九年级数学相似三角形(2019年9月)

《相似三角形判定》知识全解
课标要求
理解相似三角形几种判定，并能简单地应用．
知识结构
内容解析
（1）相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）相似三角形判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
（3）相似三角形判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
（4）相似三角形判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
重点难点
本节的重点是：三角形相似的判定方法及其应用．
难点：探究两个三角形相似判定方法的过程．
教法导引
（1）注重将新知识与旧知识进行联系与类比．
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．
复习全等三角形判定方法SSS与SAS，类比全等三角形判定方法SSS与SAS，提出两个三角形相似的两个判定．
（2）让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力．
教学活动的本质是一种合作，一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，加强与全等三角形相关内容的联系，使学生的学习形成正迁移．
学法建议
新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如何进行判定三角形相似呢？可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也会不断提高．。

2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业（九)[27。

2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2］一、选择题1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5,乙三角形木框的三边长分别为5,错误!，错误!,则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是（)图K－9－1图K－9－23．如图K－9－3，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )图K－9－3A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．③和④相似4．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，若OA＝12 cm，OC＝4 cm,AB＝30 cm，则CD的长为（）A．5 cm B．10 cm C．45 cm D．90 cm5．如图K－9－4，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( ）图K－9－4A．P1B．P2C．P3D．P46．一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm,50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有( )链接听课例1归纳总结A．一种 B．两种C．三种 D．四种或四种以上二、填空题7．如图K－9－5，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E,连接AD，AE，若错误!＝错误!＝错误!,且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°。

初三数学第二十九章 相似三角形；三角形相似的条件冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形和三角形相似的条件1. 了解相似三角形、相似比的含义．2. 掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单的问题．二. 知识要点： 1. 相似三角形（1）相似三角形：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形． （2）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比． （3）表示方法：用符号“∽”来表示相似，读作“相似于”．如图所示，△ABC 和△A ’B ’C ’相似，记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”，读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”．A B CA'C'B'说明：（1）这个定义告诉我们：①如果两个三角形的角对应相等、边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例．（2）相似比是有顺序的．例如：若△ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，则△A ’B ’C ’∽△ABC ，那么相似比为1k ．2. 三角形相似的条件（1）如果两个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．例如：如图所示，若∠A ＝∠A ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠A ＝∠A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若∠C ＝∠C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’． 说明：只要有两对角对应相等，这两个三角形就相似．“对应”不一定非得是“A 对A ’，B 对B ’，C 对C ’”．A B A'B'（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BCB ’C ’，∠B ＝∠B ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’；若BC B ’C ’＝CA C ’A ’，∠C ＝∠C ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’； 若AB A ’B ’＝AC A ’C ’，∠A ＝∠A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．例如：如上图所示，若AB A ’B ’＝BC B ’C ’＝CAC ’A ’，则△ABC ∽△A ’B ’C ’．三. 重点难点：本讲重点是相似三角形的定义和三角形相似的条件，难点是应用三角形相似的三个条件解决一些问题．【典型例题】例1. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的一点，当∠1＝__________，∠2＝__________时，或ACAB＝__________＝__________时，△ADC ∽△ACB ． ABCD12分析：要使△ADC ∽△ACB ，根据相似三角形的定义，三组对应角分别相等，三组对应边成比例，由图可知，∠A 为公共角，∠1的顶点与∠ACB 的顶点重合．∴点A 与点A 对应，点C 与点B 对应，点D 与点C 对应，∴∠1＝∠B ，∠2＝∠ACB ，AC AB ＝AD AC ＝DCCB．解：∠B ，∠ACB ，AD AC ，DCCB评析：在找对应边、对应角时，应先观察图形，找出图形中的条件，如公共角、公共边等，再找出对应顶点、对应边和对应角．在写相似表达式时，应尽量把对应顶点的字母写在对应的位置上．例2. （1）若△AED ∽△ABC ，AD ＝6cm ，AC ＝12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比为__________． （2）有一个三角形的三边长为2、3、4，若另一个和它相似的三角形的最短边长为8，则第二个三角形的周长为__________．分析：（1）相似三角形的相似比就是其对应边的比．∵△AED ∽△ABC ，∴边AD 与AC对应．∴相似比为AD AC ＝612＝12．（2）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为28＝14，设另两边长分别为x 、y ，则3x ＝4y ＝14，解得x ＝12，y ＝16，∴第二个三角形的周长为8＋12＋16＝36．解：（1）12（2）36评析：（1）①求相似比时要注意顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项．②相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等．③若△ABC 与△A'B'C'的相似比为k ，则△A'B'C'与△ABC 的相似比为1k ．（2）找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：①如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角．②如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角．找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边．例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似的三角形共有（ ） A ．3对 B ．4对 C ．5对 D ．6对ABCDGEF分析：由AD ∥BG ，可得∠DAE ＝∠G ，∠ADB ＝∠DBG ，可推出△AED ∽△GEB ，同理可推出△AFD ∽△GFC ；由AB ∥DC 可得到△AEB ∽△FED 和△ABG ∽△FCG ，由相似图形的传递性，知△GAB ∽△AFD ，又△ABD ∽△CDB ，∴图中共有6对相似三角形，故正确答案为D ．解：D评析：充分利用题目中的条件，如平行、垂直等推出相等的角，如公共角，对顶角等．例4. 如图所示，BC 平分∠ABD ，AB ＝4，BD ＝5，当BC ＝__________时，△ABC ∽△CBD ．AB CD分析：因为BC 平分∠ABD ，所以得到∠ABC ＝∠CBD ，又题目中给出的条件是边，所以要使△ABC ∽△CBD ，只要两边对应成比例且夹角相等即可，所以只需AB BC ＝BC BD ，即BC 2＝AB ·BD ．又AB ＝4，BD ＝5，所以BC 2＝4×5＝20，所以BC ＝25．解：2 5例5. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线． （1）△ABC 和△BCD 相似吗？（2）试说明AD 2＝DC ·AC ；（3）若AC ＝5＋1，求BC 的长．AB CD分析：有一个角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．解：（1）因为∠A ＝36°，AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°． 又因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝36°． 所以AD ＝BD ＝BC ，所以△ABC ∽△BCD ．（2）因为△ABC ∽△BCD ，所以BC AB ＝CDBC，所以BC 2＝AB ·CD ，即AD 2＝AC ·CD ．（3）由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，所以AD ＝5－12·AC ＝5－12·（5＋1）＝2，而BC ＝AD ，故BC ＝2．评析：识别三角形相似的思路：①有一对等角，找⎩⎪⎨⎪⎧另一对等角等角的两边对应成比例 ；②有两边对应成比例，找⎩⎪⎨⎪⎧夹角相等第三边成比例 ；③直角三角形，找一对锐角相等；④等腰三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧顶角相等一对底角相等底和腰成比例．例6. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索： 如图所示，把镜子放在离树（AB ）的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝，观察者目高CD ＝，请你计算出树的高度．（精确到）ABC D解：因为∠D ＝∠B ＝90°，∠CED ＝∠AEB ，所以△CDE ∽△ABE ，所以CD AB ＝DE BE ．因为CD ＝1.6，DE ＝2.7，BE ＝8.7， 所以AB＝，所以AB ≈5.2．答：树的高度约是．评析：光线的入射角和反射角是相等的，故可得∠CED ＝∠AEB ，然后可利用相似三角形的性质解决问题．【方法总结】1. 三角形相似的条件有三个：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．2. 相似三角形判定方法的作用：①可以用来判定两三角形相似；②间接说明角相等，线段成比例；③间接为计算线段长度及角的大小创造条件．3. 有关三角形相似的基本图形：①如图1所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ；②如图2所示，若∠ADE ＝∠B ，则△ADE ∽△ABC ；③如图3所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ．A BC D E ABC D E ABCDE图1图2图3【预习导学案】（相似三角形和相似多边形的性质）一. 预习前知1. 相似三角形的对应边__________，对应角__________．2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，AB ＝3，BC ＝4，A ’B ’＝5，∠A ＝80°，∠B ＝30°，求B ’C ’的长与∠C ’的度数．3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ，点D 是AC 的中点．找出图中的相似三角形（不包括全等三角形），并求出其相似比．A BCD二. 预习导学1. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，C △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求C △A ’B ’C ’． 2. 已知△ABC ∽△A ’B ’C ’，S △ABC ＝12，ABA'B'＝2，求S △A ’B ’C ’．3. 如图所示的两个四边形相似，找出图中的对应角、对应边、并用比例式表示．ABEF4. 两个相似多边形的相似比为2∶3，则它们周长的比为__________，面积的比为__________． 反思：（1）相似三角形有什么性质？（2）相似多边形有什么性质？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 已知△ABC ∽△A'B'C'，如果∠A ＝75°，∠B ＝25°，则∠C'的度数为（ ） A ．80° B ．70° C ．60° D ．50°2. 下列说法中正确的个数是（ ） ①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的等边三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. △ABC ∽△A'B'C'，且相似比为23，△A'B'C'∽△A''B''C''，且相似比为54，则△ABC与△A''B''C''的相似比为（ ）A ．56B ．65C ．56或65D ．8154. 具备下列各组条件的△ABC 和△A'B'C'，不能判定它们相似的是（ ） A ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B' B ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠C' C ．∠A ＝∠B'，∠B ＝∠C' D ．∠A ＝∠A'，∠B ＝∠A'5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）ABCABCD*6. 已知，如图所示，D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且△AED ∽△ABC ，∠A ＝35°，∠C ＝85°，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ·AB ＝AE ·AC B ．∠AED ＝60° C ．DE BC ＝AD AC D ．DE BC ＝AD ABA BCDE7. 下列4个三角形中，与右边三角形相似的是（ ）ABC55555575°30°D5540°**8. 如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有相似三角形（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对A BCD EF G H二. 填空题1. 若两个三角形的相似比是1，则这两个三角形__________．2. 已知△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝__________，ABDE ＝__________＝__________．3. △ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A'B'C'的最大边长为18cm ，那么△A'B'C'的最小边长为__________．4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1、DE ＝2、BD ＝3，则BC ＝__________．A D EC B5. 如图所示，△ABC ∽△DBE ，且AD ＝12AB ，则△ABC 与△DBE 的相似比为__________．ABCDE6. 如图所示，（1）若AEAB ＝__________，则△AEF ∽△ABC ，理由是__________；（2）若__________∥__________，则△AEF ∽△ABC ．AB CEF*7. 如图所示，AC 、BD 相交于O ，若给出__________＝__________，则可以使△AOB ∽△DOC ，若给出DC 2＝DO ·DB ，则可以使__________∽__________．A BC DO**8. 如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，要使△ABD ∽△ACE ，已具备的条件是__________，还需要添加的条件是__________或__________或__________．A BCDE三. 解答题1. 依据下列各组条件判定△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似，并说明理由．（1）∠A ＝45°，AB ＝12cm ，AC ＝15cm ，∠A ’＝45°，A ’B ’＝16cm ，A ’C ’＝20cm ； （2）∠B ＝80°，AB ＝，BC ＝2cm ，∠B ’＝80°，A ’B ’＝，B ’C ’＝．2. 如图所示，若∠A ＝∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA ·OD ＝OB ·OC 吗？为什么．ABCDO3. 如图所示，已知△ADE ∽△ABC ，△DBF ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求BF 的长．A BCDEF*4. 请你制作两个三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，如何选料可使这两个三角形相似？**5. 四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，指出图中有哪些相似三角形，并说明理由．如图所示．ABCDEO1234试题答案一. 选择题1. A2. B3. A4. D5. A6. D7. C8. C二. 填空题1. 全等2. ∠D ，∠E ，∠F ，AC DF ，BC EF3. 6cm4. 85. 2∶16.（1）AFAC ；两边对应成比例，且它们的夹角是对顶角（相等）（2）EF ，BC 7. ∠ABO （或∠BAO ），∠BDC （或∠ACD ），△BDC ，△CDO 8. ∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠ACE ，∠ADB ＝∠AEC ，AD AE ＝ABAC三. 解答题1. （1）相似，因为AB A ’B ’＝1216＝34，∠A ＝∠A ’＝45°，AC A ’C ’＝1520＝34．（2）相似，因为AB B ’C ’＝＝57，BC A ’B ’＝2＝57，且它们的夹角∠B ＝∠B ’＝80°，所以△ABC ∽△C ’B ’A ’．（点A 的对应顶点是C ’，点B 的对应顶点是B ’，点C 的对应顶点是A ’）2. ∵∠A ＝∠C ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴OA OC ＝OBOD ，∴OA ·OD ＝OB ·OC3. ∵△ADE ∽△ABC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，∴AD AB ＝DE BC ，∴44＋8＝5BC，∴BC ＝15cm 。

九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。

一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。

就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。

二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。

这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。

比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。

2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。

就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。

比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。

3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。

就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。

如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。

三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。

就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。

如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。

2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。

∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。

比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。

就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。

相似三角形的判定•相似三角形：•对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

•互为相似形的三角形叫做相似三角形。

••例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：• 1.基本判定定理•(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

•(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)•(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)•(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

• 2.直角三角形判定定理•(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

•(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

• 3.一定相似：•（1）.两个全等的三角形•（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）•（2）.两个等腰三角形•（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）•（3）.两个等边三角形•(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)•（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

•相似三角形判定方法：•证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

•一、（预备定理）•平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

相似三角形一、本节学习指导本节知识虽然没有三角形全等运用广泛，但是却跟三角形全等一样重要，一样难懂。

在理解判断相似条件后，一定要多做练习。

判断三角形是否相似最常用的方法是下面列出的前面两种，同学们一定牢固掌握。

本节有配套学习视频。

二、知识要点1、相似三角形：形状相同,但大小不一样的两个三角形就称为相似三角形。

定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

注：所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）2、相似三角形的判定（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

即：注：两个夹角相等那么第三个角必定相等，三个角都相等的三角形必定相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

即：注：在上图中，DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似即：注：如上图，8/4=6/3=2，两组对边比相等，再加上中间的夹角相等，则两个三角形相似。

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

即：注：如上图，三组对边相比8/4=6/3=5/2。

5=2，由此两个三角相似。

3、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

4、位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心。

这时的相似比又称为位似比。

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比三、经验之谈：判定三角形相似和全等的几个方法我们一定要区分开，全等要求的是边、角都相等，而相似只要求对应角相等即可。

灵活运用：相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

是 ．【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−12MN =√5−12，当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−12MN =3−√52， 故答案为：√5−12或3−√52．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键． 【变式2-1】（2020秋•静安区期中）如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．ACBCB ．BCACC ．BCABD ．ABBC【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（√5−12）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ），则AC AB=BC AC=√5−12； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ），则ACBC=BC AB=√5−12．故只有AB BC 的值不可能是√5−12．故选：D ． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．【变式2-2】（2020春•相城区期末）如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ） A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ，进行计算即可．【解答】解：如图，设AB ＝1，∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =√5−12，∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =3−√52， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ）＝（√5−12×3−√52）：（1×3−√52） =√5−12．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．【变式2-3】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN =GNMG =√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ） A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =12BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−12BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2， 在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5，∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =√5−12BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4，∴DE ＝2HE ＝4√5−8∴S △ADE =12×（4√5−8）×√5=10﹣4√5．故选：A ．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．三、成比例线段、比例的基本性质（1）①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .（a,b,c,d,都不为0）；（2）合比性质：d dc b b ad c b a ±=±⇔=； （3）等比性质：ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇔≠+++=== )0(例3.已知非零实数a,b,c,满足,34,13125=+==b a cb a 且求c 的值。