最短路径问题学案教案

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。

2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。

3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。

4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。

二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。

其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。

最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。

例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。

最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。

1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。

常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。

它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。

Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。

2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。

3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。

4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。

5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。

如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。

1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。

它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。

课题学习最短路径问题（笫1课时）教学目标1.了解将军饮马及造桥选址两个常见类型.2.会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题.3.能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目.教学重点难点1.将实际问题抽象为数学问题.2.解决最短路径问题教学内容将军饮马.教学过程一、导入新课问题1如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？二、探究新知1.将实际问题抽象为数学问题师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.(1)把A、B两地抽象为两个点；(2)把河边Z近似地看成一条直线(下图)，C为直线Z上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在/的什么位置时，AC与CB的和最小.2.尝试解决数学问题(1)由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A, 〃分别是直线?异侧的两个点，如何在2上找到一个点，使得这个点到点A、点〃的距离的和最短?•B利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接与直线/相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.(2)现在要解决的问题是：点A, B分别是直线2同侧的两个点，如何在2 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短?(3)如何能把点B移到2的另一侧处，同时对直线2上的任一点C,都保持CB 与CB，的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决.(4)你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点歹吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题.小组交流，师生共同补充得出：作出点B关于/的对称点B',利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB (下右图).连接AB',则A夕与/的交点即为所求.3.师生共同分析，合作证明“AC+BC”最短.证明：如上右图，在直线/上的任一点C （与点C 不重合）,连接AC, BC, BG 由轴对称的性质知：BC=B'C, BC=BC:.AC+BC=AC+B ,C=AB ,f AC ,+BC ,=AC+B f C ,.在△ ABC 中，AB ,<AC ,+B ,C ,,・•・ AC+BC<AC+BC. 即AC+BC 最短.提问：证明AC+BC 最短时，为什么要在直线/上任収一点C （与点C 不重合），证 明AC+BC<AC+BC2这里“C”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识.三、巩固练习已知P 是△ABC 的边BC 上的点，你能在AB 、AC 上分别确定一点Q 和几 使△P0R 的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导.课堂小结总结用数学解决实际问题的步骤.教学反思： 证明"I'・B'。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

13.4课题学习：最短路径问题导学案一、学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.二、学习过程：课前热身1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？问题解决---（牧马人饮马问题）问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究1：现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？作法：_________________________________;(依据：____________________).探究2：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？请呈现证明过程：典例解析例1.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定例2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）问题解决---（造桥选址问题）问题：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？（请在组内讨论，并画出图形）请呈现证明过程：典例解析例3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？达标检测1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC3.有一条以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现要在河上建一座桥梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是()4.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3.(1)用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN;(2)在直线MN上找一点D，使△ADC的周长最小，并求出△ADC的最小周长.5.甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则:甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，丙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短.6.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的．桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)7.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.。

人教版初二数学上册《最短路线问题》教案一、教学目标1. 了解最短路线问题的概念和应用背景。

2. 掌握求解最短路径的方法，包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

3. 能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。

二、教学准备1. 教材：人教版初二数学上册。

2. 教具：投影仪、黑板、白板、教案、课件等。

三、教学内容及流程1. 导入（5分钟）- 利用地图等实际例子引入最短路线问题，并与学生进行讨论，激发学生的研究兴趣。

2. 知识讲解（15分钟）- 讲解最短路径的定义和应用背景，引导学生了解最短路径问题在现实生活中的重要性。

3. 方法讲解（20分钟）- 介绍迪杰斯特拉算法的基本原理和步骤，通过实例演示其具体应用方法。

- 介绍弗洛伊德算法的基本思想和具体过程，通过实例说明其求解最短路径的能力。

4. 练与应用（25分钟）- 设计一些简单的最短路径问题，让学生运用迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法进行求解。

- 提供一些实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 总结与反思（10分钟）- 总结所学知识要点，强调最短路径问题的重要性和实际应用价值。

- 与学生一起反思本节课的收获和不足之处，为下一步研究做好准备。

四、教学评价1. 观察学生的课堂参与情况，包括回答问题、互动讨论等。

2. 以小组或个人作业形式，设计相关的问题让学生回答。

3. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决一个实际的最短路径问题，并提交书面报告。

五、教学延伸为了帮助学生更好地理解最短路线问题和相关算法，教师可以组织学生进行实地考察，例如到校园周围进行最短路径的测量和求解，让学生亲自体验和实践所学知识的应用。

以上是人教版初二数学上册《最短路线问题》教案的主要内容，希望对您有所帮助。

课题 13.4 课题学习 最短路径问题课型 新授课教师版本人教版八年级上册教 学 设 计教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想．3.让学生体验在数学学习活动中充满了探索与创造，在探索中学会与人合作、交流; 在探索中体验成功的快乐，增强学好数学的信心。

教学重点 体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想 教学难点 利用轴对称解决简单的最短路径问题. 教学方法 探索式合作教学法 教学用具 多媒体辅助教学教学过程教师活动学生活动 设计意图 创设情境激趣引入相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．提出问题:（1）故事中涉及最短路径问题，我们已经学习了哪两种最短路径问题？（2）如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？（3）2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识在教师的引导下回顾旧知识从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.体会数学知识来源于实践,又服务于实践为本节课的学习打下知识基础。

问题引导探究新知探究点1 异侧两点到直线上一点的最短路径问题1.现在假设点A,B 分别是直线 异侧的两个点，如何在 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？方法总结：简记：一连二找点探究点2 将军饮马问题1.如图，将军从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题:（1）请你将实际问题简化为数学模型（2）饮马的位置有几种选择？（3）所走路径用符号语言表述2.猜测点C 在直线 的什么位置可使路径最短方法总结：简记：一作二连三找点3.你能用所学的知识证明上图中你所作的点C 使AC +BC 最短吗？以口诀的形式展示作图方法，加深学生对问题一作图的理解记忆。