浅谈微积分中的反例

浅谈微积分中的反例摘 要 以具体实例从不同层面深入分析说明反例在微积分中蕴含着重要的意义与作用, 强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透切理解定理的条件,培养人的数学思维能力,驳斥谬论、判断真伪、检验并修正错误,从而对基本概念、基本理论能够深刻的理解。

关键词 反例、微积分、函数.1 引言在社会实践和学习过程中,人们往往对某一问题苦思冥想而不得其解时,而从反面去想一想,常能茅塞顿开,获得意外的收获。

同样的,在数学的学习过程中可以知道微积分中存在大量的反例,它不仅是区区的一个例子那么简单,其意义远远超过了它的具体内容,它不仅是解决问题的有力手段,而且推动了数学的发展,开辟了数学领域的新天地。

用命题的形式给出的一个数学问题,从一些迹象判断该命题不成立,然后寻求一个满足命题的条件,但使结论不成立的例证,从而否定这个命题,这即为通常所说的反例。

通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法。

反例思想是微积分中的重要思想,用逆向思维方法从问题反面出发,可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。

对于数学,面对微积分的各种问题,特别是在函数领域中,反例在概念、性质以及定理的理解,问题的研究和论证中都有不可替代的特殊作用。

2 微积分中反例的作用与意义2.1 微积分中的反例不仅是强化概念的有力工具,而且能更深地揭示概念的内涵在微积分的学习过程中,对概念的正确理解掌握是为了能更进一步学习的基本,它是知识构架的重要基石。

许多概念虽然仅有短短几个词句,但意义深刻,内涵丰富。

运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或是规则的本质,往往就会收到一种不一样的效果。

2.1.1连续问题定义 2.1 设f 为定义在[,)a +∞上的函数,A 为定数.若对任给的0ε>,存在正数M ()a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<,则称函数f 当x 趋向+∞时以A 为极限,记作 lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.定义2.2 设函数f 在某0()U x 内有定义,若00lim ()()x x f x f x →=,则称f 在点0x 连续.情形1 定理：若函数()f x 在a 连续, 则函数()f x 在a 也连续. 但其逆命题不成立. 反例：函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩, 虽然()1f x =在0x =处连续, 但()f x 在0x =处不连续.情形 2 对于(),()y f x x D =∈, 若()f x 在x D ∈处可导, 则()f x 在x 处连续. 但对于二元函数(,)z f x y =, 当00(,)x f x y '和00(,)y f x y '都存在时, 不一定能判定),(y x f 在（00,y x ）连续.反例： 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++==,0,0,0,),(222222y x y x yx xyy x f z 虽然0)0,0()0,0(='='y x f f ,但在直线y kx =附近000022222lim (,)lim 01x x y kx kx kf x y x k xk →→→→==≠++, 故),(y x f 在)0,0(不连续.上述归结,偏导数存在只能表明函数在坐标轴方向上变化的快慢,与函数在其他方向上取值无关,故可能不连续.2.2可导、可微问题定义 2.3 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,若极限000()()limx x f x f x x x →--存在, 则称函数f 在点0x 处可导,并称该极限为函数f 在点0x 处的导数,记作0()f x '.定义 2.4 设函数()y f x =定义在点0x 的某邻域0()U x 内. 当给0x 一个增量x ∆,00()x x U x +∆∈时, 相应的得到函数的增量为()y A x x ο∆=∆+∆,则称函数f 在点0x 可微, 并称上式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0|x x dy A x ==∆或0()|x x df x A x ==∆. 情形1 当0()0f x ≠时, 由()f x 在0x 可导不一定能推出()f x 在0x 可导. 例 2.2.1 函数 ,[0,1](),(1,2]x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩ , 而()f x x =, [0,2]x ∈, 显然()f x 在0x =1处可导,但()f x 在0x =1处不可导.情形2 试判断函数()f x 与()g x 在下列的某一条件下能否推出[()]f g x 在0x 可导： (1)当()f x 在0()x g x =可导,()g x 在0x 不可导时； (2)当()f x 在0()x g x =不可导,()g x 在0x 可导时； (3)当()f x 在0()x g x =和()g x 均不可导时. 解：(1)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==可导,()g x 在0x =不可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (2)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x f g x x === 显然()f x 在(0)0x g ==不可导,()g x 在0x =可导, 但 [()]f g x 在0x =不可导. (3)不一定.反例：(),(),[()],f x x g x x x f g x x x ==+=+显然()f x 在(0)0x g ==,()g x 在0x =,[()]f g x 在0x =都不可导.上述归结,复合函数可导性定理可猜想为：当()f x 在0()x g x =,()g x 在0x 都可导时, 可推出[()]f g x 在0x 可导,并且不难给出证明.情形3[2]一元函数的可微与可导是等价的；但是, 若二元函数),(y x f 在其定义域D 的内点00(,)x y 可微, 则函数),(y x f 在该点的两个偏导数存在,但二元函数存在两个偏导数,却不一定可微.反例：函数(,)f x y =在原点()0,0存在两个偏函数,即0(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆-===∆∆, 00(0,)(0,0)0(0,0)limlim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆-===∆∆, 事实上,0.=→(0)ρ=,故函数),(y x f 在原点()0,0不可微.2.3可积问题定义2.5 设函数f 于F 在区间I 上都有定义. 若()()F x f x '=,x I ∈,则称F 为f 在 区间I 上的一个原函数.定义2.6 设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ε,只要T δ<,就有1()niii f x Jεε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积.情形1 若函数()f x 在区间[,]a b 上有原函数, 则函数()f x 在区间[,]a b 可积, 此命题不真,而其逆命题也不真.反例：①函数2212102cos sin ,()00,x x f x x x x x ⎧≠+⎪=⎨=⎪⎩, 显然2210cos ,()00,x x F x xx ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩是()f x 在[-1,1]上的一个原函数,取0()n x n =→→∞,则()()n f x n =∞→∞, 故()f x 在[-1,1]上无界, 所以()f x 在[-1,1]上不可积.②函数 1,10()0,01,01x f x x x --≤<⎧⎪==⎨⎪<≤⎩, 因为()f x 在[-1,1]上有界, 且只有第一类间断点0x =,所以()f x 在[-1,1]上可积, 但()f x 在[-1,1]上不存在原函数.情形 2 若函数()f x 在区间[,]a b 可积,则函数()f x 在区间[,]a b 也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰,但其逆命题不成立,即当函数()f x 在区间[,]a b 可积时,函数()f x 在区间[,]a b 不一定可积. 反例：函数1,()1,x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数,函数在[0,1]不可积,而()f x ≡1,这是常量函数,显然在[0,1]可积.通过反例分别从不同的侧面或角度,对微积分中的连续、可导、可微以及可积等概念问题进行了不同层次的强化,从而更深入地揭示了概念的内涵。

浅谈数学分析中反例的作用数学分析是一门基础的数学学科，研究实数集上函数的性质以及极限、连续性、收敛性等概念与定理。

在数学分析的学习过程中，反例是一种非常重要的工具和思维方式。

本文将从数学分析中反例的定义、作用以及展示的方式等方面进行探讨。

首先，反例是指用以证明或推翻一些命题的合理例子。

在数学分析中，经常会用到反例来证伪一个命题，即通过构造一个特殊的例子，使得命题不成立。

反例通常是通过对已知条件进行逻辑推理和推导，然后找出一个具体的实例来使得不等式、恒等式或者条件不成立。

其次，反例在数学分析中的作用是多方面的。

首先，反例可以用来验证是否存在其中一种性质或者条件。

例如，对于一些命题，我们可以通过构造一个反例来证明该命题不成立，从而说明该性质或条件不存在。

其次，反例还可以用来辅助理解和洞察数学概念和定理。

通过构造特殊的反例，可以帮助我们更加清晰地认识和理解一些概念或者定理的含义和适用范围。

最后，反例还可以用来研究数学问题的边界和极限情况。

通过找到一系列逼近一些反例的例子，可以帮助我们确定问题的解或者趋势。

在数学分析中，展示反例有多种方式。

一种常见的方式是通过构造具体的数字或者函数表达式来展示反例。

这种方式比较直观和具体，可以通过计算和观察来验证反例的有效性。

另一种方式是通过逻辑推理和证明来构造反例。

例如，可以通过反证法或者归谬法来推导出反例的存在。

另外，还可以通过反例的存在性和唯一性来讨论。

不同的方式展示反例都有各自的优势和适用范围，具体选择取决于问题的性质和结构。

实际上，反例不仅在数学分析中起着重要的作用，也在数学的其他分支中扮演着重要的角色。

例如，在代数学中的群论和环论中，经常会用到反例来验证或推翻一些命题。

在几何学中，反例也常常被用来证明一些定理不成立或者特殊情况下的解决方法。

总之，反例在数学分析中的作用是不可忽视的。

它不仅可以用来验证性质或条件的存在与否，还可以帮助我们更好地理解和掌握数学概念和定理。

泰州教育ＴＡＩＺＨＯＵＪＩＡＯＹＵ反例是指符合命题条件而不符合该命题结论的例子。

简言之，反例就是能够说明一某命题不成立的例子（即假命题）。

数学中的反例的主要作用是证伪（即说明某一个命题不正确），当直接证明某个命题是假命题或说明某些猜想错误比较困难时，常常会趋向于寻找一个反例，以说明这个命题或猜想是错误的，在数学教学中，恰当地运用与建构反例进行数学教学，有助于学生深刻理解与掌握，有助于培养学生思维的灵活性与深刻性。

本文从反例的运用、引入、分析和建构等几个方面，谈谈初中数学中反例教学，以期得到同行的指正。

一、运用反例，深化理解数学概念在数学概念教学中，不少学生难以把握概念的内涵与外延，从而导致概念理解错误。

教学中，通过反例的恰当运用，引发学生思维冲突，促使学生积极思考，从而全面、正确认识概念。

例如，说明“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”这个结论是假命题，我们可以启发学生思考：能不能找到这样的四边形，满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但却不是平行四边形，显然，等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等但不平行，故不是平行四边形，所以这个结论不成立，从而深化了学生对平行四边形概念的理解。

反例从哪里来？笔者以为：大多数反例应该基于学生的已有认知和数学活动经验，包括错误的经验。

如从学生课堂教学学习活动出现的问题中来，从学生练习中出现的错误中来，而不是教师先入为主地抛出。

只有这样，学生才会有切身的体验。

例如，上述问题中，如果学生没有接触过等腰梯形，就不可能举出这样的反例；再比如，在“三线八角”概念的教学中，学生对同位角的概念理解不清，笔者从学生作业中发现这样的问题：“若第一个角与第二个角是同位角，第二个角与第三个角是同位角，则第一个角与第三个角也是同位角”，这时可以引导学生通过画图来辨析：如图1，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角吗？这样，学生对上述判断是否正确就便会了然于心，从而使同位角概念真正内化。

微积分教学中反例的应用摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。

关键词：应用反例微积分高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。

它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。

通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。

通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。

本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。

一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。

学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。

不妨举一个反例：如： =0， =0都是无穷小量，而（第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。

二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。

1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。

如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。

微积分中的一些反例环境与城市建设学院矿业5班罗棨航1301170511 摘要：本文列举了微积分中常见的典型反例，并论述了反例在微积分教学中的作用：可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件.关键词：反例；微积分；函数；微分；积分引言用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题，这就是反例。

1连续、可导、可微问题微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可导与连续等容易混淆的概念之间的关系，可以通过运用适当的反例进行准确理解把握。

同时也能培养与提高我们的辩证思维能力。

情形1 若函数f（x）在a连续，则函数f（x）在a也连续，但其逆命题不成立。

反例：函数f（x）=1，x?叟0-1，x<0，虽然f（x）=1在x=0处连续，但f（x）在x=0处不连续。

情形2 可导函数必定是连续函数。

那么“连续函数必定是可导函数？答：不一定。

反例：函数f（x）=x+1，在x=0连续，但在x=0不可导，事实上，f（x）=x+1=1=f（0），所以f（x）在x=0连续；但极限==1或-1不相等，所以f（x）在x=0不可导。

情形3 函数f（x）在x=x0处可导，则函数f（x）在x=x0的邻域内不一定连续。

反例：函数f（x）=x，x为有理数0，x为无理数，在x=0处可导，但在0点的任何邻域，除0点外都不连续。

情形4 f（x）在x=x0处可导，则f（x）在x=x0处是否有连续导数？反例：函数f（x）=xcosx≠0 0x=0 在x=0处可导，但导数不连续。

事实上，f′（0）===xcos=0，即f（x）在x=0处可导，但当x ≠0时，f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin极限f′（x）=2xcos-xsin•-=2xcos+sin不存在，即f（x）的导数不连续。

综上归结，对一元函数f（x）在点x0可有：可微?圳可导连续有极限。

不可微函数的反例一、引言在微积分中，我们学习了连续函数和可微函数的概念，它们是数学中非常重要的概念。

然而，在实际应用或者理论推导中，我们也会遇到一些不可微的函数。

本文将详细讨论不可微函数的反例，旨在帮助读者更好地理解微积分的基本概念。

二、不可微函数的定义在介绍反例之前，我们需要了解不可微函数的定义。

在数学中，一个函数在某一点不可微，意味着该点无法进行导数的运算。

常见的不可微函数包括绝对值函数和分段函数等，它们在某些特定点上出现“断裂”，导致无法计算导数。

三、绝对值函数的反例首先，让我们看一个最简单的不可微函数的反例，即绝对值函数。

绝对值函数的数学表示形式为：f(x) = |x|通过图像可以清晰地看到，当x等于0时，函数图像出现“折点”，即左右导数不相等。

因此，我们可以得出结论：绝对值函数在x=0的点不可微。

四、分段函数的反例除了绝对值函数，分段函数也是常见的不可微函数。

其中，最常见的分段函数为：f(x) =x^2 0 ≤ x < 1-x^2 1 ≤ x ≤ 2在x=1的点，函数图像出现“断裂”，左右导数不相等。

因此，这个分段函数在x=1的点不可微。

五、其他不可微函数的反例除了绝对值函数和分段函数，还存在许多其他的不可微函数反例。

在此简要介绍两个例子：1. Heaviside函数Heaviside函数是一个阶跃函数，表示了一个变量在另一个变量大于等于零时的值为1，小于零时的值为0。

该函数在x=0的点不可微，因为左右导数不相等。

2. Dirichlet函数Dirichlet函数是一个指示函数，表示有理数集上的函数值为1，无理数集上的函数值为0。

在整个实数轴上，该函数几乎处处不可微。

六、结论通过以上的讨论，我们看到了不可微函数的反例。

不可微函数在某些点上出现断裂或折点，导致无法计算导数。

这些反例帮助我们更好地理解微积分中的不可微概念，丰富了我们对函数性质的认识。

七、延伸阅读尽管本文只讨论了部分不可微函数的反例，实际上还存在着更多的不可微函数。