届南京市金陵中学高三学情分析样卷

高三年级期初学情调研测试数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设向量，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.若函数由下表给出，则函数的解析式可能是（）012352.3 1.10.7 1.1 2.3 5.949.1A. B.C. D.3.已知集合，则中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.44.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）4.43 B.44 C.45 D.465.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，如图所示，一镜面的轴截面是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.6.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）A.192种 B.252种 C.268种 D.360种7.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知空间中13个不同的点构成的集合，满足时，均为正四面体，则集合中最多可以有（）个点在同一平面内.A.9B.10C.11D.12二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下图为某商家1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（）A.这10个月的月销售量的极差为15B.这10个月的月销售量的第65位百分位数为33C.这10个月的月销售量的中位数为30D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差10.设函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（）A.有且仅有两个零点B.有一个或两个零点C.在区间上单调递减D.的取值范围是11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的有（）A.若平面是面积为的等边三角形，则B.若，则C.若，则球面的体积D.若平面为直角三角形，且，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.13.数学月考出了这样一道题：设，为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围.小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆.小峰顿悟，于是写出了答案：________.14.已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.（本小题满分13分）如图，一个质点在随即外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度.次移动结束后，质点到达的位置的数字记为.（1）若，求质点又回到原点的概率；（2）若，求的分布列和的值.16.（本小题满分15分）如图，在中，，为外一点，，记，.（1）求的值；（2）若的面积为，的面积为，求的最大值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.（1）证明：平面；（2）已知，，，平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求.18.（本小题满分17分）已知椭圆：的上顶点为，离心率为.抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与相较于，两点，直线，分别与交于，两点.①证明：直线与直线的斜率之积为定值；②记和的面积分别是，，求的最小值.19.（本小题满分17分）设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”.（1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；（2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图像上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围.参考答案1.【答案】B【解析】，则，，“”是“”的充分不必要条件，故选B.2.【答案】A【解析】由表格得出，，，为偶函数；，，，增长幅度变动较大，可知为指数型增长，故选A.3.【答案】C【解析】，，为奇数时，，，，，，，，…，故选C. 4.【答案】B【解析】由题意知，，，，故选B.5.【答案】C【解析】由双曲线光学性质得，反向延长线交于点，且点为右焦点，则，，，，故为等腰直角三角形，，，，，故选C.6.【答案】B【解析】若甲乙不值班，值班安排有种；若甲乙只有一人不值班，值班安排有种；若甲乙都值班，值班安排有种；共有252种，故选B.7.【答案】C【解析】若，，恒成立；若，，，即，，解得；综上，故选C.8.【答案】C【解析】已知，，，为正四面体，设最多可以有个点在平面内，其中在平面内，必然不在平面内，可在平面内，若在平面内，则必然不在平面内，可在平面内，故最多有11个点在平面内，故选C.9.【答案】AB【解析】由图知，月销售量最大值为40，最小值15，极差为15，故A正确；月销售量由小到大排：25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，第65位百分位数为第7位33，故B正确；中位数为，故C错误；前5个月的月销售量比后5个月的月销售量波动更小，因此前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误；故选AB.10.【答案】ABD【解析】，，若有且仅有三个零点，则，则图像向上平移一个单位，有且仅有两个零点，故A正确；图像向下平移一个单位，有一个或两个零点，故B正确；，，故D正确；，，因为，则，，故C错误；故选ABD.11.【答案】BC【解析】对于A，若平面是面积为的等边三角形，则，则，则，故错误；对于B，若，则，，故正确；对于C，若，则，，点到平面的距离为，三棱锥的体积为，则球面的体积，故正确；对于D，若平面为直角三角形，且，则，由余弦定理得：取，，，，，故错误；故选BC.12.【答案】【解析】，，，，；故答案为.13.【答案】【解析】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆，所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：.若直线上存在点使为直角，即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，，解得，故答案为.14.【答案】【解析】若，且，恒有，令，则，，令，即在上单调递减，，，令，恒成立，在上单调递增，故，，令，，，，，，，即，故.15.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题知，2次移动后质点又回到原点，即其中有1次向左移动，有1次向右移动，故质点又回到原点的概率为；（2）由题知，可取，，，0，2，4，6，由对称性知，，，，即的分布列为0246.6.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，，在中，，因此；（2），，，当时，取到最大值. 17.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）如图，连接交于点，连接；∵面是直角梯形∴，∵∴∵∴平面平面∴平面；（2）已知，，，在中，，∴∵平面平面平面平面∴平面如图，过点作面的垂线，垂线在平面内，以点为坐标原点，，，直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，，∵，，∴，设平面法向量为，，取，；设平面法向量为，，取，，则平面与平面的夹角的余弦值为解得，，因为，故.18.【答案】（1）；（2）①见解析；②【解析】（1）抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长，令，，，椭圆离心率为，，，故椭圆的方程；（2）①由题知，直线的斜率必然存在，设方程，，，与联立方程：，，，，故直线与直线的斜率之积为定值；②由①得，显然直线，斜率存在且不为0，设：，联立：，，联立：，，，同理：，，；则，故当且仅当时等号成立，即最小值为.19.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1），在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”；，，，，故不是上的“一阶有界函数”；（2）若函数为上的“一阶有界函数”，则，在上单调递增，，，令，，在上单调递减，设，，其中，故；在上单调递增，，，故；（3）函数，若为区间上的“一阶有界函数”，则，其中，，，，，，则.令，，其中，，在区间上单调递增，故在区间上单调递增，，，所以存在，使，，，，，在区间单调递增，在区间单调递减，即，对称轴为，在区间上单调递减，恒成立，，故.。

金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。

南京市2025届高三年级学情调研数 学 2024.09.19 注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x －3＞0}，B ＝{x |x 2－5x ＋4＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，1)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知a x ＝4，log a 3＝y ，则a x ＋y ＝A ．5B ．6C ．7D ．123．已知|a |＝3，|b |＝1．若(a ＋2b )⊥a ，则cos<a ，b >＝A ．－32B ．－33C ．33D ．324．已知数列{a n }为等差数列，前n 项和为S n ．若S 3＝6，S 6＝3，则S 9＝A ．－18B ．－9C ．9D ．185．若a 是第二象限角，4sin2α＝tan α，则tan α＝ A ．－7 B ．－77 C ．77D ．7 6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为A ．4B ．6C ．8D ．127．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为A ．24B ．32C ．96D ．1288．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上．若PF ＝2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为A ．254B ．25C ．552D ．55二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数z ，下列命题正确的是A ．若z ＋1∈R ，则z ∈RB ．若z ＋i ∈R ，则z 的虚部为－1C ．若|z |＝1，则z ＝±1D ．若z 2∈R ，则z ∈R10．对于随机事件A ，B ，若P (A )＝25，P (B )＝35，P (B |A )＝14，则 A ．P (AB )＝320 B ．P (A |B )＝16 C ．P (A ＋B )＝910 D ．P (―AB )＝1211．设函数f (x )＝1|sin x |＋8|cos x |，则 A ．f (x )的定义域为{x |x ≠k π2，k ∈Z } B ．f (x )的图象关于x ＝π4对称 C ．f (x )的最小值为5 5 D ．方程f (x )＝12在(0，2π)上所有根的和为8π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．(2x ＋1x)4展开式中的常数项是 ▲ ． 13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．(第13题图)14．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A ．当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为 ▲ ．四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，16．(本小题满分15分)如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，→AM＝2→MD，→CN＝2→ND．(1)求证：EF∥平面MNB；(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．(第16题图)已知数列{a n }，{b n }，a n ＝(－1)n ＋2n ，b n ＝a n ＋1－λa n (λ＞0)，且{b n }为等比数列．(1)求λ的值；(2)记数列{b n ⋅n 2}的前n 项和为T n ．若T i ⋅T i ＋2＝15T i ＋1(i ∈N *)，求i 的值．18．(本小题满分17分)已知 F 1，F 2是双曲线线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，F 1F 2＝26，点T (26，10)在C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 过点D (1，0)，且与C 交于A ，B 两点．①若→DA ＝3→DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若|PQ |＝2，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x－a＋ax2－3ax＋1，a∈R．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．。

5 2 2 金陵中学高三年级学情调研测试数学试卷考试时间：120 分钟 满分 150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 A = {0 , 1 , 2}， B = {x x 2- 3x ≤ 0}，则 A B 等于（ ）A. {1 , 2}B. {0 , 1 , 2}C. {0 , 1 , 2 , 3}D. {x 0 ≤ x ≤ 3}【答案】B2. 已知复数 z 满足(2 - i )z = 1 + 2i （ i 为虚数单位），那么 z 的虚部为（ ）A. 1B. -1 【答案】AC. 0D. i5x 2 y 23. 若两个正数 a , b 的等差中项为 ，等比中项为 2，且 a > b ，则双曲线a 2 -b 2= 1的离心率 e 等于（ ）1 5 A.B.C.D.3333【答案】D4. 马林·梅森（Marin Mersenne ，1588-1648）是 17 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人数，梅森在欧几里得、费马瞪等人研究的基础上对2 p-1作出了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2 p-1（其中 p 是素数）的素数，成为梅森素数. 在不超过40 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ） 5 1 9 1 A.B.C.D.1162222【答案】A5. 若函数 f (x )= sin⎛ 1 x +θ⎫ - 3 cos ⎛ 1 x +θ⎫⎛ θ < π⎫的图像关于原点对称，则θ的值为（）⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ππ π⎪ ⎪ ⎭⎝⎭πA. -B.66C. -D.33【答案】D6 13 24⎭ 6. 已知 ∆ABC 的面积为 S ，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若2S = (a + b )2- c 2，则 tan C 的值是（）A.4 B. - C. 333 4 D. - 34【答案】B7. 若过抛物线 y 2= 4x 的焦点作两条互相垂直的弦 AB ， CD ，则四边形 ABCD 的面积的最小值为（ ）A. 8B.16C. 32D. 64【答案】C解：由题意知抛物线的焦点 F (1 , 0)，设直线 AB 的方程为 y = k (x -1)，设 A (x 1 , y 1 )， B (x 2 , y 2 )联立方程得 k 2 x 2- (2k 2- 4)x + k 2= 0 ，有 x + x 2 = 2 + 4 k 2 ， AB = x 1 + x 2 + 2 = 4 + 4 k2同理可得 CD = 4 + 4k211 4(k2 + 1)(2)(k 2+ 1)2⎛ 21 ⎫∴ S = ⋅ = ⋅2 2k 2⋅ 4 k + 1 = 8⋅ k2= 8 k ⎝+ k 2 + 2⎪ ≥ 32 ，故选 C.8. 已知点 P 为函数 f (x )= 1x 2+ 2ax 与 g (x )= 3a 2ln x + b (a > 0)的图像的公共点，若以点 P 为切点可作直2线与两个函数的图像都相切，则实数b 的最大值为（ ）2 2A. e 333 2 B. e 32 23 C. e 23 3 3 D.e 22【答案】B⎧ 1x 2 + 2ax = 3a ln x+ b (*)()⎧⎪f (x 0 )=g (x 0 ) ⎪ 2 00 0解：设 P x 0 , y 0，由题意知 ⎨ ⎩⎪ f '(x 0 ) = g '(x 0 ) ，即 ⎨ ⎪x ⎩⎪+ 2a = 3a 2x 0 (**)有（**）得 (x 0 + 3a )(x 0 - a )= 0 ， a > 0 , x 0 > 0，∴ x 0 = a 将 x = a 代入（*）式整理得b = 5x 2- 3x 2ln x ( x > 0)2令 h (x )= 5x 2- 3x 2 ln x ( x > 0)， h '(x )= 2x (1 - 3ln x )(x > 0)2 ⎛1⎫ ⎛ 1 ⎫∴h (x )在 0 , e 3 ⎪ 上单调递增，在 e 3 , + ∞ ⎪ 上单调递减⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎛ 1 ⎫ 3 2∴b max = h e 3 ⎪ = e 3 . 故选 B.⎝ ⎭ 21x 2x二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选 对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9. 已知圆C : x 2+ y 2- 2x = 0，点 A 是直线 y = kx - 3上任意一点，若以点 A 为圆心，半径为1的圆 A 与圆C 没有公共点，则整数 k 的值可能为（ ）A. - 2B. -1C. 0D.1【答案】ABC10. 下列说法正确的是（ ）A. 若 x , y > 0 ， x + y = 2 ，则2x+ 2 y的最大值为4B. 若 x < 1 ，则函数 y = 2x +212x -1的最大值为-1 C. 若 x , y > 0 ， x + y + xy = 3，则 xy 的最小值为1 D. 函数 y = 【答案】BD 1sin 2x + 4 cos 2 的最小值为9 x11. 已知集合 M ={(x , y ) y = f (x )}，若对于任意(x , y 1)∈ M ，存在(x2, y 2 )∈ M ，使得 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 成立，则称集合 M 是“完美对点集”.给出下列四个集合：① M =⎧(x , y ) y = 1 ⎫ ；② M = {(x , y ) y = sin x + 1}；⎨ ⎬ ⎩⎭③ M = {(x , y ) y = log x }；④ M = {(x , y ) y = ex- 2}；其中是“完美对点集”的序号为（ ）A. ①B.②C.③D.④【答案】BD解：对于① M =⎧(x , y ) y = 1 ⎫ ，其图像是过一、三象限的双曲线，作第一象限的角平分线与双曲线交于点 A ，⎨ ⎬ ⎩⎭与OA 垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点，所以对于点 A 在图像上不存在点 B 使 得OB ⊥ OA ,所以①不符合； 对于② M ={(x , y ) y = sin x + 1}作出函数图像，在图像上任取一点 A ，连OA 过原点作直线OA 的垂线OB ，因为 y = sin x + 1的图像沿 x 轴向左向右无限延伸，且与 x 轴相切，因此直线OB 总会与 y = sin x + 1图像相交，所以②符合；13 3 22对于③ M ={(x , y ) y = log x }，作出 y = log x 函数图像，过原点作出其函数图像的切线OT （切点T 在第一象限），则过切点T 作OT 的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T ，不存在点 M 使得OM ⊥ OT ，所以③不符合; 对于④ M ={(x , y ) y = e x- 2}其图像过点 (0 , -1)且向右向上无限延伸，向左向下无限延伸，所以在图像上任取一点 A ，连OA 过原点作OA 的垂线OB ，必与 y = e x- 2的图像相交，即一定存在点 B 使得OB ⊥ OA 成立，故④符合； 故本题选 BD.12. 已知在棱长为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E ， F ， H 分别是 AB ， DD 1 ， BC 1 的中点，下列结论中正确的是（ ）A. D 1C 1 // 平面CHDB. AC 1 ⊥ 平面 BDA 1C. 三棱锥 D - BA C 的体积为 51 16D. 直线 EF 与 BC 1 所成角为30︒【答案】ABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且满足 S 2 = 3， S 3 - S 1 = 6，则 a 6 =.【答案】3214. 已知二项式⎛ x 2 + ⎝a ⎫6⎪ 的展开式中含 x 3 项的系数是160 ，则实数 a 的值是.⎭【答案】 215. 已知正三棱锥 S - ABC 的侧棱长为4 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是 .【答案】64π解：如图所示， 正三棱锥 S - ABC 的侧棱长为4 ，底面边长为6，xSA 2 - AE 2 (4 3)2- (2 3)2表 ⎨ b + ee则 AE = 2⋅3 3⋅ 6 = 2 2∴三棱锥的高 SE = = = 6又由球心O 到四个顶点的距离相等在直角三角形 AOE 中， AO = R ， OE = SE - SO = 6 - R 又由OA 2= AE 2+ OE 2，即 R 2= (2 ∴ S = 4πR 2 = 64π. 3)2+ (6 - R )2，解得 R = 416. 已知函数 f (x )= ⎪⎧ ln x , 0 < x ≤ e ，若 a , b , c 互不相等，且 f (a )= ⎪⎩2 - ln x , x > ef (b )= f (c )，则 a + b + c 的取值范围是.【答案】⎛2e + 1 , 2 + e2⎫⎪ ⎝⎭解：由题意知 ln a = ln b = 2 - ln c ，且 1< a < 1 < b < e < c < e2e所以 - ln a = ln b = 2 - ln c ，则 ab = 1， bc = e2所以 a + b + c = 1+ b + e 2 = 1 + e 2( )= b b b +1 + e2 ( < < ) '( )= b 2 - (1 + e 2 )( < < )令 g b b1 b e ， g bb1 b eb2所以 g (b )在(1 , e )上单调递减，所以2e + 1= g (e )< g (b )< g (1)= 2 + e2e故 a + b + c 的取值范围为⎛ 2e + 1 , 2 + e 2 ⎫ .⎪ ⎝⎭四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 在 ∆ABC 中 ， 分 a , b , c 别 为 内 角 A , B , C 的 对 边 ， 且 满 足(b - a )(sin B + sin A )= c ( 3 sin B - sin C ).（1）求 A 的大小；（2）再在① a = 2 ，② B =π，③ c =43b ，这三个条件中，选出两个使 ∆ABC 唯一确定的条件补充在下面32 23 n + n +1 n 1nnn n 2n 的问题中，并解答问题，若 ，，求 ∆ABC 的面积.解：（1） (b - a )(sin B + sin A )= c (3 sin B - sin C )又由正弦定理a =b = c，得(b - a )(b + a )= c(3b - c )，即b 2 + c 2 - a 2 =3bcsin A sin B sin C∴cos A =b 2 +c 2 - a 2 = 2bc 2又 0 < A < π，∴ A = π.6（2）选①② 由正弦定理a =b ，得b = a sin B = 2 sin A sin B sin A又由余弦定理b 2= a 2+ c 2- 2ac c os B ，得(2 2 )2= 22 + c 2- 2 ⨯ 2c cos π，解得c =+ 4∴ S = 1 ac s in B = 1 ⨯ 2 ⨯ ( + 6 )⨯ 2=+ 1. ∆ABC 2 2 2选①③由（1）知 A = π，6由余弦定理 a 2= b 2+ c 2- 2bc cos A ，即 4 = b 2+ 3b 2- 3b 2，即b 2= 4 ， b = 2（负舍）∴c = 2 ∴ S= 1 bc s in A = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 3 ⨯ 1= .∆ABC 2 2 218. （本小题满分 12 分）设 n ∈ N +，数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 S = S + a + 2 ， a , a , a 成等比n n n +1nn125数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b }满足b = (-1)na+ ( 2 )1+a n，求数列{b }的前2n项的和T . 解：（1）由 S = S + a + 2 ，得 a - a = 2(n ∈ N+)∴数列{a n }是以 a 1 为首项， 2 为公差的等差数列.由 a , a , a 成等比数列可得a 2= a ⋅ a ，即(a + 2)2= a (a + 8)，解得a = 11252151111数列{a n }的通项公式为 a n = 2n -1(n ∈ N +). 32 63 3n n2 6 2 22 6DS DS ⋅ ODn （2）由（1）得 a n = 2n -1(n ∈ N + )，∴b =( 2 )1+a n+ (-1)n a = 2n + (-1)n (2n -1) ∴=2(22n -1)+ [- + - + - - (- )+ (+ )]= 2n +1 +-T n2 -11 3 5 74n 3 4n 122n 2.19. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S - ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱 SD 上的点 （1）求证： AC ⊥ SD（2）若 SD ⊥ 平面 PAC ，求二面角 P - AC - S 的大小； 解：（1）连接 BD 交 AC 于点O ，连接 SO ，由题意知 SO ⊥ AC .在正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，SO BD = O ，SO , BD ⊂ 平面 SBD ，∴ AC ⊥ 平面 SBD又 SD ⊂ 平面 SBD ，∴ AC ⊥ SD .（2）由题意知 SO ⊥ 平面 ABCD ，以为O 坐标原点， OB , OC , OS 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz . 设底面边长为 a ，得 SO =6 a2⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫故 S 0 , 0 , a ⎪ ，知 D - 2 a , 0 , 0⎪ , C 0 , 2 a , 0⎪2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎫SD ⊥ 平面 PAC ，∴平面 PAC 的一个法向量为 DS = ⎝ a , 0 , a ⎪22 ⎭⎛ 平面 SAC 的一个法向量为OD = -⎝ ⎫a , 0 , 0⎪ 2⎭∴cos , =DS ⋅OD = - 12二面角 P - AC - S 为锐角，∴二面角 P - AC - S 为60︒.20. （本小题满分 12 分）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l ，单位： cm ）先从中随机抽取100 件，测量发现全部介于85cm 和155cm 之间，得到如下频数分布表：2 OD n150 分组 [85 , 95) [95 , 105) [105 , 115) [115 , 125) [125 , 135) [135 , 145) [145 , 155]频数29223324 82已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布 N μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数 x ，σ2近似为样本方差s 2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求 P (132.2 < l < 144.4)；（2）公司规定；当l ≥ 115 时，产品为正品；当l < 115 时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.参考数据： ≈ 12.2若 X ~ N (μ,σ2)，则 P (μ-σ< X ≤ μ+σ)≈ 0.6827 ， P (μ- 2σ< X ≤ μ+ 2σ)≈ 0.9545，P (μ- 3σ< X ≤ μ+ 3σ)≈ 0.9973 .解：（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x = 90 ⨯ 0.02 + 100 ⨯ 0.09 + 110 ⨯ 0.22 + 120 ⨯ 0.33 + 130 ⨯ 0.24 + 140 ⨯ 0.08 + 150 ⨯ 0.02 = 120.抽取产品质量指标值得方差s 2 = 900 ⨯ 0.02 + 400 ⨯ 0.09 + 100 ⨯ 0.22 + 0 ⨯ 0.33 + 100 ⨯ 0.24 + 400 ⨯ 0.08 + 900 ⨯ 0.02 = 150∴l ~ N (120 , 150)，由 ≈ 12.2∴ P (μ< l ≤ μ+σ)= P (120 < l ≤ 132.2)≈ 1⨯ 0.6827 ≈ 0.3414 ，2 P (μ< l ≤ μ+ 2σ)= P (120 < l ≤ 144.4)≈ 1⨯ 0.9545 ≈ 0.47732∴ P (132.2 < l < 144.4)= P (120 < l ≤ 144.4)- P (120 < l ≤ 132.2)= 0.1359 .（2）由频数分布表得， P (l < 115)= 0.02 + 0.09 + 0.22 = 0.33， P (l ≥ 115)= 1 - 0.33 = 0.67 随机变量ξ的取值为90 , - 30且 P (ξ= 90)= 0.67 ， P (ξ= -30)= 0.33随机变量ξ的分布列为150⎪ξ90 - 30 P0.670.33∴ E (X )= 90 ⨯ 0.67 - 30 ⨯ 0.33 = 50.4 .21. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x )= x ln x ， g (x )= λ(x 2-1)（λ为常数）（1）当λ= 1时，证明：对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立；2（2）若对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立，求实数λ的取值范围. 解：（1）设 h (x )= x ln x -1(x2-1), x ≥ 1，即要证当 x ≥ 1时， h (x )≤ 02h '(x )= ln x + 1 - x ，设 p (x )= ln x +1- x ， p '(x )= 1-1 ≤ 0 对 x ∈[1 , + ∞)恒成立x ∴ p (x )≤ p (1)= 0，即 h '(x )= p (x )≤ 0∴h (x )在[1 , + ∞)上单调递减，即h (x )≤ h (1)= 0 ∴当 x ≥ 1时，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立.（2）法一：设 H (x )= x ln x - λ(x 2-1)，故对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 H (x )≤ 0 = H (1)恒成立.H '(x )= ln x + 1 - 2λx当 H '(x )= ln x + 1 - 2λx ≤ 0即ln x + 1 ≤ 2λ时x对任意 x ∈[1 , + ∞)恒成立时，函数 H (x )递减，显然满足题意 设 r (x )=ln x + 1， x ∈[1 , + ∞)，则 r '(x )=- ln x≤ 0 ， r (x )递减，故 r (x ) = r (1)= 1xx 2∴1 ≤ 2λ，即λ≥ 1，满足题意.2max当λ≤ 0 时， H '(x )= ln x + 1 - 2λx ≥ 0，对任意 x ∈[1 , + ∞)恒成立时，函数 H (x )递增，∴ H (x )≥ H (1)= 0 恒成立，显然不满足题意当0 < λ< 1 时，设 q (x )= ln x + 1 - 2λx ， q '(x )= 1 - 2λ= 0 ，得 x = 1> 12当 x ∈ ⎛1 , 1 2 x 2λ ⎫ 时， q '(x )> 0 ， q (x )= H '(x )递增，⎝ λ⎭∴ H '(x )≥ H '(1)= 1 - 2λ> 0，故 H (x )递增，∴ H (x )> H (1)= 0，不满足题意综上：实数λ的取值范围为λ≥ 1.2x ⎨2 2法二：对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立，等价于ln x - λ⎛x -1 ⎫≤ 0在[1 , + ∞)恒成立( )⎛ 1 ⎫'( )1⎛⎪ ⎝⎭1 ⎫ - λx2 + x - λ令 h x = ln x - λ x -⎪ ， h x x = x - λ x + x 2 ⎪ =x 2⎝⎭ ⎝ ⎭当λ≤ 0 时， h '(x )≥ 0 ，即 h (x )在[1 , + ∞)上单调递增，∴h (x )≥ h (1)= 0，即 f (x )≥ g (x )，与题意矛盾， 当λ> 0 时，令t (x )= -λx 2+ x - λ，其图像开口向下，对称轴方程为 x = 12λ当 ∆ = 1 - 4λ2≤ 0 时，即λ≥ 1， t (x )≤ 0 ，得 h '(x )≤ 0 ， h (x )在[1 , + ∞)上单调递减，∴h (x )≤ h (1)= 0 2 即对任意 x ∈[1 , + ∞)，不等式 f (x )≤ g (x )恒成立1⎧x + x = 1当 ∆ = 1 - 4λ2> 0 时，即0 < λ<，记 - λx 2 + x - λ= 0 的两个不等实根为 x 2 , x 2 ，则 ⎪ 122λ不妨设 x 1 < x 2 ，则0 < x 1 < 1 < x 2⎪⎩x 1 ⋅ x 2 = 1当 x ∈ (1 , x 2 )时， t (x )> 0 ，得 h '(x )> 0 ， h (x )在[1 , + ∞)上单调递增，∴h (x )≥ h (1)=0，与题意矛盾综上：实数λ的取值范围为λ≥ 1.2x 2 y 2()122. （本小题满分 12 分）如图，已知椭圆C : a2+b 2的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；= 1 a > b > 0 的离心率e = 2，椭圆上的点到左焦点 F 1（2）求椭圆C 的外切矩形 ABCD 的面积 S 的取值范围.解：（1）由题意知 c a b 2 = a 2 - c 2 = 3= 1， a + c = 3，解得 a = 2 ， c = 12∴椭圆C 的方程为： x+ y = 14 3 .（2）当矩形 ABCD 的一组对边斜率不存在时，此矩形时 ABCD 的面积 S = 8 当矩形 ABCD 的一组对边斜率不存在时，不妨设 AB , CD 所在直线的斜率为 k ，则 BC , AD 的斜率为 - 1k设直线 AB 的方程为 y = kx + m ，3111 m 2 k 2 + 1 k 2 4 + 3 k 2 1 + 1 3 + 4k 2 k 2 + 1 4 + 3k 2 k 2 + 1 12k 4 + 25k 2 + 12 k 4 + 2k 2 + 1 12 + 1 k 2 + 1 +2 k 2 12 + 1 4 123 + =⎧ y = kx + m联立 ⎪ x 2 y 2 ，得(4k 2 + 3)x 2 + 8mkx + 4m 2 -12 = 0 ， ⎨ ⎩⎪ 4 3 1有 ∆ = (8mk )2 - 4(4k 2 + 3)(4m 2 -12)= 0 ，解得 m 2 = 4k 2 + 3 ，显然直线CD 的方程为 y = kx - m则直线 AB 与CD 间的距离为 d 1 = = 2 = 2同理， BC 与 AD 间的距离为d 2 = 2 = 2∴ S ABCD = d 1d 2 = 4⋅ = 4 = 4= 4 ≤ 4= 14 （当且仅当k = ±1时等号成立） 又 S ABCD > 4 = 8 ，∴8 < S ≤ 14 .综上：椭圆C 外切矩形 ABCD 面积的取值范围是 (8 , 14].2 m k 2 + 1 4k 2+ 3k 2 + 1 4 + 3k 2 k 2 + 1 k 212 + k 4 + 2k 2 + 1 3 3。

金陵中学21-22高三11月学情调研卷--数学数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时刻为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答卷纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为 ． 2．已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ． 3．为了调查都市PM2.5的值，按地域把36个都市分成甲、乙、丙三组，对应的都市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个都市，则乙组中应抽取的都市数为 ．4．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个爱好小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个爱好小组的概率为 ．5．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为 ．7．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝ ．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k的取值范畴是 ．12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ．(填写所有正确命题的序号)13．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．(第8题)14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范畴为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)． （1）若a ∥b ，求sin2θ的值； （2）若a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．17．（本小题满分14分）经观看，人们发觉鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时刻(单位：h)，k为大于零的常数．假如水流的速度为 3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数；ABC DA 1B 1C(第16题)（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若→AM ＝→MP ，判定点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； （3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，(第18题)1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值． 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．【附加题】 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时刻30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1． （1）求a ，b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为2 3，求实数a 的值．ABD CPO· (第21A 题)D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3PA B C DE(第22题)个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题1．4 2．－6 3．4 4．13 5．1 6．72 7．－5 8．11 9．36 10． 2 11．[12，1) 12．②③④ 13．710 14．(－∞，－12－ln2) 二、解答题15．解：（1）因为a ∥b ，因此1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，因此sin2θ＝35． …………………6分（2）因为a ⊥b ，因此1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分因此tan θ＝－56． …………………10分因此tan(θ＋π4)＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝111． …………………14分16．证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，因此AD ⊥BC ． 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 因此AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，因此AD ⊥DC 1． …………………7分 （2）(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 则O 为A 1C 的中点． 因为D 为BC 的中点，因此OD//A 1B ． …………………11分 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1， 因此A 1B//平面ADC 1． …………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ． 因此四边形BDC 1D 1是平行四边形．因此D 1B// C 1D ． 因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 因此D 1B//平面ADC 1． 同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1， 因此平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分ABC DA 1B 1C 1（第16题图）OABC DA 1B 1C 1（第16题图）D 1因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，因此A 1B//平面ADC 1．…………………14分17．解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时刻为t ＝100v －3．…………………2分因此E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v ∈(3，＋∞))． …………………6分（2）E '＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2．…………………10分令E '＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)．因为k ＞0，v ＞3，因此当v ∈(3，4.5)时，E '＜0，当v ∈(4.5，＋∞)时，E '＞0．故E ＝100kv3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋∞)上单调递增．…………13分因此，当v ＝4.5时，E 取得最小值．即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分18．解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c ＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．因此b 2＝3． 因此椭圆方程为x 24＋y 23＝1． …………………4分 （2）因为→AM ＝→MP ，因此x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)，因此直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，因此→BM ＝(－1，32)，→BP ＝(2，3)．…………………8分 因为→BM ·→BP ＝52≠0，因此点B 不在以PM 为直径的圆上．…………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)． 直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，因此y p ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，因此y p ＝－2y 1x 1－2， …………………12分因此6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，因此6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1． 因此点M 的坐标为(1，32)． …………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，因此当x ＞2t3或x ＜0时，f ′(x )＞0，因此(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间； 当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，因此(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间．……4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，因此2t ≤3x 0＋12x 0恒成立，………………6分因为x 0∈（0，1]，因此3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．因此2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，因此直线l 的方程为y ＝－4t327． …………………10分令f (x )＝－4t 327，因此x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t3． 因此C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． …………………12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t327)2，且AD ＝AB ＝t ，因此(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）在S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得 (a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，因此a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ． …………………2分 因为数列{a n }是等差数列，因此a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．…………………………………………………………………………4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n＋S 2n －1． （2）由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，因此S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，① ……………6分 因此S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分 因此a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④ ④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…差不多上公差为6的等差数列………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．因此a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，…………………12分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154．因此M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分 【附加题】21． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，因此∠DPA ＝∠PBA ． ………………2分因为AB 为圆O 直径，因此∠APB ＝90°，因此∠BAP ＝90°－∠PBA ． ………………6分 因为AD ⊥CP ，因此∠DAP ＝90°－∠DPA ， 因此∠DAP ＝∠BAP ． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 通过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，因此⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分ABD CPO·(第21A 题)因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，因此a 2x 24＋b 2y 23＝1，那个方程即为圆C 方程． ………………6分因此⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，因此a ＝2，b ＝3．………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33．………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x － 3y ＋2a ＝0．………………4分 因此圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2＝|1＋a |． ………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，因此r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．证明：因为a ，b 是正数，因此a 2＋4b 2≥4ab ．………………2分因此a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab≥24ab ×1—ab＝4．即a 2＋4b 2＋1—ab≥4． ………………10分22．解（1）依照题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)， D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 因此→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 因此AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 因此AE ⊥平面PBC ． ………………4分（2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0． 因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，因此－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．因此n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量．………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，因此→AE 是平面PBC 的法向量． 因此cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．依照图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分23．解（1）P (X ＝7)＝C 23C 12 + C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335． 因此P （X ≥7）＝1135. ………………………4分（2）P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335． 因此随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8P335 835 1335 835 335…………………………………………8分因此E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6． ………………………10分。

金陵中学18-19高三11月学情调研卷--数学数 学本卷须知1、本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分、本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟、2、答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内、试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内、考试结束后，交回答卷纸、【一】填空题〔本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上〕1、集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R}，那么A ∩Z 中元素的个数为 、 2、2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，那么ab ＝ 、 3、为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18、假设用分层抽样的方法抽取12个城市，那么乙组中应抽取的城市数为 、4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，那么甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 、5、非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，那么向量b 的模为 、6、在平面直角坐标系xOy 中，焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，那么线段PF 的长为 、7、等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，那么S 4a 4＝ 、8、右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ 、 9、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， a ＝1，A ＝60°，c ＝33，那么△ABC 的面积为 、 10、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，那么圆C 的半径为 、11、函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，那么实数k 的取值范围是 、①假设m ∥n ，n ∥α，那么m ∥α；②假设m ⊥α，m ⊥β，那么α∥β；③假设α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，那么m ∥n ；④假设α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，那么m ⊥n 、其中是真命题的有、(填写所有正确命题的序号)13、直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，假设MN ＝15，那么线段MN 的中点纵坐标为、 14、函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，那么实数m 的取值范围为、(第8题)【二】解答题〔本大题共6小题，共计90分、请在答卷纸指定区域．．．．．．．内．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 15、〔本小题总分值14分〕平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)、 〔1〕假设a ∥b ，求sin2θ的值； 〔2〕假设a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值、 16、〔本小题总分值14分〕如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点、 〔1〕假设平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； 〔2〕求证：A 1B//平面ADC 1、 17、〔本小题总分值14分〕经观看，人们发明鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k为大于零的常数、假如水流的速度为3km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100km 、〔1〕将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数； 〔2〕v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少? 18、〔本小题总分值16分〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4、M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P 、ABCDA 1B 1C(第16题)〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设→AM ＝→MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由；〔3〕连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，假设直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标、19、〔本小题总分值16分〕设t ＞0，函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点、 〔1〕求函数f (x )的单调区间；〔2〕设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；〔3〕有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，假设四边形ABCD 为菱形，求t 的值、 20、〔本小题总分值16分〕数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *、 〔1〕假设数列{a n }是等差数列，求a 的值；〔2〕确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列、 【附加题】 本卷须知1、附加题供选修物理的考生使用、2、本试卷共40分，考试时间30分钟、3、答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内、试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内、考试结束后，交回答题纸、21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分、请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 A 、选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D 、 求证：∠DAP ＝∠BAP 、B 、选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，假设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x24＋y23＝1、 〔1〕求a ，b 的值； 〔2〕求矩阵A 的逆矩阵A －1、 C 、选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为2 3，求实数a 的值、 D 、选修4—5：不等式选讲a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分、请在答．卷．纸．ABD CPO· (第21A 题)指定区域内．．．．．作答、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、 22、如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点、〔1〕求证：AE ⊥平面PBC ；〔2〕求二面角B －PC －D 的余弦值、23、在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3、现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3个球上的数字和、 〔1〕求概率P (X ≥7)；〔2〕求X 的概率分布列，并求其数学期望E (X )、PABC DE (第22题)参考答案说明：1、本解答给出的解法供参考、假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么、2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，填空题不给中间分数、 【一】填空题1、42、－63、44、135、1 6、727、－58、119、3610、 211、[12，1)12、②③④13、71014、(－∞，－12－ln2) 【二】解答题15、解：〔1〕因为a ∥b ，因此1×3－2sin θ×5cos θ＝0，…………………3分即5sin2θ－3＝0，因此sin2θ＝35、…………………6分 〔2〕因为a ⊥b ，因此1×5cos θ＋2sin θ×3＝0、…………………8分因此tan θ＝－56、…………………10分因此tan(θ＋π4)＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝111、…………………14分16、证明：〔1〕因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，因此AD ⊥BC 、 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 因此AD ⊥平面BCC 1B 1、…………………5分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，因此AD ⊥DC 1、…………………7分 〔2〕(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ，那么O 为A 1C 的中点、 因为D 为BC 的中点，因此OD//A 1B 、…………………11分 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1， 因此A 1B//平面ADC 1、…………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B 、那么D 1C 1＝∥BD 、 因此四边形BDC 1D 1是平行四边形、因此D 1B//C 1D 、 因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 因此D 1B//平面ADC 1、 同理可证A 1D 1//平面ADC 1、因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1， 因此平面A 1BD 1//平面ADC 1、…………………11分因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，因此A 1B//平面ADC 1、…………………14分ABCDA 1B 1C 1（第16题图）OABC DA 1B 1C 1（第16题图）D 117、解：〔1〕鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时间为t ＝100v －3、…………………2分因此E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v ∈(3，＋∞))、…………………6分 〔2〕E '＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2、…………………10分令E '＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)、因为k ＞0，v ＞3，因此当v ∈(3，4.5)时，E '＜0，当v ∈(4.5，＋∞)时，E '＞0、故E ＝100kv3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋∞)上单调递增、…………13分因此，当v ＝4.5时，E 取得最小值、即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小、…………………14分18、解：〔1〕由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c ＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．因此b 2＝3、 因此椭圆方程为x 24＋y 23＝1、…………………4分〔2〕因为→AM ＝→MP ，因此x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)， 因此直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，因此→BM ＝(－1，32)，→BP ＝(2，3)、…………………8分因为→BM ·→BP ＝52≠0，因此点B 不在以PM 为直径的圆上、…………………10分〔3〕因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)、 直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，因此y p ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，因此y p ＝－2y 1x 1－2，…………………12分因此6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2、因为y 1≠0，因此6x 1＋2＝－2x 1－2、解得x 1＝1、 因此点M 的坐标为(1，32)、…………………16分 19、〔本小题总分值16分〕解：〔1〕f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，因此当x ＞2t3或x ＜0时，f ′(x )＞0，因此(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，因此(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间、……4分〔2〕因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，因此2t ≤3x 0＋12x 0恒成立，………………6分因为x 0∈〔0，1]，因此3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号、因此2t ≤6，即t 的最大值为62、…………………8分〔3〕由〔1〕可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t3处取得极小值－4t327、因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，因此直线l 的方程为y ＝－4t327、…………………10分令f (x )＝－4t 327，因此x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t3、 因此C 〔2t 3，－4t 327〕，D 〔－t 3，－4t327〕、…………………12分 因为A 〔0，0〕，B 〔t ，0〕、易知四边形ABCD 为平行四边形、AD ＝(－t3)2＋(－4t327)2，且AD ＝AB ＝t ，因此(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482、…………………16分20、〔本小题总分值16分〕解：〔1〕在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得 (a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，因此a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2A 、…………………2分 因为数列{a n }是等差数列，因此a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3、…………………………………………………………………………4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n＋S 2n －1、 〔2〕由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，因此S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，①……………6分因此S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)、③………………8分 因此a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④ ④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…基本上公差为6的等差数列………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2A 、因此a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，…………………12分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)，3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154、因此M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列、………………16分 【附加题】21、A 、选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，因此∠DPA ＝∠PBA 、………………2分 因为AB 为圆O 直径，因此∠APB ＝90°，因此∠BAP ＝90°－∠PBA 、………………6分 因为AD ⊥CP ，因此∠DAP ＝90°－∠DPA ， 因此∠DAP ＝∠BAP 、………………10分 B 、选修4—2：矩阵与变换解〔1〕：设点P 〔x ，y 〕为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 通过矩阵A 变换后对应点为P ′〔x ′，y ′〕那么⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，因此⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．、………………2分 因为点P ′〔x ′，y ′〕在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，因此a 2x 24＋b 2y 23＝1，那个方程即为圆C 方程、………………6分因此⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，因此a ＝2，b ＝3、………………8分ABD CPO·(第21A 题)〔2〕由〔1〕得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33、………………10分C 、选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x － 3y ＋2a ＝0、………………4分 因此圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2 ＝|1＋a |、………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，因此r 2－d 2＝3、即4－(1＋a )2＝3、解得a ＝0，或a ＝－2、………………10分 D 、选修4—5：不等式选讲a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4、证明：因为a ，b 是正数，因此a 2＋4b 2≥4aB 、………………2分 因此a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab≥24ab ×1—ab＝4、即a 2＋4b 2＋1—ab≥4、………………10分22、解〔1〕依照题意，建立如下图的空间直角坐标系， 那么A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)， D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，1)、 因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 因此→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP 、 因此AE ⊥BC ，AE ⊥BP 、因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 因此AE ⊥平面PBC 、………………4分〔2〕设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0、因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，因此－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0、令x ＝2，那么y ＝1，z ＝3、因此n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量、………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，因此→AE 是平面PBC 的法向量、 因此cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714、由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714、依照图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714、………………10分23、解〔1〕P (X ＝7)＝C 23C 12+ C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335、 因此P 〔X ≥7〕＝1135.………………………4分〔2〕P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335、 因此随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8P335 835 1335 835 335…………………………………………8分因此E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6、………………………10分。

南京市金陵中学2010届高三学情分析样题数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．相应位置上．1．设集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥－2}，则A∩B＝．2．计算：2i1＋i＝．3．函数y＝12sin2x－32cos2x的最小正周期是．4．为了解某校高中学生的视力情况，对该校学生按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共被抽取25名，则高一年级应被抽取的学生数为．5．如果lg m＋lg n＝0，那么m＋n的最小值是．6．设a∈{－1，0，1，3}，b∈{－2，4}，则以（a，b）为坐标的点落在第四象限的概率为．7．根据如图所示的算法流程图，输出的结果T为．8．如图，某几何体的主视图、左视图、俯视图均为腰长为2cm的等腰直角三角形，则这个几何体的体积为cm3．9．以椭圆C的短轴为直径的圆经过该椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为．10．若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8＝2a3，则S15S5的值是．11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝5，b ＝7，cos C ＝ 45，则角A的大小为 ． 12．已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝60°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值是 ．13．把数列{12n}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有2k －1个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为(k ，s )，则 12010可记为 ．14．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 f (x )cos x＜0的解集为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上． 15．（本题满分14分）已知sin x ＝ 513，x ∈(π2，π)，求cos2x 和tan(x ＋π4)值．16．（本题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且E 、O 分别为PC 、BD 的中点． 求证：（1）EO ∥平面P AD ；（2）平面PDC ⊥平面P AD ．17．（本题满分14分） 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投PEC BA D O 12 14 1618 110 112 114116 118 120 122 124… …（第13题图）（第14题图）资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）．求：（1）y 关于x 的函数表达式； （2）总利润的最大值． 18．（本题满分16分）已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0，圆O ：x 2＋y 2＝4． （1）求直线l 1被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线l 2与l 1垂直，l 2与圆心在直线x －2y ＝0上的圆M 相切，圆M被直线l 1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M 的方程． 19．（本题满分16分）已知：在数列{a n }中，a 1＝ 14，a n +1＝ 14a n ＋24n +1．（1）令b n ＝4na n ，求证：数列{b n }是等差数列；（2）若S n 为数列{a n }的前n 项的和，S n ＋λna n ≥59对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值． 20．（本题满分16分）设函数f (x )＝ 13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R ．（1）当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点（2，f (2)）处的切线方程；（2）已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β．若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1) 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．{x |－2≤x ≤1} 2．1＋i 3．π 4．40 5．2 6．147．48 8．43 9．22 10．6 11．π4 12．1313．（10，494） 14．（－π2，－1）∪（1，π2）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：cos2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×(513)2＝119169． …………………………………………6分因为sin x ＝513，x ∈(π2，π)，所以cos x ＝－1－（513)2＝－ 1213 ． …………………8分则tan x ＝sin x cos x ＝－ 512 ． ………………………………………………………………10分所以tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x ＝ 717． ……………………………………………………14分16．（1）证法一：连接AC ．因为四边形ABCD 为矩形，所以AC 过点O ，且O 为AC 的中点．又因为点E 为PC 的中点，所以EO //P A ．………………………………………………4分 因为P A ⊂平面P AD ，EO /⊂平面P AD ，所以EO ∥面P AD ．…………………………7分 证法二：取DC 中点F ，连接EF 、OF ．因为点E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以EF //PD ，OF //BC ． 在矩形ABCD 中，AD //BC ，所以OF //AD ． 因为OF /⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以OF //平面P AD ． 同理，EF //平面P AD ．因为OF ∩EF ＝F ，OF 、EF ⊂平面EOF ，所以平面EOF //平面P AD ． ………………………………………………………………4分 因为EO ⊂平面OEF ，所以EO ∥平面P AD ．…………………………………………7分 证法三：分别取PD 、AD 中点M 、N ，连接EM 、ON 、MN ．因为点E 、O 分别为PC 和BD 的中点，所以EM ＝∥12CD ，ON ＝∥12AB ． 在矩形ABCD 中，AB ＝∥CD ，所以EM ＝∥ON ． 所以四边形EMNO 是平行四边形．所以EO //MN ．……………………………………4分因为MN ⊂平面P AD ，EO /⊂平面P AD ，所以EO ∥面P AD ． ………………………7分 （2）证法一：因为四边形ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．………………………………9分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ．……………………………………………………………………12分 又因为CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面P AD ． ……………………………………………………………14分 证法二：在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为F ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PF ⊥平面ABCD ．因为CD ⊂平面ABCD ，所以PF ⊥CD ． ………………………………………………9分 因为四边形ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．……………………………………………11分 因为PF ∩AD ＝F ，所以CD ⊥平面P AD ．……………………………………………12分 又因为CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面P AD ．……………………………………………………………14分17．解：（1）根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x )， …………………………………………6分x ∈［0，5］． ………………………………………………………………………7分 （注：定义域写成（0，5）不扣分） （2）令t ＝3x ，t ∈［0，15］，则x ＝t 23，y ＝－t 224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924．…………………………………………………10分因为2∈［0，15］，所以当3x ＝2时，即x ＝43时，y 最大值＝1924．……………………………13分答：总利润的最大值是1924亿元． ………………………………………………………14分18．（1）解法一：圆心O 到直线l 1的距离d ＝|3×0＋4×0－5|32＋42＝1，……………………1分圆O 的半径r ＝2，…………………………………………………………………………2分 所以半弦长为22－12＝3． ……………………………………………………………4分 故直线l 1被圆O 所截得的弦长为23．…………………………………………………5分解法二：解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，x 2＋y 2＝4．得⎩⎨⎧x ＝3＋435，y ＝4－335或⎩⎨⎧x ＝3－435，y ＝4＋335．……………2分直线l 1与圆O 的交点是（3＋435，4－335），（3－435，4＋335）．故直线l 1被圆O 所截得的弦长（3＋435－3－435）2＋（4－335－4＋335）2＝23．……………………………………………………………………………………………5分（2）因为过点（－1，2）的直线l 2与l 1垂直，直线l 1的方程为3x ＋4y －5＝0，所以直线l 2的方程为：4x －3y ＋10＝0． ……………………………………………7分 设圆心M 的坐标为（a ，b ），圆M 的半径为R ，则a －2b ＝0． ①因为圆M 与直线l 2相切，并且圆M 被直线l 1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，所以|4a －3b ＋10|5＝R ，|3a ＋4b －5|5＝12R ．所以|4a －3b ＋10|5＝2×|3a ＋4b －5|5．…………………………………………………9分可得4a －3b ＋10＝2×(3a ＋4b －5)或4a －3b ＋10＝－2×(3a ＋4b －5)． 即2a ＋11b －20＝0，② 或2a ＋b ＝0．③由①、②联立，可解得a ＝83，b ＝43．所以R ＝103．故所求圆M 的方程为(x －83)2＋(y －43)2＝1009．…………………………12分由①、③联立，可解得a ＝0，b ＝0．所以R ＝2．故所求圆M 的方程为x 2＋y 2＝4．………………………………………15分综上，所求圆M 的方程为：(x －83)2＋(y －43)2＝1009或x 2＋y 2＝4． ……………16分19．解：（1）由a n +1＝14a n ＋24n +1，得 4n +1 a n +1＝4n a n ＋2． …………………………………………………………………2分所以b n +1＝b n ＋2，即b n +1－b n ＝2．……………………………………………………………………………4分 故数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．………………………………………5分 （2）因为数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以b n ＝1＋2（n －1）＝2n －1．因为b n ＝4n a n ，所以 a n ＝2n －14n ． ………………………………………………………7分则S n ＝14 ＋ 342 ＋ 543 ＋…＋ 2n －34 n －1 ＋ 2n －14n ．又14S n ＝142 ＋ 343 ＋ 544 ＋…＋ 2n －34 n ＋ 2n －14n ＋1． 所以34S n ＝14＋2（142 ＋143 ＋ 144 ＋…＋14 n ）－ 2n －14n ＋1 ……………………………9分＝14＋2×142(1－14 n －1)1－14－2n －14n ＋1． 所以S n ＝59 － 29×14 n －1 － 2n －13×14 n ． ……………………………………………11分因为S n ＋λna n ≥59对任意n ∈N *恒成立，所以 59 －29×14 n －1 －2n －13×14 n ＋λ×n （2n －1）4 n ≥59对任意n ∈N *恒成立．即λ≥89×1 n （2n －1） ＋13n 对任意n ∈N *恒成立．…………………………………12分因为n ≥1，2n －1≥1，所以89×1 n （2n －1） ≤89，当且仅当n ＝1时取等号．又因为13n ≤13，当且仅当n ＝1时取等号． 所以89×1 n （2n －1） ＋13n ≤119 ，当且仅当n ＝1时取等号．………………………15分所以λ≥119，所以λ的最小值为119．……………………………………………………16分20．解：(1)当m ＝3时，f (x )＝ 13x 3－3x 2＋5x ，f ′ (x )＝x 2－6x ＋5．…………………………1分因为f (2)＝ 23，f ′ (2)＝－3，所以切点坐标为（2，23）， ………………………………2分切线的斜率为－3． ………………………………………………………………………3分则所求的切线方程为y － 23＝－3(x －2)，即9x ＋3y －20＝0．…………………………4分（2）解法一：f ′ (x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4)，令f ′ (x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2． ……6分当x ∈（－∞，m －2）时，f ′ (x )＞0，f (x )在（－∞，m －2）上是增函数； 当x ∈（m －2，m ＋2）时，f ′ (x )＜0，f (x )在（m －2，m ＋2）上是减函数；当x ∈（m ＋2，＋∞）时，f ′ (x )＞0，f (x )在（m ＋2，＋∞）上是增函数．…………9分因为函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且f (x )＝13x [x 2－3mx ＋3(m 2－4)]，所以⎩⎨⎧(3m )2－12(m 2－4)＞0，3(m 2－4)≠0．解得m ∈(－4，－2)∪(－2，2)∪(2，4)． 当m ∈(－4，－2)时，m －2＜m ＋2＜0，所以α＜m －2＜β＜m ＋2＜0． 此时f (α)＝0，f (1)＞f (0)＝0，与题意不合，故舍去；当m ∈(－2，2)时，m －2＜0＜m ＋2，所以α＜m －2＜0＜m ＋2＜β． 因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1； 当m ∈(2，4)时，0＜m －2＜m ＋2，所以0<α＜m －2＜m ＋2＜β． 因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值． 因为当x ＝m ＋2时，函数f (x )在[α，β]上取最小值，所以m ＋2＝1，即m ＝－1 (舍去)．……15分综上可知，m 的取值范围是{－1}．……………………………………………………16分 解法二：f ′ (x )＝x 2－2mx ＋(m 2－4)，令f ′ (x )＝0，得x ＝m －2或x ＝m ＋2．…………6分 所以，当x ∈（－∞，m －2）时，f ′ (x )＞0，f (x )在（－∞，m －2）上是增函数； 当x ∈(m －2，m ＋2)时，f ′ (x )＜0，f (x )在(m －2，m ＋2)上是减函数；当x ∈（m ＋2，＋∞）时，f ′ (x )＞0，f (x )在（m ＋2，＋∞）上是增函数．…………9分 当α＜β＜0时，必有α＜m －2＜β＜m ＋2＜0，则当x ∈[α，β]时，f (x )的最小值是f (α)＝0． 此时f (1)＞f (0)＝0＝f (α)，与题意不合，故舍去；当α＜0＜β时，则有α＜m －2＜0＜m ＋2＜β，此时3(m 2－4)＜0，即－2＜m ＜2． 因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．又函数f (x )在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m ＝3（舍去）或m ＝－1；当0＜α＜β时，则有0＜α＜m －2＜m ＋2＜β，此时⎩⎪⎨⎪⎧(3m )2－12(m 2－4)＞0，3m ＞0，3(m 2－4)＞0．解得m ∈(2，4)．因为对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，所以α＜1＜β． 所以f (1)为函数f (x )在[α，β]上的最小值．又函数f (x )在[α，β]上的最小值就是极小值，所以f ′(1)＝0，得m ＝3或m ＝－1（舍去）． 又因为当m ＝3时，f (1)为极大值，与题意不合，故舍去．…………………………15分 综上可知，m 的取值范围是{－1}．……………………………………………………16分。

金陵中学2021~2022学年3月学情调研高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．复数2－i1－3i 在复平面内对应的点在第_____象限．A ． 一B ． 二C ．三D ．四2．已知sin α＝35，sin2α＜0，则cos(π＋α)的值为A ．45B ．－45C ．35D ．－353．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＝2与抛物线C :y 2＝2px (p ＞0) 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ． (14，0)B ． (12，0)C ． (1，0)D ． (2，0)4．已知a ＝2log 53，b ＝12log 52，c ＝log73，则 A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 A ．20＋123B ．2823C ．563D ．2826．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．－2－22C ．1D ．22－27．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ＜m ，x －1e x ，x ≥m ，g (x )＝f (x )－n ．若存在实数n ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数m 的取值范围为 A ．(1－1e2，2)B ．(1＋1e2，2)C ．(－1－1e2，2)D ．(－1＋1e2，2)8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．对于实数a ，b ，c ，下列结论正确的是 A ．若a ＞b ，则ac ＜bc B ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则|a|＞|b |D ．若c ＞a ＞b ＞0，则1c －a ＞1c －b10．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列结论正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，1)，F 1(－1，0)，F 2(1，0)．若动点P 满足 |PF 1|＋|PF 2|＝4，则 A ．存在点P ，使得|PF 2|＝1 B ．△PF 1F 2面积的最大值为3 C ．对任意的点P ，都有|P A |＋|PF 2|＞3D ．有且仅有3个点P ，使得△P AF 1的面积为3212． 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BB 1，C 1D 1的中点，则 A ．EF ⊥EC B ．BD ∥平面AEFC ．三棱锥C 1CEF 外接球的表面积为5πD ．平面A 1BCD 1被三棱锥C 1－CEF 外接球截得的截面圆面积为9π8三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →的值为▲________．14．数列{a n }通项公式a n ＝|2n －3|．若等差数列{b n }满足:n ∈N ＋，都有a n ≤b n ≤a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n ＝▲________．15．袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则E (ξ)的值为▲________．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋(2－a )x ，其中a ≥0．若对任意的x ∈R ，都有f (x －2a )≤f (x )，则a 的取值范围为▲_______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠ADC ＝π2，BC ＝8．(1)若△ABC 的面积为123，求AC ；(2)若AD ＝63，∠ACB ＝∠ACD ＋π3，求tan ∠ACD ．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝4，AP ＝15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD ． (1)证明:AB ⊥PM ；(2)求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求甲最终获胜的概率．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，1|OF |＋1|OA |＝e |F A |，△OAB 的面积为2，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆C :x 2＋y 2＝4交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为k 1，k 2，问k1k 2是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝e x －ax 2－x －1(a ＞0)．(1)当a ＝e2时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )＋2，当a ∈(t ，＋∞)时，F (x )有三个不同的零点，求实数t 的最小值．。

南京市金陵中学2010届高三学情分析样题地理试题第I卷（选择题共60分）一、选择题（共60分）（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

20XX7月22日上午9时左右（时间），千年一遇的日全食自西向东扫过我国长江流域（如图1阴影所示）。

读图完成1～2题。

图11．日全食发生当日，下列四城市正午太阳高度最低，昼最长的是（）A．B．XX C．武汉D．成都2．当南京地区的人们观看日全食现象时，纽约时间（西五区）约是（）A．7月22日22时B．7月21日14时C．7月22日20时D．7月21日20时3．图2中的曲线为海洋表层海水等温线，箭头为洋流流向，下列叙述正确的是（）20°C 16°18°C 18°C16°C 20°C 、 A ．甲为南半球暖流 B ．乙为北半球暖流 C ．甲为北半球寒流 D ．乙为南半球寒流4．有关洋流对地理环境影响的叙述，正确的是 （ ） A ．加快了海洋污染物的净化速度，缩小了污染范围 B ．西欧温带海洋性气候的形成主要是受寒流影响 C ．秘鲁沿岸寒暖流交汇处，形成世界著名的渔场D ．促进高低纬度之间热量的输送和交换，维持全球热量平衡人类活动会导致某些自然要素的变化，进而带动其它要素的变化，其中水是比较容易受人类干扰的自然要素。

据图3，完成5～6题。

5．图中I 、Ⅱ、Ⅲ相应内容的排序，正确的是 （ ） ①土壤水增多 ②库区蒸发量增大 ③植被覆盖率增大 A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②6．图中各地理要素之间的关系体现了地理环境的 （ ） A ．整体性特征B ．区域性特征 C ．差异性特征D ．不稳定性特征表1反映了20XX ～2050年世界移民趋势。

据此完成7～8题。

表1迁出国 数量（万人/年） 迁入国 数量（万人/年） 中国 30．3 美国 110．0 墨西哥 26．7 德国 21．2 印度 22．2 加拿大 17．3 印度尼西亚 18．0 英国 13．6 菲律宾 14．4 澳大利亚 8．37．关于人口迁移的叙述，正确的是 （ ） A ．主要由人口多的国家迁往人口少的国家B ．主要由发展中国家迁往发达国家图2 乙 图3C ．全球迁出人口少于迁入人口D ．主要由亚洲国家迁往拉丁美洲国家8．下列关于人口迁移影响的叙述，正确的是 （ ） A ．减轻了迁入地的就业压力 B ．加重了迁出地的环境压力C ．为迁入地提供劳动力，促进经济发展D ．对迁出地人们生活观念的更新没有帮助 我国近年研制出了利用玉米叶片加工、编织购物袋的技术，这种购物袋易分解且物美价廉。

江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高三下学期期初学情调研测试数学试卷一、单选题1．已知向量(3,),(2,6)a x b x ==r r ，则“ 3x =”是 “//a b r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）A ．()xf x ka b =+B ．()e xf x kx b =+C ．()f x k x b =+D ．()2(1)f x k x b =-+3．已知集合1{|i ,}in n A z z n *==+∈N ，则A 的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，AB 是它的一条对称轴，F 是它的左焦点，光线从焦点F 发出，经过镜面上点P ，反射光线为PQ ，若90AFP ∠=︒，135FPQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC 1D 6．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ） A ．192种B ．252种C ．268种D ．360种7．已知函数()ln f x x =，若()()1f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．[)1,+∞8．空间中13个不同的点构成的集合{}0,1,2,,12i P A i ==⋅⋅⋅，满足当{}0,1,2,3k ∈时，3313233k k k k A A A A +++都是正四面体.对于任意平面π，P π⋂的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、多选题9．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ）A ．这10个月的月销售量的极差为15B ．这10个月的月销售量的第65百分位数为33C ．这10个月的月销售量的中位数为30D ．前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差10．设函数()()2πsin 0,0π3f x wx w x ⎛⎫=->≤≤ ⎪⎝⎭，若()f x 有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（ ）A ．()1f x +有且仅有两个零点B ．()1f x -有一个或两个零点C ．()f x 在区间π0,21⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．w 的取值范围是811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC ，AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，若a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC V 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC -.设BOC α∠=，AOC β∠=，AOB γ∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．若平面ABC V 2的等边三角形，则a b c R === B ．若222+=a b c ，则222αβγ+=C ．若π3a b c R ===，则球面O ABC -的体积3V R > D ．若平面ABC V 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +>三、填空题12．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()14P B =，()13P A B =，()23P A B +=，则()P A =．13．数学月考出了这样一道题：设,A B 为椭圆221169x y+=上的两个动点，若直线430x y m +-=上存在点P ，使得APB ∠为直角，求实数m 的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：． 14．已知函数()ln f x x x x =-，若10x ∀>，20x >且12x x ≠，恒有()()12121e etx tx f x f x -<-，则正实数t 的取值范围为．四、解答题15．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，随机移动n 次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X .(1)若2n =，求()0P X =;(2)若6n =，求X 的分布列和()E X 的值.16．如图，在△ABC 中，AB =BC =2，D 为△ABC 外一点，AD =2CD =4，记∠BAD =α，∠BCD =β.(1)求2cos cos αβ-的值；(2)若△ABD 的面积为1S ，△BCD 的面积为2S ，求2212S S +的最大值.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB BC ⊥，AB AD ⊥，2AD BC =，2DE PE =．(1)证明：//BP 平面ACE ；(2)已知2AD =，AP =PD =平面PAD ⊥底面ABCD ，若平面PAC 与平面EAC 的，求AB ．18．已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为A ，抛物线2C ：21y x =-+截x 轴所得的线段长为1C 的长半轴长. (1)求椭圆1C 的方程；(2)过原点的直线l 与2C 相交于B ，C 两点，直线,AB AC 分别与1C 相交于P ，Q 两点. ①证明：直线AB 与直线AC 的斜率之积为定值； ②记ABC V 和APQ △的面积分别是1S ，2S ，求12S S 的最小值. 19．设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1f x '≤对任意x D ∈恒成立，则称函数()f x 在区间D 上的“一阶有界函数”．(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为R 上的“一阶有界函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为R 上的“一阶有界函数”，且()f x 在R 上单调递增，设A ，B 为函数()f x 图像上相异的两点，直线AB 的斜率为k ，试判断“01k <≤”是否正确，并说明理由；(3)若函数()()32e e 1x h x ax x a x =+---为区间[]0,1上的“一阶有界函数”，求a 的取值范围．。

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高三（下）学情检测物理试卷（4月份）一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项最符合题意．1．两个完全相同的等腰三棱镜如图所示放置，相邻两侧面相互平行，一束白光从棱镜A的左面入射，从B 的右面出射，则出射光线是（）A．平行彩色带B．白光带C．散射彩色带D．一束白光2．两个氘核以相等的动能Ek对心碰撞发生核聚变，核反应方程为H+H→He+n，其中氘核的质量为m1，氦核的质量为m2，中子的质量为m3。

假设核反应释放的核能E全部转化为动能，下列说法正确的是（）A．核反应后氦核与中子的动量相同B．该核反应释放的能量为E＝（m1﹣m2﹣m3）c2C．核反应后中子的动能为（E+E k）D．核反应后氦核的动能为（E+2E k）3．麦克斯韦在前人研究的基础上，创造性地建立了经典电磁场理论，进一步揭示了电现象与磁现象之间的联系。

他大胆地假设：变化的电场就像导线中的电流一样，会在空间产生磁场，即变化的电场产生磁场。

以平行板电容器为例：圆形平行板电容器在充、放电的过程中，板间电场发生变化，产生的磁场相当于一连接两板的直导线通以充、放电电流时所产生的磁场。

如图所示，若某时刻连接电容器的导线具有向上的电流，则下列说法中正确的是（）A．电容器正在放电B．两平行板间的电场强度E 在增大C．该变化电场产生顺时针方向（俯视）的磁场D．两极板间电场最强时，板间电场产生的磁场达到最大值4．一定质量的理想气体从状态a开始，经过如图所示的三个过程回到初始状态a，下列判正确的是（）A．在a→b过程中气体对外做的功等于在b→c过程中气体对外做的功B．在b→c过程中气体从外界吸收的热量小于在c→a过程中气体向外界放出的热量C．在c→a过程中外界对气体做的功大于气体向外界放出的热量D．在a→b过程中气体内能的增加量小于c→a过程中气体内能的减少量5．均匀介质中，一波源位于O点的简谐横波在xOy水平面内向四周传播，波速为3m/s，振幅为3cm。