高等数学反例集

无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。

所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。

而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。

当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。

（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。

(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。

由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。

故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。

注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。

二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。

例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。

1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。

例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。

高等数学中的一些反例1 高等数学中的反例在高等数学中，反例就是指一些能够证明一个命题不成立的具体实例。

因此，反例在数学领域中具有重要的作用。

在这篇文章中，我们将会探讨一些高等数学中的反例。

2 无理数的乘积是有理数首先，我们考虑一个看似显然的命题，即两个无理数的乘积一定是一个有理数。

这个命题的错误之处在于，我们无法保证这两个无理数是代数无关的。

下面给出一个反例：假设x = √2，y = 1 / √2，那么显然 x、y 都是无理数。

但是它们的乘积为：xy = (√2) (1 / √2) = 1因此，这个反例表明了两个无理数的乘积并不一定是一个有理数。

3 常数项级数收敛的级数和绝对收敛接下来，我们来思考一下另一个命题：如果一个常数项级数收敛，那么它的级数和一定是有限的。

而这个命题也是错误的。

我们可以通过下面这个反例来证明：考虑级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...显然，这个序列的部分和为：S_n ={ 1 (n 为奇数 ){ 0 (n 为偶数 )因此，该序列的极限不存在。

但是，如果我们对该序列取绝对值，那么它会变成一个常项级数，即：1 + 1 + 1 + 1 + ...该级数显然是发散的。

因此，这个反例说明了一个常数项级数收敛不一定意味着它的级数和是有限的，也不意味着它的级数和绝对收敛。

4 现代几何的反例在现代几何中，我们经常会面临一些看似正确的命题，但是它们在特殊情况下并不成立。

例如，如果一个三角形的两条边长一样，那么这个三角形一定是等腰三角形。

这个命题在大多数情况下是正确的，但存在以下反例：考虑一个由两个直角三角形组成的三角形。

其中直角边分别为2和1，斜边长度为√5，这个三角形显然不是等腰三角形。

这个例子说明了即使在看似简单的几何命题中，也可能存在反例。

5 常微分方程的反例最后，我们来看一个常微分方程的例子，来说明反例在应用数学中的重要性。

考虑一个简单的一阶常微分方程：y' = y^2 - 1这个方程可以通过分离变量得到解：2arctanh(y) = x + C其中，arctanh(y) 表示双曲正切的反函数。

Cantor集上Lebesgue测度的反例Cantor集，又称康托尔集，是数学中一个有趣且重要的集合。

康托尔集最早由德国数学家Georg Cantor于1874年引入，使用这个集合可以展示数学中一些奇特的性质。

本文将讨论康托尔集的一个重要性质，即其上的Lebesgue测度。

Lebesgue测度是由法国数学家Henri Lebesgue在20世纪初提出的一种测度方法。

相比于传统的黎曼积分，Lebesgue测度可以更好地描述不连续和不规则的函数。

然而，当应用Lebesgue测度在Cantor集上时，我们会遇到一个令人惊奇的结果。

在开始之前，让我们先回顾一下康托尔集的定义。

康托尔集由[0, 1]区间中初始的闭区间[0, 1]构建而成。

然后，在每个步骤中，我们将每个闭区间分成三个等长的闭区间，并移除中间的开区间。

重复此过程无限次，我们得到了康托尔集。

现在，让我们尝试计算康托尔集的Lebesgue测度。

根据Lebesgue测度的定义，我们需要找到一个覆盖Cantor集的开区间集合，并计算它们的总长度。

然而，对于Cantor集来说，这并不容易。

由于Cantor集是一个完全不连续的集合，任何区间都会被Cantor集的元素分割成两个部分。

因此，我们无法找到一个开区间集合，其总长度等于Cantor集的长度。

这一结论可以通过反证法加以证明。

假设我们找到了一个开区间集合X，其总长度等于Cantor集的长度。

由于Cantor集是不可数的，而每个开区间是可数的，所以至少存在一个开区间的长度为0。

那么，我们便可以将所有长度为0的开区间移除，得到一个新的开区间集合X'。

然而，新的开区间集合X'并不能完全覆盖Cantor集。

在每个步骤中，我们都会移除Cantor集中的一些元素，最终导致X'无法覆盖整个Cantor集。

因此，不存在一个开区间集合，其总长度等于Cantor集的长度。

这就是Cantor集上Lebesgue测度的反例。

数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。

也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。

虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。

但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。

Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：(0()sin n n n )f x a b ∞==∑x ，b a <<<10， 。

1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的。

设(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕϕϕ(x ) = 0.33。

显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且。

2/1)(≤ϕx 注意 当y x ,21,[+∈k k 或]1,21[++k k 时，成立|||)()(|y x y x −=−ϕϕ。

Van Der Waerden 给出的例子是：)(x f = ∑∞=ϕ010)10(n nn x 。

由n n x 10)10(ϕ≤n1021⋅，及∑∞=⋅01021n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞−∞∈x 一致收敛。

所以在连续。

)(x f ),(+∞−∞现考虑在任意一点x 的可导性。

由于的周期性，不妨设，并将x 表示成无限小数)(x f )(x f 10<≤x x = 0.a 1a 2…a n …。

若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。

举反例1、已知∠AOB+∠BOC=90°，则∠AOC=90°，是否成立。

如果成立，请证明，如果不成立，请举出反例。

2、已知三角形ABC中，现有两个命题：（1）如果AB＝AC，且∠A＝60°，那么三角形ABC是等边三角形；（2）如果AC 2＋BC2＞AB2，那么三角形ABC不是直角三角形．判断上述两个命题是否正确，若正确，说明理由；若不正确，请举出反例．3、如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E在AC边上(1 )若AB=BC，且BD=DE，求DE是△ABC的中位线(2) 若12DE BC，则结论“DE一定是△ABC的中位线”是否正确？若正确请正面；若不正确，请举出反例。

D EB CA4、已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，（1）若AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）命题：“若AB=BC，则四边形ABCD是菱形”是否正确？若正确，请加以证明，若不正确，请举反例。

ADB C5、已知四边形ABCD，AD∥BC，连接BD．(1) 小明说：“若添加条件BD2＝BC2＋CD2，则四边形ABCD是矩形．”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．(2) 若BD平分∠ABC，∠DBC＝∠BDC，tan∠DBC＝1，求证：四边形ABCD是正方形．6、已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论，（1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明.7、若以一个三角形的最长边所在直线为对称轴，把这个三角形进行翻折，则称所得的四边形为准菱形。

（1）如图，在以对角线AC 所在直线为对称轴的准菱形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，求证四边形ABCD 是菱形 （2）有同学说：“如果四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，AC 平分BD ，那么这个四边形是平行四边形”，你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例COBDA8、已知等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D 点在△ABC 内旋转，角的两边分 别与AB 、AC 交于点E 、F ，且点E 、F 不与A 、B 、C 三点重合。

在几何学中，反例是一种非常重要的工具，用于证明某个命题是错误的。

以下是一些几何类命题的反例：
命题：“所有的矩形都是正方形。

”
反例：一个长为3单位，宽为2单位的矩形。

这个矩形显然不是正方形，因为它的长和宽不相等。

命题：“所有的平行四边形都是矩形。

”
反例：一个斜的平行四边形，其中内角不是90度。

这样的平行四边形不是矩形，因为它不满足矩形的所有性质（特别是内角为直角）。

命题：“有两边及一边对角相等的两个三角形全等。

”
反例：考虑两个三角形ABC和ABD，其中AB是公共边，AC=AD，但∠C和∠D不相等。

根据三角形的全等条件，这两个三角形不全等，即使它们有两边和一边对角相等。

命题：“如果两条直线被第三条直线所截，且内错角相等，那么这两条直线一定是平行的。

”反例：在平面上画出两条不平行的直线，并用第三条直线截它们，使得内错角看起来相等（但实际上由于直线不平行，这些角不会真正相等）。

这个例子表明，仅凭内错角看起来相等，并不能断定两条直线平行。

命题：“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

”
反例：在三维空间中，过一点实际上有无数条与给定直线垂直的直线，因为这些直线可以位于不同的平面上。

请注意，以上反例中的错误命题通常是由于对几何概念或性质的误解而产生的。

在学习和应用几何知识时，务必确保对相关概念和性质有准确的理解。

数学大反例合集数学猜想并不总是对的，错误的数学猜想不占少数。

只不过因为反例太大，找出反例实在是太困难了。

这篇文章收集了很多“大反例”的例子，里面提到的规律看上去非常诱人，要试到相当大的数时才会出现第一个反例。

最多分为多少块圆上有n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？上图显示的就是 n 分别为 2 、 3 、 4 的情况。

可以看到，圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。

规律似乎非常明显：圆周上每多一个点，划分出来的区域数就会翻一倍。

事实上真的是这样吗？让我们看看当 n = 5 时的情况：果然不出所料，整个圆被分成了 16 块，区域数依旧满足 2n-1 的规律。

此时，大家都会觉得证据已经充分，不必继续往下验证了吧。

偏偏就在 n = 6 时，意外出现了：此时区域数只有 31 个。

最有名的素数生成公式1772 年，Euler 曾经发现，当 n 是正整数时， n2 + n + 41 似乎总是素数。

事实上，n 从 1 一直取到 39，算出来的结果分别是：43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601这些数全都是素数。

第一次例外发生在 n = 40 的时候，此时 402 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。

xn - 1 的因式分解x2 - 1 分解因式后等于 (x + 1)(x - 1) 。

x20 - 1 分解因式后等于(x - 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 - x3 + x2 - x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 - x6 + x4 - x2 + 1)对于所有的正整数 n ， xn - 1 因式分解后各项系数都只有可能是1 或者 -1 吗？据说有人曾经算到了 x100 - 1 ，均没有发现反例，终于放心大胆地做出了这个猜想。

数学分析中反例
数学分析中的反例是指能够证明某个命题或定理不成立的
具体例子。

下面给出几个常见的数学分析中的反例：
1. 极限的反例：对于函数
$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当$x$趋于0时，$f(x)$的极限不存在。

这个反例说明了对于一些函数，即
使在某个点附近的取值趋近于某个数，但并不意味着函数
在该点处有极限。

2. 连续性的反例：考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}$。

在定义
域中除了$x=0$外，$f(x)$是连续的。

然而，$f(x)$在
$x=0$处不连续，因为在该点处没有定义。

这个反例说明了
函数在某个点处连续并不意味着函数在整个定义域上都连续。

3. 一致收敛的反例：对于函数序列$f_n(x)=x^n$，当
$x\in[0,1)$时，序列逐点收敛于0。

然而，这个序列在该
区间上不一致收敛，因为对于任意的$\varepsilon>0$，存
在某个$x\in[0,1)$，使得$|f_n(x)-
0|=|x^n|>\varepsilon$对于所有的$n$都成立。

这个反例
说明了逐点收敛并不意味着一致收敛。

4. 可导性的反例：考虑函数$f(x)=|x|$。

在$x=0$处，
$f(x)$不可导，因为在该点处左导数和右导数不相等。

这
个反例说明了函数在某个点处可导并不意味着函数在整个
定义域上都可导。

这些反例帮助我们更好地理解数学分析中的概念和定理，并且指出了一些常见的误区和陷阱。