江苏省金陵中学2009届高三上学期期中考试(数学)

长兴金陵高中09届高三（文科）数学综合试卷（五）第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1设全集}1|{},22|{,<=≤≤-==x x N x x M R U ,则N M C u ⋂)(等于 （ ）A. }1|{<x xB. }12|{<<-x xC. }2|{-<x xD. }12|{<≤-x x2.已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm 的概率为0.2，该同学的身高在［160，175］cm 的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm 的概率为 （ ）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.84．函数x y cos =的一个单调递增区间为 ( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ D ．()ππ2, 5．设点)0)(1,22(<+t tt P 是角α终边上一点，当||OP 最小时，αcos 的值是 ( ) A ．55- B. 55 C. 552 D. 552- 6．已知等比数列}{n a 的前三项依次为4,1,1++-a a a ，则n a = ( ) A ．n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅234 B ．n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅324 C ．1234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n D ．1324-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n7．如图，程序框图所进行的求和运算 ( )A ．10131211++++B ．19151311++++ C ．201614121+++ D ．103221212121+++ 8．设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是 （ ）。

A. α⊥c ，若β⊥c ，则βα//B. α⊂b ，α⊄c ，若α//c ，则c b //C. β⊂b ，若α⊥b ，则αβ⊥D. β⊂b ，c 是α在β内的射影，若c b ⊥，则α⊥b9．函数3cos 3cos sin 2-+=x x x y 的图象的一个对称中心是（ ）A.)23,32(-πB.)23,65(-πC.)23,32(π- D.)3,3(-π10．设函数f (x )的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为“有界泛函”，给出以下函数：①f (x ) =x 2， ②f (x )=2x ， ③1)(2++=x x x x f ④x x x f sin )(= 其中是“有界泛函”的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共7小题，每小题4分，满分28分)11．已知双曲线1422=-myx的离心率为2，则实数=m．12已知x、y满足122≥+yx，且2≤-yx，则yx5+的最小值为13．已知点)4,1(P在圆042:22=+-++byaxyxC上，点P关于直线03=-+yx的对称点也在圆C上，则__________,==ba。

江苏省金陵中学高三数学上学期期中【会员独享】 2010—2011学年度高三数学第一学期期中考试试题注意事项：考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。

1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。

3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，则M∩N= 。

2．已知复数z 满足（1+2i ）z=4+3i ，则z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．已知5cos 3a =。

且a∈（一2π，0）， 则sin(a π-)= 。

5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，则BC 等于 。

6．已知直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的 一条切线，则实数b 的值是 。

7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n 是100，则输出值S 是 。

8．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如图所示，则，f(0)= 。

10．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。

11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。

主视图 左视图 俯视图江苏省南京市金陵中学2008届高三年级阶段性测试数学试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知集合M ＝{x ||x －1|≤2，x ∈R }，P ＝{x |x 2－4x －5＞0，x ∈R }，则M ∩P ＝_ _． 2．若(a －2i )i ＝b －i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝_ _． 3．函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调递减区间是_ _． 4．函数f (x )＝|sin x ＋cos x |的周期是_ _．5．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，x ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为_ _．6．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形． 则该几何体的体积是_ _；用_ _个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．7．“m ＝－2”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的_ ．（选择“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”或“既非充分又非必要”填在横线上）8．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝_ _．（lg2≈0.3010）9．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2－4x －ay －5＝0上任意一点，P 点关于直线2x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则实数a ＝__ ．10．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）．设开始时点P 的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为_ _． 11．设双曲线以椭圆x 225＋y 29＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为_ _．12．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是_ _． 13．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则a n＝_ ．14．已知y ＝f (x )是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠－1，α＝x 1＋λx 21＋λ，β＝x 2＋λx 11＋λ，若｜f (x 1)－f (x 2)｜＜｜f (α)－f (β)｜，则λ的取值范围是_ _．二、解答题（本大题6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，A 1B 1＝2，A 1C 1＝1，D 为棱CC 1的中点，B 1C ⊥BD ，（1）求证：AB 1⊥BD ； （2）求直三棱柱的全面积S ．16．已知圆C 与y 轴相交于A 、B 两点，圆心C 在y 轴的右侧，且△ABC 为直角三角形，其AA 1BB 1C C 1 D中AB 为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求圆C 的方程．17．已知A (3，0)，B (0，3)，C (cosα，sinα)，α∈(π2，3π2)．（1）若｜AC →｜＝｜BC →｜，求α的值；（2）若AC → BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值．18．某厂在一个空间容积为2000ｍ3的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体a m 3，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的20%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过54a m 3时才能正常进行生产．该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由． 19．设函数f (x )＝x ｜x －a ｜－2．（1）若a ＝－2，写出函数f (x )的单调区间；（2）若a ＞0，写出函数f (x )的单调区间；（3）若a ＜1，且当x ∈[0，1]时，恒有f (x )＜0，求a 的取值范围．20．已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n ，2a n ＋1－a n )(n ∈N *)在直线y ＝x 上，（1）计算a 2，a 3，a 4的值；（2）令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（3）设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT nn}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理由．附加题解答题（共5小题，其中1－3题是选做题，每题8分，只能选做两题，三题全答，只计算前两题得分，第4－5题是必答题，每题12分）1．(选修4－4坐标系与参数方程)将参数方程⎩⎨⎧x ＝3sin 2θ，y ＝4cos2θ（θ为参数）化为普通方程，并指出它表示的曲线．2．(选修4－5不等式选讲)已知n ∈N *，且n ＞1，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞1324．3．(选修4－2矩阵与变换)试求圆x 2＋y 2＝1经矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换后的曲线方程．4．如图，若M是抛物线y2＝x上的一定点（M不是顶点），动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA＝MB．证明：直线EF的斜率为定值．5．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝6，D是棱CC1的中点．（1）证明：A1D⊥平面AB1C1；（2）求二面角B－AB1－C1的余弦值．江苏省南京市金陵中学2008届高三年级阶段性测试数学试题参考答案一、填空题1．∅ 2．5 3．(－∞，－3) 4．π 5．7 6．643 37．充分条件 8．155 9．－6 10．(10，－5) 11．±1212．[－2，＋∞) 13．12n 14．(－∞，－1)∪(－1，0)二、解答题15．证明 (1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，又AC ⊥BC ，BC ∩CC 1＝C ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1，所以AC ⊥BD ，又BD ⊥B 1C ，B 1C ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AB 1C ，所以AB 1⊥BD ． (2)解 在Rt △ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，所以BC ＝3．在矩形BCC 1B 1中，△BCD ∽△B 1BC ，所以CD BC ＝ BCBB 1，又BB 1＝2CD ，所以BB 1＝6．S ＝S 侧＋2S △ABC ＝BB 1(AB ＋BC ＋AC )＋2×12×1×3＝36＋32＋3．16．解：由题意，△ABC 为等腰Rt △，又AB ＝2，所以x c ＝1，r ＝2．设C (1，a )，d ＝｜1－2a ｜5＝55，即｜2a －1｜＝1，解得a ＝0，或a ＝1．故⊙C ：(x －1)2＋y 2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2．17．解 (1)由题意，AC →＝(cosα－3，sinα)，BC →＝(cosα，sinα－3)．因为｜AC →｜＝｜BC →｜，所以(cosα－3)2＋sin 2α＝cos 2α＋(sinα－3)2，解得sin α＝cosα，又α∈(π2，3π2)，所以α＝5π4．(2) 若AC →⋅BC →＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝1－3(sin α＋cosα)＝－1，所以sin α＋cosα＝23，所以(sin α＋cosα)2＝1＋sin2α＝49．2sin 2α＋sin2α1＋tanα＝ 2sinα(sinα＋cos α) cos α＋sinαcos α＝sin2α＝－59．18．解 第一次释放有害气体a m 3，第二次释放有害气体后(净化之前)，车间内共有有害气体(a ＋20%a )m 3，第三次释放有害气体后(净化之前)，车间内共有有害气体[a ＋20%(a ＋20%a )]m 3， 6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，故要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后(净化之前)，车间内有害气体总量不得超过a m 3，即必须要有a ＋20%a ＋(20%)2a ＋…＋(20%)5a ≤54a ，即 1－0.26 1－0.2 ＜1 1－0.2 ＝54， 故该车间能连续生产6.5小时．19．解 (1) f (x )＝x ｜x ＋2｜－2＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2， x ≥－2，－x 2－2x －2，x ＜－2＝⎩⎨⎧(x ＋1)2－3， x ≥－2，－(x ＋1)2－1，x ＜－2．结合函数图象，单调增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)，减区间为[－2，－1]．(2) f (x )＝x ｜x －a ｜－2＝⎩⎨⎧x 2－ax －2， x ≥a ，－x 2＋ax －2，x ＜a＝⎩⎨⎧(x －a 2)2－2－a 24， x ≥a ，－(x －a 2)2－2＋a 24，x ＜a ．结合函数图象，单调增区间为(－∞，a 2 ]和[a ，＋∞)，减区间为[a2，a ]．(3)当x ＝0，f (0)＝－2＜0恒成立，a ∈R ，当0＜x ≤1时，f (x )＜0恒成立，故｜x －a ｜＜ 2x恒成立，即x － 2 x ＜a ＜x ＋ 2x 恒成立．令y 1＝x ＋ 2 x ，y 1’＝1－ 2x2，当0＜x ≤1时，y ’＜0，故y 1是(0，1]上的单调减函数，所以y 1≤1＋2＝3，故a ＜3；令y 2＝x － 2 x ，y 2’＝1＋ 2x2＞0，故y 2是(0，1]上的单调增函数，所以y 2≤1－2＝－1，故a ＞－1． 又a ＜1，综上所述，a 的取值范围为(－1，1)．20．解 (1)由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，又a 1＝12，所以2a 2－a 1＝1，解得a 2＝34，同理a 3＝11 8 ，a 4＝3516．(2)因为2a n ＋1－a n ＝n ，所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝ a n ＋1＋n ＋1 2－a n ＋1－1＝ n －a n ＋1－12，b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，即 b n ＋1 b n ＝12又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，12为公比的等比数列．(3)由(2)得，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1，T n ＝ －34×(1－ 1 2n ) 1－12＝3×(12)n ＋1－32．又a n ＋1＝n －1－b n ＝n －1＋3×(12)n ＋1，所以a n ＝n －2＋3×(12)n ，所以S n ＝ n (n ＋1) 2－2n ＋3× 12×(1－ 1 2n ) 1－12＝ n 2－3n 2＋3－32n．由题意，记c n ＝S n ＋λT nn ．要使数列{c n }为等差数列，只要c n ＋1－c n 为常数．c n ＝S n ＋λT n n ＝ ( n 2－3n 2＋3－3 2n )＋λ[3×(12)n ＋1－32] n ＝ n －3 2＋(3－32λ)× 1－1 2nn，c n －1＝ n －4 2＋(3－32λ)× 1－12n －1n －1，则c n －c n －1＝12＋(3－32λ)×( 1－12n n － 1－1 2n －1n －1)．故当λ＝2时，c n －c n －1＝12为常数，即数列{S n ＋λT n n}为等差数列．附加题答案解答题1．解 由已知x ∈[0，3]，y ∈[－4，4]．因为y ＝4(1－2sin 2θ)，sin 2θ＝x 3，所以y ＝4－8x3，即8x ＋3y －12＝0．已知参数方程表示线段8x ＋3y －12＝0，x ∈[0，3]． 2．证明 (1)当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712＞1324，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时不等式成立，即有1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＞1324，则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋(12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1)＞1324＋(12k ＋1－12k ＋2)＞1324． 综合(1)，(2)可知，对任何n ∈N *，且n ＞1，原不等式成立．3．解 设P (x 0，y 0)为已知圆上的任意一点，在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换下变为P’(x ，y )，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ，即x ＝2x 0，y ＝y 0，所以x 0＝12x ，y 0＝y ．又因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 24＋y 2＝1，即圆x 2＋y 2＝1，经矩阵A 对应的变换后的变为x 24＋y 2＝1．4．证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ，方程为y －y 0＝－k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 2)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0，解得y E ＝1－ky 0k ，所以x E ＝(1－ky 0)2k 2． 所以k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2 ＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0，所以直线EF 的斜率为定值． 5．证明 (1)因为90ACB ∠=，∴BC AC ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴BC ⊥∵1ACCC C =，∴BC ⊥平面11ACC A ．以C 为坐标原点，CB 、1CC 、CA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z (A ，()1C ，()1B ，(1A ，0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）10,2A D ⎛=-⎝，()111,0,0B C =-，(1AB =，∵0,011111=⋅=⋅AB D A C B D A ，∴111A D BC ⊥，11AD AB ⊥，即111A D B C ⊥，11A D AB ⊥． ∵1111B C AB B =，∴1A D ⊥平面11AB C ．（Ⅱ）设(),,x y z =n 是平面1ABB 的法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,011BB n AB n 得0,0.x ⎧=⎪=取1z =，则)=n 是平面1ABB 的一个法向量．又10,A D ⎛= ⎝是平面11AB C 的一个法向量，且1,AD <n >与二面角11B AB C --的大小相等．由.662223)1,0,3()3,26,0(||||,cos 111-=⋅⋅--=⋅>=<n AD n AD 故二面角11B AB C --的余弦值为6-．。

江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学2007．11．16一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案填在答案卷的表格内）1. 已知集合P ＝{x ∈N ｜1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R ｜x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于 （A ）{1，2，3} （B ）{2，3} （C ）{1，2} （D ）{2}2. 函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是（A ）(－13，＋∞)（B ）(－13，1)（C ）(－13，13)（D ）(－∞，－13)3. 已知log 12b ＜log 12a ＜log 12c ，则 （A ）2b ＞2a ＞2c（B ）2a ＞2b ＞2c（C ）2c ＞2b ＞2a（D ）2c ＞2a ＞2b4. 函数f (x )＝9－x 2x的图象关于（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线x －y ＝0对称5. 函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f (a )≤f (2)，则实数a 的 取值范围是 （A ）a ≤2 （B ）a ≥－2 （C ）－2≤a ≤2 （D ）a ≤－2或a ≥26. 设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中，计算得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则方程的根落在区间 （A ）(1，1.25) （B ）(1.25，1.5) （C ）(1.5，2) （D ）不能确定二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答卷纸上） 7. 函数y ＝2x的值域为____▲____.8. 已知f (x )＝｜log a x ｜，其中0＜a ＜1，则f (2)，f (13)，f (14)由大到小排列为_____▲_____.9. 若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图像与x 轴只有一个公共点，则m 的取值集合为______▲___. 10. 若log a 23＜1（a ＞0且a ≠1），则实数a 的取值范围是_____▲_____.11. 已知函数f (x )＝ax 7＋bx －2，若f (2008)＝10，则f (－2008)的值为_____▲_____.12. 函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x ， x ≤0，x 2＋1，x ＞0，若f (x )＝10，则x ＝_____▲_____.13.填写后面表格，其三个数依次为：____▲____.14.关于函数y＝log2(x2－2x＋3)有以下四个结论：①定义域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)；②递增区间为[1，＋∞)；③最小值为1；④图象恒在x轴的上方.其中正确结论的序号是_______▲_______.三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本题满分8分）（1）化简：0.25－1×(32)12×(274)14；（2）已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，求log2xy的值.16.（本题满分10分）设函数f(x)＝｜x2－4x－5｜，x∈R.（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图像；（2）写出该函数在．R．上．的单调区间.17.（本题满分10分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月效益最大？最大效益是多少？18.（本题满分10分）已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)（k∈Z）满足f(2)＜f(3).（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）对于（1）中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x，在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.19. （本题满分12分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .（1） 若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，证明f (x )的图象与x 轴有2个交点；（2） 在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3） 若对x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2).江苏省南京市金陵中学2007—2008学年度第一学期期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案填在相应的横线上．7．[1，＋∞) 8．f (14)，f (13)，f (2)9．{0，92}10．(0，23)∪(0，＋∞)11． －14 12．3或－5 13．3，2，1 14．②③④三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分8分） （1）解：原式＝4×2－12×314×2714×4－14＝4×2－12×314×334×2－12＝4×2－1×3＝6.（2）解：根据题意，得⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，( x －2y )2＝xy ，解得⎩⎨⎧x ＞2y ＞0，x ＝y ，或x ＝4y ，因此x ＝4y .所以log 2 xy＝log 24＝4.16．（本题满分10分）22（2） 函数在(－∞，－1]上单调递减；函数在[－1，2]上单调递增； 函数在[2，5]上单调递减； 函数在[5，＋∞)上单调递增.17．（本题满分10分） 解：（1）3600－3000＝600（元） 600÷50＝12（辆） 100－12＝88（辆）答：当每辆车的月租金为3600元时，能租出88辆.（2）设每辆车的月租金定为(3000＋50x )元时，租赁公司的月效益为y 元，则y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x ，其中x ∈N ， 对于y ＝(100－x )(3000＋50x －150)－50x＝－50(x －21)2＋307050，当x ＝21时，此时月租金为3000＋50×21＝4050（元），y max ＝307050（元）. 答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月效益最大，为307050元. 18．（本题满分10分） 解：（1）对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)＜f (3)， 因此(2－k )(1＋k )＞0， 解得－1＜k ＜2， 因为k ∈Z ， 所以k ＝0，或k ＝1， 当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.（2）函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，因为要求m ＞0，因此抛物线开口向下， 对称轴x ＝2m －12m，当m ＞0时，2m －12m ＝1－12m ＜1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以⎩⎨⎧1－12m ＞0，g (1－12m )＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧1－12m ≤0，g (0)＝5，解得m ＝52＋6满足题意.19. （本题满分12分） 解：（1）因为f (1)＝0， 所以a ＋b ＋c ＝0， 又因为a ＞b ＞c ， 所以a ＞0，且c ＜0， 因此ac ＜0， 所以Δ＝b 2－4ac ＞0， 因此f (x )的图象与x 轴有2个交点.（2）由（1）可知方程f (x )＝0有两个不等的实数根， 不妨设为x 1和x 2， 因为f (1)＝0， 所以f (x )＝0的一根为x 1＝1， 因为x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，所以x 2＝－b a －1＝ca，因为a ＞b ＞c ，a ＞0，且c ＜0，所以－2＜x 2＜0.因为要求f (m )＝－a ＜0， 所以m ∈(x 1，x 2)， 因此m ∈(－2，1)， 则m ＋3＞1，因为函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上单调递增； 所以f (m ＋3)＞f (1)＝0成立.（3）构造函数g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]，于是g (x 1)g (x 2)＝14[f (x 1)－f (x 2)][f (x 2)－f (x 1)]＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，因为f (x 1)≠f (x 2)， 所以g (x 1)g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2＜0，所以方程g (x )＝0在(x 1，x 2)内有一根， 即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一根属于(x 1，x 2).。

金陵中学2006届高三数学阶段性测试卷2006.1.3 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. (1) 若集合 P = {x | x = x = 15k — 7, k € N *} C.{x | x = 15k + 8, k € N )(2) 已知 tan 160°= a ,则 sin2000 * * I I t3m + 1, m €N} , Q = {y | y = 5n +2, n € N}，贝U P n Q =( B ) A.{ x |B.{ x | x = 15k — 8, k € N )x | x = 15k + 7, k €N} 的值是( D.{ A ) a a c a A. ,1 + a 2 B. — 1 + a 2⑶ 等差数列{a n }中，若a 1 + a 4+ a ?= 39, a a + a 6 + ◎=27,则前9项的和S 等于(B ) A.66 B.99C.144D.297⑷ 已知函数f(x) = log 2(x 2— 2ax + 4 — 3a)的值域为实数集R ,则实数a 的取值范围是 (C )A.( —x,— 4)(1 , x ) B.[— 4, C.( C. 1 1 + a 2 D. 1 1 + a 2— x,— 4][1 ,x ) D.( — 4, 1)⑸ 设函数f(x) = 1— x 2+ log 1(x — 1)，则下列说法正确的是(D )2A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值 值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值值 B. D.f(x)是增函数，没有最大值、最小 f (x)是减函数，没有最大值、最小(6)已知向量 a = (2 , — 1) , b = (1 + k , 2+ k — k 2)，若 a 丄b ,则实数 k 为(B ) A. — 1 B.0 C. — 1 或 0 D. — 1 或 4 ⑺ 设函数y = f (x)的定义域是(—x,+x )，若对于任意的正数a ,函数g(x) = f (x +a) —f(x)都是其定义域上的减函数，则函数 y = f(x)的图象可能是(C ) (8)在直 y(9)已知 A.2x y C y D 坐标系中, 函数 x 2 x 二 c+ 2,则 f O J X y B —2,1 — (x - 1)2 的 于直线 y = x 的对 y y 寸称曲线为(D )O x 义在实数集上的函数f (X 丄满足f (x +1 '1 x 1 x — 1 0 1 x (10)已知函数f(x) 那么(A ) A. f ( — 2) v f (0) v f (2) C.f (0) v f (2) v f ( — 2) 0 B.2 2-2 0 2 x =x + ax + b ,且对任意实数x 都有f (x) = f (— BC B. f (0) v f ( — 2) v f (2)D. f (2) v f (0) v f ( — 2)-21(x + 0 的表达式是(B )x + 1 x m — x)，其中 m € (0 , 2),D(11)函数y =— 3sin x + cos x 在x € [—百，石]时的值域是D.10二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13) 已知命题p ：不等式| x | + | x — 1 | >a 的解集为R,命题q ： f (x) = — (5 — 2a)x 是减函数，若p , q 中有且仅有一个为真命题，则实数 a 的取值范围是 _______ [1 , 2) _ . 、「“ 2cos10o — sin20 o厂(14)计算：―co ——二3.2x + 3(15)已知f (x)=-一-，若函数y = g(x)的图象与y = f —1(x) +1的图象关于直线y = x 对称,X — 1 则 g(3)二 _7_.(16)给出四个命题①函数y = a |x|与y = log a |x|的图象关于直线y = x 对称(a >0, a ^ 1):②函数y = a |x|与y = (-)|x|的图象关于y 轴对称(a >0,a ^ 1)；③函数y = log a |x|与log 〕|x| a a 的图象关于x 轴对称(a >0, a ^ 1)；④函数y = f (x)与y = f —1(x + 1)的图象关于直线y =x + 1对称，其中正确的命题是一③_.三、解答题：本大题共6小题；共74分军答应写出文字说明、证明过程或演算步骤• 1(17) (本小题满分12分)已知定义在 R 上的函数f (x) = qGin w x + acos ® x)( a € R, O vnw < 1)满足：f (x) = f (y — x) , f(x - n ) = f (x + n ).(I ) 求 f (x)的解析式；(II )若 m i — 4n > 0, m , n € R,求证：“I m| + | n |v T 是“方程[f (x ) ]1 2+ mf(x) +n = 0在区间(一詈，nn )内有两个不等的实根”的充分不必要条件.解：(I )由 f (x - n ) = f(x + n )知 f (x) = f (x + 2n )，即函数 f (x)的周期为 2 n .r1 'Xj a +1 »亠 a1 二 a A. [0 ,B.[-3, 0] C.[0 , 1]D.[0 , 3](12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品, 的概率不小于0.6，则至少应抽出产品(C )A.7 个B.8 个C.9 要使这3个次品全部被抽出f(x)P(sin w x + acos w x)= 2 sin (w x+)其中sin匸a2+ 1,如1,1,3），1 1 n nI ~即 2 (sinO + acos0)= q (sin §+ acos-3),解得 a=j 3,二（11）显然，x € （—5n ，nn ）等价于 x +~n€（_n ，nn ）.■n令 u = x + 3 , f (x) = t , g(t) = t 2+ mt + n ,贝U f(x) = sin u ,由 I m| + | n |v 1 得 I n |W| m| + | n |v 1,A n + n >— 1. 同理由 I m-n |W| m| + | n |v 1 得 m-n v 1.g(1) = m + n + 1>0, g( — 1) = 1 — m + n >0.m又T| m|<| m| + | n |v 1,A —(— 1, 1).又△=卅—4n >0,二 一元二次方程t 2+ mt + n = 0在区间(一1, 1)内有两个不等 的实根. ••• 函数 y = sin u (u € (—专，寺))与 u = x +专(x € ( — 5^, -6))都是增函数， ［f （x ）］ 2+ mf （x ） + n = 0在区间（一詈，青）内有两个不等实根.••• “| m| + | n |v 1” 是“方程［f （x ）］ 2 + mf （x ） + n = 0 在区间（—g , 6 ）内有两个不等实根”的充分条件.5 1 5 11 1 令, n = 由于方程t 2+ t + = 0有两个不等的实根一Q ，-,6 6 6 6 32口 1 1且-3,— 2 € （ - 1， 1），又•••2nI 3 |又 0V3W 1,n(x ) = sin (x + 3 ).I m| + | n | 5 1=6+6=故m| + | n |v 1”不是“方程[f(x)] 2+ mf(x) + n= 0在区间(一箫，n)内有两个不等实根”的必要条件.综上，“丨m| + | n丨< 1”是“方程[f (x)] 2+ mf(x) + n = 0在区间(一箫，-6)内有两个不等实根”的充分不必要条件.(18) (本小题满分12分)已知函数f(x) = a x-2 4—a x- 1(a>0, a^ 1).(I) 求函数f (x)的定义域、值域；(II) 是否存在实数a，使得函数f (x)满足：对于区间(2 ,+x)上使函数f (x)有意义的一切x，都有 f (x) >0.(I) 解：由4—a x> 0,得a x<4•当a> 1 时，x< log a4；当O v a v 1 时，x> log a4.即当a> 1时,f (x)的定义域为(-^, log a4] ；当0v a v 1时,f(x)的定义域为[log a4, + x).令t = 4-a x，则O W t v2,且a x= 4-12,：f(x) = 4-12-2t - 1 = —(t + 1)2+ 4,当t > 0 时，f(x)是t 的单调减函数，二f(2) v f (x) W f (0)，即一5v f(x) W 3,•••函数f(x)的值域是(一5, 3].(II) 若存在实数a使得对于区间(2 , +^)上使函数f (x)有意义的一切x，都有f (x) >0, 则区间(2 , +^)是定义域的子集.由(I)知，a> 1不满足条件；若O v a v 1,则log a4v2, 且f(x)是x的减函数.当x>2 时，a x v a2.由于O v a2v 1,：t = 4- a x> 3,••• f (x) v 0, 即f (x) >0 不成立.综上，满足条件的a的取值范围是：.(19) (本小题满分12分)如图，在四棱锥P- ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，且P— a, P心PC= 2a.(I) 求证：直线PDL平面ABCD(II) 求二面角A- PB- D的大小.(I)证明：I 在厶PDA中, AD= a, PD= a, PA= 2a,):AD + PD= PA，即PDL AD 同理，PDL CD又AD CD平面ABCD AD1CD= D,：直线PD丄平面ABCD(I)解：如图，连接AC和BD,设AC1BD= 0.由(I)知AC L PD又AC L BD,且PD BD平面PBD PD1BD= D,:直线AC L平面PBD过点O作OE L PB, E为垂足，连接AE.由三垂线定理知AE L PB, ： / AEO为二面角A- PB- D的平面角.AB丄AD由三垂线定理知AB丄PAP fC E OA在厶PAB中，A^PAp甞3比在厶ABD中, 0些宇a在厶AOE中, sin / AEd 0A =碁=1,即卩/ AEd60°，二二面角A- PB- D为60°.AE \22(20) (本小题满分12分)以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售.羊毛衫的销售有淡季与旺季之分•标价越高，购买人数越少•我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格•某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件•针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；3②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的2倍;③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润.(I) 分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II) 问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx + b (k v 0)，则旺季的最高价格为一-元/件，利润函2 bL (x) = ( x- 100) • (kx + b)= kx -(100k- b)- 100b，x€[100，- Q，100k —b b 「'口「「北宀小 b 小/口bt当x = —2k= 50- 2k时，L (x)最大，由题意知，50- 2k= 140，解得—k= 180,2即旺季的最高价格是180 (元/ 件)，则淡季的最高价格是180X 3= 120 (元/ 件).现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+ n (m v0)，则淡季的最高价格为—m= 120 (元/件)，即n=- 120m利润函数L (t ) = ( t —100) • (mt+ n) = ( t —100) • (mt- 120n)=-m( t —100) • (120-1)，t € [100，120].•••t - 100= 120-1，即t = 110 时，L (t )为最大，•••在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件. (21) (本小题满分12分)已知单调递增的等比数列｛a n｝满足a2 + a3+色=28且a3+ 2是a2，色的等差中项.I)求数列｛a n｝的通项公式a n；(II )若 b n = a n log -a n , S = b 1+ b 2+ — + b n ,求使 S + n ・ 2n+1>50 成立的正整数 n 的最2 小值. 解：(I )设此等比数列为a 1, a 1q , ag 2, aq 3，其中a 工0, q ^0. ag + ag 2+ a 1q 3= 28, ① ag + ag 3= 2( ag 2+ 2), ② 由题知 由②X7—①得 即 2 a i q 3— 15a 1q 2+ 6ag = 0, q 2— 5q + 2 = 0, 解得亠 1 q = 2 或q = 2. 等比数列｛a n ｝单调递增，••• a — 2, q = 2,二 a n = 2 • 2”1 = 2n .b n = a n log 1a n = 2log 12n =— n • 2,2 2S = b + b ?+…+ b n = — ( 1 x 2+ 2x 2 + 3x 2 +…+ T n = 1 X 2+ 2X 22+ 3X 23 + …+ n • 2n , T n = 1 X 22+ 2X 23 + 3X 24+…+ 2n +1—T n = 1 X 2+ 1 X 22+ 1 X 23 + ••• + 1X 2n — n • 2n +1 =2n +1 — 2 — n ・ 2n + -—(n — 1) 2n +1— 2, S =—( n — 1) • 2n +1 — 2. 要使 S+ n • 2n+1>30 成立，即要 一(n — 1) • 2n +1 — 2+ n • 2n+1>50, 即要 2 n> 26. v函数y = 2x 是单调增函数，且 24= 16v 26, 35= 32>26, 由⑤得n 的最小值是5. (22)(本小题满分14分)已知％ — 2, 0) , F 2(2 , 0)是椭圆C 的两个焦点，过 椭圆C 的两个交点为M , N,且|MN 的最小值为6.(I) 求椭圆C 的方程；(II) 设A, B 为椭圆C 的长轴顶点.当|MN 取最小值时，求/ AMB 勺大小. 2 2x y解：(I )由题意，设椭圆C 的方程为a 2 +1(a >b >0)，其中c = 2, (II )由(I )得设 则 2由③一④得 n+ 1n ・ 2n ). ③ ④F i 的直线与a 2—b 2 = 4.设 M(x i , y i ) , N(X 2, y 2).2 2若直线MNLx 轴，则MN 的方程为x = — 2,代入中+ = 1,得 y 2 二 b 2(i•••I y 1 — y 2| = £ 即 SB =乎2 2一 一 x y 若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y = k(x + 2)，代入孑+ = 1,x 2 k 2( x 2+4x + 4) a 2+ 2=1, b 2即(a2k2+ b2) x2+ 4a2k2x+ a2(4 k2—b2) = 0.△ =(4a2k2)2—4(a2k2+ b2)a2(4 k2—b2) = 4a2b2[( a2—4)k2+ b2] = 4a2b4(1+ k2),2ab2』+ k2•- 1 Xl —X2U a2k2+ b2，代入a— b —4,得a—3a —4—0,解得a——1(舍)，或a—4.二b2—12.2 2x y•••椭圆C的方程为16+ 12—1.(n )由(I )知A—4, 0) , B(4 , 0).当|MN取得最小值时，MNLx轴. 根据椭圆的对称性，不妨取M( —2, 3)，/ AMB即直线AM到直线MB的角.AM的斜率k1 ——2 + 4 —2,BM的斜率k2—3 —0 — 1—2—4——2,tan k2 —k1 + k1k22 21 3—1- x c2 2—8.综上，2ab2 1 + k2a2k2+ b21 + k22ab2(1 + k2) 2b22] 2 2 —a k +b a1 + k2 2b22 b2> ak + 2ai MN的最小值为2b.由题知2b2—6,即b2—3a./ AM BE (0 , n ) , •/ AM— n —arcta n8 .• 方程sin2（x + 73）+ |sin （x + 73）+ £= 0在（—詈，*）内有两个不等的实根，/ AM BE (0 , n ) , •/ AM— n —arcta n8 .。

江苏省金陵中学河西分校2009届高三数学综合试题（一）2008-8-20一、填空题：本大题共14题，每小题5分共70分，请将正确答案填写在题后横线上． 1．复数z=12i+,则|z|= ． 2．已知函数()()223f x x m x =+++是偶函数，则=m ． 3则这堆苹果中，质量小于克的苹果数约占苹果总数的 ％． 4．若点（1,1）到直线x cosα+y sinα＝2的距离为d ，则d 的最大值是 ． 5．函数f (x )=2x 3－6x 2＋7的单调减区间是 ．6．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = 7．在约束条件：x +2y ≤5,2x +y ≤4,x ≥0,y ≥0下，z =3x +4y 的最大值是 ． 8．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 ． 9．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ． 10．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y =0，若m 在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ．11．已知函数22(1),00,0(1),0x x y x x x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩，右图是计算函数值y 的流程图，在空白框中应该填上 ． 12．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB i j =+，2AC i m j =+，则实数m = ．13．已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .14．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ； 其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分12分）某学校拟建一块周长为中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？16．（本小题满分13分）如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ．17．（本小题满分15分）某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地（A、B、C、D在同一平面上），测得∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：2.6≈≈≈）A1A BCPM NQB1C1307515DCB45A18．（本小题满分16分）倾斜角为60°形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．19．（本小题满分16分）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2008，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2008行．0，1，2，3，…，2005，2006，2007，20081，3，5， …， 4011， 4013， 4015 4，8， …， 8024， 8028……（1）由等差数列性质知，以上数表的每一行都是等差数列。

2016-2017年江苏省南京市金陵中学、江苏省海安高级中学、南京外国语学校高三第四次模拟考试数学一、填空题：共14题1．已知集合，集合，则. 【答案】{1}【解析】本题主要考查集合的基本运算.因为，，所以.2．若复数(为虚数单位)，则的实部是.【答案】【解析】本题主要考查复数的四则运算与复数的实部与虚部.因为，所以的实部是3．函数的定义域为.【答案】【解析】本题主要考查函数的定义域、对数函数.由题意可得,即,所以,所以函数的定义域为4．根据如图所示的程序语言，输出的值为.【答案】21【解析】本题主要考查While 语句.运行程序：a=1,i=2;a=3,i=4;a=7,i=6;a=13,i=8;a=21,i=8,此时，不满足条件，循环结束，输出a=21.5．采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查.将这1 000人随机编号为1,2,…,1 000,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中,编号落入区间[1,400]的人做问卷A,编号落入区间[401,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则做问卷C的人数为.【答案】A【解析】采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人进行问卷调查,分50组,每组20人,在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,以后每组各抽取一个号码,间隔为20,所以第二组抽取28号,第三组抽取48号,…….做问卷A的有20人,做问卷B的有18人,所以做问卷C的有12人,选择A.6．从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，则取出的两个数的和为奇数的概率为.【答案】【解析】本题主要考查古典概型.从1,2,3,4,5这五个数中一次随机取两个数，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有10个不同的结果，其中取出的两个数的和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3), (2,5),(3,4),(4,5),共有6个不同的结果，所以所求事件的概率P=7．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是.【答案】【解析】本题主要考查双曲线的性质，由双曲线的性质求出m的值，即可得出双曲线的渐近线方程.由双曲线的方程与离心率可知,则m=1，所以双曲线的渐近线方程为8．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的值为.。

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学2009届高三第三次调研测试数 学 试 题必试部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案写在答题卡对应的位置上） 1．已知集合},2{}.|{},2|{=≥=≤=B A a x x B x x A 若集合则实数a = 。

2．命题：“x x ≤∈∀sin ),2,0(π”的否定是 。

3．已知i 是虚数单位，计算：22)12()121(ii i i +---+= 。

4．在△ABC 中，A B=2，D 是AC 的中点，若BD AB AC AB ⋅=⋅则,4= 。

5．某公司招聘员工，面试人数y 拟照公式x x x x x x x y 其中确定,1005.1,10010,102,1001,4⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=表示拟录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为 人。

6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒△BCD 内的频率稳定在94附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 。

7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果 为54，则判断框中应填入的条件是：a< 。

8．已知定义在R 上的函数,3)0(,)2||,0)(sin(2)(=<>+=f x x f 且最小正周期是的ππϕωϕω则ϕ= 。

9．设数列)(log 1log }{*212N n x x x n n n ∈+=+满足，且,}{,101021n n S n x x x x 项和为的前记=+++ 则S 20= 。

10．椭圆131222=+y x 的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴的正半轴上，那么点P 的坐标是 。

Zxxk11．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 。

2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={x|log2x＜2}，B={-1，0，1，2，4}，则A∩B=______．2.已知复数z=（1+i）（1+3i），其中i是虚数单位，则|z|的值是______．3.已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是______．4.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为______．5.如图是一个算法的流程图，则输出a的值是______．6.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为______．7.已知，则sin2x=______．8.数列{a n}满足：a n=，且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．9.在平面直角坐标系xOy中，若曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则2a+3b的值是______．10.已知函数f（x）=-+4x-3ln x在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是______．11.在△ABC中，AB=AC，BC=2，=，=，若=-，则=______．12.已知，则方程f[f（x）]=3的根的个数是______．13.已知正数a，b，c满足b2+2（a+c）b-ac=0，则的最大值为______．14.若存在正数x，y，使得（y-2ex）（ln y-ln x）z+x=0（其中e为自然对数的底数），则实数z的取值范围是______二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．16.已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=-，sin（α+β）=．（1）求tan2β的值；（2）求α的值．17.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．18.已知圆O：x2+y2=4与坐标轴交于A1、A2、B1、B2（如图）．（1）点Q是圆O上除A1、A2外的任意点（如图1），A1Q、A2Q与直线y+3=0交于不同的两点M，N，求MN的最小值；（2）点P是圆O上除A1、A2、B1、B2外的任意点（如图2），直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m-k 为定值．19.设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．（1）当k≤0时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，3）上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k，存在x0（x0＞0），使得f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．20.若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②对于给定的正整数k，a n-k+a n+k=2a n对于任意的正整数n（n＞k）恒成立，则称数列{a n}是“R（k）数列”．（1）已知a n=，判断数列{a n}是否为“R（2）数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n}是“R（3）数列”，且存在整数p（p＞1），使得b3p-3，b3p-1，b3p+1，b3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．21.二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M-1；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．22.在极坐标系中，设圆p=3上的点到直线p（cosθ+sinθ）=2的距离为d，求d的最大值．23.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．24 已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．2018-2019学年江苏省南京市金陵中学高三（上）期中数学试卷答案和解析【答案】1. {1，2}2.3. 44.5. 106. 27. -8. （2，3）9. -810. 0＜t＜1或2＜t＜311.12. 513.14. （-∞，0）∪[，+∞）15. 证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．16. 解：（1）∵β∈（，π），cosβ=-，可得：，∴．∴；（2）∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），又∵sin（α+β）=，∴．∴cosα=cos（α+β-β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=．∵α∈（0，），∴．17. 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于BE=10tanθ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]．即L=10×，θ∈[，]．（2）设sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即θ=或θ=时，L取得最大值为20（+1）米．18. 解：（1）设直线A2Q的方程为y=k（x-2），则直线A1Q的方程为，由，解得；即，由，解得，即N（3k-2，-3）．∴．当k＞0时，，当且仅当k=1时等号成立．当k＜0时，，当且仅当k=-1等号成立，线段MN长的最小值是2．（2）由题意可知A1（-2，0），A2（2，0），B1（0，-2），B2（0，2），∴直线A2P的方程为y=k（x-2），由，得，直线B2P的方程为，令y=0，则，即，∵直线A1B2的方程为x-y+2=0，由，解得，∴E（，），∴EF的斜率，∴，即2m-k为定值．19. 解：f′（x）=+k（-）=+=，（1）当k≤0时，e x-kx2＞0 对任意的x＞0都成立，所以，当x＞3时，f′（x）＞0；当0＜x＜3 时，f′（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）f′（x）=，由函数f（x）在区间（1，3）上存在两个极值点，得f′（x）=0在区间（1，3）上至少有两个解，即e x-kx2=0在区间（1，3）上至少有两个解．即k=，令g（x）=-k，x∈（l，3），则g′（x）=，所以，当1＜x＜2时，g′（x）＜0；当2＜x＜3吋，g′（x）＞0，所以g（x）在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）上单调递增．又g（2）=-k，g（3）=-k＜g（l）=e-k，所以-k＜0，且-k＞0，即＜k＜，此时存在x1∈（1，2），x2∈（2，3），使得g（x1）=g（x2）=0，且当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，当x∈（x2，3）时，f′（x）＜0，满足条件．所以k的取值范围是（，）．（3）令h（x）=，得h′（x）=，当x≥3时，h′（x）≥0，当且仅当x=3时等号成立，所以，h（x）在[3，+∞）上单调递增，所以，当x＞3吋，h（x）＞h（3），（h（3）=＞0），即e x＞h（3）x3，当x＞3时，f′（x）=＞=，设x0为3和中较大的数，则当x＞x0时，f′（x）＞0，∴対任意给定的实数k，存在x0，（x0＞0），使得f（x）在区区间（x1，+∞）上单调递增．20. 解：（1）当n为奇数时，a n+1-a n=2（n+1）-（2n-1）=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）-1+2（n+2）-1=2（2n-1）=2a n．当n为偶数时，a n+1-a n=2（n+1）-2n=3＞0，所以a n+1≥a n．a n-2+a n+2=2（n-2）+2（n+2）=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R（2）数列数列”．证明（2）由题意可得：b n-3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+（n+1）d1，所以n（d2-d1）≥b1-b2①，n（d2-d1）≥b1-b2+d1，②．若d2-d1＜0，则当n＞时，①不成立；若d2-d1＞0，则当n＞时，②不成立；若d2-d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ，则b3p-1-b3p-2=b3p-1-（n-p）d-（b3p+1-（n-p-1）d）=b3p-1-b3p+1+d=d-λ，同理可得：b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ，所以b n+1-b n=d-λ．所以：{b n}是等差数列．21. 解：（Ⅰ）设，则有=，=，所以且，解得所以M =，从而M -1=（Ⅱ）因为==且m ：2x ′-y ′=4，所以2（x +2y ）-（3x +4y ）=4， 即x +4=0，这就是直线l 的方程．22. 解：将极坐标方程p =3转化为普通方程：x 2+y 2=9 p （cosθ+sinθ）=2可化为x +y =2在x 2+y 2=9上任取一点A （3cos a ，3sin a ），则点A 到直线的距离为 d ==，它的最大值为4．23. 解：（1）以O 为原点，OB ，OC ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则有A （0，0，1），B （2，0，0），C （0，2，0），E （0，1，0）．=（2，0，0）-（0，1，0）=（2，-1，0），=（0，2，-1），（2分） cos ＜＞=．（4分）由于异面直线BE 与AC 所成的角是锐角，故其余弦值是．（5分） （2）=（0，1，-1），设平面ABE 的法向量为m 1=（x ，y ，z ），则由m 1⊥，m 1⊥，得取n =（1，2，2），平面BEC 的一个法向量为n 2=（0，0，1），（7分） cos ＜n 1．n 2＞==（9分）由于二面角A -BE -C 的平面角是n 1与n 2的夹角的补角，其余弦值是-．（10分）24. （1）解：g （x ）=f 4（x ）+2f 5（x ）+3f 6（x ）=+2+3，∴g （x ）中含x 2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n =2n -1．（5分） ①当n =1时，p 1（a 1+1）=a 1+1，成立；②假设当n =k 时，p k （a 1a 2…a k +1）≥（1+a 1）（1+a 2）…（1+a k ）成立，当n =k +1时，（1+a 1）（1+a 2）…（1+a k ）（1+a k +1）≤2k -1（a 1a 2…a k +1）（1+a k +1） =2k -1（a 1a 2…a k a k +1+a 1a 2…a k +a k +1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1-1）≥a k+1-1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）【解析】1. 解：∵集合A={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，B={-1，0，1，2，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：∵z=（1+i）（1+3i）=-2+4i，∴|z|=．故答案为：2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数为：=（2+4+5+6+8）=5，∴这组数据的方差：S2=[（2-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4．故答案为：4．先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 解：从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，基本事件总数n==10，这2名代表都是女同学包含的基本事件个数m==3，∴这2名代表都是女同学的概率为p==．故答案为：．基本事件总数n==10，这2名代表都是女同学包含的基本事件个数m==3，由此能求出这2名代表都是女同学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟算法的流程图知，a=4，b=10，a＜b，a=7，b=8，a＜b，a=10，b=6，a＞b，满足判断框内的条件，退出循环，输出a=10．故答案为10．6. 【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，属于基础题．求出椭圆的右焦点，列出方程求解P即可．【解答】解：椭圆的右焦点为F（1，0），若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得，解得p=2．故答案为2．7. 解：已知，则sin2x=-cos（+2x）=-1+2=-1+=-，故答案为：-．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2x的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．8. 解：∵a n=，且数列{a n}是递增数列，则，∴2＜a＜3，∴a∈（2，3），∴实数a的取值范围是（2，3）．故答案为：（2，3）．首先，根据数列{a n}是递增数列，得到，求解实数a的取值范围即可．本题重点考查了数列的函数特征，数列的增长趋势，属于综合性题目．9. 【分析】由曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与线2x-7y+3=0垂直，解方程可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到切线的斜率是解答的关键．【解答】解：曲线（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，其中y′=2ax，即有，故2a+3b=-8.故答案为-8．10. 解：∵函数∴f′（x）=-x+4-∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=-x+4-=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2-4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．先由函数求f′（x）=-x+4-，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=-x+4-=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2-4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．11. 解：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示．则B（-1，0），C（1，0），设A（0，m），由题意得D（，），E（，），∴=（，），=（1，-m），∵，∴×1+×（-m）=-，解之得m=2（负值舍去）由此可得E（，），=（-，），=（-1，-2）∴=-×（-1）+×（-2）=-．故答案为：-以BC的中点O为原点，建立如图所示直角坐标系，可得B（-1，0），C（1，0）．设A（0，m），从而算出向量的坐标关于m的式子，由建立关于m的方程，解出m=2．由此算出的坐标，从而可得的值．本题给出等腰三角形的底面长，在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数量积．着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识，属于中档题．12. 【分析】本题考查了分段函数与复合函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．由题意得2f（x）+1=3或|ln f（x）|=3，从而解得f（x）=e3或f（x）=e-3；从而再讨论即可．【解答】解：由题意得，2f（x）+1=3或|ln f（x）|=3，即f（x）=1（舍去）或f（x）=e3或f（x）=e-3；若f（x）=e3，则2x+1=e3或|ln x|=e3，故x=（舍去）或x=或x=；若f（x）=e-3，则2x+1=e-3或|ln x|=e-3，故x=或x=或x=；故方程f[f（x）]=3共有5个解，故答案为：5．13. 解：由b2+2（a+c）b-ac=0得（b+a+c）2=ac+（a+c）2≤+（a+c）2=（a+c）2，∴b+a+c≤（a+c），∴b≤（a+c），∴≤，当且仅当a=c时取等．故答案为由b2+2（a+c）b-ac=0得（b+a+c）2=ac+（a+c）2≤+（a+c）2=（a+c）2再解关于b的不等式即可．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．14. 解：则（y-2ex）（ln y-ln x）z+x=0可化为：，令t=，得（t-2e）ln t=-．令f（t）=（t-2e）ln t，（t＞0），则f′（t）=g（t）=ln t+1-，则g′（t）=，故g（t）为（0，+∞）上的增函数，又因为f′（e）=g（e）=1+1-2=0，故当t∈（0，e）时，f′（t）＜0，当t＞e时，f′（t）＞0，所以f（t）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以f（t）在（0，+∞）存在最小值f（e）=-e，即f（t）的值域为（-e，+∞），∴-∈（-e，+∞），所以z∈（-∞，0）∪[，+∞），故填：（-∞，0）∪[，+∞），令=t，分类参数得（t-2e）ln t=-，求出g（t）=（t-2e）ln t的值域，从而得出z的范围．本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．属于难题．15. （1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直，属于中档题．16. （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，tanβ，再利用二倍角的正切函数公式求解得tan2β的值；（2）由已知可求α+β∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+β），再利用两角差的余弦函数公式可得cosα的值，根据α的范围，从而确定α的值．本题考查了二倍角公式、角的灵活拆分等知识，属于中档题．17. （1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L =EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．18. （1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；（2）求出个直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．19. （1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解；（2）求函数的导数，结合函数极值与导数之间的关系进行转化即可；（3）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，极值与导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20. （1）由题意可知根据等差数列的性质，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n-3+a n+3）+（a n-2+a n+2）+（a n-1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．21. （1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵M的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可．本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题．22. 欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=3和直线p （cosθ+sinθ）=2的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23. （1）先以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出直线直线BE与AC的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值即可．考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量，本题主要考查了两面角的计算，考查了学生综合分析问题的能力和解决问题的能力．24. （1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。

金陵中学09-10学年高三年级10月月考数 学 试 题一、填空题（每小题5分，共计70分）1．若复数i i i z 其中,2)1(=+是虚数单位，则复数z= 。

2．已知向量a 和向量b 的夹角为120°，|a |=3，|b |=5，则|a —b |= 。

3．若n n x x x x x x x x 2,,2,2,2,3,,,,321321 则的方差为的方差为 。

4．右面算法输出的结果是 。

5．已知απαtan ,2)4tan(则=+= 。

6．函数)1(112>-+-=x x x x y 的最小值等于 。

7．等差数列}{,022,0,}{11273n n b a a a d a 数列且公差中=+-≠是等比数列，且8677,b b a b 则== 。

8．已知两条直线m ，n ，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①αα⊥⇒⊥n m n m ,//； ②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；③αα////,//n m n m ⇒； ④./,//,//βαβα⊥⇒⊥n m n m其中真命题．．．的序号 。

9．从集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同元素bx ax x f b a +=2)(,作为的系数)(b a <，则这个函数在区间（—3，0）内恒为负值的概率为 。

10．已知直线a a x y x y 则相切与曲线,)ln(1+=+=的值为 。

11．函数x a x x f -=)(在[1，4]上单调递增，则实数a 的最大值为 。

12．已知)(x f y =是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递增。

则不等式)1()2(+≤x f x f 上的解集为 。

13．在平面直角坐标系1925:,22=+y x C xoy 椭圆中的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为 。

14．存在t t x x x 则实数成立使得不等式,||202--<<的取值范围是 。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．命题“R，”的否定是▲ ．2．若集合A=，B=满足A∪B=R，A∩B=，则实数m= ▲ ．3．若是纯虚数，则实数a的值是▲ ．4．已知，，则= ▲ ．5．若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则k= ▲ ．6．若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为▲ ．7．曲线C：在x=0处的切线方程为▲ ．8. 计算：▲9. 函数的值域为▲10．将函数的图像向左平移个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则的最小值为▲ .11．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O、F、A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为▲ .12．已知函数的定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是▲.13．数列{a n}中,a1=1,a2=2,且，则S100= ▲ .14．设集合A={x|x2—[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x的最大整数,则= ▲二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤)15.（本小题满分14分）已知：在中，.(1)求的值；（2）如果的面积为4，，求的长。

16. （本小题满分14分）如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；17.（本小题满分14分）工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入（元）与当天生产的件数之间有以下关系：()23183,010********,10x x P x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ，设当天利润为元. ⑴写出关于的函数关系式；⑵要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）18．（本小题满分16分）已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。

期中试卷数学（必做题）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分请把正确答案填写在答题卡相应的位置上． 1.设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝ ．2.复数i 2（1－2i ）的实部是3.命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0” 的否定是4.函数f （x ）＝1－log 3x 的定义域是 ． 【答案】（0，3］ 【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足31log 00x x -≥⎧⎨>⎩，即03x <≤，故定义域为（0，3］.考点：对数函数.5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为 ．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知y =3x 是双曲线x 2a 2－y 2b2=1（a >0,b >0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题： ①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ； ③若l ∥m ,则α⊥β； ④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确命题的序号是 【答案】①③ 【解析】试题分析：对于①，若α∥β，因为l ⊥平面α，故l ⊥平面β，又m ⊆平面β，所以l ⊥m ，①9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y = 5下方的概率为 ．10.已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α= ． 【答案】65,3ππ【解析】 试题分析：由()fx α+=()f x α-知，x α=为函数的对称轴，所以2,6223k k ππππαπα-=+=+，因为α∈(0,π)，所以0,1k =，得,3πα= 或56π. 考点：函数对称性、正弦函数性质.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ．12.已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是 ． 【答案】[22 3.)+∞ 【解析】试题分析：由()()f a f b =得，1,1a b >>且()()|lg 1||lg 1|a b -=-，由对数函数的特征得，()lg 1lg(1)0,(1)(1)1a b a b -+-=--=所以ab a b =+，故()2223223a b a ba b a b ab b a++=+=++≥. 考点：对数函数性质、基本不等式.13.定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[0，2013]上的零点个数是_____ ．14.已知函数f (x )=4x+k •2x+14x +2x +1，若对任意的实数x 1,x 2,x 3,不等式f (x 1)+ f (x 2) >f (x 3)恒成立，则实数k的取值范围是 ．综上，实数k的取值范围为1[,4]2．考点：换元法求函数最值、指数函数性质.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知向量a =(2cos x , 2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求： (1) f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若()()626212f f απαπ--+=, 且α∈(π2,π). 求α.16.(本题满分14分)如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE ,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.。

2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，则实数p 的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________．8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____． 11．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====u u u v u u u v u u u vu u u v ．若12BD AC ⋅=-u u u v u u u v ，则CE AB ⋅=u u u v u u u v__________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________． 14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求tan2β的值； （2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)． （1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线y +3=0交于不同的两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1）（图2）19．设函数f(x)=e xx 3−3k x−klnx ，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0(x 0>0)，使得f(x)在区间(x 0，+∞)上单调递增． 20．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R(k )数列”．（1）已知a n ={2n −1，n 为奇数2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x −y =4，求l 的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d ，求d 的最大值． 23．如图，已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求二面角A —BE —C 的余弦值．24．已知f n (x)=(1+√x)n ，n ∈N ∗．（1）若g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；（2）若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，∴2名都是女同学的概率为310．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得87301aaa a⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392aa a⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a＜3 9．﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣bx2，∴{4a+b2=−54a−b4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t<1或2<t<3【解析】此题考查导数的应用；f′(x)=−x+4−3x=−x2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t+1]上不单调，所以在[t,t+1]上即有减又有增，所以{0<t<11<t+1<3或{1<t<33<t+1∴0<t<1或2<t<311点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。