沪教版高二C专题(复数的概念和坐标表示2星)

13.1复数的概念一、教材分析复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.二、教学目标（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．三、教学重点及难点重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.四、教学用具多媒体、实物投影仪五、教学流程六、教学过程 一、情景引入1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.问题1：请问无理数是如何引入的？一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.设计意图：通过类比引出问题2.问题2：已知三次方程x 3+px+q=0的求根公式是：33233227422742pq q p q q x +--+++-=.易知三次方程x 3－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.二、学习新课1．规定：（1）1i 2-=,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2）0i 0=•，i 能与实数进行四则运算，如)R b (bi i b ∈=•，)R b (bi bi 0∈=+等.问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？i ±，i 2±，i 5±，i a ±.设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？ 如：i 5.0-，i 221--，5i 2-等. 问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明. 能，如：i 0+π=π，i 033+=等.问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？)R b ,a (bi a ∈+设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.2．复数的概念一般地，形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即)R b ,a (bi a z ∈+=，其中)R b ,a (bi a ∈+叫做复数的代数形式，实数．．b ,a 分别叫做复数z的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.在上述复数中，如i ±，i 2±，i 5±，i a ±，i 5.0-，i 221--，5i 2-这样的数称之为虚数，如i ±，i 2±，i 5±，)0a (i a >±的数称为纯虚数.问题7： 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？ 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为虚数的充要条件是0≠b ；复数)R b ,a (bi a z ∈+=为纯虚数的充要条件是00a b =≠且； 复数)R b ,a (bi a z ∈+=为实数的充要条件是0＝b .3．复数的分类⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨⎧=∈+时为纯虚数）（虚数无理数有理数实数复数0)0()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？巩固练习：练习13.1（1）第2题例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数，（４）0.巩固练习：练习13.1（1）第3、4题 5.复数相等问题8：类比实数相等，可得：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.例3 已知i y i y x )3(2)2(--=+-，其中R y x ∈,，求x,y 的值. 巩固练习：练习13.1（2）第3、4题小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.例4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程x x m m 2log sin =π的解的个数是 .设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.三、巩固练习练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题eiR a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π四、课堂小结1.本节课学习了复数的哪些概念？2.复数bi a z +=的虚部是b 吗？3.两个复数的关系如何？４.复数相等渗透了什么数学思想？ 五、作业布置习题13.1A 组第3、4、5和B 组第2、3、４题. 七、教学设计说明高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i 后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.。

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一、教学目标本课时的教学目标为：①借助直角坐标系建立复平面，掌握复数的几何形式和向量表示；②经历复平面上复数的“形化”过程，理解复数与复平面上的点、向量之间的一一对应关系；③感悟数学的释义：数学是研究空间形式和数量关系的科学、笔者认为，教学目标总体设置得较为适切，符合三维框架、修改：“掌握复数的几何形式和向量表示”改为“掌握在复平面上复数的点表示和向量表示”。

二、教学重点本课时的教学重点为：复数的坐标表示：几何形式与向量表示、教学重点设置得较为适切，部分用词表达配合教学目标一并修改、修改：复数的坐标表示：点表示与向量表示。

三、教学难点本课时的教学难点为：复数的代数形式、几何形式及向量表示的“同一性”、首先，“同一性”说法有待商榷，这个词有着严格的定义，使用时需谨慎、其次，经过思考，复数的代数表示、点表示及向量表示之间的互相转化才是本课时的教学难点。

四、教学过程（一）类比引入本环节通过实数在数轴上的“形化”表示，类比至复数，引出复数的“几何形式”：复平面与点、但在设问中，有一提问值得商榷：实数的几何形式是什么？此提问较为唐突，在试讲课与正式课中学生均表示难以理解，原因如下、①学生最近发展区中未具备“实数的几何形式”，②实数的几何形式是教师引导学生对数的一种有高度的认识与表达，属于理解层面、经过思考，修改：①如何“画”实数？；②对学生直接陈述：我们知道，每一个实数都有数轴上唯一确定的一个点和它对应；反过来，数轴上的每一个点也有唯一的一个实数和它对应。

（二）概念新授本环节给出复平面的定义及相关概念，并且帮助学生形成复数与复平面上点两者间的一一对应关系、教学设计中对概念的注释是：表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，表示虚数的点在四个象限或虚轴上，表示实数的点为原点、经过思考，修改：表示实数的点都在实轴上、实轴上的点表示全体实数；表示纯虚数的点都在虚轴上、虚轴上的点表示全体纯虚数与实数；表示虚数的点不在实轴上；实数与原点一一对应。

复数的坐标表示【学习目标】掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的——对应关系，进一步运用类比思想。

【学习重难点】（1）重点：复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系。

（2）难点：复数与复平面的向量的一一对应关系的理解。

【学习过程】（一）旧知回顾直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系。

复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念。

（二）过程概念辨析：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上。

（）在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上。

（）在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数。

（）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

（）复数的向量表示：研究复数z＝a+bi，复平面上对应点Z（a，b），向量三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系。

在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量，由点_______唯一确定。

因此复平面内的点集与复数集C之间存在____________关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量___________，常把复数z=a+bi用点Z（a，b）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数。

（三）自我检测1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z＝a+bi，a，b可以取集合A 中的任意一个整数，问：（1）复数z＝a+bi共有多少个？（2）复数z＝a+bi中有多少个实数？（3）复数z＝a+bi中有多少个纯虚数？2．在复平面内，若所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围。

3．在复平面上做出表示下列复数的向量。

z1＝2+2i，z2＝-3-2i，z3＝2i，z4＝-4，z5＝2-2i。

专题C ：复数的概念和坐标表示（★★）教学目标1.理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念，理解两个复数相等的概念；2.理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础，掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系.1 min.知识梳理6 min.1.虚数单位i :它的平方等于1-，即：21i =-.（注：实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立）；2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -. 3.i 的周期性： 41n ii +=， 421n i +=-，43n i i +=-， 41n i =.4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈ 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系： N ZQ R C 苘苘.8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =，,b d =.9.复数模的几何意义：对应平面向量oz u u r 的模|oz u u r|，即复数 (,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离；10.建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O 为起点，复数z 在复平面内的对应点Z 为终点的向量OZ →，与复数z 一一对应，OZ →的模叫做复数z 的模.典例精讲28min.例1（★★）判断下列结论是否正确： （1）a b R ∈、,则a bi +是虚数； （2）b R ∈，则bi 是纯虚数； （3）=z a 不是虚数；（4）*(,)z a bi a b N =+∈是虚数. 解：（1）、（2）、（3）错，（4）对.巩固练习：判断下列命题的真假： 命题1：20∈≥若z C,则z ；命题2：22,,,()()0,x y z C x y y z x y z ∈-+-===若则； 命题3：,2a R a ∈+若则()i 是纯虚数；命题4：,,00,00p q C p q pq p q ∈>>>+>若且则且.解：命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题.（注：本题目考察学生对复数的概念的理解以及掌握，讲解以互动，提问学生，老师总结的形式）例2（★★）实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =++-是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 解：（1）=1m （2）1m ≠（3）=1m -.巩固练习：m 取何值时，复数226(215)3m m z m m i m -+=+--+.（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）=5m ； (2) 5m ≠且3m ≠- (3) =2m -或=3m . （注：题目考察学生对复数的概念的掌握，属于基础题型）例3（★★）已知(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x ，y . 解：=1x ，=1y .巩固练习：已知223(1)2()x y i i x yi +-+=-，期中x ，y 都是实数，求复数+x yi . 解：有四种情况：3-3i,3+i,-1-3i,-1+i .若x R ∈，试确定a 取什么实数时，等式2211022ax x i xi x i --=--3成立？ 解： 522111145x x a a ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或.（注：题目考察复数的简单运算以及复数相等的概念，解方程组求x ，y ，注意分类的情况）例4（★★★）求满足221222(1)(3)(2)(33)log m log m i log n log n n i ++->++--的实数m ，n 的取值范围.解：=2m ，=1n -.分析：由梳理知识我们已经知道，虚数只有相等关系，没有大小关系，所以若有12z z >，则隐含有12,z z R ∈这个前提条件.例5（★★★）已知复数213(5)z a a i =-++，221(21)()z a a a i a R =-++-∈，分别对应向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r（O为原点）.若向量121212Z Z (Z Z =z -z )u u u u u r u u u u u r对应的复数为纯虚数，求a 的值.解： 1a =-.巩固练习：在复平面内，已知等边三角形ABC 的两个顶点AB所表示的复数分别为122+和2，求第三个顶点的坐标.解：12,2or +.课堂检测：1.（★★）已知z i =-1，则在复平面上与iz 对应的点所在的象限是 （ ）A .第一象限；B .第二象限；C .第三象限；D .第四象限. 解：B .2.（★★）将复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转512π，再把它的模变为原来的2倍，则与所得到的 向量对应的复数是（ ）A .-+3i ；B .--3i ；C .3-i ；D .3+i .解：C .3．（★★）复数2(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为 4 或-1 . 4．（★★）=0a 是复数=+z a bi 是纯虚数的 必要 条件（必要，充分，充要）.5．（★★）如果210(7)z a a i a R =+-∈（），Rez=Imz ，则a = 2或5 . 6.（★★）求下列各等式的x ，y ：（1）22()(24)138x y x y i i ++-=-； （2）22()22x y xyi i -+=-；（3）22(1130)(6)0x x y y i -+++-=. 解：（1）1825,135x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；（2）11,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或； （3）5566,,3232x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩或或或. 7.（★★★）若复数()()21+4a a i -- (i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为 .解：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知21-<0-4<0a a ⎧⎨⎩,解之得1<<2a .答案：(1，2) .回顾总结5min.1.复数的分类:复数=+z a bi (),a b R ∈中，z 是实数⇔ b=0 ；z 是虚数⇔ b ≠0 ；z 是纯虚数⇔=00a b ⎧⎨≠⎩2.+a bi 与a bi -(),a b R ∈互为共轭复数；3.两个复数相等的充要条件：+=+a bi c di (),,,a b c d R ∈ ⇔=a c 且=b d .特别+=0a bi (),a b R ∈⇔=0a 且=0b .（注：两个复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等的关系） 4.若复数()()24+3+1a a a i --是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1；B .3；C .1或3；D .－1.解：选B .。