1341最短路径问题(第二课时)学案

课题：§13·4 课题学习最短路径问题（第2课时）内容分析1.课标要求“课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。

2.教材分析知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。

学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。

为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。

能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。

“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。

有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。

思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。

在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思想。

在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。

13.4课题学习最短路径问题第二课时教案-2022-2023学年人教版八年级数学上册1. 教学目标•理解最短路径问题的定义和应用场景；•掌握最短路径问题的求解方法；•能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。

2. 教学重点•最短路径问题的定义和求解方法；•最短路径问题在实际中的应用。

3. 教学准备•PowerPoint课件；•白板、彩色白粉笔；•学生课本。

4. 教学过程第一步：引入1.引导学生回顾上节课所学内容：最短路径问题的定义和基本思想。

2.提出本节课的学习目标：学习最短路径问题的求解方法，掌握其具体步骤。

第二步：学习最短路径问题的求解方法1.展示最短路径问题的求解方法的基本思路：迪杰斯特拉算法。

2.结合实际例子，讲解迪杰斯特拉算法的步骤：–第一步：初始化。

创建两个数组，分别存储起点到各节点的最短路径和标记数组。

–第二步：确定起点，将起点标记为已访问，更新起点到各节点的最短路径。

–第三步：选择下一个节点。

在未访问的节点中选择与起点距离最短的节点。

–第四步：更新最短路径和标记数组。

如果通过该节点到某一节点的距离更短，则更新最短路径和标记数组。

–第五步：重复步骤三和步骤四，直到所有节点都被访问。

–第六步：输出最短路径和最短距离。

3.使用示例图对算法步骤进行演示，并让学生跟随课件操作。

第三步：练习1.分发练习题，让学生独立完成。

2.检查学生练习情况，解答他们在练习中遇到的问题。

第四步：拓展应用1.引导学生思考最短路径问题在实际中的应用场景，如导航、网络传输等。

2.提供实际案例，让学生尝试运用最短路径算法解决。

第五步：总结与小结1.小结本节课所学内容：最短路径问题的求解方法。

2.关键概念回顾：最短路径、迪杰斯特拉算法。

3.确认学习目标是否达成。

5. 课堂作业1.完成课堂练习题。

2.思考并书写一篇关于最短路径问题在实际中的应用文章，至少500字。

6. 教学反思本节课的难点在于最短路径问题的求解方法，为了提高学生的理解能力，我在教学过程中结合了实际案例和示例图进行演示操作。

课题学习最短路径问题（第二课时）造桥选址问题（邹敏）一、教学目标：（一）学习目标1熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题二、教学设计（一）课前设计1预习任务⑴平移不改变图形的和;⑵三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差第三边;⑶如图，直线AB，CD且AB∥CD，在直线AB上任取不同两点NMBC DA P Q图1图3图2BA PBAP BA PlBAlPAB l图1CA'BADCE FA DCE FFE FQP CA B DE（图2）E F'DCBA F lBAlPABFDCABE（图1）DCBAF1212AC BC AB ⋅6810⨯2452451212245GE FCA BP ，BD =30m ，且CD =30m ．现在要在河流CD 上建立一个泵站、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1，ON =3，点、N 分别在边OA 、OB 上的定点，作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为M′OB=∠AOB=30°，O N′=ON=3，OM′=OM=1，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=2231=10．故答案为10．【答案】10自助餐1 如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD 于点E，即可得出答案．【解题过程】如图所示，点E即为所求．2 如图，在一条笔直的公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即｜lBAlPABlCB'BAD ABCE FP 为直线AB 上的一动点，过M 作轴的垂线，垂足为点N ，连接＋MN ＋NQ 的最小值；xy C QP O AB【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】将直线AB 和轴看作河的两岸，点→N →Q ，如图所示，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要N 到＋MN ＋′，连接，则N ＋NQ 的最小值为线段yM N Q'P'C QP O A B，则N ＋NQ的最小值为线段N 的长．又易得22''C Q C P +2268+＋MN ＋NQ 的最小值为102=12【答案】N ＋NQ 的最小值为12。

13.4课题学习最短路径问题课标要求掌握基本事实：两点Z间，线段最短。

理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反Z,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

教材分析本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习“经过直线上一点，在直线同侧两点之1'可路径最短问题”的解决方案。

为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。

学情分析1.学生己经学习了已经掌握轴对称的性质以及“两点之间，线段最短”、三角形三边不等公理，这为学习最短路径问题做好了知识和能力上的准备。

2.学生已经具备了一定的学习能力及作图能力，所以本节课屮，主要采用学生自主学习、合作探究的方式，教师引导让每位学生都参与探究。

课时目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2•体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想；4.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.教学重卢直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 提炼的课题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学过程教学环节教学内容及师生活动设计意图媒体选择分析1 •情境引入引入新课PPT1-4：通过创设情景，•引导学生思考，激发学生学习兴趣。

1出示问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？2、倾听学生对上面问题的回答，揭示课题3、引入新课。

从小故事出发，引发学生思考问题的兴趣；激励自主学习探索直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题.类型：t+w作用：b使用：3、b时间：3回顾“两点之间，线段最短”，思考故事中存在的数学问题。

人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题1. 教学目标•理解最短路径问题的基本概念•了解迪杰斯特拉算法及其应用实例•掌握最短路径问题的解题步骤和方法•培养学生的计算能力和思维逻辑能力2. 教学内容•最短路径问题的基本概念•迪杰斯特拉算法•应用实例和解题方法3. 教学重点和难点3.1 教学重点•理解最短路径问题的基本概念•掌握迪杰斯特拉算法•学会应用实例和解题方法3.2 教学难点•迪杰斯特拉算法的理解和应用•解题方法的培养和强化4. 教学方法本课采用讲授、练习、讨论和案例分析相结合的教学方法，重点突出解题方法的培养和强化，通过课堂加强分组讨论和实战应用，让学生在互动交流中理解和掌握最短路径问题的基本概念和应用技巧。

5. 教学过程设计5.1自主学习阶段让学生按照书本提示，自行学习最短路径问题的基本概念和迪杰斯特拉算法及其应用实例。

5.2 课堂互动阶段5.2.1 导入通过一个常见的出行场景引出最短路径问题：比如一个旅行家要从一个城市到另一个城市，有多条路线可供选择，如何选择最短的路线？5.2.2 案例分析通过一个具体的最短路径问题案例进行分析和讲解，让学生了解最短路径问题的特点，引入迪杰斯特拉算法的概念和实现步骤。

5.2.3 分组讨论将学生分为不同小组，让他们从具体问题出发，探讨如何应用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。

5.2.4 实战演练选取一个简单的实战案例，让学生在小组合作中实战应用迪杰斯特拉算法，并分组展示解题过程和结果，对不同小组的答案进行点评和评价。

5.3 课堂小结阶段通过课堂小结，让学生对本课学习内容有一个整体回顾，梳理和总结本课的重点难点，并提出解题方法的关键要点。

6. 教学评估通过学生在小组讨论和实战演练中展示的解题过程和结果，以及课后作业的完成情况和成绩，对学生掌握本课学习内容的情况进行评估，为下一步教学提供反馈和参考。

同时，教师也可以通过学生的反馈和评价，对本课教学过程和方法进行评估和优化。

课题学习最短路径问题（第2课时）教学目标1．利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．2．将实际问题抽象成几何图形的过程中，培养学生用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．教学重点利用平移、轴对称解决最短路径的问题．教学难点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想．教学过程知识回顾上节课我们研究了两类最短路径问题：1．点A，B在直线l异侧：2．点A，B在直线l同侧：【师生活动】教师提出问题，学生作答．【设计意图】通过复习已研究过的最短路径问题，为引出本节课的课题“造桥选址问题”作铺垫．新知探究一、探究学习【问题】（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）【师生活动】教师提问：1．这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？学生思考并回答：可以把河的两岸看成两条平行线a和b（如图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M．当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？教师提问：2．问题是否可以转化？学生回答：由于河岸宽度是固定的（MN长度固定），当AM＋NB最小时，AM＋MN ＋NB最小．所以问题可以转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM +NB最小．教师提问：3．能否通过图形的变化将问题转化为之前研究过的问题呢？教师提示：可以考虑将问题转化为两点在直线异侧，连接A，B两点，与直线的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．根据提示，学生思考并回答：将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？教师提问：4．这是我们上节课讲的哪种类型？问题应该怎样解决？学生回答：这是我们研究的两点在直线异侧时求最短路径问题．在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．教师提问：5．试着说一下作图过程．学生独立思考后，尝试画图，寻求符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．作法：（1）将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′的长度等于桥长；（2）连接A′B，交直线b于点N，点N即为所求；（3）过N作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置．此时从A到B的路径AMNB最短．教师提问：6．你能试着证明一下吗？师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书．证明：在直线b上任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′．所以AM＋NB＝A′N＋NB＝A′B，AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．由“两点之间，线段最短”可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．【归纳】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．【设计意图】通过证明得出新知，让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．二、典例精讲【例题】已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．【师生活动】教师分析：先在直线l上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形APQB的周长最小．学生根据分析尝试说出作图过程，教师板书．【答案】作法：（1）将点A沿直线l的方向平移到A′，使得AA′＝a；（2）作A′关于直线l的对称点A′′；（3）连接A′′B，与直线l交于一点Q，Q即为所求点；（4）在点Q左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，AB，所得四边形APQB的周长最小．【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．课堂小结板书设计一、将军饮马问题（复习）二、造桥选址问题。

13.4课题学习最短路径问题第二课时一、教材分析本节课主要内容是最短路径问题，是在学习了轴对称之后进一步理解并掌握“两点之间，线段最短”，通过实际的生活问题让学生经历实际问题抽象成数学的线段最短问题，为以后学习更多的最值问题打下基础。

二、学情分析学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题. 学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。

三、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2.能做出一个图形经轴对称变化后的图形。

3.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。

4.培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。

四、教学重点难点重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点在实际题目中会运用最短路径问题。

五、教学过程设计一、创设情景引入课题由于是第二课时，所以将最短路径问题基本类型的归纳录成微课的形式播放，控制了时间，而且让学生用不同的方式参与知识的学习，而且还可以作为电子资料随时回顾学习。

二、自主探究合作交流拓展新知素养考点1：两点一线型典型应用数学问题:例1.如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值是多少？拓展：想一想如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．课堂探究反思：假如A,B在直线l的同侧呢？怎么作图【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法. 此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交于点C.典例精析例、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P是∠AOB 内部任意一点，OP=6，求△PMN周长的最小值方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.拓展探究：若∠AOB=α1、OP,O P′,OP′′的大小关系？为什么？2、∠P′OP′′与∠AOB的大小关系（用α表示）？3、∠MPN与∠AOB的大小关系？4、当α= 30°时，△P′OP′′的形状？当α= 45°时，△P′OP′′的形状？素养考点4：利用平移知识解决造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？六、练习及检测题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当P A+PB的值最小时，在图中画出点P．四、反思小结七、作业设计1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P 是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使P A＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使P A－PB最长．3.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．最短路径题解题方法轴对称+线段公理平移+线段公理垂线段最短+轴对称原理线段公理和垂线段最短（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB 上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．综合题9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．。

13.4课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，领会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转变思想.2. 利用轴对称将最短路径问题转变为“两点之间，线段最短”问题.要点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学识题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，已知△ABC和直线 l ，你能作出△ ABC对于直线 l 对称的图形。

BCAl二、预习新课2、[ 研究 1]如图（ 1）．要在燃气管道L 上修筑一个泵站，分别向A、B两镇供气． ?泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你能够在 L 上找几个点试一试，能发现什么规律吗？[ 研究 2]为何在点 C 的地点修筑泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实质问题转变为数学识题，该问题就是证明．已知：求作：证明过程：三、随堂练习1、任画一条直线L 及直线L 同旁两点M、 N，画出从点M出发经过直L 上的某一点后，再线抵达 N 点的最短路线。

.N.M2、已知：两点A、B 位于直线 L 的双侧，在直线L 上求作一点C，使得 AC-BC最大。

A ..B四、课时小结五、稳固提高1、如图， A 为马厩， B 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河畔饮水，而后回到帐篷，请你帮他确立这天的最短路线。

2、为保证 2008 北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L 的同侧修筑你A，B 两个日用品供给站，要在过路边建一个转运站C，使 A,B 两站到转运站 C 的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个地点上比较合理？A .B .。

学科：数学授课教师：年级：八总第课时课题13.4：最短路径问题课时利用轴对称解决两点之间最短路径问题知识与技能通过问题解决培养学生转化问题能力教学目标过程与方法情感价值观数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣教学重点利用轴对称解决两点之间最短路径问题教学难点如何把问题转化为“两点之间，线段最短”教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程学生设计教学教学活动流程活动意图创设1、在平面内连接两点的所有线中线段最短。

思考引入情境2、什么是两点之间的距离？回答课题直线思考异侧异侧已知点 A 、B 分别是直线 l 异侧的两点，如何在 l分析两点两点上找到一个点，使得这个点到 A、B 两点的距离和最短？最短最短路径路径直线如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分直线同侧别为 AC 和 BD ，且 AC=BD ，若点 A 到河岸 CD 的中点的距离探究同侧两点为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，最短距离合作两点最短是多少米交流最短路径路径变式练习如图，∠ XOY内有一点 P，在射线 OX上找出一点 M，在射探究线 OY上找出一点 N，使 PM+MN+NP最短．合作巩固交流深化如图，正方形ABCD，AB边上有一点 E，AE=3，EB=1，在 AC上有一点 P，使 EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．合作交流应用练习应用提高提高提高如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？课堂利用轴对称解决两点之间最短路径问题小结作业P93 页：第 15 题布置教学反思。

人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题教学设计一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念及其应用场景；2.掌握图的遍历方法，构建最短路径树；3.学会利用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等解决最短路径问题。

二、教学重难点•最短路径问题的定义、特点和应用场景；•如何构建最短路径树以及应用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法求解最短路径问题。

三、教学内容及安排1. 最短路径问题简介（20分钟）1.最短路径问题的定义；2.最短路径问题在生活中的应用。

2. 最短路径树（25分钟）1.构建最短路径树的方法；2.最短路径树的应用。

3. Dijkstra算法（40分钟）1.算法介绍；2.算法应用。

4. Floyd-Warshall算法（40分钟）1.算法介绍；2.算法应用。

5. 综合应用（15分钟）通过综合应用加深学生对最短路径问题、最短路径树、Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等知识点的理解。

四、教学方法本课程采用演讲+实例演示的方式进行，旨在通过演示操作过程，使学生了解最短路径问题和其解决方案，并在操作过程中培养学生的逻辑思维能力，提高学生的实际应用能力。

五、教学资源教师授课PPT、书本、笔记本、投影仪、计算机等。

六、教学评估1.课堂提问：教师针对本课程所涉及的知识点进行提问，检测学生掌握情况；2.实战演练：对学生进行课堂练习以及课后作业布置，测试学生的实际应用能力；3.课程评估：收集学生的学习体验和反馈等信息，对本课程进行评估和优化。

七、教学注意事项1.在教学过程中需抓住重难点、难点，注意启发式提问，帮助学生深入理解本课程所涉及的知识点；2.在教学过程中注意引导学生进行交互式学习，通过互动起到知识点的加深与巩固；3.教师在教学过程中要注意与学生进行互动交流，引导学生思考和学习，在学习中寻求提高。

八、教学效果通过本课程的学习，学生将掌握最短路径问题的定义、构建最短路径树以及应用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法解决最短路径问题的能力。

13.4 课题学习最短路径问题
教学目标
1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.
2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
教学过程
A
A
B
C P
Q
山 河岸
求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
B分别是直线l同侧的两个点，在
AB
两地之间有两条河，现要在两条河上各造一
桥分别建在何处才能使从
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）。