【新高考数学压轴题】导数与数列综合问题(主讲人：刘蒋巍)

导数与数列结合题目一、背景介绍数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规则排列的数构成。

数列的性质和规律对于数学的发展和应用有着重要的影响。

而导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的计算和性质对于函数的研究和应用有着重要的意义。

在数学学习中，我们常常会遇到一些题目涉及到导数和数列的结合。

这些题目既考察了对导数和数列的理解，也考察了学生的解题能力和思维灵活性。

本文将介绍一些常见的导数与数列结合题目，并通过具体的例子进行说明和解答。

二、题目示例题目1：数列的导数已知数列 {an} 满足 an = 2n + 1，求数列的导数{a’n}。

解答：首先，我们需要知道数列的导数的定义。

对于数列 {an}，其导数{a’n} 的定义为：a’n = limh→0 (an+h - an) / h代入题目给定的数列 {an} = 2n + 1，得到：a’n = limh→0 ((2(n+h)+1) - (2n+1)) / h化简上式得：a’n = limh→0 (2h) / h由此可知，数列的导数{a’n} = 2。

题目2：数列的极限与导数已知数列 {an} 满足 a1 = 2，an+1 = an + 3 / an，求数列的极限。

解答：首先，我们先对数列 {an} 进行求导。

令 f(x) = x + 3 / x，根据导数的定义，有：f’(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h代入 f(x) = x + 3 / x，得到：f’(x) = limh→0 ((x+h + 3 / (x+h)) - (x + 3 / x)) / h化简上式得：f’(x) = limh→0 (3h / (x(x+h))) / h通过化简，得到f’(x) = 3 / x^2。

接下来，我们考察数列 {an} 的极限。

根据题目中给定的递推关系式，我们可以得到数列 {an} 的通项公式：an = an-1 + 3 / an-1化简上式得：an^2 = an-1^2 + 3进一步推导，可得：an^2 - an-1^2 = 3再次化简，可得：(an + an-1) * (an - an-1) = 3由此可知，数列 {an} 是一个有界数列，其极限存在。

刘蒋巍高一数学重点讲解（寒假24个专题）
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三角恒等变换
专题1 两角和与差的正弦、余弦公式
专题2 两角和与差的正切公式
专题3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
专题4 简单的三角恒等变换1
专题5 简单的三角恒等变换2
专题6 三角函数的应用
平面向量
专题7 平面向量的概念
专题8 向量的加法运算
专题9 向量的减法运算
专题10 向量的数乘运算
专题11 向量的数量积1
专题12 向量的数量积2
专题13 平面向量基本定理
专题14 平面向量的正交分解及坐标表示
专题15 平面向量共线的坐标表示
专题16 平面向量数量积的坐标表示
专题17 平面几何中的向量方法
专题18 向量在物理中的应用举例
专题19 向量问题的处理策略
专题20 余弦定理
专题21 正弦定理
专题22 应用举例1
专题23 应用举例2
专题24 解三角形问题的思维方向的监控
1。

从1998竞赛到2023高考，一道上海竞赛题的演变与推广文/刘蒋巍本文简述一道1998年上海竞赛题，弱化条件到2023全国1卷高考第22题，以及推广演变的过程。

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的一种方法。

譬如：锥体体积的模型：θθcos sin 2p V =，其中P 为参数。

教材习题 求函数θθcos sin 2=y )20(πθ≤≤的最大值。

【引理1】当20πθ≤≤时，932cos sin 2≤θθ θθθθ2422cos sin )cos (sin =θθθ222cos 2sin sin 21⋅⋅=3222)3cos 2sin sin (21θθθ++≤274=，当且仅当θθ22cos 2sin =，即33cos =θ时，等号成立 【高考题的前世】（1998年上海竞赛题）已知抛物线2x y =上有一个正方形的三个顶点A,B ，C,求这种正方形面积的最小值。

【高考题的今生】（2023年全国数学新高考1卷第22题）在直角坐标系x O y 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点)21,0(的距离，记动点 P 的轨迹为 W. （1）求 W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在 W 上， 证明：矩形 ABCD 的周长大于33 .【简评】（1）由抛物线的定义或轨迹方程求法，均可得：412+=x y （2）常见的证明方法，按设法分，大致有3类，设点（证法1、证法2、证法3、证法4）、设线（证法1、证法2）、设弦长及角度θ（如证法3）等。

证法1：利用基本不等式；证法2：通过构造函数，利用导数求解。

证法3：分析可得矩形 ABCD 的周长大于θθcos sin 22，利用常见三角不等式（引理1）放缩，得：3393222742cos sin 22==≥>θθABCD C 矩形；证法4：复数法。

【高考题的推广】设),(2a a A 、),(2b b B 、),(2c c C ，若BC AB ⊥，则12222-=--⋅--b c b c b a b a ，即：1)()(-=+⋅+c b b a ，将高考题中的欲证不等式“233>+BC AB ”翻译成代数语言为： 233)()()()(22222222>-+-+-+-b c b c b a b a 即：233)(1)(122>-⋅+++-⋅++b c b c b a b a （*）， 将)()(1c b b a +⋅+-=代入上式，得：233))(()())(()(22>-⋅++-++-⋅++-+b c c b b a b c b a c b b a b a即：233))(())((>-⋅-++-⋅-+b c a c b c b a c a b a 因为)()(1c b b a +⋅+-=，所以，c b b a +⋅+=1两边同时除以1，得：233>+-⋅+-++-⋅+-b c a c b a b c b a c a b c ba （其中cb a 、、互不相等） 将“c b a 、、互不相等”条件弱化为“实数c b a 、、”，有如下命题1：【命题1】若实数c b a 、、满足1)()(-=+⋅+c b b a ，则有：233≥+-⋅+-++-⋅+-b c a c b a b c b a c a b c b a 是否能够推广到更一般的结论呢？继续将条件“1)()(-=+⋅+c b b a ”弱化为“0)()(<+⋅+c b b a ”，于是有了【陈计教授】的推广；【陈计推广】若实数c b a 、、满足0)()(<+⋅+c b b a ，证明：233≥+-⋅+-++-⋅+-b c a c b a b c b a c a b c b a 【简证】不妨设0<+=b a x ，0>+=c b y ，得：x y a c -=- 则，欲证不等式等价于23322≥-⋅-+--⋅-y x y x b y x x y y b x 只需证：233≥--⋅-x x y y y x 只需证：027)(423≥+-xy x y注意到：0)2)(4(27)(4223≥+-=+-x y x y xy x y ，证毕！【感悟】平时教学时，对于一道高考题的讲解，需引导学生思考试题的“源”与“流”。

【新高考新教材】高一数学：基本不等式及其推广证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2∴xy ≤14S 2上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。

师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例2：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a 、b 、c 、d 都是正数，得ab ＋cd 2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd 2≥ac ·bd ＞0，∴（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）4≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得l ＝240000＋720（x ＋1600x）≥240000＋720×2x ·1600x＝240000＋720×2×40＝297600当x ＝1600x，即x ＝40时，l 有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.基本不等式（二）例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2≥23x 2·12x 2＝6∴y ∈[6，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1的最小值解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？总结：一正二定三相等。

新高考新教材高一数学期中复习备考指南刘蒋巍著学思堂教育研究院目录第一章《集合》章节复习 (3)《集合》章节的11大关键知识 (3)《集合》章节的10大典型例题 (7)链接新高考，圆你名校梦 (12)第二章《常用逻辑用语》章节复习 (16)1.充分条件、必要条件 (16)2.逻辑联接词 (17)3.与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 (18)常州高级中学测试题——简易逻辑 (19)第三章不等式 (21)不等式的性质与一元二次不等式 (21)基本不等式的8大解题技巧 (23)技巧一：凑项 (23)技巧二：凑系数 (24)技巧三：分离 (24)技巧四：换元 (25)技巧五：整体代换 (25)技巧六：取平方 (26)技巧七：构造 (26)技巧八：添加参数 (28)高一年级2020-2021学年第一学期单元测试（简易逻辑、不等式） (29)第四章《指数与对数》章节复习 (36)分数指数幂 (36)对数 (39)第五章《函数的概念与性质》章节复习 (42)《函数》章节9大知识回顾与热身训练 (42)1.函数的概念 (42)2.函数的三种表示方法 (42)3.分段函数的定义 (42)4.求函数解析式的4大方法 (43)5.求值域的5种方法 (44)6.函数的图像 (48)7.函数的单调性 (49)8.函数的奇偶性 (53)9.图像的对称性 (55)《函数》章节6大典型例题 (57)链接新高考，冲刺985 (62)第一章《集合》章节复习《集合》章节的11大关键知识1.集合中的元素具有三个特征：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素意义应当是明确的，不会模棱两可。

即指定的对象一定是明确的标准。

那也就是说，设A是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，那么x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

②互异性：一个给定集合中的元素之间必须是互异的。

因此，同一集合中不应重复出现同一元素，就像世界上不可能同时出现两片完全相同的叶子一样，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中。

【新高考新教材】《数列》章节复习课主讲人：刘蒋巍一．知识回顾等差数列1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12，0.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n－a n －1＝d若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①：a n ＝1＋(n －1)×1＝n (1≤n ≤6), 数列②：a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝12－2n (n ≥1),数列③：a n ＝22＋(n －1) 12 ＝2112 －12n (n ≥1),数列④：a n ＝2＋(n －1)×0＝2(n ≥1)由通项公式可类推得：a m ＝a 1＋(m －1)d ，即：a 1＝a m －(m －1)d ，则： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 如：a 5＝a 4＋d ＝a 3＋2d ＝a 2＋3d ＝a 1＋4d问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由等差数列定义及a 、A 、b 成等差数列可得：A －a ＝b －A ，即：a ＝a ＋b2 .反之，若A ＝a ＋b2 ，则2A ＝a ＋b ，A －a ＝b －A ，即a 、A 、b 成等差数列.总之，A ＝a ＋b2 ⇔a ，A ，b 成等差数列.如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132.看来，a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝2a 3，a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5依此类推，可得在一等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .等差数列的前n 项和设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+[a 1+(n －1)d ]①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+[a n －(n －1)d ②],把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2 d等比数列1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1＝q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－12 .与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d ”可为0，（2）公比“q ”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝(a 1q )q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝(a 1q 2)q ＝a 1q 3，…，a n ＝a n －1q ＝a 1q n －1(a 1，q ≠0)，n ＝1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式得：(n －1)个等式 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 1 ＝q ①a 3a 2 ＝q ②… …a na n －1＝q n －1 若将上述n －1个等式相乘，便可得： a 2a 1 ×a 3a 2 ×a 4a 3 ×…×a n a n －1＝q n －1 即：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)当n ＝1时，左＝a 1，右＝a 1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：a n ＝a 1·q n －1(a 1，q ≠0)根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质? (1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝bG，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q等比数列的前n 项和1.前n 项和公式一般地，设有等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n . 刚才问题即为求：S 64＝a 1＋a 2＋…＋a 64＝1＋2＋4＋…＋263 ① 我们发现，若在①式两边同乘以2，则得 2S 64＝2＋4＋…＋263＋264 ② 由②－①可得：S 64＝264－1同理，可知，若S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n又∵在等比数列中，a n ＝a 1q n －1，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1,qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n 不妨将上两式相减可得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n （1）当q ＝1，S n ＝na 1（2）当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q① 或S n ＝a 1－a n q1－q②若已知a 1，q ，n ，则选用公式①；当已知a 1，q ，a n 时，则选用公式②.二．典型例题例题1：已知a ＞0，b ＞0，并且成等差数列，则a +9b 的最小值为( )A ．16B ．12C ．9D ．8例题2：将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为( )A ．13B ．39C ．48D ．58例题3.已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2﹣n +1，则数列{a n }的通项公式为 ．例题4.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.95例题5.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40＝( ) A ．5 B ．10C ．15D ．﹣20例题6.在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-，③2n a n n b a =⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题7.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知 ， (1)判断S 1，S 2，S 3的关系； (2)若a 1﹣a 3＝3，设b n ＝|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．例题8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n +1﹣2S n ＝1，n ∈N *． (I )证明：{S n +1}为等比数列，求出{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n ＝，求{b n }的前n 项和T n ，并判断是否存在正整数n 使得T n •2n ﹣1＝n +50成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．三．《数列》单元练习单选题1.以下四个数中，是数列(){}1n n +中的项是 （ ）A ． 39B ． 23C ． 380D ． 32 2.在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =( )．A ．1-B ．0C ．1D ．6{}）则该数列的第三项是（，且满足：的首项、已知数列,31311311+==+n n n a a a a 1、A 31、B 32、C 95、D4.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21116d -<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为( ).A ．5B ．6C ．5或6D ．6或75.在等差数列{}n a 中，若34567150a a a a a ++++=，则9=S （ ） A ． 45 B ．75 C ． 270D ． 1806.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S = （ ）A ．73 B ．83 C ． 94D ． 3{}是（）则，且和为，其任意连续的四项之、已知数列2020321,2,7,8207a a a a a n === 2、A 3、B 7、C 8、D8.在等比数列{}n a 中，1401a a <<=，则能使不等式1212111()()()0n na a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-≤ 成立的最大正整数n 是 .A 6B 7C 8D 99．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a b = ． A 4 B 9 C 16 D163{}{}的值为（）则满足：、项和分别记为均为等差数列，其前、、已知数列753214,n 10b a n n B A B A b a n n n n n n ++=1721、A 2937、B 2953、C 3141、D （选做）数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，则{}n a 的前60项和为_______． A 118 B1760 C 1770 D 1870多选题已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，下列说法正确的是 （ ）A ．数列1{}n n a a +⋅是等比数列；B ．数列}{1n n a a -+是等比数列；C ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a 是等比数列； D ．数列{}n na 是等比数列填空题11. 已知数列{}n a 满足*2176,4,(N )n n a a a n n +=-=∈，则数列{}n an的最小项的值是_______．12.已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为 ．{}______,16131521110864的值为则中，比数列、在各项均为正数的等a aa a a a a n =14.在数列{}n a 中，11a =，2(1)1()n n n a a n *++-=∈N ，记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，则40S = ．{}()()____,1,2115111==-+=++n n n n n n a a a a a n n a a 则该数列的通项公式满足：、已知数列16.若数列{}n a 满足10a =，414242433n n n n a a a a -----=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n *∈N ，且对任意n *∈N 都有n a m <成立，则m 的最小值为 ．解答题{}()(){}()项和的前、求数列的通项公式、求数列数列，且成等比、、项和为的等差数列，前是一个公差为、已知数列10n 21.15,n 0175542⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≠n n n n S a S a a a S d d a18.已知等差数列{}n a 满足：首项18a =，其前5项的和520S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．19.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+， （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）令11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和T n .（选做题）已知数列{}n a 的前n 项和S n =2n 2+n ，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令14n n a b +=，求1223910111b b b b b b +++的值．{}()()()(){}(){}.2,1122321,420211n n n nn n n S n a b n a bn n n a n a n a a n 项和的前、求数列的通项公式；求数列、设中，、已知数列+=⋅++=+-+=+21.设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记cn nS b nn +=2， n *∈Ν，其中c 为实数．（1）若0=c ，证明：{}n b 是等差数列； （2）若{}n b 是等差数列，证明：0=c ．{}()(){}()(){}的大小并证明。

2023高考数学基础强化专题训练（二）解析几何直线与圆1．若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线y＝ 有两个交点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．{b |－2 ＜b ＜2 } B ．{b |2＜b ＜2 } C ．{b |2≤b ＜2 } D ．{b |b ＝±2}2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （－3，0）在圆C ：x 2＋y 2＋2mx －4y ＋m 2－12＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（3－2 ，1]∪[5，3＋2 ）B ．[1，5]C ．（3－2 ，3＋2 ）D ．（－∞，3－2 ）∪（3＋2 ，＋∞）3．（多选题）下列说法中，正确的有（ ） A ．直线y ＝ax ＋2a ＋3（a ∈R ）必过定点（2，3） B ．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为－1 C ．直线 x －y ＋2＝0的倾斜角为60°D ．点（1，3）到直线y －2＝0的距离为14．（多选题）已知圆M ：（x ＋2）2＋y 2＝2，直线l ：x ＋y －2＝0，点P 在直线l 上运动，直线P A ，PB 分别于圆M 切于点A ，B ．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形PAMB 的面积最小值为 B ．|P A |最短时，弦ABC ．|P A |最短时，弦AB 直线方程为x ＋y －1＝0D ．直线AB 过定点（ ， ） 5. 在直线l ：2x －y ＋1＝0上一点P 到点A （－3，0），B （1，4）两点距离之和最小，则点P 的坐标为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，点A （－2，2），B （－1，1），若直线x ＋y －2m ＝0上存在点P 使得P A ＝ PB ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．7.已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为______．222224x -333333323-2128.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．9.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．10.11.已知直线l ：kx －y ＋2＋k ＝0(k ∈R )．（1）若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值和此时直线l 的方程．12.已知⊙C 的圆心在直线3x －y －3＝0上，点C 在y 轴右侧且到y 轴的距离为1，⊙C 被直线l ：x －y ＋3＝0截得的弦长为2． （1）求⊙C 的方程；（2）设点D 在⊙C 上运动，且点T 满足→DT =2→TO ，(O 为原点)记点T 的轨迹为Γ． ①求Γ的方程；②过点M （1，0）的直线与Γ交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线1.2.3.4.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于34-． （1）求动点P 的轨迹方程，并注明x 的范围;（2）设直线AP 与BP 分别与直线3x =交于M ，N ，问是否存在点P 使得PAB △与PMN △面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．5.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2＝30°，(1，32)在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P (－2，0)，Q (2，0)．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQ S △NPQ 的值． 6.7.已知双曲线)0,(1:2222>=-Γb a by a x ，经过双曲线Γ上的点)1,2(A 作互相垂直的直线AN AM 、分别交双曲线Γ于N M 、两点．设线段AN AM 、的中点分别为C B 、，直线OC OB 、O (为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为.41-(1)求双曲线Γ的方程；(2)过点A 作D MN AD (⊥为垂足），请问：是否存在定点E ，使得||DE 为定值？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.8.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ，使得TA →·TB →为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．函数与导数1.若直线4y x m =+是曲线313y x nx =-+与曲线22ln y x x =+的公切线, 则n m -=A. 11B. 12C. -8D. -72.已知3151log 2,log 10,sin 2a b c ===, 则A. b c a >>B. a c b >>C. a b c >>D. b a c >>【类题训练】1.若a ＝sin1＋tan1，b ＝2，c ＝ln4＋12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜c ＜a 2.3.设1.1ln =a ，11.0-=eb ，1.0tan =c ，π4.0=d ，则A ．d c b a <<<B ．d b c a <<<C ．c d b a <<<D ．b d c a <<<4.（多选题）已知0＜x ＜y ＜π，e y sin x ＝e x sin y ，则( )A ．sin x ＜sin yB ．cos x ＞－cos yC ． sin x ＞cos yD ．cos x ＞sin y 5.2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类 出题背景1变形得：x xx e x e<+<+11)0(>x注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。