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1第一讲 巧妙求和(一)

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四年级奥数巧妙求和一学习教案

四年级奥数巧妙求和一学习教案
➢ 解析：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相 加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中 每个小括号内的两个数的和都是101，一共(yīgòng)有100个101相加，所 得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
➢ （2）6+7+8+…+74+75
➢ （3）100+99+98+…+61+60
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第九页，共14页。
例4：求等差数列(děnɡ chā shù liè)2，4，6，…， 48，50的和。
➢ 解析：这个(zhè ge)数列是等差数列，我们可以用公式计算。
➢ 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
➢ 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 ➢ 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和： ➢ 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 ➢ 这个公式也叫做等差数列求和公式。
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第八页，共14页。
对应(duìyìng)练习
➢ （1）1+2+3+…+49+50
➢ （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） ➢ =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） ➢ =1+1+1+…+1 ➢ =50

巧妙求和(一)11

巧妙求和(一)11
小学四年级奥数
巧妙求和（一）
陕西乐尔思网校
高斯求和
• 1+2+3+4+‥‥‥+97+98+99+100=
？
• 一、知识要点 • 若干个数排成一列称为数列。数列中的每 一个数称为一项。其中第一项称为首项， 最后一项称为末项，数列中项的个数称为 项数。 • 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差 都相等的数列称为等差数列，后项与前项 的差称为公差。
• 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项 公式”和“项数公式”。 • 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
• 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
• 【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…， 52.这个数列共有多少项？
• 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6， 首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式 进行计算。 • 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项
• • • •
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50
• 【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
• 【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此， 可以先分别求出它们各自的和，然后相减。 • 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数 分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此， 我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个 差，再求出所有差的和。

小学四年级奥数巧妙求和

小学四年级奥数巧妙求和

四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

这一周学习“等差数列求和”。

需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

巧妙求和一

巧妙求和一

一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如:3,6,9，…,96,这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

在这一节课我们要学习“等差数列求和”，为了更好掌握此类问题，我们需要记住三个公式：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这几个量中的三个，就可以利用上面三个公式进行计算。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52。

这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101，这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2. 求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求它的第8项。

苏教版六年级奥数 第1讲 巧妙求和(一)

苏教版六年级奥数 第1讲 巧妙求和(一)

第1讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：3、6、9、……96，这是一个首项为3，末项为96，项数是32，公差是3的等差数列。

在这一章要用到三个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”“求和公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差及总和这个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式及求和公式求其余两个量。

【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3，7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习5：(1)如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少?(2)如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少?(3)如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少?1、有一个等差数列:9，12，15，18，…，2004，这个数列共有多少项?2、已知等差数列:1000，993，986，979，…，20，这个数列共有多少项?3、求等差数列:1，6，11，16，…的第61项。

小学四年级奥数思维问题之巧妙求和(一)

小学四年级奥数思维问题之巧妙求和(一)

巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。

这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习：计算下面各题。

（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。

四年级奥数巧妙求和一PPT学习教案

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➢ 项数=（52－4）÷6＋1=9，
对应练习
➢ 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有 多少项？
➢ 2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共 有多少项？
➢ 3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共 有多少项？
四年级奥数巧妙求和一
名人故事
说一说右图是谁，你知道他小时候 的故事吗？
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• 数列：若干个数排成一列。（一列数字） • 项数：数列中项的个数。（数字个数） • 首项：数列第一项。（第一个数字） • 末项：数列最后一项。（最后一个数字） • 等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相
➢ 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ~ 100这100个 数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因 此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得 到50个差，再求出所有差的和。
➢ （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） ➢ =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） ➢ =1+1+1+…+1 ➢ =50
如果我们把112344??9999100100与列与列1001009999??33221加则得到加则得到11001100299299398398??99299210011001其中其中每个小括号内的两个数的和都是每个小括号内的两个数的和都是101101一共有一共有100100个个101101相加所得的和就是相加所得的和就是所求数列的和的所求数列的和的22倍再除以倍再除以22就是所求数列的和

巧妙求和(一)

巧妙求和一、知识要点在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+992、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习2：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101)这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习3：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习4：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习5：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习6：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和(教案)

1. 数列求和：学生已掌握简单的整数加减法，能运用此知识解决等差数列的求和问题。
2. 连续整数求和：学生掌握了乘法口诀，能运用口诀快速计算连续整数的求和。
3. 对称数求和：学生在学习多位数加减法时，已接触过对称数的概念，本节课将引导学生运用对称性简化求和过程。
核心素养目标
本节课旨在培养学生以下学科核心素养：
针对这些反思，我计划采取以下改进措施：
1. 在小组讨论环节，我会更加关注那些不太发言的学生，鼓励他们勇敢地表达自己的观点，并适时给予肯定和表扬。
2. 尝试引入更多样的教学方法，如角色扮演、数学建模等，让学生在丰富的教学活动中提高学习兴趣和参与度。
3. 加强学生的预习指导，通过设计具有思考性的预习问题，激发学生的求知欲，为课堂学习打下坚实基础。
2. 建议学生利用课余时间玩一些数学游戏，锻炼逻辑思维和计算能力，同时培养良好的学习习惯。
3. 鼓励学生阅读数学家传记，了解数学家的奋斗历程和成就，激发学生树立远大理想，为数学学习树立榜样。
4. 定期组织学生参加数学实践活动，如数学竞赛、讲座等，提高学生的数学素养，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
b. 讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中互相启发，共同探讨解决问题的方法。
c. 案例研究：通过具体的求和案例，让学生分析问题、总结规律，培养学生解决问题的能力。
d. 项目导向学习：将学生分成小组，每组负责研究一种求和方法，最后进行汇报和分享，以提高学生的团队协作和自主学习能力。
2. 教学活动：
人教版四年级下册奥数专讲：巧妙求和（教案）
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容为人教版四年级下册奥数专讲中的“巧妙求和”。教学内容主要包括：数列的求和、连续整数的求和以及对称数的求和。这些内容与学生在三年级学过的整数加减法、乘法口诀以及本学期学习的多位数加减法有密切联系。

巧妙求和ppt课件


（70-20）÷ 5+1=11
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天 老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很 快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来 小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相 等。于是，小高斯把这道题巧算为
9+18+27+ …… +99 =(9+99) ×11 ÷ 2 =108×11÷ 2 =594
(99-9) ÷ 9+1=11
王宇同学读一本童话书书，第一天读20页， 从第二天起每天都比前一天多读5页，最后 一天读70页，这本书共有多少页？
20+25+30+35+ …… +70
=(20+70)×11÷ 2 =90×11÷ 2 =495（页）
1+4+7+10+13+…… +97+100
=（1+100）×34 ÷ 2 =101 ×34 ÷ 2 =1717
（100-1）÷ 3+1=34
快速计算。
9+14+19+24+ ……+64+69 =（9+69）×13 ÷ 2 =78 ×13 ÷ 2 =507
（69-9Leabharlann ÷5+1=13求不大于100的所有9的倍数的和。
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100 =（1+100）×100÷2 =101 ×100÷2 =5050。
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Sn =（a1 +an ）×n÷2
原式=（1+100）×100÷2
=101×100÷2
=10100÷2
=5050
练习三
1、求1+2+3+4+5+…+78+79的和 Sn=（a1+an）×n÷2
原式=（1+79）×79÷2 =80×79÷2 =6320÷2 =3160
答：这个数列的和是3160。 2、求101+102+103+104+…+200的和
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
练习四 1、计算
（1）42+44+46+48+50+…+76
项数：（76-42）÷（44-42）+1 =34÷2+1 =17+1 =18
求和： 原式=（42+76）×18÷2
=118×18÷2 =2124÷2 =1062
四年级奥数
第一学期课程
巧妙求和（一） 专题简析：按照一定次序排列的一列数叫做数列。数列中 的每一个数称为一项，第一项称为首项，最后一项称为末 项，数列中项的个数称为项数。 每一项与它前面一项的差都相等的数列称为等差数列，后 项与前项的差称为公差。 有关等差数列，需要记住三个非常重要的公式： (其中an是第n项，a1是首项，n是项数，d是公差）
=98÷2+1 =49+1 =50
原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2
=102×50÷2-100×50÷2 =5100÷2-5000÷2 =2550-2500 =50
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
答：数列的第100项是497。
=1+57
=58
答：数列第20项是58。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
2、数列1,5,9,13,17……的第25项 是多少？
3、某阶梯教室有20排座位，第一 排有10个座位，其中每一排都比
分析与解答：计算上面的算式，其实就是求一个等差数列的和，而这个 等差数列的首项是1，末项是99，公差是2，但未知项数，所以求项数成 为求和的关键。运用求项数公式，求出项数之后再求和。
项数：n=(an-a1)÷d+1 （99-1）÷2+1 =98÷2+1 =49+1 =50
求和：Sn=（a1+an）×n÷2 原式=（1+99）×50÷2 =100×50÷2 =5000÷2 =2500
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
（2）（2+4+6+…+98+100）-（1+3+5…+97+99）
第1个数列项数：
第2个数列项数：
（-2）÷（4-2）+1 =98÷2+1 =49+1 =50
（99-1）÷（3-1）+1
分析与解答：由数列的前几项可以看 出，这个数列是等差数列，首项a1是 1，公差d是4-1=3，根据等差数列的 通向公式an=a1+(n-1)d ，可以求得第 20项。
1+（20-1）×（4-1） =1+19×3
100项是多少？
an=a1+(n-1)d 2+（100-1）×5 =2+99×5 =2+495 =497
Sn=（a1+an）×n÷2 原式=（101+200）×100÷2
=301×100÷2 =30100÷2
答：这个数列的和是5050。
=15050 答：这个数列的和是15050.。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例4、计算：1+3+5+…+97+99
答：这个数列共有51项。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例3、求1+2+3+…+99+100的和是多 少？ 分析与解答：求上面算式的和，其实 就是求一个等差数列的和，而在这个 等差数列中，首项是1，末项是100. 公差是1，从1到100共有100个数，项 数是100，所以这个算式的和可用等 差数列求和公式计算，
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例2.有一个数列：
练习二
5,9,13,17,…，89,93，这个数
下列各等差数列各有多少项？
列共有多少项？
1、2,5,8,11，…，98,101
分析与解答：首项a1是5，末项an是93， 公差d是9-5=4，所以项数n可以根据 公式n=（an-a1）÷d+1求得。
下列各等差数列各有多少项？
2、9,18,27,36，…，261,270 n=(an-a1)÷d+1
（270-9）÷（18-9）+1 =261÷9+1 =29+1 =30（项） 答：这个数列共有30项。
3、4,7,10,13，……，151,154 n=(an-a1)÷d+1 （154-4）÷（7-4）+1 =150÷3+1 =50+1 =51（项）
（93-5）÷（9-5）+1 =88÷4+1 =22+1 =23（项）
n=(an-a1)÷d+1 （101-2）÷（5-2）+1
=99÷3+1 =33+1 =34
答：等差数列共有34项7。
答：这个数列共有23项。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例1.数列1,4,7,10……的第20
练习一
项是多少？
1、数列2,7,12,17,22……的第
an=a1+(n-1)d
1+（25-1）×4 =1+24×4 =1+96 =97 答：数列的第25项是97。
与它相邻的前一排多2个座位。这 个阶梯教室最后一排有多少个座 位？
an=a1+(n-1)d 10+（20-1）×2 =10+19×2 =10+38
=48（个）
答：这个阶梯教室最后一排 有48个座位。