浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用

论文:线性代数的应用与心得体会班级：姓名：学号:指导老师:完成时间：2014年10月20日目录摘要 (2)关键词 (2)一、线性代数被广泛运用的原因 (2)二、线性代数在实际中的应用 (2)1. 用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列式求平行六面面体 (2)2. 希尔密码 (2)3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现 (3)4、在城市人们出行的应用——交通流的分析 (4)5、马尔可夫链 (5)6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5)三、心得与体会 (7)摘要我们对线性代数的了解大概是,线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容,还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的应用都十分广泛;下面就是看一些具体实例应用,和一些心得体会;关键词线性代数；实际生活；应用实例；心得体会；;一、线性代数被广泛运用的原因为什么线性代数得到广泛运用,也就是说,为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事,而并非解非线性方程组是经常的事呢原因之一,大自然的许多现象恰好是线性变化的,研究的是单个变量之间的关系;例如我们高中学过的物理学科中,物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动;而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律,即物体的加速度同它所受到的力成正比,其实这又恰恰符合基本的线性微分方程;再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组,这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比,而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比,因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组;原因之二,之后随着科学的发展,我们不仅要研究单个之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而且由于计算机的发展,了的问题又可以计算出来,所以,线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用;原因之三,在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系;线性代数所体现的观念与代数方法之间的联系,从具体概念变为出来的,对于强化人们的,增强科学性是非常有用的;二、线性代数在实际中的应用1.用二阶行列式求平行四边形面积,用三阶行列式求平行六面面体2.希尔密码希尔密码Hill Password是运用基本矩阵论原理的替换密码,由Lester S. Hill在1929年发明;每个字母当作26进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n维向量,跟一个n×n的矩阵相乘,再将得出的结果模26;注意用作加密的矩阵即密匙在\mathbb_^n必须是可逆的,否则就不可能译码;只有矩阵的行列式和26互质,才是可逆的;例题、设明文为HPFRPAHTNECL,密钥矩阵为：3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现大学生在饮食方面存在很多问题,多数大学生不重视吃早餐,日常饮食也没有规律,为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养;大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物,下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养它们的质量以适当的单位计量;设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表,表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方;现在的问题是：如果用这三种食物作为每天 营养 每100g 食物所含营养g减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶 大豆面粉 乳清 蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪73123个单位100g,表中的三个营养成分列向量为：12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等,就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MA TLAB 解这个问题非常方便,列出程序ag763如下： A=36,51,13;52,34,74;0,7, b=33;45;3 x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为,大豆面粉的用量为,乳清的用量为,就能保证所需的综合营养量;4、在城市人们出行的应用——交通流的分析某城市有两组单行道,构成了一个包含四个节点A,B,C,D 的十字路口如图所示;在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量每小时的车流数标于图上;现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x 1,x 2,x 3,x 4;解：在每个节点上,进入和离开的车数应该相等,这就决定了四个流通的方程： 节点A: x 1+450＝x 2+610 节点B: x 2+520＝x 3+480 节点C: x 3+390＝x 4+600 节点D: x 4+640＝x 2+310将这组方程进行整理,写成矩阵形式：12233414= 160 = - 40 - = 210= -330x x x x x x x x ---其系数增广矩阵为：11 160 11 - 40 [,]1121011 -330A b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 用消元法求其行阶梯形式,或者直接调用U0=rrefA,b,可以得出其精简行阶梯形式为1 0 0 -1330 0 1 0 -1 170 U0= 0 0 1 -1 210 0 0 0 00⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦注意这个系数矩阵所代表的意义,它的左边四列从左至右依次为变量x 1,x 2,x 3,x 4的系数,第五列则是在等式右边的常数项;把第四列移到等式右边,可以按行列写恢复为方程,其结果为：x 1=x 4+330, x 2=x 4+170, x 3=x 4+210图3 单行线交通流图0＝0由于最后一行变为全零,这个精简行阶梯形式只有三行有效,也就是说四个方程中有一个是相依的,实际上只有三个有效方程;方程数比未知数的数目少,即没有给出足够的信息来唯一地确定x1,x2,x3,和x4;其原因也不难从物理上想象,题目给出的只是进入和离开这个十字路区的流量,如果有些车沿着这四方的单行道绕圈,那是不会影响总的输入输出流量的,但可以全面增加四条路上的流量;所以x4被称为自由变量,实际上它的取值也不能完全自由,因为规定了这些路段都是单行道,x1,x2,x3,和x4;都不能取负值;所以要准确了解这里的交通流情况,还应该在x1,x2,x3,和x4中,再检测一个变量;5、马尔可夫链马尔可夫链Markov Chain,描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态;马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列;这些变量的范围,即它们所有可能取值的集合,被称为“状态空间”,而的值则是在时间n的状态;如果对于过去状态的条件概率分布仅是的一个函数,则这里x为过程中的某个状态;上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质;例题、6、在人口迁移的应用人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的;人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化;每年有6%的市区居民搬到郊区去住,而有2%的郊区居民搬到市区;假如开始时有30%的居民住在市区,70%的居民住在郊区,问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少30年、50年后又如何这个问题可以用矩阵乘法来描述;把人口变量用市区和郊区两个分量表示,即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例,x s 为郊区人口所占比例,k 表示年份的次序;在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;一年以后,市区人口为x c1= x c0+,郊区人口x s1= + x s0,用矩阵乘法来描述,可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120k k k k x Ax A x A x --====,用下列MATLAB 程序进行计算：A=,;, x0=; x1=Ax0, x10=A^10x0 x30=A^30x0 x50=A^50x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数 ;为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值,我们改变一下坐标系统;在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果;选u 1为稳态向量,T 的任意一个倍数,令u 1=1,3T 和u 2=-1,1T ;可以看到,用A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度,不影响其相角方向：110.940.02110.060.9833Au u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦220.940.0210.920.920.060.9810.92Au u --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031x u u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅-⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因此0120.250.05(0.82)k k k x A x u u ==-式中的第二项会随着k 的增大趋向于零;如果只取小数点后两位,则只要k>27,这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.75k kk x A x u >⎡⎤===⎢⎥⎣⎦适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子,避免相角项出现,使得问题简单化;这也是方阵求特征值的基本思想;这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型;所得到的向量序列x1,x2,...,x k称为马尔可夫链;马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态x k完全可由其前一个时刻的状态x k-1所决定,与k-1时刻之前的系统状态无关;三、心得与体会没上线性代数的时候,心中还有点忐忑,怕自己学不好;但是当真的学时,用心听老师讲的每节课,还是感觉很轻松的;然后每章结束后的习题,自己认真完成,不会的再翻翻以前学过的知识点和笔记,自己就会豁然开朗,而且死死地记住题型,考试的时候不会紧张而且游刃有余;可以总结一下,线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量;这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法;因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种中去,是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质;如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性;由此可见,只要掌握矩阵、方程组和向量的内在联系,遇到问题就能左右逢源,举一反三,化难为易;线性代数作为数学的一门,体现了数学的思想;数学上的方法是相通的;比如,考虑特殊情况这种思路;线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组,这些都是先考虑特殊情况;高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程,这用的也是这种思路;通过思想方法上的联系和内容上的关系,线性代数中的内容以及线性代数与高等数学甚至其它学科可以联系起来;只要建立了这种联系,线代就不会像原来那样琐碎了;在线性代数的学习中,注重知识点的衔接与转换,努力提高综合分析能力;线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对再问做得好不好只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了;现在我们可以在线完成过程考核,在电脑上登录,然后有不同的题型,说是考核其实也是一种练手和复习,加强知识的巩固;每一题解答过后都会有详解,可以看到自己到底错在哪,哪里学的不好;我觉得这是一种很好的学习工具,我们一定要好好利用,来学习线性代数;了解每种题型很关键,当然都离开不了矩阵、方程组和向量,掌握它们是关键;线性代数有很多在现实生活中的应用,我们要会运用线性代数来解决现实生活中的一些事或麻烦;我们的生活中到处都存在着数学,所以用心它的魅力吧;。

高等数学解题中的线性代数方法的应用探析【摘要】高等数学中的线性代数方法在解题过程中发挥着重要作用。

本文从三个部分进行探析。

在引言中，介绍了背景、研究目的和研究意义。

正文部分涉及了线性代数在高等数学中的应用、线性代数方法在解决问题中的作用，并通过具体案例分析展示了线性代数方法的优势与局限性。

探讨了线性代数在高等数学中的未来发展。

在对文章进行总结，并展望未来的研究方向。

通过本文的研究，可以更好地理解和应用线性代数方法解决高等数学问题，为高等数学的发展提供一定的参考和启示。

【关键词】高等数学、线性代数、解题方法、应用探析、具体案例、优势、局限性、未来发展、结论总结、研究展望1. 引言1.1 背景介绍线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的一门学科，是数学中的一个重要分支。

通过线性代数的学习，可以帮助我们更好地理解高等数学中的各种概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。

在高等数学解题中，线性代数方法的应用可以帮助我们更快速、更有效地解决问题。

线性代数的矩阵运算、向量空间、特征值与特征向量等概念可以帮助我们简化问题，提高解题效率。

本文旨在探讨线性代数方法在高等数学解题中的应用，分析其在解决高等数学问题中的具体作用，并通过具体案例分析、优势与局限性的探讨，最终展望线性代数在高等数学中的未来发展。

通过本文的研究，我们可以更好地理解和应用线性代数在高等数学中的重要性，从而提高数学解题的效率和准确性。

1.2 研究目的研究目的是为了探究在高等数学解题过程中，如何有效地应用线性代数方法来解决复杂的数学问题。

通过分析线性代数在高等数学中的应用和作用，深入挖掘线性代数方法在解题过程中的具体作用机制，探索其优势和局限性。

通过具体案例分析，验证线性代数方法在高等数学解题中的有效性，为未来的研究提供参考。

通过对线性代数在高等数学中的未来发展进行探讨，可以为该领域的深入研究提供方向和思路。

本研究旨在揭示线性代数方法在高等数学中的重要性和应用前景，为相关领域的教学和研究提供理论支持和实践指导。

线性代数在高中数学中的应用数学作为一门学科，是一种探索和研究数学规律和关系的科学。

高中数学作为数学学科中的一部分，为学生提供了基础数学知识和思维的培养。

而线性代数则是数学学科中一门重要的分支，它研究向量空间、线性映射和线性方程组等内容。

线性代数不仅在大学中起到重要的作用，而且在高中数学中也有着广泛的应用。

首先，线性代数在向量的研究中发挥着重要的作用。

在高中数学中，向量是一个重要的概念，它用于描述具有大小和方向的量。

线性代数提供了一种有效的方法来处理向量的运算和相关问题。

例如，线性组合的概念可以帮助我们理解向量的线性相关性和线性无关性。

通过线性组合，我们可以判断向量是否可以由其他向量线性表示，从而解决向量相关性的问题。

其次，线性代数在矩阵的应用中也起着重要的作用。

矩阵是表示线性变换和解决线性方程组的重要工具。

在高中数学中，线性方程组是一个基本的概念，用于解决多元线性关系的问题。

通过使用矩阵，我们可以将线性方程组转化为矩阵方程，并通过矩阵的求逆、行列式和特征值等方法解决线性方程组的求解问题。

矩阵的应用范围广泛，不仅限于数学，还涉及到物理、计算机科学和经济学等领域。

另外，线性代数在向量空间的研究中也有广泛的应用。

向量空间是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组向量构成的集合。

在高中数学中，我们可以通过向量空间的性质来研究和解决相关问题。

例如，线性相关性和线性无关性的概念可以帮助我们判断向量组的线性相关性，从而解决线性方程组或几何问题。

通过对向量空间的研究，学生们可以更好地理解向量的性质和关系。

此外，线性代数还可以应用于平面和空间几何的研究中。

在高中数学中，平面和空间几何是重要的内容之一，涉及到点、线、面等几何图形的性质和关系。

线性代数提供了一种有效的方法来分析和描述几何图形的性质。

通过应用线性代数的知识，我们可以研究和解决直线的包含关系、平面的交点问题和几何图形的投影问题等。

线性代数的技巧可以帮助学生更好地理解和应用平面和空间几何的知识。

高等院校中线性代数教学方法的探讨作者：杨磊陈晓文姜伟来源：《科技创新导报》 2012年第18期杨磊陈晓文姜伟(哈尔滨医科大学生物信息科学与技术学院黑龙江哈尔滨 150081)摘要:线性代数是高等院校中一门较为重要的数学基础课程。

线性代数这门课程可以为学生提供必要的数学知识,也可以培养学生的思维能力。

本文在这里针对高等院校中线性代数教学时面临的主要问题进行细致的讨论和分析,并针对此类问题提出解决办法。

关键词:数学基础分层次教育科学计算思维能力中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)06(c)-0163-01线性代数作为数学的一个重要的分支,是高等院校各个专业一门重要的基础课程。

随着科学技术的不断发展和全球信息化时代的到来,线性代数在概率统计、微分方程、控制理论、工程技术、经济与社会科学等领域中有着广泛的应用。

此外,线性代数还具有逻辑性强、抽象性强、前后知识联系密切、内容相互渗透的特点,这对于提高学生的数学素养、训练与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。

但目前高等院校中学生数学水平不一,且线性代数的教学中存在着诸多问题,这就导致了学生在学习线性代数时兴趣不高,学后效果不理想。

本文针对高等院校中线性代数教学时存在的问题,根据线性代数课程特点和学生的实际情况,结合多年实际教学经验,对线性代数的教学提出诸多建设性意见。

1 线性代数的分层次教学目前,随着高校招生规模的不断扩大,中国的高等教育已经由过去的精英教育转变成当前的大众教育,学生的水平也随之发生巨大的变化。

在普通高校中,线性代数所讲内容难度适中,这样做虽然照顾到大部分不同数学背景的学生,但却不能满足新形势下高校教学改革的需要。

从高等院校中学生对线性代数课程内容的需要,一般可以分两类。

第一类是学习线性代数仅仅是本专业开设这门课程,这类学生学习线性代数的目的仅是为了期末本门课程考试及格,获得此课程的学分；第二类是学习线性代数是为了将来的考研做数学知识的准备或工作需要,这类学生对线性代数知识需求较高,需要更加深入的学习线性代数的理论知识,需要与考研难度相等或能与日后工作相结合的线性代数习题。

浅谈线性代数方法在解决高等数学问题中的应用线性代数是一门研究线性空间、线性变换以及线性方程组的数学分支。

它是现代科学、工程技术和计算机科学领域中最基本的数学工具之一。

在高等数学中，线性代数方法广泛应用于解决各种数学问题。

本文将探讨其中的几个应用。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种用于解线性方程组的方法。

这种方法的基本思想是将线性方程组中的未知量通过消元的方式逐步求出，最终得到每个未知量的值。

高斯消元法常常用于解决从物理、化学等领域中抽象出的线性代数问题，如电路分析、稳态化学反应等。

此外，高斯消元法还可以用于解决三角函数、指数函数等的方程式。

2. 矩阵分解矩阵分解是一种将一个矩阵分解成两个或多个较简单矩阵的方法。

这种方法广泛应用于各种数学问题中。

在高等数学中，矩阵分解有助于解决线性方程组、矩阵方程等问题。

例如，矩阵的LU分解可用于求解线性方程组，特别是当计算机计算的精度不足时。

此外，矩阵的特征值分解和奇异值分解可以应用于解决许多数学问题，如求解差分方程、求解积分方程等问题。

3. 矩阵的逆和伴随矩阵的逆和伴随也是线性代数方法在高等数学中的应用之一。

矩阵的逆是指如果一个矩阵 A 与其逆矩阵 B 相乘得到单位矩阵，那么 B 就是 A 的逆矩阵。

这个概念可用于解决线性方程组、矩阵方程等问题。

伴随矩阵是另一种与矩阵 A 相关的矩阵，它通常用于求解线性方程组的解。

伴随矩阵的求法比较繁琐，但是可以用矩阵分解的方法来计算。

4. 线性变换线性变换是指一个向量空间（如 Rn）中的每个向量都与另一个向量一一对应的线性函数。

线性变换有许多重要应用，比如计算机图形学、统计学、地理信息系统（GIS）等。

在高等数学中，线性变换可以用于解决几何问题。

例如，利用线性变换，可以将一个向量从极坐标系（或任何其他坐标系）映射到笛卡尔坐标系上，从而得到它在二维平面上的位置。

综上所述，线性代数方法在解决高等数学问题中有着广泛的应用。

无论是解决线性方程组、矩阵方程，还是求解特征值和特征向量，线性代数方法都提供了有力的工具。

刍议线性代数法与高等数学的联系【摘要】线性代数与高等数学是两门既具有独立性又有着密切联系的课程。

好多人都将线性代数当做高等数学的后续教材来进行安排教学。

这样的话，学生们在学习高等数学的时候，并不能够充分的利用线性代数中的分析问题、解决问题的思想方法来进行指导。

线性代数对于高校来说是一门非常重要的基础教学课程，无论是在自然科学还是社会科学以及工程技术领域中都有着非常重要的作用。

同时，线性代数法与高等数学也有着密切的联系。

【关键词】线性代数；高等数学；联系；重要性线性代数是数学中的一个分支，线性代数研究的主要是向量、线性空间、线性变换以及线性方程组。

空间向量对于现代数学来说是一个非常重要的课题，线性代数的理论已经被演化为算子理论。

在同学们学习线性代数的时候，在学习的过程中可以发现线性代数和解析几何在许多方面都是有相同的地方的，再准确点来说，线性代数中的一些理论是在解析几何的基础上而得来的。

线性代数和求解线性方程组的关系是密不可分的。

在学习线性代数的过程中，我们不仅可以学到行列式还有矩阵以及向量等的一些知识。

这不仅仅说明了线性代数是数学中的一个分支，同时也说明了线性代数与高等数学之间的联系是非常的密切的。

1.线性代数的简介线性代数是数学中的一个分支，它主要是处理关于线性之间的关系的问题的。

所谓线性之间的关系也就是数学中的对象与对象之间的关系用一种一次的形式来表达出来的方式。

比如说在解析几何中，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程；空间直线看做是两个平面相交，是由两个三元一次方程来组成的方程组表示。

那如果含有多个未知数的一次方程的称为是线性方程。

从这就引出了一些简单的线性问题。

由于线性方程组和变量的线性变换问题的不断地深入，行列式和矩阵也在先后的产生，并且为处理线性问题提供了非常有利的工具，使线性代数有了很大的发展。

线性代数不仅在数学这门学科中有着很重要的作用，在物理学以及技术学都有着举足轻重的作用，所以，线性代数在各种代数的分支中都占有极为重要的地位。

2012年6月第17期科技视界SCIENCE &TECHNOLOGY VISION 科技视界Science &Technology Vision作者简介:李霞(1971—),女,山西临汾人,沈阳理工大学理学院,讲师。

《线性代数》与《高等数学》是大学工科专业学生的两门重要基础课,虽然这两门课独立讲授,在解题方法上也有着很大的差异,但在解决问题的过程中也具有一定的相通性.本文仅对线性代数方法在高等数学解题中的应用加以探讨,以期对大学工科数学的教学与研究有所促进.1二次型理论的应用二次型理论是线性代数的重要内容,其用途十分广泛,而求二次函数的极值问题,无论是在理论研究或者实际应用中,都有十分重要的地位,首先给出利用二次型理论解决多元二次函数极值问题的方法.定理1二次型f=x ⭢TA x ⭢在x⭢=1时的最大值与最小值分别为矩阵A 的最大特征值与最小特征值[1].例1求函数f (x ,y ,z )=5x 2+y 2+5z 2+4xy -8xz -4yz ,在实单位球面:x 2+y 2+z 2=1上达到的最大值与最小值,并求达到最大值与最小值时,x ,y ,z 的取值[2].解由上述结论得:λ1(x 2+y 2+z 2)≤f (x ,y ,z )≤λ3(x 2+y2+z 2),其中λ1,λ3分别为二次型f (x ,y ,z )对应的矩阵A 的最小特征值与最大特征值.该二次型的矩阵为:A =52-421-2-4-25⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,由A-λE =(λ-1)(λ2-10λ+1)得A 的特征值:λ1=5-26√,λ2=1,λ3=5+26√λ1=5-26√对应的单位特征向量为p ⭢1=123+6√√-12+6√1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟λ3=5+26√对应的单位特征向量为p ⭢3=123-6√√-12-6√1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟综上:当(x ,y ,z )=123+6√√(-1,2+6√,1)时,有最小值f(x ,y ,z )=5-26√;当(x ,y ,z )=123-6√√(-1,2-6√,1)时,有最大值f(x ,y ,z )=5+26√.2线性方程组知识的应用例2设函数f (x )在[a ,+∞)上n 阶可导,且lim x →+∞f (x )和lim x →+∞f (n )(x )存在,求证:lim x →+∞f (k )(x )=0(k =1,2,…,n )[3].证明设lim x →+∞f (x )=A ,lim x →+∞f (n )(x )=B ,应用Taylor 公式,有f (x+k )=f (x )+kf′(x )+k 22!f″(x )+…+k n -1(n -1)!f (n -1)(x )+k nn !f (n )(ξk )(1)x<ξk <x+k(k=1,2,…,n )则lim x →+∞f (n )(ξk )=lim x →+∞f (n )(x )=B 由函数极限与无穷小的关系,有:f (n )(ξk )=B+αk ,其中lim x →+∞αk =0(k=1,2,…,n )(2)将(2)代入(1)可得关于f′(x ),f″(x ),…,f (n -1)(x ),B 的线性方程组:代数方法在高等数学中的几个简单应用李霞(沈阳理工大学理学院辽宁沈阳110159)【摘要】通过几个具体的实例,阐述了线性代数方法在高等数学解题中的应用,揭示了不同数学领域之间的相通性与完备性.【关键词】线性代数;高等数学;应用高校科技109. All Rights Reserved.SCIENCE &TECHNOLOGY VISION科技视界2012年6月第17期科技视界Science &Technology Visionf′(x )+12!f″(x )+…+1(n -1)!f (n-1)(x )+1n !B=f (x +1)-f (x )-1n !α12f′(x )+222!f″(x )+…+2n -1(n -1)!f (n-1)(x )+2nn !B=f (x +2)-f (x )-2nn !α2nf′(x )+n 22!f″(x )+…+n n -1(n -1)!f (n-1)(x )+n nn !B=f (x +n )-f (x )-n nn !αn⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐(3)其系数行列式为:112! (1)(n -1)!1n !2222!…2n -1(n -1)!2nn !n n22!…nn -1(n -1)!nnn !=11!2!…n !11 (1)1222…2n -12nn n2…nn -1nn≠0由克莱姆法则知:从方程组(3)中可将f′(x ),f″(x ),…,f (n-1)(x ),B 解出,并表示为f (x+k )-f (x )-k nn !αk(k =1,2,…,n )的线性组合,且lim x →+∞f (x+k )-f (x )-k nn !αk []=A-A +0=0,B =0,即lim x →+∞f (k )(x )=0(k =1,2,…,n ).证毕.3正交变换的应用3.1在判断二次曲面类型的应用正交变换的一个重要应用就在于研究二次曲线和二次曲面的分类.以二次曲面为例.由解析几何知道,二次方程a 11x 12+a 22x 22+a 33x 32+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+2a 23x 2x 3+b 1x 1+b 2x 2+b 3x 3+c =0一般来说表示空间二次曲面.要判断该二次曲面的类型,需用直角坐标变换将其中三元二次型部分的交叉项消去,即变成标准型,由于正交变换可以保持向量的长度与夹角不变,所以具有保持几何图形不变的优点.由此利用正交变换研究二次曲面非常有效.例3用一个正交变换将二次曲面的方程:3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化为标准方程,并指出该方程表示什么曲面[4].解:记f (x ,y ,z )=3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz ,该二次型的矩阵为:A =32-225-5-2-55⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,求A-λE =(-λ)(λ-2)(λ-11)得A 的特征值:λ1=0,λ2=2,λ3=11各特征值对应的单位特征向量为:p ⭢1=12√011⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,p ⭢2=132√4-11⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,p ⭢3=1312-2⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟故有正交变换:xy z⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=0432√1312√-132√2312√132√-23⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟uv w⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,在此变换下,二次曲面方程化为标准方程2v 2+11w 2=1,它表示椭圆柱面,且该方程表示的几何图形与原方程一模一样.3.2正交变换在求曲面积分中的应用对于计算三维空间中的曲面积分,如果已经知道积分曲面的参数形式,一般可以使用高等数学里介绍的方法进行计算,但是对于某些积分曲面,若不知道或很难使用参数形式表示出来,则不易计算.此时我们可以使用正交变换的方法进行尝试.首先给出利用正交变换理论解决曲面积分问题的方法.定理2假设S 是三维欧式空间R 3的光滑曲面,p (x ,y ,z )是S 上的连续函数,而xy z⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟u v w⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟是欧式空间的一个正交变换,S ′是曲面S 在上述正交变换下的象,p ⎺(u ,v ,w )是p (x ,y ,z )与正交变换的复合函数,此时有下列计算曲面积分的公式:S∬p (x ,y ,z )dS=S′∬p⎺(u ,v ,w )dS′.例4试求第一型的曲面积分S∬(x+y+z )dS ,其中S 是介于平面x+y+z =0与平面x+y+z =3之间的曲面x 2+y 2+z 2+4xy +4xz +4yz =0[5].(下转第113页)高校科技110. All Rights Reserved.2012年6月第17期科技视界SCIENCE &TECHNOLOGY VISION 科技视界Science &Technology Vision(上接第110页)解:因为f (x ,y ,z )=x 2+y 2+z 2+4xy +4xz +4yz 是二次型,其矩阵为:A =122212221⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,对于此矩阵,可求得正交矩阵P =13√-12√-16√13√12√-16√13√026√⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,使得P′AP =500-100-1⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟作正交变换x y z ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=13√-12√-16√13√12√-16√13√026√⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟uv w⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,二次型可化为:f (x ,y ,z )=5u 2-v 2-w2因此x+y+z=3√u ,而且曲面S 变成曲面S ′,它是介于u =0,u =3√之间的圆锥面5u 2-v 2-w 2=0,于是∬S(x+y+z )dS =3√∬S′udS ′=15√5∬v +w ≤15v2+w2√1+∂u ∂v()2+∂u ∂w()2√dvdw=32√5∬v +w ≤15v2+w 2√dvdw=630√π综上所述,高等数学中某些问题用高等数学的方法去解决会很繁琐,或者根本就无从下手,而用线性代数的方法去考虑,便会得到有效解决。

高等数学解题中的线性代数方法的应用探析【摘要】本文探讨了高等数学解题中线性代数方法的应用。

首先介绍了线性代数在高等数学中的重要性，然后讨论了矩阵在高等数学中的运用和特征值特征向量的求解方法。

接着针对线性代数方法在高等数学解题中的具体应用案例进行了分析和讨论。

最后总结了高等数学解题中利用线性代数方法的优势。

通过本文的阐述，可以更深入地理解线性代数在高等数学中的作用，以及如何利用线性代数方法解决高等数学中的问题。

【关键词】线性代数，高等数学，矩阵，特征值，特征向量，解题方法，优势，应用案例，探析1. 引言1.1 引言在高等数学中，线性代数的应用是非常广泛的。

通过矩阵理论，我们可以对方程组进行求解，对向量空间进行描述，对变换进行研究，甚至对高阶张量进行处理等等。

矩阵在高等数学中的运用非常普遍，它不仅可以简化复杂的运算，还可以提供更直观的解题方式。

特征值和特征向量在高等数学中也扮演着重要的角色。

通过求解特征值和特征向量，我们可以更好地了解矩阵的特性，从而解决诸如特征方程、对角化等问题。

线性代数方法在高等数学中的应用案例丰富多样。

从最基本的矩阵运算到线性方程组的求解，再到矩阵特征值与特征向量的计算，线性代数方法可以帮助我们更高效地解决各种数学问题。

线性代数在高等数学解题中的应用是不可或缺的。

通过线性代数方法，我们可以更深入地理解高等数学中的问题，提高解题效率，为进一步的学习和研究奠定基础。

在接下来的正文中，我们将深入探讨线性代数在高等数学解题中的具体应用和优势。

2. 正文2.1 线性代数在高等数学中的应用在解线性方程组的过程中，线性代数的理论和方法起着至关重要的作用。

通过矩阵的表示和运算，可以方便地求解线性方程组，并得到其唯一解或无穷多解的结论。

线性代数的基本概念和技巧，如矩阵的行列式、向量的线性相关性等，为解题提供了有效的工具和方法。

在矩阵的运用中，线性代数也发挥着重要作用。

矩阵在高等数学中具有广泛的应用，如变换矩阵、对角化矩阵等。

线性代数方法在高等数学解题中的应用思考【摘要】线性代数方法在高等数学解题中发挥着重要作用。

本文从矩阵理论在方程组求解中的应用、向量空间和子空间的应用、线性变换与矩阵的关系、特征值和特征向量的应用以及奇异值分解在数学建模中的应用等方面展开讨论。

通过对不同数学问题的解决思路进行分析和总结，揭示了线性代数方法在高等数学中的重要性。

对未来发展趋势与展望进行了展望，指出线性代数方法将继续在数学研究和实际问题中发挥着关键作用。

通过本文的阐述，读者能够深入理解线性代数方法在高等数学解题中的应用价值，为进一步研究和应用提供了启发和指导。

【关键词】线性代数方法、高等数学、矩阵理论、方程组、向量空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量、奇异值分解、数学建模、重要性、发展趋势、展望1. 引言1.1 线性代数方法在高等数学解题中的应用思考线性代数是高等数学中一个重要的分支，它研究向量空间、线性变换和矩阵等概念及其相互关系。

线性代数方法在高等数学解题中的应用思考是数学领域中一个重要的课题，它涉及到很多实际问题的解决方法和思路。

在本文中，我们将着重讨论线性代数方法在高等数学解题中的应用思考，并通过具体例子来说明其重要性。

线性代数方法在高等数学解题中起着至关重要的作用。

矩阵理论在方程组求解中的应用是线性代数方法的重要组成部分。

通过对矩阵的运算和变换，我们可以解决复杂的线性方程组，从而找到方程组的解集。

向量空间和子空间的应用也是线性代数方法在高等数学解题中的重要组成部分。

向量空间和子空间的概念可以帮助我们理解和分析空间中的几何关系，从而解决相关问题。

线性代数方法在高等数学解题中的重要性不言而喻。

未来，随着科学技术的不断发展，线性代数方法在高等数学解题中的应用思考也会变得更加重要和广泛。

我们需要不断深入研究线性代数方法，探索其更广泛的应用领域，以推动数学领域的进步和发展。

2. 正文2.1 矩阵理论在方程组求解中的应用矩阵理论作为线性代数的重要组成部分，在高等数学解题中有着广泛的应用。

高三年级线性代数基础问题应用推广笔记一、引言线性代数是高中数学的一门重要课程，也是大学数学学科中的基础课程之一。

掌握线性代数的基础知识对于学习高等数学和其他相关学科都具有重要意义。

然而，在高三年级学生中，线性代数的学习往往存在一些问题，例如难以理解概念、无法灵活运用等。

本文将从线性代数基础问题的应用推广角度出发，通过举例说明具体操作方法，分析性循序推理论点，给出实践导向结论，并对问题进行进一步阐释，以帮助解决高三年级学生在线性代数学习中遇到的困惑。

二、线性方程组求解线性方程组是线性代数中的重要内容之一。

高三年级学生在学习线性方程组求解时常常遇到的问题是无法准确地确定方程组的解集。

在解决这一问题时，我们可以通过举例来说明具体的操作方法。

例如，考虑如下线性方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - 2y = 10\end{cases}$$我们可以通过两个方程中的第一个方程解出$x$的表达式：$$x = \frac{8 - 3y}{2}$$将$x$的表达式代入第二个方程中，得到：$$4\left(\frac{8 - 3y}{2}\right) - 2y = 10$$进一步化简，可得：$$y = \frac{18}{11}$$将$y$的值代入$x$的表达式中，可以得到$x$的值：$$x = \frac{8 - 3\left(\frac{18}{11}\right)}{2}$$因此，该线性方程组的解为$(x,y) = \left(\frac{16}{11},\frac{18}{11}\right)$。

通过以上的例子，我们可以看出，在求解线性方程组时，关键是要将方程组化简为只含有一个未知数的方程，并通过代入法解得未知数的值，最后得到方程组的解集。

这一方法可以帮助高三年级学生更好地理解和掌握线性方程组的求解方法。

三、矩阵的运算矩阵的运算是线性代数中的另一个重要内容。

在高三年级学生中，常见的问题是不清楚矩阵乘法的具体操作方法。