江苏省木渎中学天华学校数学数列讲义

08江苏省木渎中学天华学校二轮------解析几何1、已知圆C ：22(2)5,x y +-=直线l ：m x －y +1－m =0(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|A B|的长最小时，求直线l 的方程.(1)由22(2)510x y mx y m ⎧+-=⎨-+-=⎩得：(1+m 2)x 2－2(m +1)mx +(m +1)2－5=0…3分△=4m 2(m +1)2－4(1+m 2)[(m +1)2－5] =(4m －1)2+15>0∴直线l 与圆C 相交 ……………………………………………………………7分 (2)圆心C (0，2)到l的距离d =∴||AB === ………………10分 222||||112m m m m≤=+∴当2211mm =+即m =1时，|A B|最小 此时直线l 的方程为x －y =0 ……………………2． 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．解：（I ）PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠=O ∴点到直线1l 的设1l的方程为21(2),.7y k x k =+∴= 1l ∴的方程为2).y x =+ （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则22.a c=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b =当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=； 当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为22 1.2x y += （III ）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为221,2x y += 在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，2l ∴的方程为2)y x =+，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++= 设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282,.55x x x x +=-=CD ∴=3．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.(1)求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求⋅的最大值与最小值.解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+1015331492222222b a c b a a c b a 所以椭圆的方程为1101522=+y x （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即101|68|2=+-k k 可得91331==k k 或所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP 10200cos |||2-=∠⋅=⋅∴OP AOB OB 18155)(,855)(min max -=⋅-=⋅∴OB OA OB OA4． 如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =，（1）求椭圆的方程；（2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.答案：（1）A （2，0），设所求椭圆的方程为：224b y x 2+=1(0<b <2)， ……2分 由椭圆的对称性知，|OC |=|OB |，由·=0得，AC ⊥BC ，∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴C 的坐标为（1，1）． ……4分∵C 点在椭圆上，∴22141b +=1，∴b 2=34．所求的椭圆方程为43422y x +=1． ……8分 （2）是平行关系.…………10分 D （-1，1），设所求切线方程为y-1=k （x+1）2213144y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，222(13)6(1)3(1)40k x k k x k +++++-= …………12分 上述方程中判别式=29610k k -+=，13k =又13AB k =，所以AB 与DE 平行.…………15分x5． 已知抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M （如图所示）。

08江苏省木渎中学天华学校二轮------解析几何1、已知圆C ：22(2)5,x y +-=直线l ：m x －y +1－m =0(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|A B|的长最小时，求直线l 的方程.(1)由22(2)510x y mx y m ⎧+-=⎨-+-=⎩得：(1+m 2)x 2－2(m +1)mx +(m +1)2－5=0…3分△=4m 2(m +1)2－4(1+m 2)[(m +1)2－5] =(4m －1)2+15>0 ∴直线l 与圆C 相交 ……………………………………………………………7分(2)圆心C (0，2)到l 的距离d =∴||AB === ………………10分∴当2211mm=+即m =1时，|A B|最小此时直线l 的方程为x －y =0 ……………………2． 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程；（II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．解：（I ）PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠= O ∴点到直线1l设1l 的方程为21(2),.7y k x k =+=∴= 1l ∴的方程为2).y x =+ （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则22.a c=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b =当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为22 1.2x y +=（III ）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为221,2x y +=在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，2l ∴的方程为2)y x +，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++=设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282,.55x x x x +=-=3．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B. (1)求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程；（3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+1015331492222222b a c b a a c b a所以椭圆的方程为1101522=+y x（2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即101|68|2=+-k k 可得91331==k k 或 所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OP OP OA AOB α 4． 如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =，（1）求椭圆的方程；（2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.答案：（1）A （2，0），设所求椭圆的方程为：x224b y x 2+=1(0<b <2)， ……2分由椭圆的对称性知，|OC |=|OB |， 由AC ·BC =0得，AC ⊥BC ，∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴C 的坐标为（1，1）． ……4分 ∵C 点在椭圆上，∴22141b+=1，∴b 2=34．所求的椭圆方程为43422y x +=1． ……8分（2）是平行关系.…………10分D （-1，1），设所求切线方程为y-1=k （x+1）2213144y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，222(13)6(1)3(1)40k x k k x k +++++-= …………12分上述方程中判别式=29610k k -+=，13k = 又13AB k =，所以AB 与DE 平行.…………15分5． 已知抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M （如图所示）。

第２章数列【例１】n１4(１)求数列｛ａｎ｝的通项公式；(２)若ａ3,ａ５分别为等差数列｛b n}的第3项和第5项，试求数列{b n｝的通项公式及前ｎ项和Sｎ. [解](1)设{a n}的公比为ｑ,由已知得16＝2q3,解得q=2,∴a n＝２×2ｎ－1=2ｎ。

(2）由（1）得a3＝８，a5＝32,ﻬ则b３＝8,b５＝3２.设{b n}的公差为d,则有错误!解得错误!未定义书签。

所以b n=－１６＋12(ｎ－１)＝1２n－２8。

所以数列{ｂn}的前n项和S n＝n(－1６＋12n-28)２＝6n2-2２n。

在等差数列和等比数列的通项公式a n与前ｎ项和公式Ｓｎ中,共涉及五个量:a１,aｎ，ｎ,ｄ(或q)，Ｓｎ,其中a1和d(或q)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，ｄ（q)，a n，S n,n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用。

1.已知等差数列{aｎ}的公差d=1，前n项和为S n。

(１）若1,ａ1,a3成等比数列,求a1；（2）若S５〉a1a9，求ａ1的取值范围．[解] (1）因为数列{ａn}的公差ｄ=1,且1,a1，a３成等比数列，所以a错误!＝1×(a１＋2），即a错误!-ａ１-2＝0，解得a1＝-1或ａ1=2.(2）因为数列{ａn｝的公差d＝１,且S5>a1ａ9，所以5a１+1０>a错误!＋8a1，即a错误!+３ａ1-10〈0,解得－5〈ａ1〈2。

【例2】（1n nｎ（２）数列{aｎ}的前n项和为Sｎ且a1＝1,ａｎ+1=错误!S n,求a n。

思路探究：（１)已知Ｓn求ａn时，应分ｎ＝1与ｎ≥2讨论;(２)在已知式中既有Ｓｎ又有a n时，应转化为S n或a n形式求解.[解］（1)当n≥２时，aｎ＝Sｎ-Sｎ-1＝3+2ｎ－（3＋2n-１)=２ｎ－1,当n=１时，a1＝S1＝5不适合上式.∴a n＝错误!(２)∵Sｎ=3a n+1，ﻩ①∴n≥2时，Sｎ－1＝3ａｎ。

第二章 数列【本章引入】毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整 数的变化规律感兴趣.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子或用 一些小棍来表示数.他们研究过的三角形数1，3，6，10，…和 正方形数1，4，9，16，… .这些数列各有什么特点呢?如何运 用这些数列的特点来解决有关实际生活中的问题呢?本章我们将一起来学习两种特殊的数列---等差数列和等比数列. 【综合解说】等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视. 数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.2.1 数列情景导入学校在操场的正前方准备建造一个看台,现该看台的座 位是这样排列的：第一排有100个座位,从第二排起每一排 都比前一排多20个座位，你能用公式表示第n 排的座位数吗？ 第20排能坐多少个人？ 知识技能详解知识点1：数列的概念1、数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列(sequsnce of number)． (1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项(term)(1)数列中的第i 项用序号表示，序号为 i 对应的项为第i 项，记作：i a ,第一项记为1a ； (2)“项”与“项数”是不同概念：“项数”是该数列的所有项的个数; (3)数列的第n 项一般简记为n a a .3．数列的分类（1）根据数列的项数的多少分有穷数列:如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列；无穷数列:如数列1,2,3,4,5,6,……是无穷数列。

2.1 数列1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ [提示] 不是，顺序不一样．思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？[提示] 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．思考3：数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2nC [经验证可知，它的一个通项公式为a n ＝n ＋2.] 2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 24 [a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24.]3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 3 [令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23， 解得n ＝3.]4．数列1,2, 7，10，13，…中的第26项为________． 219 [因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.]【例1(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….思路探究：观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→ 得出答案[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. [解] (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.【例2】 n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？ 思路探究：(1)令n ＝1,2,3求解即可； (2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．[解] (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15. (2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0， 解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项． 令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下： (1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项． 提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n 的取值特点．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？[解] (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究问题]1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.2．如何定义数列{a n }的单调性？[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．【例3】 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．思路探究：利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围． [解] ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k2，∴当－k2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)． ∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．(变结论)求本例中k ＝－13时数列{a n }的最小项．[解] 由题意知n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1322－1694，由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1322－1694在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，132上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞上是增函数，故当n＝6或7时，f (n )＝n 2－13n 取得最小值－42.所以数列{a n }的最小项为a 6＝a 7＝－42.2．(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k 是否存在？如果存在，求实数k 的范围，若不存在说明理由．[解] 要使{a n }是单调递减数列， 必须a n >a n ＋1恒成立，即n 2＋kn >(n ＋1)2＋k (n ＋1)对任意n ∈N *恒成立． 整理得k <－2n －1对任意n ∈N *恒成立， 因为f (n )＝－2n －1(n ∈N *)没有最小值， 故不存在实数k 使a n ＝n 2＋kn 单调递减．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n ，则a n 为最小项．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．判断正误(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x ＝5＋8＝13.] 3．已知数列2，10，4，…，2(3n －1)，…，则8是该数列的第________项． 11 [令2(3n －1)＝8，得n ＝11.]4．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [解] 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．。

5n－4[由a1＝1＝5×1－4、a2＝6＝5×2－4、a3＝11＝5×3－4、…、归纳a n＝5n－4.]考点1由数列的前几项求数列的通项公式考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤(1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时、利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式、如果符合、则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式、即a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n 、则a n ＝ .(2)(20xx·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1、则S 6＝ . (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n 、则a n ＝ .C ．a n ＝n2D ．a n ＝n22B [∵a1＋a2＋…＋an ＝错误!、 ∴a1＋a2＋…＋an－1＝错误!(n ≥2)、 两式相减得an ＝错误!－错误!＝n (n ≥2)、 ∴a n ＝n 2(n ≥2)、① 又当n ＝1时、a1＝1×22＝1、a 1＝1、适合①式、 ∴a n ＝n 2、n ∈N *.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 、a 1＝1、S n ＝2a n ＋1、则S n ＝ . ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1 [因为S n ＝2a n ＋1、所以当n ≥2时、S n －1＝2a n 、所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)、即an＋1an ＝32(n ≥2)、 又a 2＝12、所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2 (n ≥2)．当n ＝1时、a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32-1＝13、所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )、求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋ f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．＝.又a1＝1适合上式、故a n＝.＝Aa n待定系数法——形如a n＋1＋B(A≠0且A≠1、B≠0)、求a n求此类数列的通项公式、通常采用待定系数法将其转化为(a n＋x)＝A(a n＋x)、先求出x、再借助等比数列{a n＋1＋x }求解．C[∵a n＋1＝an1＋3an 、两边取倒数得1an＋1－1an＝3、又a1＝1所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an表示首项为1、公差为3的等差数列、所以1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2、即a n＝13n－2、所以a10＝13×10－2＝128、故选C.]考点4数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项、确定数列的周期、再根据周期性求值．令an＋1an>1、解得n <2； 令an＋1an＝1、解得n ＝2； 令an＋1an<1、解得n >2. 又a n >0、故a 1<a 2＝a 3、a 3>a 4>a 5>…>a n 、 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3、 且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.(2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列、 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4、 ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4、 即k ＞－1－2n 、又n ∈N *、 ∴k ＞－3.]。