第8讲 巧妙求和(一)

第8周巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列，称为数列。

数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：3，6，9，…，96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

这一周，我们将学习“等差数列求和”。

为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X 项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、公差、及总和这五个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式及求和公式求其余两个量。

例1：等差数列4，10，16，22，…，52共有多少项？练习一：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

这个等差数列共有多少项？2、等差数列2，5，8，11，…，101共有多少项？3、已知一个等差数列的首项是11，末项是101，总和是504，这个数列共有多少项？例2：已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习二：1、一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2、已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3、已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？例3：有这样的一个列数1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。

练习三：计算下面各题。

1、1+2+3+4+…+49+502、6+7+8+9+…+753、100+99+98+…+61+60例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习四：计算下面各题。

1、2+6+10+14+19+222、5+10+15+20+…+195+2003、9+18+27+36+…+261+270例5：如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习五：1、如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2、如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3、如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？1、有一个等差数列：9，12，15，18，…，2004，这个数列共有多少项?2、已知等差数列：1000，993，986，979，…，20，这个数列共有多少项?3、求等差数列:1，6，11，16，…的第61项。

一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如:3,6,9，…,96,这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

在这一节课我们要学习“等差数列求和”，为了更好掌握此类问题，我们需要记住三个公式：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这几个量中的三个，就可以利用上面三个公式进行计算。

二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52。

这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101，这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2. 求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】如果一个等差数列第4项为21，第6项为33，求它的第8项。

（四年级）备课教员：* * *第八讲巧妙求和一、教学目标：知识目标1.认识等差数列及各个相关名称。

2.利用规律来简便求出等差数列的项数。

能力目标根据实际情况会判断所求的总和是否是求等差数列的总和。

情感目标善于发现善思考，提高计算能力。

培养良好的审题习惯和思维习惯。

二、教学重点：利用规律来简便求出等差数列的项数。

三、教学难点：理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)【设计意图：故事引入，提高学生学习兴趣。

】师：今年上课前，老师要给大家讲一个数学家高斯的故事。

高斯7岁那年开始上学。

10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。

数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。

一天，老师布置了一道题，1+2+3……这样从1一直加到100等于多少。

高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师布特纳并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。

”高斯说出答案就是5050，高斯是这样算的1+100=101，2+99=101……1加到100有50组这样的数，所以50×101=5050。

布特纳对他刮目相看。

他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。

”接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。

他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。

师：听了故事后，你有什么感想？生：学生回答。

师：高斯是利用什么方法去求1至100这100个数的和？生：分组的方法。

师：是的，就是把头尾两两分组。

为什么要这样分组呢？生：因为这样分组后，每组的和都是一样的。

师：这位同学讲的太棒了！是的，这样分组，刚好每组的两个数的和是一样的。

这也是我们在计算中一种重要的方法，也就是分组法。

接下来我们就要用这种方法去解答我们数学问题。

第2讲巧妙求和〔一〕一、知要点假设干个数排成一列称数列。

数列中的每一个数称一。

其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。

从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。

在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式〞和“数公式〞。

通公式：第n=首+〔数－1〕×公差数公式：数=〔末－首〕÷公差＋1等差数列和=〔首+末〕×数÷2个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精精【例1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首=1，末=39，公差=2.个等差数列共有多少？2、有一个等差数列：，8，11.⋯，101.个等差数列共有多少？【例2】有一等差数列：，，⋯⋯，个等差数列的第100是多少？2：1、一等差数列，首=3.公差=2.数=10，它的末是多少？2、求1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30。

【例3】有一个数列：，⋯，99，100。

求出个数列所有的和。

3：1/6算下面各。

1〕1+2+3+⋯+49+502〕6+7+8+⋯+74+75【例4】求等差数列2，4，6，⋯，48，50的和。

4：算下面各。

1〕2+6+10+14+18+222〕5+10+15+20+⋯+195+200【例5】算〔2+4+6+⋯+100〕－〔1+3+5+⋯+99〕5：用便方法算下面各。

1〕〔2001+1999+1997+1995〕－〔2000+1998+1996+1994〕2〕〔2+4+6+⋯+2000〕－〔1+3+5+⋯+1999〕三、后作1、等差数列11，16，21，26，⋯，1001.个等差数列共有多少？2、求等差数列2，6，10，14⋯⋯的第100。

3、100+99+98+⋯+61+604、〔1+3+5+⋯+1999〕－〔2+4+6+⋯+1998〕5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+10+7+4+137、2021-2021+2021-2021+⋯+3-2+12/68、影院有座位假设干排，第一排有25个座位，以后每一排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。

=2005+2004+2003+……+1004-2×（2003+2000+……+1004）
=（2005+1004）×（2005-1004+1）÷2-2×（2003+1004）×[（2003-1004）÷3+1）÷2
=1507509-1004338
=503171
这个数列共141项
3、求等差数列：1，6，11，16…，的第61项。
a1=1 d=6-1=5则an=1+5(n-1)=5n-4
则a61=5×61-4=301
4、求等差数列：307、304、301、298、……的第99项。
由题意可知：
首项：a1=307
公差：d=304-307=-3
则第99项为：
a99=a1+98d
=307-98x3
=307-294
=13
5、计算：4+5+6+7+8+……+80
=（4×77÷2
=6468÷2
=3234
6、计算：11+12+13+……+200
原式=(200-11+1)(11+200)÷2
=190×211÷2
=20045
提高卷
1、计算：3+5+7+9+……+93
,和=（3+93）×(93-1) ÷2 ÷2
=2208
2、计算：100+110+120+……+350
（首项+末项）乘项数除以2=5850
3、计算：160+154+148+……+16

• 练习5： • 用简便方法计算下面各题。 • （1）如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的 第11项是多少？ • （2）如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的 第12项是多少？ • （3）如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的 第110项是多少？
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练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60
• 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用 公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项 数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
• 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……， 这个等差数列的第100项是多少？
练习2： 1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是 多少？ 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…， 99，100。请求出这个数列所有项的和。 .
• 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与 列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+ （2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1）， 其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100 个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再 除以2.就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100= （1+100）×100÷2=5050 • 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的 等差数列都可以用下面的公式求和： • 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 • 这个公式也叫做等差数列求和公式。

第8讲巧妙求和（一）一、专题简析若干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

例如：3,6,9，…，96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。

在这个专题中，我们将学习“等差数列求和”。

为了更好地掌握此类问题，我们需要掌握三个公式。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这几个量中的三个，就可以利用通项公式、项数公式和求和公式求和。

二、精讲精练【例1】有一个数列：4，10，16，22，…，52。

这个数列共有多少项？【思路】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1、有一个等差数列：2，5，8，11，…，101.这个等差数列共有多少项？2、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？3、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。

这个等差数列共有多少项？【例2】有一等差数列：3，7，11，15，…，这个等差数列的第100项是多少？【思路】这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.1、一个等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2、求1，4，7，10，…，这个等差数列的第30项。

3、求等差数列2，6，10，14，…，的第100项。

【例3】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。

要求故事书一共
卡尔看书的天数：（75-15）÷5+1= 13（天） 有多少页，必须
总和＝（首项+末项）×项数÷2
要知道什么？
这本故事书的页数：（15+75）×13÷2= 585（页）
答：这本故事书一共有585页。
练习四
为了参加秋季运动会的3000米长跑比赛，阿派给自己定制了训练计划： 第一天跑3000米，以后每天比前一天多跑300米。最后一天阿派跑了5100 米，他一共跑了多少米？
4＋6＋8＋……＋46＋48＋50 =（4+50）+（6+48）……+（24+26）
=（4＋50）×24÷2
一共有多少
=648
个偶数？
（50-4）÷2+1=24(项)
（4＋50）×24÷2=648
总和＝（首项+末项）×项数÷2
练习三
2＋5＋8＋……＋47＋50＋53
项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （53-2）÷3+1=18(项)
=101×50 =5050
我们一起来看看小 高斯他是如何解决这 个问题的？
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列。前后 两项相差的数称为公差。数列中数的个数称为项数。
总和＝（首项+末项）×项数÷2
例题一
四年级同学参加大合唱比赛，排成一个梯形，第一排3人，第二排
5人，第三排7人，第四排9人……最后一排有37人，则一共有几排？
总结
记住以下三个公式，可以帮助我们 更好地掌握此类问题：
通项公式：第n项＝首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差+1
求和公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2

巧妙求和一、知识要点在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+992、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习2：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101)这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习3：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习4：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习5：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习6：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

• 练习2： • 1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10， 它的末项是多少？ • 2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30 项。 • 3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
• 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99， 100。请求出这个数列所有项的和。 • 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100 与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100） +（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1）， 其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有 100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2 倍，再除以2.就是所求数列的和。 • 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 • 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有 的等差数列都可以用下面的公式求和： • 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 • 这个公式也叫做等差数列求和公式。
• 第11讲
错中求解
• 一、知识要点 • 在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心 大意将算式中的一些运算数或符号抄错， 就会导致计算结果发生错误。这一周，我 们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确 的结论。
• 二、精讲精练 • 【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写 成56，结果得到的商是13.还余52。正确的 商是多少？ • 【思路导航】要求出正确的商，必须先求 出被除数是多少。我们可以先抓住错误的 得数，求出被除数：13×56＋52=780。所 以，正确的商是：780÷65=12。
• 练习4： • 1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的 0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成 9，所得的和是532。正确的和是多少？ • 2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的 7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和 是285。正确的和是多少？ • 3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的 5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8， 所得的和是650。正确的和是多少？

【小学四年级奥数讲义】巧妙求和（一）一、知要点若干个数排成一列称数列。

数列中的每一个数称一。

其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。

从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。

在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式”和“ 数公式”。

通公式：第n =首 +（数－ 1）×公差数公式：数 =（末－首）÷公差＋ 1 等差数列和 =（首 +末）× 数÷ 2 个公式也叫做等差数列求和公式。

二、精精【例 1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首 =1，末 =39，公差 =2. 个等差数列共有多少？2、有一个等差数列： 2.5 ，8，11. ⋯， 101. 个等差数列共有多少？【例 2】有一等差数列： 3.7 ，11.15 ，⋯⋯，个等差数列的第100 是多少？2：1、一等差数列，首 =3. 公差 =2. 数 =10，它的末是多少？2、求 1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30 。

【例 3】有一个数列： 1.2.3.4 ，⋯，99，100。

求出个数列所有的和。

3：算下面各。

（1）1+2+3+⋯+49+50（2）6+7+8+⋯+74+75【例 4】求等差数列 2，4，6，⋯， 48， 50 的和。

4：算下面各。

（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+⋯+195+200【例 5】算（ 2+4+6+⋯+100）－（ 1+3+5+⋯+99）5：用便方法算下面各。

（1）（ 2001+1999+1997+1995）－（ 2000+1998+1996+1994）（2）（ 2+4+6+⋯+2000）－（ 1+3+5+⋯+1999）三、后作1、已知等差数列11，16，21，26，⋯， 1001. 个等差数列共有多少？2、求等差数列 2，6，10，14⋯⋯的第 100 。

3、100+99+98+⋯+61+604、（ 1+3+5+⋯+1999）－（ 2+4+6+⋯+1998）5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+ ⋯+3-2+18、影院有座位若干排，第一排有25 个座位，以后每一排比前一排多 3 个座位，最后一排有94 个座位。

【精品奥数】四年级下册数学思维训练讲义-第八讲巧妙求和人
教版（含答案）
第八讲巧妙求和
第一部分：趣味数学
高斯与等差数列
一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。

1+2+3+4+……+98+99+100=?
老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的笞案属于那个男孩时，才大吃一惊。

而更使人吃惊的是男孩的算法……
老师发现：第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。

这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华使老师一—彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。

此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。

（一）数列的基本知识：
(1)1、2、3、4、5、6……
(2)2、4、6、8、10、12……
(3)5、10、15、20、25、30……
像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，
数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；
在第几个位置上的数就叫第几项；
有多少项称为项数；
（二）等差数列的基本知识
(1)1、2、3、4、5、6……（公差=1）
(2)2、4、6、8、10、12……（公差=2）。

巧妙求和（等差数列）（一）
一、求项数
1、等差数列4，10，16，22，……，52共多
少项？
2、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.
这个等差数列共有多少项？
3、等差数列2，5，8，11，……，101共有多
少项？
4、已知一个等差数列的首项是11，末项是
101，总和是504，这个数列共有多少项？二、求末项
1、已知等差数列3，7，11，15，……，则该等差数列的第100项是多少？
2、一个等差数列的首项是3，公差是2，项数是10，则它的末项是多少？
3、已知等差数列1，4，7，10，……则该等差数列的第30项是多少？
4、已知等差数列2，6，10，14，……，则该等差数列的第100项是多少？
1/ 2
三、求和
1、有这样的一列数1，2，3，4， (99)
100，请求出这列数各项相加的和。

2、计算题
1+2+3+4+……+49+50
6+7+8+9+……+74+75
100+99+98+……+61+60
2+4+6+……+48+50
2+6+10+14+18+22
5+10+15+20+……+195+200
9+18+27+36+……+261+270
四、求规定第几项
1、如果一个等差数列的第4项为21，第6
项为33，那么它的第8项是多少？
2、如果一个等差数列的第5项是19，第8
项是61，那么它的第11项是多少？
3、如果一个等差数列的第3项是10，第7
项是26，那么它的第12项是多少？
4、如果一个等差数列的第2项是10，第6
项是18，那么它的第110项是多少？
2/ 2。

巧妙求和（一）班级：姓名：一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。