《复数的几何意义》教学反思

《7.1.2 复数的几何意义》教案【教材分析】复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.【教学重点和难点】重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【教学过程】一、情景导入提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本70-72页，思考并完成以下问题1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点Z (a ，b ) .(2)复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )平面向量OZ ―→. [规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．3．复数的模(1)定义：向量OZ ―→的 模 r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．四、典例分析、举一反三题型一 复数与复平面内的对应关系例1求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x 轴上方.【答案】(1) a ＜－3. (2)a ＞5或a ＜－3.【解析】(1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧ a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤）(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练一1、实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于直线x －y －3＝0上【答案】(1)－3<x <2． (2) x ＝－2．【解析】因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．题型二 复数与平面向量的对应关系例2已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→对应的复数是 ( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i【答案】B ． 【解析】 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OA ―→＝(2，－3)，OB ―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA ―→对应的复数是5－5i.解题技巧： (复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练二1、在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数；（2）若ABCD 为平行四边形，求D 对应的复数．【答案】（1）AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）D 对应的复数为－2＋i.【解析】 （1）设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，所以AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）因为ABCD 为平行四边形，所以AD ―→＝BC ―→＝(－3,1)，OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D 对应的复数为－2＋i.题型三 复数模的计算与应用例3 设复数．（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．【答案】 （1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．【解析】（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．所以．1243,43z i z i =+=-12,z z 12,z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 15z =25z =12=z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 1|43|5z i =+==2|43|5z i =-==12=z z例4 设，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）；（2）．【答案】 （1）以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z 的集合．容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z |＝|OZ ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两z C ∈||1z =1||2z <<||1z =OZ ||1z=1||2z <<2,1.z z ⎧<⎪⎨>⎪⎩||2z <||2z =||1z >||1z =1||2z <<点的距离)的问题解决．跟踪训练三1、已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于 ( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i【答案】A.【解析】由题意得⎩⎨⎧ a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.【教学反思】本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容比较抽象，学生理解起来有一定难度。

学情分析在前一节复数的概念的学习中，学生对已知的数的形成、发展的历史和规律，复数的概念有了比较清晰认识，体会到了数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要，感受到了人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

这个班是文科班，学生对数系的扩充有了很好的了解，对复数的概念掌握得很好，但对数学思想理解和掌握的基础一般。

在学习本节课的过程中，如果直接讲授复数的几何表示及其意义，显得很突兀，学生不易接受和理解。

由于学生已经学过实数的几何意义、实数的绝对值的几何意义，学生对实数范围内数与形的对应有着比较清晰、完整的认识，从问题出发通过问题探究教学从而让学生积极主动地建构复数的几何表示、复数的模及其几何意义。

效果分析现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从实数的几何表示有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、发现、归纳，积极地动脑，能够抓住复数的几何意义进行相关问题的研究，从问题出发，自然发现新知识、巩固新知识又过渡到下一个新知识，以问题串起学习的所有知识，达到了使探讨的问题层层递进深入的目的。

课堂注重学生的参与和互动，使学生的思维得到了发展，激发了学生的学习兴趣，使学生在学知识的同时形成方法。

本节课注重知识的衔接，使学生在不知不觉中学习新知识。

通过学生创造，观察，归纳，反思、潜移默化的培养良好的数学思维品质和学习习惯，同时通过自我评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。

整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验新知识的作用。

2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。

3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握复数的几何意义，能解决复数对应的点、复数的模问题。

教材分析《复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第2节的内容，课时安排2课时,本节课是第二课时。

复数的几何意义是在数系扩充，引入复数以后，让学生从几何的角度对复数的概念有更进一步的认识。

复数的几何意义问题与反思和计划英文回答：In mathematics, a complex number is a number that can be expressed in the form a + bi, where a and b are real numbers and i is the imaginary unit, which is defined byi^2 = -1. Complex numbers can be represented geometrically as points on a plane, called the complex plane. The real part of a complex number is the x-coordinate of the point, and the imaginary part is the y-coordinate.The complex plane can be used to visualize the operations of addition, subtraction, multiplication, and division of complex numbers. For example, the sum of two complex numbers is the point that is the vector sum of the two points representing the complex numbers. The product of two complex numbers is the point that is the product of the magnitudes of the two points and the sum of their angles.The complex plane is also used to represent the rootsof polynomials. For example, the roots of the polynomialx^2 + 1 are the points (-1, 0) and (1, 0) on the complex plane.Complex numbers have many applications in mathematics, physics, and engineering. For example, they are used in electrical engineering to analyze alternating current circuits and in quantum mechanics to describe the wave function of a particle.中文回答：复数的几何意义。

复数代数形式的加减运算及几何意义教学设计与反思教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且a bi ab R仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.课后作业：课本第112页 习题3.2 1 , 2 , 3教学反思： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复数的加法法则：(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i (a ，b ，c ，d ∈R ). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。

《复数的概念》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解复数的概念及其几何表示；2. 能够正确表示简单的复数；3. 了解复数的运算规则。

二、教学重难点1. 教学重点：理解复数的概念，掌握复数的运算规则；2. 教学难点：正确表示简单的复数，理解复数的几何表示。

三、教学准备1. 准备教学素材：包括复数的例子、图形等；2. 准备教学工具：黑板、白板、计算器等；3. 准备学生练习题：用于学生课后练习复数的基本运算。

四、教学过程：（一）导入新课1. 复习初中所学知识，通过回顾数的分类，为引入新数做好准备。

2. 提问：在初中，我们学习了正数和负数，那么这两个数分别用在什么地方？正数在什么情况下使用？负数呢？引导学生通过实际生活中的例子进行回答。

（二）新课教学1. 初步认识复数a. 介绍复数的概念：如果一个数的实部是零，那么这个数就是纯虚数。

实数和虚数组成的一对数叫复数。

b. 举例说明复数的产生及其应用。

c. 复数的几何表示：在复平面内，除原点外，有向线段只能表示一个方向，所以除原点外，只有两种可能：实轴和虚轴。

2. 数的四则运算a. 除法运算的法则b. 分数形式的运算的法则c. 实数的运算顺序(重点突出加减法)d. 结合实例分析运算性质(在什么情况下是乘法，什么情况下是除法)及其几何意义。

3. 数的运算法则的应用举例(三)巩固练习设计一些有针对性的基础题，让学生加深对复数的理解。

(四)课堂小结1. 本节课的主要内容，包括复数的概念、数的四则运算等。

2. 强调本节课的重点和难点。

（五）作业布置根据学生的实际情况，布置适当的课后作业，包括对基本概念和运算法则的复习，以及对一些简单的应用题的练习。

（六）教学反思对本节课的教学效果进行反思，包括学生对知识的掌握情况、教学方法的有效性等方面，以便更好地改进教学。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 知识目标：学生能够理解复数的概念，掌握复数的代数表示法，理解复数的几何意义。

英文回答：The geometry of aplex number refers to the geometry of aplex number on thepound and its corresponding meaning. Theplex number can be divided into real and false parts, expressed asa+bi. On the rectangular plane, the solid corresponds to the x—axis coordinates, the false corresponds to the y—axis coordinates, and the plural corresponds to a point on the rectangular plane. This means that the operation of aplex number is linked to geometry, not just abstract calculations on symbols. The multiplicity ofplex numbers and the angles of bands are the distance from the plural to the point of origin and the angles with the solid axis, respectively. This geometry makes the calculation ofplex numbers more understandable and provides a more intuitive approach to solving practical problems. The promotion of a rigorous logical and objective understanding of the geometry of theplex is a way to guide us to the right mathematical thinking and the way to solve problems.复数的几何意义是指复数在复平面上的几何表示及对应的意义。

复数的几何意义教学设计教学设计：复数的几何意义一、教学目标：1.了解复数的定义和基本性质；2.掌握复数在复平面上的表示方法；3.认识复数的几何意义；4.能够将复数在复平面上进行运算。

二、教学重点和难点：1.教学重点：复数在复平面上的表示方法、复数的几何意义；2.教学难点：复数的几何意义。

三、教学过程：1.导入新知（1）复习实数的定义与性质；（2）提问：是否存在负数的平方根？为什么？引出复数的引入背景和定义。

2.引入复数和复数的几何意义（1）引导学生思考一个问题：负数平方根是否存在意义？（2）学生进行小组讨论并汇报，教师梳理学生的思路。

（3）引入复数的定义：复数是由实部和虚部组成的，记为a+bi（其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位）；（4）通过图示方法引入复数的几何意义：将(a,b)看作是一个复数，与平面直角坐标系中的一个点(z)相对应，那么这个点与原点的坐标距离就是复数的模（，z，），复数的实部对应的是点在x轴上的坐标，虚部对应的是点在y轴上的坐标。

3.复数在复平面上的表示方法（1）通过图示方法让学生观察复数的表示方法；（2）分析实部和虚部的正负不同情况，在复平面上进行对应；（3）引入复数的共轭概念：将一个复数的虚部取负得到的数就是这个复数的共轭；（4）通过示例让学生在复平面上表示复数。

4.复数的运算（1）引入复数的加法：复数的加法就是实部相加，虚部相加；（2）通过示例引导学生通过图示方法计算复数的加法；（3）引入复数的乘法：复数的乘法的定义和推导过程；（4）通过示例引导学生通过图示方法计算复数的乘法；（5）通过练习巩固复数的运算方法。

5.拓展应用（1）通过练习，引导学生巩固复数在复平面上的表示方法和运算规律；（2）通过练习提高学生对复数的几何意义的理解。

6.总结与归纳由学生和教师共同总结和归纳复数的定义、表示方法和几何意义。

四、教学反思：通过图示方法介绍复数的几何意义，可以帮助学生更直观地理解复数和复数的计算方法。

对复数几何意义教学中几个问题的反思在苏教版复数几何意义一节中,课本从复数z=a+bi(代数形式)可与有序实数对的确定关系出发,引出了复数的几何意义.即复数可由复平面(高斯平面)的点Z 所唯一表示.得到了复数的几何形式,接着又利用以前所学的点与向量的对应关系,得到了复数的向量形式,从而有机结合了复数的代数,几何,向量的三种形式.得到了它们彼此一一对应的联系.课本通过几道例题使我们认识到解题时要根据已知条件结论,灵活运用三种形式中的某种形式去解决问题,在此不再累述!不知大家有否注意到课本有这样一道题:证明2121.z z z z = ,该题若考虑到复数的代数形式结合模的结论,容易证明.但能用向量形式证明吗?=吗?答案是这个等式不成立因为我们知道θcos =⋅b a , 这两者矛盾的原因在于复数运算中i 为虚数,12-=i ,≠ 类似还有2121z z z z =而其对应向量形式却根本不能表达 还有一道习题:已知212121,3,1z z z z z z -=+==求常规做法可由代数形式解决,如果反应快,数学素养高的学生可由平行四边形四边长度平方和等于对角线长度平方和,解得结果为1,这里使用了复数的向量形式结合模的知识!但有一学生是这样解题的 ()()11112212112211322121212222121212122221=-+=-+==-∴=∴++=∴++==+-+z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 结论看起来是正确的,事实上这种解法是错误的,答案对,纯属巧合!原因在于他根据=+,得到了()21221z z z z +=+ 这一错误结论!容易说明矛盾.比如()()ii z z i z i z i z z 1252113231,223222121+===+=++=+=++而则 显然不等! ()21221z z z z +≠+∴ 如果继续研究下去还有其它形式的矛盾如()()()()321321321321..oz oz oz oz oz oz z z z z z z ≠=而这些矛盾的产生根源在于虚数运算的特殊性!希望大家今后在灵活运用复数的代数,几何,向量形式的对应和联系解题时,还需注意到三者的区别,切不可杜撰公式,误入歧途!。

有效的将学生“带到问题中去”——《复数复数的几何意义》教学案例复数是高中数学教学中的传统内容，复数的问题式教学如何把握，有效的将学生“带到问题中去”，我依据新课标的培养目标，对复数的问题式教学进行了尝试．[学情分析]本节课为高二年级的一节区级公开课，授课班级为文科普通班，学生个性活泼、思维活跃，思考问题较积极．[教学背景]本节课是苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1-2的第三章复数第3节的第一节课《复数的几何意义》，学生是在已学过复数的概念和四则运算基础上进一步深入学习复数的几何意义．[教学难点]复数的几何表示和向量表示是本节课的教学难点，复数与复平面上的点、向量建立一一对应的关系比较难以理解．[教学过程]一、“复数的几何表示”教学片断1、问题导入【师】同学们，前面我们学习了复数的有关概念和代数形式表示，（板书：复数的代数形式表示）现在我们再来学习复数的另一种表示方法，即复数的几何形式表示．（板书：将“代数形式”擦去，改为“几何形式”）2、概念的建立（多媒体投影展示）问题一：下列两组中的复数是否相等，请说明理由．（1）和（2）和【学生甲】显然都不相等，第一组复数实部为0，但虚部不相等，第二组复数实部与虚部都不相等．【师】请问大家如何通过最简单的改动，能使它们相等呢？【学生乙】第一组只要让的负号去除就可以相等，第二组将的实部与虚部互相交换就可以相等．【师】同学们在思考这个问题过程中，对复数的认识是准确的，你们紧紧抓住了复数的两个关键部分：实部和虚部．如果说实数是一元数，那么复数就是二元数．两元a、b的大小、顺序方向决定复数的唯一性，可以讲它们就是的唯一身份标志．（板书：有序数对）若将实数a、b组成有序数对，则有序数对与复数是一一对应关系．（投影展示）问题二：任意实数都可以在数轴上找到唯一的点与它对应，类比实数的几何表示，那么任意复数是否也存在唯一的点与它一一对应呢？（给学生一些时间思考，并在板书的“有序数对”上做出红色记号，以此暗示学生，由于启发得当，学生较为顺利地体会出我的设计意图）【学生丙】刚刚您讲了“有序数对与复数是一一对应关系”，而有序数对的书写形式就是点坐标形式，所以我认为“任意复数存在唯一的点与它一一对应”）【学生丁】与复数一一对应的点就是，它应该在平面直角坐标系中．【师】回答很好．任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应，因此点是复数的另一种表示形式，也就是它的几何表示形式．(板书：复数点)二、“复数的向量表示”教学片断1、课题导入【师】刚才的学习中我们说“实数是一元数，复数是二元数”．如果把一元的实数看作“单纯的数”，那么二元的复数的意义就大大扩张了，不仅有数量意义，而且还有方向意义．【学生】还有方向意义？【师】复数的实部和虚部是不能颠倒的啊！位置放反，复数就不相等了．（学生纷纷点头赞同）【师】复数是一种“有方向的数”，请你们回忆一下，我们曾经学习过什么内容提出“方向”这个概念？【学生】向量．【师】所以接下来我们还要学习复数的另一种表示形式．(板书：复数的向量形式表示)2、概念的建立（投影展示）问题三：如图，复平面内的点表示复数，连接OZ，向量是由点唯一确定的，那么向量与点是什么对应关系？【学生甲】向量与点是一一对应关系．【师】点与复数也是一一对应关系啊！【学生甲】所以向量与复数是一一对应关系．（我通过将教学内容设计成若干个学生能够独立解决的问题，有效的将学生“带到问题中去”．此时师生共同归纳出复数与向量关系的概念就是水到渠成的事．）【师】因为复平面内的点与以原点为起点、以点为终点的向量一一对应，所以复数也可以用向量来表示．（板书：复数与复平面上的点、向量三者之间一一对应）【师】将来有些复数问题，我们就可以转化为几何问题来研究了，这样增加了解决复数问题的途径．【学生乙】这种解题方法是不是就叫做您常讲的“数形结合”法？【师】是的，当然我们也可以运用“数形结合”法将几何问题转化为复数问题来研究．【师】向量是复数的向量表示形式，向量除了具有方向，还具有长度．它的长度叫做向量的模，也叫做复数，记作．（板书：）[教学反思]本案例力图体现“教师为主导，学生为主体”的教学理念．通过由浅入深的问题形式调动学生学习积极性．剖析复数的本质概念，突破复数与复平面上的点、向量三者之间建立一一对应关系难点．在教学过程中渗透数形结合、等价转化等数学思想，培养学生的主动探究精神．新课程提倡的学习方式是：自主学习、合作学习、探究学习．要求学生改变过去那种单纯的接受式学习方式．这一点与本节课的教学理念是一致的，我认为这节课值得肯定的地方有以下方面：1、激发学生的学习兴趣．我在这节课的导入新课方式上思考了多种方式，综合比较并结合本班学生的学习特点，还是采用上述“修改板书”这样的类比式导入方法．这种方法让学生的思维从旧知识的情境中，突然转变到新知识的情境中，很容易的使学生很快产生强烈的求知欲望。

关于“复数”教学反思复数的本章复习课上完了，现就教后的一些想法及反思分析如下：复数在高考中的比重较小，其重点是考察复数的基本概念和复数的四则运算（运算技巧）。

复数这一部分是在高二下学期学习的, 高考的基本要求是：数的必要性，理解复数的有关概念。

掌握复数的代数表示和几何意义；复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法，减法、乘法、除法运算；从自然数系到复数系的扩充的基本思想。

而这节课是复习课,所以我本着面向全体学生，巩固基本知识，强化基本技巧为出法点。

另一方面复数这一部分在高考中的难度相对比较低，所以我在设计这节课时,根据我班学生的实际情况，精选典型的例题和习题进行教学，着力提高学生对“三基”的掌握程度。

我在复习过程中一再强调复习要有基础性、针对性和层次性。

这一节课也本着这样的思想，在教学设计时，我选择了高考中常见的三种题型，进一步让学生学习了复数的概念及有关定义、复数的运算和利用复数的几何意义求最值。

因为我是复习课，所以我选择的例题也比较多，不过其中大多数例题都是基础题，这样有利于关注全体学生，也有利于满足不同程度学生的要求，另外根据往年高考中出现的复数有针对性地进行了重点讲解，有几个例题也有一定的难度，这些题对于那些优秀生是一个更大的提高。

为了提高课堂的教学容量，我制作了演示文稿，把例题和一些解题过程事先制作好，这样在课堂上我就可以节省很多时间，以提高课堂教学效率，结果我认为还是比较好的，这一点我在以后的教学中也会坚持下去。

另外，在整个课堂教学中，我始终把学生作为学习和复习的主人，让学生有更多的思考的时间，我每投影一个例题时，不是马上讲解，而是找学生提出解题的思路或新的问题，师生再共同解决，并把关键的步骤写在黑板上，这样有利于那些需要帮助的学生。

在复习过程中，除了强调基础知识的复习外，我还很重视基本技巧和一题多解的掌握，如在复数的概念中，复数相等重要的一部分，要求学生要善于将复数问题转化为实数问题解决，即“化虚为实”的方法；在复数计算时应该充分利用与实数的性质求解；这些充要条件解决问题往往会极大简化求解过程，另外就是利用数形结合的方法来解决实际问题。

人教版高二数学必修第四册《复数的几何意义》说课稿一、引言在高中数学中，复数是一个非常重要的概念。

复数的引入不仅拓宽了数的域，使得我们可以解决更多的数学问题，同时也具有深刻的几何意义。

本课程旨在通过学习《复数的几何意义》，让学生了解并体会复数的几何意义，从而帮助他们更好地理解复数及其在数学中的应用。

二、教学目标通过本节课的学习，学生将达到以下教学目标： 1. 理解复数的几何意义及其在平面内表示； 2. 能够用向量表示复数，并进行复数相加、相减、相乘的运算； 3. 能够解决与复数相关的几何问题。

三、教学内容1. 复数的引入及定义首先，我们将回顾复数的引入，描述复数的定义及其表示方法。

复数是由实部和虚部组成的，可以用a+bi来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

2. 复数的几何意义接下来，我们将讲解复数的几何意义。

复数可以用向量表示，实部对应向量在实轴上的投影，虚部对应向量在虚轴上的投影。

我们可以直观地理解复数在平面内的表示，并通过几个例子演示。

3. 复数的运算然后，我们将学习关于复数的运算。

复数的加法减法可以通过向量的相加减来完成。

复数的乘法可以通过向量乘法和极坐标形式来理解。

我们将通过具体的例题进行讲解和练习，帮助学生掌握复数的运算规则。

4. 解决几何问题最后，我们将应用所学的复数知识解决几何问题。

例如，平面上的旋转、缩放等问题都可以通过复数的运算来表示和解决。

我们将带领学生分析和解决一些实际问题，培养他们运用复数解决几何问题的能力。

四、教学方法1.探究方法：通过引导学生提出问题，思考并探索复数的几何意义和运算规律，培养他们的自主学习和解决问题的能力。

2.演示法：通过具体的几何图形演示复数的表示和运算，帮助学生直观地理解和记忆。

3.实践方法：通过解决实际问题，培养学生应用复数解决几何问题的能力。

五、教学步骤步骤一：复习导入1.复习上节课所学的复数的引入和定义。

2.引导学生思考：复数在平面内的几何意义是什么？步骤二：讲解复数的几何意义1.通过一些例子，让学生感受复数在平面内的表示。

《复数的几何意义》教学设计一、教学目标：1.能够类比实数的几何意义说出复数几何意义，2.会利用几何意义求复数的模3.能够说出共轭复数的概念二、教学重、难点：重点：复数的几何意义以及复数的模难点：复数的几何意义及模的综合应用三、教学方法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义和复数的模公式。

四、教具准备：多媒体《复数的几何意义》学情分析知识上学生已经学过实数绝对值的几何意义以及向量的坐标表示，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义，而且在学习向量时，学生已经知道向量和坐标系中的点是一一对应的。

因此这节课关键是让学生理解为什么复数与实数对（坐标）一一对应，突破这个难点，学生就能够很好地理解复数的几何意义。

方法上学生对于类比思想已经在第二章《推理与证明》中进行了深入的学习。

态度上学生对于疑难困惑有一定的敏感度，喜欢质问，奋发向上。

《复数的几何意义》效果分析课前要求学生能够详细的预习课本，思考并解决所设问题。

并根据自己的理解，完成前置作业中的达标练习。

课上，主要时间用来解决课前问题。

一方面，通过学生对问题的解答，了解学生对知识的理解；另一方面，针对学生在预习中提出的困惑点，着重解释，加深理解。

最后通过练习，体会知识点的应用。

在最后的达标练习中发现，对于利用向量解决复数的相关问题中，学生的主要问题在于书写的不规范。

向量的表示与复数的表示划等号，与点的表示划等号。

说明学生在预习的过程中，是粗劣的，是不准确的，学习习惯是不认真的。

《复数的几何意义》教材分析数系的扩充与复数的引入是选修1－2的内容，是高中生的数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

一、教材和教参是重要的。

这节课的重点是复数的几何意义和复数的模的几何意义；难点是复数的模的几何意义。

咱们老是在讲要突出重点分散难点，可是若是不知道重点和难点具体是什么，如何采取行之有效的方式来突出重点和分散难点？在听课的时候，最后进行课堂总结的学生对复数的几何意义，不能够一针见血地指出来，我问自己，这个问题有无复杂到学生当堂不能够理解记忆呢？是不是有什么方式让学生对复数的几何意义一目了然呢？后来我实验了一下， z= a+bi 注明代数形式，而 Z 和向量 OZ?用同色的彩笔注明几何意义，再小结的时候学生就可以够很容易患到答案了。

而复数的模的几何意义，通过向量的模，实数的绝对值的意义进行类比推理学生会很容易理解掌握，特殊是例 3 的练习，非但加深了对复数的模的理解，更激发了学生对复平面的图形圆，圆面，圆环，乃至直线，椭圆，双曲线的复数形式表示的探索的兴趣。

二、板书是重要的。

板书设计不怎么精心，主负板书分界不很清楚，而且由于一堂课要用不少个黑板，所以有的时候主板书也会擦掉。

后来问学生，学生说，有的时候上课偶而走神若是主要内容给擦掉了就不知道主要讲的什么了，所以这几天开始绞尽脑汁设计板书，尽可能保留主板书，和主要例题。

蚂蚁好象啃骨头啃得有干劲多了。

3、语言要规范准确。

其实不单单是语文课要注意语言的处置：朗诵、断句、重读，是正确理解文字语意所必需的能力，所以即便在数学的课堂也要做好这方面的示范，刻意哺育学生这方面的能力。

在我的课堂上，我的毛病大约一是重复，说得多怕学生听不到，记不住，但絮絮地反复很容易适得起反，大约一个新的概念性概念，板书进程中重复二到三遍，而我目前的温习课，知识点重复一到两次就可以够。

二是连接词的利用，有的时候自己感觉不到，可是听他人的课，会很明显的发现，过量的然后也就是说那末接下来乃至语气词啊什么的，非但不能起到上下语句的承接作用，反而使语言拖沓沉冗。

数学语言，特别要注重准确精密，一针见血，要末不说，要末就说在点子上，这需要斟酌课堂上的每一句教学语言，需要长期坚持不懈。

苏教版选修1《复数的几何意义》教案及教学反思教学背景复数是高中数学中的重要内容，难度较大。

在教学过程中，为了让学生更好地理解复数，需要加强对其几何意义的讲解。

教学目标1.熟练掌握复数的定义、四则运算规则和共轭复数的性质；2.理解复数在平面直角坐标系上的几何表示方法以及它的几何意义；3.熟练掌握复数的模和论。

教学内容复数的定义1.什么是复数？复数是由实数部分和虚数部分组成的数，形如 a+bi （a、b 为实数）2.复数的四则运算（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+((bc-ad)/(c2+d2))i3.共轭复数的性质（1）一个复数与它的共轭复数的乘积是实数。

（2）如果一个复数的虚部为非零实数，那么这个复数与它的共轭复数的积是负的实数。

复数的几何意义1.复数在平面直角坐标系上的几何表示方法对于复平面上任何一个点 P(x,y)，都可以用复数表示为 P=a+bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。

2.复数的几何意义在复平面上，复数 a+bi 表示点(x,y)，其实部 a表示点在 x 轴上的坐标，虚部 b 表示点在 y 轴上的坐标。

复数 a+bi 表示的点与原点之间的距离称为该复数的模，记作 |a+bi|，也称为绝对值，模的平方为复数的模的平方，记作 |a+bi|2=a2+b^2。

复数 a+bi 的辐角称为该复数的论，记作Arg(a+bi)，且 -π<Arg(a+bi)≤π。

复数的模和论1.复数的模复数的模是复数与原点之间的距离，记作 |z|。

对于 z=a+bi 来说，它的模等于模长，即|z|=\sqrt{a2+b2}。

复数的模可以用勾股定理来计算，即模长 = （实数部分的平方 + 虚数部分的平方）的平方根。

《复数的几何意义》教学反思《复数的几何意义》教学反思复数的引入是数学选修1-2第三章的知识点，是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。

通过本章的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

而复数的几何意义，在学生认识了复数的代数意义及表示的基础上，进一步与实数的数轴表示类比，体会和理解复数的几何意义。

课改的理念重在落实科学发展观，坚持以学为主体，以教为主导。

通过改变教学理念，改进教学方式，提高学习成绩。

《复数的几何意义》是以问题导学的方式进行授课的。

本着本节的教学重点，首先提出问题导学：1、类比实数的几何意义，复数能否借助于平面直角坐标系中的点来表示；2、联系平面向量的坐标表示，复数能否与向量建立一一对应关系；3、类比向量模的几何意义，复数模的几何意义是什么？课前要求学生能够详细的预习课本，思考并解决所设问题。

并根据自己的理解，完成导学自主测评的练习。

课上，主要时间用来解决课前问题。

一方面，通过学生对问题的解答，了解学生对知识的理解；另一方面，针对学生在预习中提出的困惑点，着重解释，加深理解。

最后通过练习，体会知识点的应用。

在最后的检测练习中发现，对用利用向量解决复数的相关问题中，学生的主要问题在于书写的不规范。

向量的表示与复数的表示划等号，与点的表示划等号。

说明学生在预习的过程中，是粗劣的，是不准确的，学习习惯是不认真的。

在这样的以学生为主的课堂中，一方面，可以充分调动学生的主观能动性，通过主动学习，提高学生的学习能力；另一方面，充分发挥小组合作学习的作用，发挥三人行，必有我师的作用，相互促进，相互进步；第三，通过课堂展示，可以提高学生的逻辑表达能力，也有助于学生自信心的建立。

但是，在这样的教学活动中还存在着不足和问题。

第一，学生对于知识的理解参差不齐，对某些问题的理解不到位。

复数的几何意义西安市86中学 贾春玲一、教学目的:通过本节课的学习，让学生在探究的过程中会用平面内的点和向量来表示复数，并能举一反三触类旁通的学习复数所表示的其他几何图形，并能解决一些数学问题。

二、学习重点;会用复平面内的点和向量来表示复数。

三、学习难点：将复数的表达式转化成几何图形。

四、学法指导：由复数的几何意义，通过探究，能够知识迁移，将复数的表达式转化成几何图形。

五、讲授新课；1、复习：复数的代数形式：如何表示：bi a z +=),(R b a ∈复数的模（或绝对值）的定义？复数bi a z +=在复平面内对应的点是z(a,b),点z 到原点的距离oz =22b a +叫做复数的模或绝对值，即z 。

复数z=a+bi,复平面内的点z(a,b)和平面向量oz 之间有何关系？2、例题例1： 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）z =5（2）2＜z ＜5（3）)21(i z +-（4）)21(i z ++（5）1)32(=--i z（6）4=++-i z i z（7）21z z z z -=-解：（1）以O 为圆心，以5为半径的圆（2）以O 为圆心，半径大于2小于5的圆环。

（3）到点（1,2）的距离（4）到点（-1,-2）的距离（5）以（2，-3）为圆心，以1为半径的圆（6）椭圆（7）线段21z z 的中垂线例2：设z 1=1+2ai,z 2=a-i(a )R ∈,A=｛Z Z Z 1-＜2｝B=｛z z z 21-≤22｝,已知A B=￠,求a 的取值范围。

解析：集合A 是以（1,2a ）为圆心，2为半径的圆的内部的点，（不包括圆周），集合B 是以（a,-1）为圆心，22为半径的圆的内部的点及圆周，因为A B=￠，的和，即()21a -解得a 2-≤或a 58≥ 3、练习：①|z1|= |z2|，平行四边形OABC 是________。

②| z1+ z2|= | z1- z2|，平行四边形OABC 是________。