2016中科院高等代数试题与解答

中科院2006年硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．（16分）已知,,αβγ为实数，求n nA αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式的值．2．（16分）线性方程组111122*********,111,221,000n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵为11121212221,11,21,n n n n n n a a a a a a A aa a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 设()1,2,,j M j n =是在矩阵A 中化去第j 列所得到的1n -阶子式．求证：⑴()()112,,,1n n M M M ---是方程组的一个解；⑵如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是()()112,,,1n n M M M ---的倍数．3．（16分）若α为一实数，试计算1lim 1nn n nαα→+∞⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭． 4．（18分）设a 为实数，10010011a aA a ⨯⎛⎫⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求50A 的第一行元素之和．5．（18分）若向量()12,,,2s s ααα>线性无关，讨论122311,,,,s s s αααααααα-++++线性相关性．6．（18分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x x y P y z z '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244y z ''+=．求,a b 的值和正交矩阵P ． 7．（16分）设有实二次型()T f x x Ax =，其中Tx 是x 的转置，A 是33⨯实对称矩阵并满足以下方程：3261160A A A I -+-=．试计算()1max max Ax f x =．其中2222123xx x x =++，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵A 来求．8．（16分）20062006A ⨯∈是给定的幂零阵（即：存在正整数p 使得0p A =而10p A-≠），试分析线性方程()20060Ax x =∈非零独立解个数的最大值和最小值．9．（16分）设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且nf 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数．设(){}|W v V f v v =∈=。

中国科学院研究生院招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效 。

1.（20分）设pq是既约分数，1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，而且()0.pf q=证明 （1）0|p a ，而|n q a ； （2）对任意整数m ，有()|()p mq f m -.110()0 ())|(). , ()()(), n n p p f x f x qx p f x p q qx pq q f x qx p b x b --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-++证明：由知,在有理数域上，，从而（因为互素，是一个本原多项式，故可设101000 (I),, |, |.n n n n b b a qb a pb q a p b --==-式中，，都是整数，比较两边系数，即得因此（2）由（I ）立得，对任意整数m ，有()|()p mq f m -.2. (20分) 设n 阶方阵1,(||)n i j n A i j ≤≤=-, 其行列式记为n D . 试证明 12440.n n n D D D --++= 并由此求出行列式n D . 证明：1211012.2131230n n n D n n n n --=---- 将第3行加到第1行，再减去第2行的2倍，得0200112210122013(2).213314123134n n n n D n n n n n n n n ---==---------再将第2列加到第1列，得1221222013(2)41424340012221222013013 (2)(2)414014243403444.n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n D D ----=---------=-+--------=-- 即12440.n n n D D D --++=上述差分方程的特征方程2440λλ++=有二重特征根2，故可设12()(2).n n D c nc =+-由120,1D D ==-可定出1211,44c c ==-．从而2(1)(2)n n D n -=---．3. (16分) 已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为2(1)λ-，试求 20112011.AA -220111201111011A (1)A .0101101020100=2011.0101020101111=01011 2011A A A A A X AX A A X λ--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=解：由的特征多项式为可知的Jordan 标准形为或如果的Jordan 标准形为，那么，这时如果的Jordan 标准形为，则有可逆矩阵X,使，这时20111111111201111010101012010020100 .020*******X X X X X X X ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-2011-20114.（20分）设,,αβγ是3维线性空间V 的一组基，线性变换A 满足(+2+)=(3+4)=(4+5)=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩A A A ,,.试求A 在基,2,αβγγ+下的矩阵.解：由题设知+2+=3+4=4+5=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩,,.A A A A A A A 从而可求出+65,=-5+4,=43.ααβγββγγβγ=--A A A 于是有+65+3(2+)8,(2+)=6+53(2+)8,=432(2+)5.ααβγαβγγβγβγβγγγβγβγγ=-=--=-+-=-A A A所以A 在基,2,αβγγ+下的矩阵为100332885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 5. (24分) 已知矩阵222254245-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .(1) 求A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵P , 使得1PAP -为对角矩阵;(3) 令V 是所有与A 可交换的实矩阵全体,证明V 是一个实数域上的线性空间,并确定V 的维数. 解：（1）A 的特征多项式 2()||(1)(10).f E A λλλ=-=--（2）21055245353535122333P ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （3）设12,,B B V k R ∈∈，则1122,,AB B A AB B A ==从而 121211()(),()()A B B B B A A kB kB A +=+=，即121,B B V kB V +∈∈．又显然0V ∈，所以V 是的33R ⨯的一上线性子空间，从而是实数域上的线性空间．由1111PAP PBP PBP PAP ----=，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得 11121212233b b PBP b b b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 所以V 是5维的，111111112212233,,,,P E P P E P P E P P E P P E P -----就是V 的一组基. 6. (20分) 设,A B 是两个n 阶复方阵,1n >. (1) 如果AB BA =, 证明,A B 有公共的特征向量;(2) 如果AB BA B μ-=, 其中μ是一个非零复数,那么,A B 是否会有公共的特征向量?回答“是”请给出证明；回答“否”请给出反例. 证明 在nC 中定义线性变换,στ，使(),(),.n x Ax x Bx x C στ==∈则,στ的特征向量分别是,A B 的特征向量．（1）由AB BA =知σττσ=.设0λ是σ的特征值，00{|(),}nV x x x x C λσλ==∈. 对任意0V λα∈，(())()σταστα=()τσα=0(())()τσαλτα==，因而0()V λτα∈，即0V λ是τ的不变子空间．考虑0|V λτ，它是0V λ的一个线性变换，在复数域C 上必有特征值μ，即存在,0V λξξ∈≠，使()τξμξ=．由于0V λξ∈，故ξ是,στ的公共的特征向量，它也是,A B的公共特征向量．（2）AB BA B μ-=知σττσμτ-=，用数学归纳法容易证明对任意的正整数k ，有k k k k σττσμτ-=，于是有()()0k k k tr k tr μτσττσ=-=，从而0.k tr τ= 所以τ为幂零变换，即有正整数m 使0.mτ=这样0就是τ的特征值，设0{|()0}V ατα==，则对任意0V α∈有(())()()()0τσατσασταμτα==-=，即0()V σα∈．就是说0V 是σ的不变子空间．与(1)类似可证,στ有公共的特征向量，它也是,A B 的公共特征向量． 7. (15分) 设A 是n 阶实方阵,其特征多项式有如下分解 1212()det()()()(),s r rrs p E A λλλλλλλλ=-=---其中E 为n 阶单位方阵,诸i λ两两不相等. 试证明A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数等于特征子空间i V λ的维数. 证明：设A 的Jordan 标准形为11rr t J J J J +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中j J 为j j n n ⨯Jordan 块，1,...,j t =．1,...,r J J 是以i λ为特征值的全部Jordan 块. 则 1,1;(),1.j i j j j n j r rank E J n r j t λ-≤≤⎧-=⎨+≤≤⎩于是1()()().ti i ijjj rank E A rank E J rank E J n r λλλ=-=-=-=-∑ 所以特征子空间iV λ的维数为r ，恰为A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数.8. (15分) 设A 是n 阶实方阵,证明A 为实对称矩阵当且仅当2TAA A =, 其中TA 表示矩阵A 的转置.证明：必要性．当A 为实对称矩阵时，显然有2TAA A =．充分性．当2T AA A =时，()()()()()T T T T T T T T T T T T T TTr A A A A Tr AA AA A A A A Tr A A A A Tr A A A A --=--+=-=- ()()0T TTr A A AA Tr AA AA =-=-=，而TA A -为实矩阵，故0TA A -=，即TA A =．。

2016年中科大自招笔试真题及答案(2016年中科大)解析：原理：小车质量M不变。

用钩码质量m表示小车受到的合外力。

θμθ+-=+mg Mg(sin cos)(m M)a其中μ中小车和木板的摩擦因数，θ为木板的倾斜角。

图中a=0时，m不等于0，说明摩擦斩没有平衡完，应增大木板的倾斜角。

在平衡摩擦力的情形下，有mg=+(m M)a要得到小车的质量不变时，小车的加速度和受到的力成正比，就使m 远小于M(2016年中科大)解析：根据玻意耳定律 0(H h)S (p gh)(H h)S C()p -=--=常数ρ 上提玻璃管，H 增大假设h 不变，空气的压强不变，但V 增大，矛盾 假设h 减小，空气的压强增大，但V 也增大，矛盾 所以，h 增大，空气的压强减小，V 增大。

若管中没有空气，0p gh =ρ上提玻璃管，若H 较小，开始时H=h ，上提玻璃管过程中，h 先增大后减小 拓展：一、克拉珀龙方程 气体符合的规律nRT PV =1、)/(31.8)/(082.0K mol J K mol L atm R ⋅=⋅⋅=2、标准状态：压强为1个标准大气压，温度为0℃时3、严格遵守上式的气体叫理想气体4、标准状态下1mol 任何气体的体积都是22.4升表示气体在某一状态下各物理量之间的关系（知三求一） 二、理想气体状态方程c TPV = 或 222111T VP T V P =（1）、条件:质量一定的某种气体（2）、由克拉珀龙方程可以说明状态方程中的C ＝nR（3）、对一定质量的某种气体，若气体的状态不变，则三个参量就不变，若气体的状态发生变化，则三个参量中至少有二个参量发生变化。

三、特殊过程１、等温变化（玻意耳定律） c pv = 或 2211V P V P = ２、等容变化（查理定律）c T P= 或 T p T P T P ∆∆==2211 ３、等压变化（盖·吕萨克定律）c TV= 或 T V T V T V ∆∆==2211(2016年中科大)解析：（1）、101122m v m v m v =+021v v v =-得 121001223m m v v v m m -==+， 120012253m v v v m m ==+(2)、碰后1做匀速运动 1023x v t =碰后2相对2、3质心做简谐运动，质心做匀速运动2055)66x v t v =+ （3）、令12x x =，解得 4.1t s =拓展1：碰撞 分类1、从能量的角度分：①弹性碰撞②非弹性碰撞2、从速度方向分： ①正碰 ②斜碰 一、一动一静，弹性正碰101122m v m v m v =+ 22210112111222m v m v mv =+ 由上得，021()v v v =-，说明弹性碰时相对速度互换得 121012m m v v m m -=+，120122m v v m m =+几种特殊情况：1、12m m =时，120v v =，210v v =二球速度互换。

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《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。