高等数学复习提纲：线性代数与空间解析几何(一)

高等数学之向量代数与空间解析几何知识点与题型总结
向量代数与空间解析几何知识点：
（1）向量代数知识点
（2）两平面夹角与两直线夹角公式
两平面夹角和两直线夹角公式（3）点到直线的距离公式
点到直线的距离
（4）常见二次曲线
常见二次曲线
题型一：求曲线上一点到某一固定平面的最近距离和最远距离例1：
【分析】:曲线上一点(x,y,z)到XOY面的距离为|z|，但把目标函数设为
f(x,y,z)=|z|，不便于计算，因而常把目标函数设为f(x,y,z)=z^2，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。

解：
题型二：求直线方程
建立直线方程有两个基本方法：
（1）已知直线L上的一个点P（x0,y0,z0）和直线L的方向向量s={l,m,n}就可以确定直线L；
（2）两个不平行的平面相交于一直线；
例2：求过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线x+1=y-3=z/2相交的直线方程。

分析：只要求出所求直线方向向量即可，可利用所求直线与已知平面平行且与已知直线相交直接求。

解：。

2018考研数学一高数知识点复习之向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何这一部分内容是数一考生专享的，感觉学习起来很难，摸不清头绪，总是杂乱无章。

这一部分要是直接考题的话，一般不难，考生只需要根据基本概念和基本方法进行求解即可。

但是这一部分有时是和其他知识点综合在一起进行考查的，比如会和我们学习学习过的多元函数微分学的几何应用结合起来一起考，或是会和曲面积分的计算结合在一起进行考查，出一些难度较大的综合题。

在前期的基础阶段，希望大家做到以下几点。

第一，清楚这一章中涉及的基本概念。

第二，记住这一章中的基本公式。

第三，清楚直线与平面之间的联系，会进行相应的分析和转化。

常考考点常考题型考试要求向量 1. 用坐标表达式进行向量运算2.计算向量的数量积、向量积和混合积3.利用向量运算证明或确定向量的关系1.理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.平面方程或直线方程1.已知某些条件，求平面方程2.已知某些条件，求直线方程3.讨论平面与直线之间的关系4.求点到直线的距离5.求点到平面的距离1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.二次曲面方程和空间曲线在坐标面上投影方程1.求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面的方程2.求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程1.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.2.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.3.了解空间曲线的参数方程和一般方程、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.大家在自学的过程中，一定有一股劲儿进行钻研，只有自己在钻研的过程中，才会更清楚自己的问题所在。

一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。

1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。

高等数学期末复习第八章向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点)2,4,1P在yoz面上的投影点为( )；（内容要求1）(-A. )2,4,1Q D. )2,4,0(Q(-(-(-Q B. )2,0,1Q C. )0,4,1解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。

（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。

（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。

线性代数与空间解析几何(Linear Algebra and Analytic Geometry)课程教学大纲一、课程编号：040429二、课程类型：必修课课程学时：48适用专业：理工科（除信息与计算科学外）各专业先修课程：中学数学三、课程性质与任务线性代数与空间解析几何是高等工科院校的一门重要的基础理论课，也是代数学中应用最广泛的部分。

实际上它广泛应用于数学的其他分支以及物理化工、工程技术、社会科学等各个领域，特别是近若干年来，随着各种科学量化研究的深入以及计算机的普遍应用，对于线性代数知识的应用需求日益增长，这就要求学生必须具备线性代数和解析几何的各种方法。

四、教学主要内容及学时分配1、向量代数与空间解析几何（6学时）；2、行列式（5学时）；3、矩阵；4、n维向量（9学时）；5、线性方程组（5学时）；6、矩阵的特征值与特征向量（7学时）；7、二次型（6学时）；8、线性空间和线性变换（3学时）。

五、基本要求和基本内容1、向量代数与空间解析几何理解向量概念以及向量的加法、减法和向量与数的乘法（线性运算），了解向量在空间有向线段上的投影、空间直角坐标系、两点间的距离公式与线段的定比分点公式、向量的分解、基本单位向量、向量的坐标、方向余弦与方向数、夹角。

理解两向量的数量积和两向量的向量积，了解两向量垂直的条件和两向量平行的条件，了解曲面方程的概念、球面方程、旋转面（包括旋转轴为坐标轴的圆锥面）方程、母线平行于坐标轴的柱面方程，了解空间曲线方程的概念、空间曲线的参数方程和空间曲线在坐标平面上的投影曲线及其方程，掌握平面的点法式、一般式和截距式方程以及空间直线的参数式、一般式和对称式方程，了解两平面的夹角和平行、垂直的条件、两直线的夹角和平行、垂直的条件、直线与平面的夹角、交点和互相平行、垂直的条件。

2、行列式知道n阶排列和它的逆序数，理解n阶行列式的定义。

掌握行列式的性质，以及行列式的基本计算方法，知道拉普拉斯展开定理。

空间解析几何与向量代数这里出题历年是2-3个，这2-3个会均给谁呢，至少有一个会均给“向量”，一个会给“曲面”，还有一个呢，是出题老师随意发挥的，那就是随机了，听天由命了，大概率还是在“向量”和“曲面”里面随便找个小的知识点来考察，也就是这2-3题是白送分的。

所以，向量必须要掌握。

曲面讲义提到的不多，是因为曲面太简单了。

下面我们来看什么是向量，向量最本质的含义是什么呢？初始点到终止点所得到的一条有向线段，A B A是初始点，B是终止点注意它是一条线段，不是直线，因为直线是没有方向的，为什么不是有向射线呢，射线是无穷延长的，它没有长度。

只有线段是有长度的，然后在给他加一个方向，他就是向量。

故：向量=线段+方向，所以构成向量根本的条件，第一个是什么？第一个是初始点，第二个是终止点，第三个是方向。

有这三个就构成了向量。

那么我们一般是怎么记作向量呢，给定一个起点A，然后再给定一个终点A，然后我们把AB 连起来，AB，这个很好理解。

刚才已经说了，他是有初始点和终止点的，所以他是有长度的，那长度怎么记啊，长度就是1AB1，也就是向量加绝对值，就是长度。

下面要记住的是：向量有如下几种表达方式：第一种表达方式是：这表示什么，这表示一个空间竖着写得数组，凡是有线性代数基础知识的都知道啊，这就是表示的一个向量，这样竖着写得数组就是一个向量。

当然我们也可以横着写，这是什么，这是坐标，坐标不就是表示一个点吗？这个点根本不满足向量的条件啊，一个点怎么能表示向量呢？记住啊，凡是用坐标表示的向量，他表示的是什么啊，都是从坐标圆心（0.0.0）向这个坐标所连接的一个有效线段。

这个很好理解。

下面来我们来看如何来计算两点之间的距离，计算两点之间的距离有一种最直接的方式，叫欧氏距离，欧氏距离就是在空间当中，知道两个点的坐标，怎么计算两点之间的距离，怎么计算呢？就是这个点的坐标减去对应另外一个点的坐标取平方再求和，最后开根号。

这个就叫欧氏距离。

《高等代数》考试大纲(草稿)（一）多项式考试内容数域；一元多项式；整除的概念及性质；最大公因式及辗转相除法；互素的概念及性质；不可约多项式的概念及性质；因式分解及唯一性定理。

考试要求1. 掌握数域、一元多项式的概念，了解一元多项式的运算及性质。

2. 掌握多项式整除的概念，了解相关的性质。

3. 掌握最大公因式的概念，了解辗转相除法。

4. 理解互素的概念，掌握两个一元多项式互素的充分必要条件。

5. 了解不可约多项式的概念及其性质。

6. 了解一般系数的多项式的因式分解定理，掌握复系数与实系数多项式的因式分解定理。

(二)行列式考试内容行列式的概念和基本性质；行列式计算；行列式按行（列）展开；拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。

考试要求1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质，了解拉普拉斯（Laplace）定理及行列式的乘法法则。

2.会应用行列式概念计算行列式，会利用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式，会运用矩阵的初等行（列）变换计算行列式。

(三)向量和矩阵考试内容向量的线性组合和线性表示；向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。

矩阵的概念；矩阵的基本运算；矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换和初等矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价；分块矩阵及其运算考试要求1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

5.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，熟悉它们的基本性质。

6.掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。

掌握方阵的多项式概念。