 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6），分别乘以定义在体积V 内的和位移边界u S 上的拉格朗日乘子ij λ和j μ，并与总位能泛函p ∏相加组成新的泛函Gp ∏，Gp ,,1[()]d [()]d 2ij i i ij ij i j j i VV A Fu V u u V ελε∏=-+-+-⎰⎰ ⎰⎰-μ+σuS i i i S i i S u u S u T d )(d （5-26） 式中经受变分的独立量是ij ε，i u ，ij λ及i μ，而不需要附加任何条件。
对这些独立量进行变分，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ-μ-+μ+-+λ-λ+-ε+ελ+ε∂∂=∏S i i S i i i i i V i i V i j j i ij V ij i j j i ij V ij ij ij S u T S u u u V u F V u u V u u V A u d δd ]δ)(δ[d δd )δδ(21d δ)](21[d δ)(δ,,,,Gp 引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为⎰⎰⎰⎰λ-λ=λ=+λS V i j ij i j ij V j i ij Vi j j i ij V u S u n V u V u u d δd δd δd )δδ(21,,,, 将上式代入Gp δ∏式中，得⎰⎰⎰σ+λ-μ-+λ-μ+-λ+λ+-ε+ελ+σ=∏S i i j ij S i i i i j ij i V i i j ij ij i j j i ij ij ij ij S u T n S u u u n V u F u u u d δ)(d ]δ)(δ)[(d ]}δ)(δ)(21[δ){(δ,,,Gp由0δGp =∏可以导出以下各式ij ij σ-=λ，)(21,,i j j i ij u u +=ε，0,=-λi j ij F （在V 内） （5-27a,b,c ） j ij i n λμ=，i i u u = (在u S 上) （5-27d,e ） 0=+λi j ij T n （在σS 上） （5-27f ） 显然，（5-27c ）式表示平衡方程，（5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a ）式代入（5-27d ）式中，则得j ij i n σ-=μ，将（5-27a ）式带入（5-27f ）式得j ij n T σ=，表示力边界上的给定条件。
