1 巧妙求和(一)

巧妙求和（一）知识要点：1、一定量的数按照顺序排成一串，就叫作数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，最末一个数称为末项，数列中数个数称为项数。

如：3、6、9、12----、96，首项是3，末项是96，项数为32.2、如果一个数列的每一项和前一项的差相等，就叫作等差数列。

每一项和前一项的差叫作公差。

如以上的就是等差数列，公差为3.芝麻开门：同学们听过德国数学家高斯的故事吗？高斯在10岁的时候就显示出与众不同的数学才能。

在一次数学课上，数学老师提出这样的一个问题。

计算：1+2+3+---+99+100的和？正当其他同学还在苦思冥想时，高斯已经算出了答案：5050，老师和同学们都很惊诧他的运算速度。

同学们你们知道小高斯为什么能这么快就能计算出答案吗？他究竟用了什么方法呢？下面我们就来探究一下。

经典范例例1: 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和。

思路解析：在计算这样的算式时，如果我们依次计算，数字太大、太多，计算起来特别麻烦还容易出现错误。

于是，我们就要调整思维方式，观察算式，寻找规律。

解：方法一：观察得到把最小的数和最大的数相加得11，然后再依据规律依次相加，总共有5对得11的算式，没有多余的数。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11×5=55方法2：找出和为10的式子，但会出现多余的数，然后再把多余的数加上去。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5+10=10×4+15=55例2：计算1+3+5+7+9+11+13+15+17思路解析：在这个算式中，首项和末项的和是1+17=18，次项和3+15=18也是18，依次结合，最后把多余的项加上去。

解：方法一：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）+（3+15）+（5+13）+（7+11）+9=18×4+9=72+9=81方法2：1+3+5+7+9+11+13+15+17=（1+17）×9÷2=18×9÷2=162÷2=81小结：1、在例1和例2中，每一项和前一项的差都是相同的，因此都是等差数列。

第八周巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

练习三计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

第8周巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：3，6，9，…，96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

这一周，我们将学习“等差数列求和”。

为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X 项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、公差、及总和这五个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式及求和公式求其余两个量。

例1：等差数列4，10，16，22，…，52共有多少项？练习一：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

这个等差数列共有多少项？2、等差数列2，5，8，11，…，101共有多少项？3、已知一个等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？例2：已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习二：1、一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2、已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3、已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？例3：有这样的一个列数1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习三：计算下面各题。

1、1+2+3+4+…+49+502、6+7+8+9+…+753、100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习四：计算下面各题。

1、2+6+10+14+19+222、5+10+15+20+…+195+2003、9+18+27+36+…+261+270例5：如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习五：1、如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2、如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3、如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？1、有一个等差数列：9，12，15，18，…，2004，这个数列共有多少项?2、已知等差数列：1000，993，986，979，…，20，这个数列共有多少项?3、求等差数列:1，6，11，16，…的第61项。

称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？练习:1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习:计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270例5：计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习:用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)例6:如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求他的第8项。

（2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，求他的第12项。

四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

这一周学习“等差数列求和”。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如:3,6,9，…,96,这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

在这一节课我们要学习“等差数列求和”，为了更好掌握此类问题，我们需要记住三个公式：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这几个量中的三个，就可以利用上面三个公式进行计算。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52。

这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101，这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2. 求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求它的第8项。

巧妙求和（一）测试卷通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和：总和=（首项+末项）×项数÷21、有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？（4′）2、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？（4′）3、有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？（4′）4、已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？（4′）5、有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？（4′）6、一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？（4′）7、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

（4′）8、求等差数列2，6，10，14……的第100项。

（4′）9、有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

（4′）10、求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

（4′）11、计算下面各题。

(30′)（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60（4）2+6+10+14+18+22 （5）5+10+15+20+…+190 （6）9+18+27+36+…+26112、用简便方法计算下面各题。

（30′）（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)。

第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2，6，10，14……的第100项。

8讲巧妙求和（一）第一、知识要点．若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100）”进行计算。

1公差×（项数－+首项=项，可根据“末项．第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。