材料力学第四章平面弯曲

max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
t m ax

c m ax
M Wz
My max Iz
My Iz

t max
My Iz
max
c max
二、正应力公式的推广
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验 和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该 正应力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
FQ Sz* Iz b y z
FQ ——横截面上剪力。 S z* ——横截面上距中性轴y处横线一 侧 的部分截面对中性轴的面积矩。 Iz ——整个横截面对中性轴z的惯性矩。
ζ"
ζ'
dx
b ——横截面宽度。
（二）沿梁高的切应力分布
h h b h S b( y ) [( y ) / 2 y ] ( y 2 ) 2 2 2 4
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
ql 2
q
2 h/4 4 3 l l/4 b



M(x)y Iz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
max
Mmax Wz
例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 F=20kN
A C B
3m
3m
解： 1. 求最大弯矩Mmax
1 O1 2 O2 2
dq
ab的纵向线应变
1 O1'
2 O2' 2
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab
= =
a
(ρ+y)dθ - ρd θ
y ρd θ
1
b
y
a'
dx
1
b'
dx
ρ
2.物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
3.静力学关系
E ∫A FN= σdA = ∫ A ydA =0 ρ
tBmax
D t max
M B ytBmax 21.4MPa Iz
D t max
cBmax
M B ycBmax 38.6MPa Iz M B ycDmax 12.1MPa Iz
B MD y c max 21.7MPa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
max
* FQ S z max
Izd
50 103 972 103 109 Pa 4.34MPa 6 12 3 186.56 10 10 60 10
2.腹板上切应力分布

* FQ S z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
* 3 3 Sz 70 60 220 924 10 mm 1
解： 1.腹板的最大切应力
max
* FQ S z max
1 1 3 2 I z 220 60 70 220 60 60 2203 70 2 60 220 12 12 186.56 106 mm 3
Izd
* 3 3 Sz 180 60 90 972 10 mm max
FN 2 dA
A*
η1
δ u
h
δ
η'1
z
FN1 u
η1
A
FN2 dx
b （a）
u
η1
dx
（ b）
（c）
FQ S z* 1 1 I z
* 其中 S z ——面积δ×u 对中性轴的面积矩。
1 S z* u (h ) 2
三、圆形截面梁 中性轴处：
σ=Eε =E
y
ρ
1 Mz = EIz ρ
Mzy Iz
——正应力公式
正应力性质（正负号））确定： ζ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力：
max
Mymax Iz 得 M Wz
令
Iz Wz = ymax
弯曲截面系数
max
① z轴为对称时：

② z轴为非对称时:
1.作图示梁的FQ和M图
q A
2l B l
ql C
ql2
2.绘出梁的剪力图和弯矩图
2ql
ql2
l
2l
3.纯弯曲和横力弯曲 A 纯弯曲：如图CD段。
a
C
F
F
a
D
B
F 剪切弯曲（横力弯曲）： 如图AC段和BD段。 FQ
+
F
M
+
Fa
§4-2
梁横截面上的正应力
梁的横截面上一般同时存在正应力和切应力。 FQ由切向微内力ηdA合成；M由法向微内力ζdA合成。
4.工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz 2080cm
3
max
M max 14.42MPa Wz
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉 应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
q=20kN/m
A D 4m 40 +
第四章
平面弯曲
§4-1
一、平面弯曲的概念
概
述
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 工程中绝大多数梁都有一纵向对称面，且外力均作用在此 面内，此时梁的轴线在此对称面内弯成一条平面曲线，梁发生 平面弯曲。平面弯曲是杆件的一种基本变形。 外力特点：作用在纵向对称面 内、垂直于杆轴线的集中力或 分布力，或作用在纵向对称面 内的力偶。 变形特点：杆的轴线在纵向对 称平面内弯成曲线。 若梁不具有纵向对称面， 或虽有纵向对称面但外力不 作用在该面内，这种弯曲统 称为非对称弯曲。
3 ql 4 3 ql 4
z
(2)画FQ图和M图
FQ
+
ql 4
ql 4
-
ql 2 ql2 32
FN1
ζ"
FN2
FN2 -FN1 =η'bdx =η bdx
ζ' dA dx FN1=∫ A*ζ'dA= ∫ A* M y' dA Iz M∫ = y'dA A* Iz S z* = ∫ A* y'dA
ζ"
ζ'
dx
M FN1= I Sz* z
M FN1= I Sz* z FN2=∫ A*σ"dA= ∫ A* (M +dM) FN2= S z* Iz
δ u
h
δ
η'1
z
FN1
η1
A
FN2
u
dx
b （a）
u
dx
（ b）
dF FN 2 FN1
dF 1dx
式中：FN1 dA
A*
M M * y d A Sz A * Iz Iz
M dM M dM * y d A Sz A * Iz Iz
d a b y
z

ηmax
η=
FQ Sz*
Iz d
h2 h12 h12 τ [b( ) d( y 2 )] 2I z d 2 4 4
FQ
y0
max
* FQ S z max
Izd

FQ d
/
Iz
* Sz max
2.翼缘部分切应力 有铅直切应力（很小），也有水平切应力
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 化规律： 取微段梁dx 1 O1 2 O2 2 1 O1' 2 O2' 2
dq
dx
a
1
b
y
a'
dx
1
b'
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
变形前 变形后
dx= ab=O1O2
O 1O'2=ρdθ a b'2=(ρ+y)dθ =O1O2
FN2 -FN1 = η bdx
(M +dM)y' (M +dM) d A = ∫ A* y'dA Iz Iz y'η′ ζ'
FN1
ζ"
FN2
dM Sz* = η bdx FN2 -FN1= Iz
dM=FQ dx
ζ' dA dx FQ Sz* Iz b
FQdx
Iz
Sz* = η bdx
从而
η=
η=
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz