高考数学二轮复习集合与函数易错知识点

高考数学中的集合论与函数知识点高考是人生中的一道重要关卡，其中数学是不可避免的一部分。

在数学中，集合论和函数是比较基础的知识点，也是需要我们认真掌握的。

本文将从集合论和函数中的常见概念、性质和解题方法等方面进行论述。

一、集合论1. 集合的定义在数学中，集合就是由若干个特定对象组成的一个整体。

例如，一堆苹果组成了苹果的集合，一堆数学题组成了题目的集合。

2. 集合的表示表示集合的方法有两种：枚举法和描述法。

枚举法就是直接把集合中的元素罗列出来，描述法则是用某些属性描述集合中的元素。

例如，集合A由1, 2, 3三个元素组成，可以用枚举法表示为A={1,2,3}，用描述法表示为A={x|x∈自然数，x≤3}。

3. 集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集四种。

并集：表示两个集合中所有元素的总和。

用符号“∪”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。

交集：表示两个集合中共有的元素。

用符号“∩”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。

差集：表示一个集合中去掉另一个集合中相同的元素后剩下的元素。

用符号“-”表示。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}，B-A={4}。

补集：表示全集中去掉某个集合中所有元素后剩下的元素。

用符号“C”表示。

例如，A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则A的补集为A^c={4,5}。

4. 集合的性质（1）自反性：任何集合都是该集合的子集。

（2）传递性：如果集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。

（3）对称性：如果集合A是集合B的子集，那么如果在集合B中存在元素不在集合A中，那么集合B也不是集合A的子集。

5. 集合的应用集合论在高考数学中的应用比较广泛，尤其是在概率与统计中。

例如，众所周知，随机事件的可能性可以用概率来表示，而概率需要用到集合的运算。

高考数学集合和函数知识点1. 集合的基本概念集合是数学中的基本概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。

集合的元素可以是任意事物，比如数字、字母、图形等等。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。

常见的集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R等等。

集合之间可以进行运算，包括并集、交集、差集等等。

2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，比如集合A={1, 2, 3}；也可以通过描述元素的特征来表示，比如集合B={x | x是偶数}。

3. 集合的运算3.1 并集并集是指两个集合中所有的元素的总和。

表示为A∪B，其中A和B是两个集合。

并集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中的所有元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的并集为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

3.2 交集交集是指两个集合中共有的元素组成的集合。

表示为A∩B，其中A和B是两个集合。

交集的结果是一个新的集合，其中包含了A和B中共有的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集为A∩B={3}。

3.3 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素所得到的集合。

表示为A-B，其中A和B是两个集合。

差集的结果是一个新的集合，其中包含了A中去除掉B 中的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，它们的差集为A-B={1, 2}。

3.4 补集补集是指在某个全集中，不属于某个集合的元素所组成的集合。

表示为A的补集，其中A是一个集合。

补集的结果是一个新的集合，其中包含了全集中不属于A的元素。

例如，对于集合A={1, 2, 3}，它的补集为A的补集={x | x∈R, x≠1, x≠2, x≠3}。

4. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数由定义域、值域和对应关系组成。

高中数学：集合部分易错点集锦在高中数学中，集合这部分是非常容易的，在考试中是最不应该失分的部分，特别是在高考中。

但是有一些易错点，很多学生遇到之后还是会出错，今天在这里总结一下，希望能帮到一部分学生。

易错点1：对描述法表示集合的理解不透彻而出错用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x 的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

易错点2：混淆数集和点集的表示使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，1{y|y=x2+1};2{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中德代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。

1代表的数集，2代表的是点集。

易错点3：忽视集合中元素的互异性在学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题都容易出错，尽管知道集合众元素是互异的，也不会写出{3，3}这样的形式，但当字母x出现时，就会忽略x=3的情况，导致集合中出现相同元素。

易错点4：忽略空集的存在空集是一个特殊而又重要的结，它不含任何元素，记为∅。

在解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。

特别是在求参数问题时，会进行分类讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。

易错点5：利用数轴求参数时忽略端点值在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。

要注意两点：1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。

易错点6：混淆子集和真子集而错集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。

易错点7：求参数问题时，忘记检验而出错根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。

专题01集合与常用逻辑用语集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【教材回归】1．集合(1)集合间的关系与运算A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x |y＝lg x}——函数的定义域；{y |y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏A＝∅的情况．【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【例题分析】例1下列元素与集合的关系表示不正确的是()A．0N∈B．0Z∈C．32Q∈D．Qπ∈【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】根据元素与集合的关系，结合数集的表示方法，判断选项中的命题真假性即可．【解答】解：根据元素与集合的关系知，0N∈，选项A正确；0Z∈，选项B正确；3 2Q∈，选项C正确；Qπ∉，选项D错误．故选：D．【点评】本题考查了元素与集合的关系应用问题，也考查了常用数集的应用问题，是基础题．【知识要点】子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集为U，集合{2A=-，0，1，2}，{|20}B x x=-，集合A和集合B的韦恩图如图所示，则图中阴影部分可表示为()A ．(2,0)-B ．[1-，0]C ．{1-，0}D ．{2-，1，2}【答案】A【考点】Venn 图表达集合的关系及运算 【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】图中阴影部分表示的集合是()U BA ，由此能求出结果．【解答】解：全集为U ，集合{2A =-，0，1，2}，{|20}B x x =-， 图中阴影部分表示的集合是：()(2UB A =-⋂，0)．∴由韦恩图得图中阴影部分可表示为(2,0)-．故选：A ．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例3对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合{2S =，3，4，5}，定义集合{T f =（A ）|A S ⊆，}A ≠∅，则集合T 的元素的个数为( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【专题】集合思想；分析法；集合；逻辑推理【分析】因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，最大值是S 中所有元素之和为14，再将不可能的取值剔除即可【解答】解：因为A ≠∅，所以f （A ）的最小值为2，f （A ）的最大值是S 中所有元素之和为14，但是34512++=，234514+++=，也就是f （A ）无法取到13，所以T 中的元素有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14，共12个 故选：B ．【点评】本题不要去抓集合A 的所有情况，只需要判断其元素之和的最小值与最大值，再剔除掉其中不可能的取值即可，属于简单题 例4已知集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，若A B A =，则实数a = 2 ．【答案】2．【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】推导出B A ⊆，从而21a +=，或23a +=，或22a a +=，再利用集合是元素的互异性能求出实数a ．【解答】解：集合{1A =，3，2}a ，{1B =，2}a +，A B A =，B A ∴⊆，21a ∴+=，或23a +=，或22a a +=，解得1a =-或1a =，或2a =， 当1a =-时，{1A =，3，1}，不成立； 当1a =时，{1A =，3，1}，不成立；当2a =时，{1A =，3，4}，{1B =，4}，成立． 故实数2a =． 故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，考查并集、子集定义、集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．例5已知集合2{|430A x x x =-+<，}x R ∈，{|||2B x x =>，}x R ∈，则()(RA B = )A ．[2-，1)B ．[2-，1]C ．[2-，3]D ．(1，2]【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集和补集的运算即可． 【解答】解：{|13}A x x =<<，{|2B x x =<-或2}x >，{|2AB x x ∴=<-或1}x >，()[2RA B =-，1]．故选：B ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 例6设集合{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，若A B 有两个元素，则a 的取值范围是[2，3) ．【答案】[2，3)． 【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】利用集合交集的定义结合数轴进行分析求解即可/ 【解答】解：{1A =，2，3}，集合{|}B x x a =，A B 有两个元素，如图，可得a 的取值范围是[2，3)． 故答案为：[2，3)．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．例7已知集合2{|20}M x x x =-+>，{|N y y ==，则(M N = )A ．(0,2)B ．[0，2)C ．(2,)+∞D ．[1，2)【答案】A【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算 【分析】求出集合M ，N ，由此能求出MN ．【解答】解：集合2{|20}{|02}M x x x x x =-+>=<<， {|{|0}N y y y ===，{|12}(0,2)M N x x ∴=<=．故选：A ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 例8已知M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，则()(RM N =⋃ )A ．∅B ．MC ．ND ．R【答案】B【考点】并集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑推理；数学运算【分析】根据M ，N 均为R 的子集，且R M N ⊆，画出韦恩图，结合图形可求出()R M N ．【解答】解：如图所示易知()R MN M =．故选：B ．【点评】本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【教材回归】1．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两个命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真值表 命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断4.全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，其否定为特称命题：p ：∃x 0∈M ，┐p (x 0)． (2)特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，其否定为全称命题：p ：∀x ∈M ，┐p (x )． 5．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件(q 是p 的必要条件)；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【易错点】判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【例题分析】例1命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为 “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠” ．【答案】“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”． 【考点】四种命题；四种命题间的逆否关系 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理 【分析】把原命题的条件和结论均否定即可．【解答】解：根据原命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”， 写出命题“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab =，则a b =”的否命题为： “对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．故答案为：“对于任意a ，b R ∈，如果2a ab ≠，则a b ≠”．【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系应用问题，是基础题．例2写出命题p“若a是正数，则a的平方不等于0”的原命题，逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假【考点】四种命题的真假关系【专题】对应思想；简易逻辑；定义法【分析】根据四种命题的定义分别进行求解判断即可．【解答】解：原命题：“若a是正数，则a的平方不等于0”，为真命题，逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”，为假命题，当a为负数时也成立，否命题：“若a不是正数，则a的平方等于0”，为假命题，与逆命题等价性相同，逆否命题：若a的平方等于0，则a不是正数”，为真命题，与原命题为等价命题．【点评】本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键．例3能够说明“设a，b是任意非零实数，若“a b>，则11a b<”是假命题的一组整数a，b的值依次为2，1-．【考点】26：四种命题的真假关系【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑；62：逻辑推理【分析】可看出，取2a=，1b=-时，可说明”a b>，则11a b<”是假命题．【解答】解：取2a=，1b=-时，可得出“a b>，则11a b<“不成立，即该命题为假命题．故答案为：2，1-．【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．例4已知a，b都是实数，则“log3a＞log3b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．【答案】A【分析】根据对数函数的单调性可化简log3a＞log3b，根据幂函数的单调性可化简，最后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：因为log3a＞log3b，所以a＞b＞0，，所以“log 3a ＞log 3b ”是“”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的单调性，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 例5110a+>是1a <-成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【专题】转化法；简易逻辑；对应思想 【分析】解不等式11a>-，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由11a>-，得：10a a +>， 解得：0a >或1a <-， 故11a>-是1a <-成立的必要不充分条件， 故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．例6已知条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，则实数的取值范围为 (-∞，2]- ． 【答案】(-∞，2]-．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；数学运算【分析】条件:211p x --，:33q x -<，根据p 是q 的必要条件，可得21331-⎧⎨-⎩，解得实数的取值范围．【解答】解：条件:211p x --，:33q x -<，且p 是q 的必要条件，∴21331-⎧⎨-⎩，解得2-．则实数的取值范围是(-∞，2]-．故答案为：(-∞，2]-．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．例7命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定为( ) A ．0x R ∃∈，00sin x x > B ．0x R ∃∈，00sin x x C ．x R ∀∈，sin x x > D ．x R ∀∈，sin x x【答案】D 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出对应的命题即可． 【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：“0x R ∃∈，00sin x x <”的否定是： “x R ∀∈，sin x x ”． 故选：D ．【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题的应用问题，是基础题． 例8已知命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >，则命题p ⌝为 (1,)x ∀∈+∞，24x ． 【答案】(1,)x ∀∈+∞，24x ． 【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题p ⌝即可． 【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题知， 命题:(1,)p x ∃∈+∞，24x >， 则命题p ⌝为：(1,)x ∀∈+∞，24x ． 故答案为：(1,)x ∀∈+∞，24x ．【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题应用问题，是基础题． 例9有以下说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365； ②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1~10共10个数字中各抽取1个，再比数大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是①③．【考点】2C：概率及其性质；2K：命题的真假判断与应用【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计；62：逻辑推理【分析】根据概率的意义和计算方法逐一判断每个选项即可得解．【解答】解：①两名学生的生日相同，是365天里的任意一天，因此两名学生的生日相同的概率是1365，即①正确；②买彩票中奖的概率为0.001，并不意味着买1000张彩票就一定能中奖，只有当买彩票的数量非常大时，才可以看成中奖的频率接近中奖的概率0.001，即②错误；③这种抽取方法抽到每个签的概率均为110，所以公平，即③正确；④昨天气象局的天气预报降水概率是90%，是指可能性非常大，并不一定会发生，即④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查概率的意义，考查学生的推理论证能力和理解能力，属于基础题．例10一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27；（2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35；（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是12 49；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同．其中正确的命题是（2）（4）．【答案】（2）（4）．【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算【分析】根据题意，依次分析4个命题中概率的计算是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：（1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率11342747C CPC⨯==，因此不正确；（2）如果是不放回地抽取，至少取出一个红球的概率24127517CPC=-=，第2次取出红球的概率243323 76767P⨯⨯=+=⨯⨯，则在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是2135P P P ==，因此正确； （3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率11341177241224949C C P C C =⨯⨯=≠，因此不正确；（4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同，正确，其概率131737C P C ==． 其中正确的命题是（2）（4），故答案为：（2）（4）．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及条件概率的计算，属于基础题．例11已知(1,0)A ，(4,0)B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有( )A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．圆C 上任意一点P 都满足||2||PB PA =C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN的最小值为D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD的最小值为4-【答案】BCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】由题意画出图形，数形结合可得A 错误；设出P 的坐标，由||2||PB PA =成立判定B 正确；直接求出||MN 的最小值判断C ；由题意求得点D 的轨迹，即可判断选项D 正确． 【解答】解：如图，圆C 的圆心坐标为(0,0)，半径2r =，则圆C 上到B 的距离为2的点1个，为(2,0)，故A 错误；设圆C 上任意一点(,)P x y ，则224x y +=，||PB2||PA =，若||2||PB PA =，则2222(4)4(1)4x y x y -+=-+，即224x y +=，此式显然成立，故B 正确； 若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则当MN x ⊥轴时，||MN 的最小值为=C 正确；若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||OD =可得D 的轨迹是以O 为圆心，以而B 在圆外，则||BD 的最小值为4-故D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，是中档题．。

集合与函数综合 知识点整理+纠错知识点框架：一、集合的符号表示自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 复数集：C 交集：A B I 并集：A B U 补集：U C A（不）属于：()a A ∈∉ （真）子集：()A B ⊆Ø 相等：A B = 空集：∅ 二、命题的关系函数的表示——映射：:f A B →对于任意一个集合A 中的数x ，在集合B 中都只有唯一的一个数()f x 与之对应。

函数的定义域和值域：几个特殊函数的记忆（()0f x x =；()log a f x x =；()tan f x x =等） 函数的增减性：（常考比较函数值大小、解不等式、求最值）1、导数法证明函数增减性：对于任意的[],x a b ∈，()()'0f x f x >⇔在[],a b 上为增函数；()()'0f x f x <⇔在[],a b 上为减函数；2、作商作差（定义法证明）；定理一：关于直线对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称：()()()()f a x f b x f a b x f x ⇔+=-⇔+-=将定理一缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()()2f a x f a x f a x f x ⇔+=-⇔-=②函数()y f x =的图像关于y 轴对称（偶函数）()()f x f x ⇔=- ③函数()y f x a =+的图像是偶函数()f x ⇔关于直线x a =对称定理二：关于点对称问题——若已知函数()y f x =的图像关于点(),a b 对称：()()()()222f x b f a x f a x f a x b ⇔=--⇔++-=将定理二缩小到特殊情况：①函数()y f x =的图像关于点(),0a 对称()()2f x f a x ⇔=-- ②函数()y f x =的图像关于原点对称（奇函数）()()f x f x ⇔=--③函数()y f x a =+的图像关于原点对称（奇函数）()f x ⇔关于点(),0a 对称定理三：（性质）1、若函数()y f x =的图像有两条铅直对称轴x a =和x b =（a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -2、若函数()y f x =的图像有一个对称中心(),M m n 一条铅直对称轴x a =，那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为4a m -3、若函数()y f x =的图像有两个对称中心(),A a c 和(),B b c （a b ≠），那么()y f x =为周期函数，且函数有一个周期为2a b -4、若一个函数的反函数是他本身，那么它关于直线y x =对称。

函数的周期性1．类比“三角函数图像”得：①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根.2．由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.如(1)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为________（3）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值（4）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，又()22f =+()2006f =抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、 单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。

高二集合与函数知识点归纳一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的事物的总体，用大写字母A、B、C等表示。

集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。

1.1 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方法表示，也可以通过描述元素的性质表示。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5} （列举法）B = {x | x是自然数，0 < x < 10} （描述法）1.2 集合的关系（1）包含关系若集合A的所有元素都属于集合B，记作A ⊆ B，读作“集合A包含于集合B”。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}，则A ⊆ B。

（2）相等关系若集合A包含于集合B，并且集合B包含于集合A，则称集合A和集合B相等，记作A = B。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，则A = B。

（3）交集和并集设A和B是两个集合，其交集是指包含所有既属于A又属于B 的元素的集合，记作A ∩ B。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∩ B = {2, 3}。

其并集是指包含所有属于A或属于B的元素的集合，记作A ∪ B。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。

二、函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将集合A中的每个元素x唯一地对应到集合B中的一个元素y。

常用f(x)表示函数。

函数的定义域是指使函数有定义的集合，记作D(f)；函数的值域是指函数所有可能取值的集合，记作R(f)。

2.1 函数的表示方法函数可以用图像、显式公式和隐式公式等方式进行表示。

（1）显式公式表示当函数的定义域是一个数集，且通过一个公式可以直接表达函数的取值时，可使用显式公式表示函数。

例如：f(x) = x^2，其中定义域为实数集。

（2）图像表示函数的图像是函数的所有点在平面直角坐标系中的表示，通常用来直观地观察函数的性质。

高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。

此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。

2专题二：数列、推理与证明。

数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。

3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。

平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。

近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。

平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。

4专题四：立体几何。

注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。

5专题五：解析几何。

直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。

近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。

我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。

6专题六：概率与统计、算法与复数。

要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。

高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。

高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。

高中数学易错知识梳理高中数学知识体系庞大，概念繁多，很多同学在学习过程中容易出现错误。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识，提高解题能力，下面对高中数学中一些易错的知识点进行梳理。

一、集合与函数1、集合中的元素特性易错点：忽略集合中元素的互异性。

例如，集合{1，2，a}，若 a＝ 1 或 2 时，就不满足元素的互异性。

2、空集易错点：空集是任何集合的子集，但容易忽略空集是某些集合的真子集。

例如，若集合 A ＝｛x ｜ x² 2x ＋ 1 ＝ 0} ＝｛1}，则空集是集合 A 的真子集。

3、函数的定义域易错点：求函数定义域时，容易忽略分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数函数的真数大于零等条件。

例如，函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，定义域为x ≠ 1。

4、函数的单调性易错点：对函数单调性的定义理解不透彻，错误地认为函数在某个区间内的导数值大于零就是单调递增，小于零就是单调递减。

实际上，还需要考虑导数值为零的点。

5、函数的奇偶性易错点：判断函数奇偶性时，忽略函数定义域关于原点对称这个前提条件。

例如，函数 f(x) ＝√（x ＋ 1) ，其定义域为x ≥ －1 ，不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。

二、三角函数1、三角函数的定义易错点：在利用三角函数定义求角的三角函数值时，忽略角所在的象限，导致符号错误。

2、诱导公式易错点：记错诱导公式，导致化简或计算错误。

例如，sin(π α) ＝sinα ，cos(π ＋α) ＝cosα 等。

3、三角函数的图象和性质易错点：对三角函数的周期性、对称性、最值等性质理解不深入。

例如，函数 y ＝sin(ωx ＋φ) 的周期为 T ＝2π ／｜ω| ，对称轴为 x ＝（kπ ＋π ／2 φ) ／ω （k∈Z）。

4、解三角形易错点：在解三角形时，使用正弦定理或余弦定理时忽略角的范围，导致多解或漏解。

三、数列1、等差数列和等比数列的通项公式易错点：记错公式或者在运用公式时，忽略首项和公差（公比）的取值。

高考数学集合与函数易错易混考点1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的专门情形，不要不记得了借助数轴和文氏图进行求解。

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情形3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判定充分与必要条件?5.你明白“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。

7.判定函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。

9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。

10.你熟练地把握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“&cup;”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范畴(恒成立问题)。

这几种差不多应用你把握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用把握了吗?如何利用二次函数求最值?观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。