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2011年普通高等学校招全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共2页）1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ v sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 13v sh = 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩ 若()4f α=，则实数α= （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数z 的共轭复数记作i,i 为虚数单位。
若z=1+i,则(1)z z -+∙=（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ()()()P A B P A P B ∙=∙（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y +的最小值为 （A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，cos ()42πβ-=，则c o s ()2βα+=（A （B ）（C （D ） （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a >的 （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。
安全源于品质盘点十大自燃事件一份权威调查数据显示，全国每年至少有上百起车辆自燃事件发生。
自燃事故原因既有高温天气、用法不当，又有不易察觉的汽车质量隐患。
每一起汽车自燃事故都面临着鉴定、索赔等复杂维权过程，而留给消费者的往往是保险公司或汽车厂商们的相互扯皮，乃至损失惨重。
专家建议，汽车一旦发生自燃，车主可以根据《产品质量仲裁检验和产品质量鉴定管理办法》相关条款要求生产企业配合到权威机构做鉴定，若厂家不配合，消费者有权到法院起诉。
此外，如果自燃现象并非个案，消费者也可集体向质检总局反映情况，由质检总局进行调查；若真存在安全隐患，有关部门将会敦促企业进行召回处理。
本版撰稿顾晶晶N01.北京现代悦动自燃原因：疑因发动机漏油案例回溯：2009年4月，王先生在广西通源汽车销售公司购买了一辆北京现代悦动轿车。
2010年8月3日，王先生停在小区楼下的汽车，于下午两点多发生了自燃，起燃点是在发动机舱，基本可排除人为因素。
该车购买至自燃，行驶里程只有两万多公里，还在厂家规定的质保期内。
同年8月25日，王先生拿到消防认定书，报告上清楚地写明：“排除人为纵火，车体附近无可燃易燃物，车体内无可燃易燃物等。
”之后他多次找厂家协商解决方案，但厂家一直拖延了事，而到了同年9月6日，在自燃发生一个多月后，北京现代则以“火灾原因不明”为由拒绝赔偿。
处理结果：处理过程可谓一波三折，先是车主与销售商广西通源达成口头赔偿协议，即厂家赔偿8.5万元，报废的汽车也归他所有；再是，4S店称之前的方案厂家不同意，改成车主再付2万元换购一辆新车，由于在价格方面双方存在分歧，当时也没有得到确认；最后，通源4S店又推翻了之前2万元买新车的方案，称厂家认为“火灾原因不明”，北京现代不应该为不明原因的事故买单。
此后，无论是北京现代，还是4S店均无音信，问题不了了之。
N02.上海通用雪佛兰乐风自燃原因：或发动机引擎着火案例回溯：2010年8月15日10点左右，郑先生驾驶雪佛兰乐风牌轿车从甘肃华亭县出发，途经平凉市，在平凉停留20分钟左右，又从平凉回静宁县途经宁夏泾源县，在泾源县熄车停留，买矿泉水喝，未发现车有异常情况，喝完后继续前行，大概行走20公里后，“有一村民大喊，当时没听清喊什么，我就减速停车，发现引擎盖缝有黑烟冒上来，同时伴有啪啪声，当时害怕车爆炸，赶紧把妻子和女儿转移到安全地方。
2011年辽宁文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=x∣x>1，B=x∣−1<x<2，则A∩B= A. x∣−1<x<2B. x∣x>−1C. x∣−1<x<1D. x∣1<x<22. i为虚数单位，1i +1i3+1i5+1i7= A. 0B. 2iC. −2iD. 4i3. 已知向量a=2,1，b=−1,k，a⋅2a−b=0，则k= A. −12B. −6C. 6D. 124. 已知命题p:∃n∈N，2n>1000，则¬p为 A. ∀n∈N，2n≤1000B. ∀n∈N，2n>1000C. ∃n∈N，2n≤1000D. ∃n∈N，2n<10005. 若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为 A. 2B. 4C. 8D. 166. 若函数f x=x2x+1x−a为奇函数，则a= A. 12B. 23C. 34D. 17. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，∣AF∣+∣BF∣=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 A. 34B. 1 C. 54D. 748. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A. 4B. 23C. 2D. 39. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是 A. 8B. 5C. 3D. 210. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45∘，则棱锥S−ABC的体积为 A. 33B. 233C. 433D. 53311. 函数f x的定义域为R，f−1=2，对任意x∈R，fʹx>2，则f x>2x+4的解集为 A. −1,1B. −1,+∞C. −∞,−1D. −∞,+∞12. 已知函数f x=A tanωx+φ ω>0,∣φ∣<π2，y=f x的部分图象如图，则fπ24= A. 2+3B. 3C. 33D. 2−3二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知圆C经过A5,1，B1,3两点，圆心在x轴上，则C的方程为．14. 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.254x+0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．15. S n为等差数列a n的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=．16. 已知函数f x=e x−2x+a有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a sin A sin B+b cos2A=2a．；（1）求ba（2）若c2=b2+3a2，求B．PD．18. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）求棱锥Q−ABCD的体积与棱锥P−DCQ的体积比值．19. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．x1−x2+x2−x2+⋯+x n−x2，其中x为样附：样本数据x1,x2,⋯,x n的样本方差s2=1n本平均数．（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种?20. 设函数f x=x+ax2+b ln x，曲线y=f x过P1,0，且在P点处的切线斜率为2．（1）求a,b的值；（2）证明：f x≤2x−2．21. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（1）设e=12，求∣BC∣与∣AD∣的比值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN ?并说明理由．22. 如图，A,B,C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A,B,G,F四点共圆．23. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ（φ为参数），曲线C2的参数方程为x=a cosφy=b sinφ（a>b>0，φ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合．（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=−π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24. 已知函数f x=∣x−2∣−∣x−5∣．（1）证明：−3≤f x≤3；（2）求不等式f x≥x2−8x+15的解集．答案第一部分1. D2. A3. D4. A5. B【解析】因为a n a n+1=16n，所以a1a2=16，a2a3=162，后式除以前式，得q=±4，又因为a1a2=a12q=16>0，所以q>0，所以q=4．6. A 【解析】因为函数f x=x2x+1x−a 为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，解得a=12．7. C 【解析】由抛物线定义可知，AB中点到准线的距离为∣AF∣+∣BF∣2=32，故其到y轴的距离为3 2−14=54．8. B 【解析】提示：由体积求得底面边长为2．9. C 【解析】第3次循环后结束循环，此时p=3，s=2，t=3，k=4．10. C【解析】由SC为直径，∠ASC=∠BSC=45∘，得△ASC和△BSC都是等腰直角三角形．由SC=4，得SA=SB=AC=BC=22．因为球心O是SC的中点，所以SC⊥OA，SC⊥OB，从而SC⊥平面OAB．因为OA=OB=AB=2，所以△OAB为正三角形．因此，棱锥S−ABC的体积为V=1SC⋅S△OAB=1×4×3×22=43.11. B 【解析】令 x=f x−2x−4，则 ʹx=fʹx−2，由题可知 ʹx>0，故 x单增，又 −1=f−1−2=0，所以解集为−1,+∞．12. B 【解析】提示：f x=tan2x+π4．第二部分13. x−22+y2=1014. 0.25415. −116. −∞,2ln2−2【解析】fʹx=e x−2，当x<ln2时，fʹx<0，f x单调递减，当x>ln2时，fʹx>0，所以f x 单调递增，要使函数f x有零点，则f x min=f ln2=2−2ln2+a≤0，则a≤2ln2−2．第三部分17. （1）由正弦定理得，sin2A sin B+sin B cos2A=2sin A,即sin B sin2A+cos2A=2sin A.故sin B=A，所以ba=2．（2）由余弦定理和c2=b2+3a2，得cos B=1+3 a.由（1）知b2=2a2，故c2=2+3 a2.可得cos2B=12．又b<c，所以cos B>0，故cos B=22，所以B=45∘．18. （1）由条件知PDAQ为直角梯形．∵QA⊥平面ABCD，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=22 PD,则PQ⊥QD．又QD∩DC=D，所以PQ⊥平面DCQ．（2）设AB=a．由题设知AQ为棱锥Q−ABCD的高，所以棱锥Q−ABCD的体积V1=1a3.由（1）知PQ为棱锥P−DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为22a2，所以棱锥P−DCQ的体积V2=1a3.故棱锥Q−ABCD的体积与棱锥P−DCQ的体积比值为1．19. （1）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4．令事件A= "第一大块地都种品种甲"．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4.而事件A包含1个基本事件：1,2，所以P A =1.（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲=1403+397+390+404+388+400+412+406=400,s 甲2=1832+ −3 2+ −10 2+42+ −12 2+02+122+62=57.25;品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 乙=18 419+403+412+418+408+423+400+413=412,s 乙2=18 72+ −9 2+02+62+ −4 2+112+ −12 2+12=56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应选择种植品种乙． 20. （1）fʹ x =1+2ax +b.由已知条件得f 1 =0,fʹ 1 =2,即1+a =0,1+2a +b =2,解得a =−1,b =3.（2）f x 的定义域为 0,+∞ ，由（1）知f x =x −x 2+3ln x ,设g x =f x − 2x −2=2−x −x 2+3ln x ,则gʹ x =−1−2x +3x =− x −1 2x +3 ,当0<x <1时，gʹ x >0;当x >1时，gʹ x <0.所以g x在0,1单调递增，在1,+∞单调递减．而g1=0，故当x>0时，g x≤0，即f x≤2x−2.21. （1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1:x2a2+y2b2=1a>b>0,C2:b2y24+x22=1,设直线l:x=t∣t∣<a，分别与C1、C2的方程联立，求得A t,aa2−t2,B t,ba2−t2.当e=12时，b=3 a,分别用y A、y B表示A、B的纵坐标，可知∣BC∣:∣AD∣=2∣y B∣A=b22=3.（2）t=0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN，当且仅当k BO=k AN,即b a a2−t2=aba2−t2,解得t=−ab2a2−b2=−1−e2e2⋅a,因为∣t∣<a，且0<e<1，所以1−e2e2<1,解得22<e<1.综上，得当0<e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN．22. （1）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.由（1）中结论CD∥AB可得∠AFG+∠FAB=180∘，所以∠AFG+∠GBA=180∘.故A,B,G,F四点共圆．23. （1）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为1,0，a,0．因为这两点间的距离为2，所以a=3．当α=π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为0,1，0,b．因为这两点重合，所以b=1．（2）C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1,x2+y2=1.当α=π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x=22，与C2交点B1的横坐标为xʹ=31010．当α=−π4时，射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1的面积为2xʹ+2x xʹ−x2= 2 5.24. （1）f x=∣x−2∣−∣x−5∣=−3,x≤2,2x−7,2<x<5, 3,x≥5,当2<x<5时，−3<2x−7<3,所以−3≤f x≤3.（2）由（1）可知，当x≤2时，f x≥x2−8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f x≥x2−8x+15的解集为x∣5−3≤x<5;当x≥5时，f x≥x2−8x+15的解集为x∣5≤x≤6.综上，不等式f x≥x2−8x+15的解集为x∣5−3≤x≤6.。
【选择题】【1】．已知集合{1},={-1<<2},A x|x >B x =则⋂=AB ( ).（A ）{|12}x x -<<（B ）{|1}x x >- （C ）{|11}x x -<< （D ）{|12}x x << 【2】．i 为虚数单位，3571111+++=i i i i （ ）. （A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i【3】．已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k =（ ）. （A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12 【4】．已知命题p ：21000,nn >∃∈N,则⌝p 为（ ）.（A ）21000nn ∀∈≤N, （B ）21000n n ∀∈>N, （C ）21000nn ∃∈≤N, （D ）21000n n ∃∈<N,【5】．若等比数列{}n a 满足116n n n a a += ，则公比为（ ）.(A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【6】．若函数()(21)()xf x x x a =+- 为奇函数,则a =（ ）.(A)12 (B) 23 (C) 34(D) 1 【7】．已知F 是抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）. (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74【8】．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如下图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( ).(A)4 (B) 【9】．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是（ ）.(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2【10】．己知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =2,45ASC BSC ∠=∠=, 则棱锥S ABC -的体积为( ).【11】．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）.（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞） 【12】．已知函数π()tan()(0,),()2f x A x y f x ωϕωϕ=+><=的部分图像如下图，则π()24f =( ).(A)2(C)3(D) 2【填空题】【13】．已知圆C 经过()5,1(1,3)AB ，两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________.【14】．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：ˆ0.2540.321yx =+.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元. 【15】．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,26S S =,41a = ，则5a =____________.【16】．已知函数()e 2x f x x a =-+有零点，则a 的取值范围是____________.【解答题】【17】．ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c 2sin sin cos a A B b A +=.（I ）求b a；（II ）若222c b =，求B . 【18】．如下图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，12QA=AB =PD . （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值.【19】．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验，选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中．随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.(Ⅰ)假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；(Ⅱ)试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位kg ／hm 2)如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种? 附：样本数据12,,,n x x x 的样本方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦，其中x 为样本平均数. 【20】．设函数2()ln ,f x x ax b x =++曲线()y f x =过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求,a b 的值；（II ）证明：()2 2.f x x ≤-【21】．如下图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M,N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且12,C C 的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为,,,A B C D .（I ）设e =12，求|BC |与|AD |的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO //AN ,并说明理由.【22】．（选做题）如下图，,,,A B C D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ED =.（Ⅰ）证明：CD //AB ；（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF EG =，证明：,,,A B G F 四点共圆.【23】．（选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)曲线2C 的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与12,C C 各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合. （Ⅰ）分别说明12,C C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；（Ⅱ）设当α=π4时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当α=-π4时，l 与12,C C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.【24】．（选做题）已知函数()2 5.f x x x =---（Ⅰ）证明：-3≤()f x ≤3；（Ⅱ）求不等式()f x ≥2815x x -+的解集.。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学(供文科考生使用)第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}}，则A I B=（A ） {x 2x 1-＜＜}} （B ）{x 1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜}} （D ）{x 2x 1＜＜}}（2）i 为虚数单位，（A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i（3）已知向量a=（2,1），b=（-1，k ），a ·（2a-b ）=0，则k（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）12（4）已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝p 为（A ）∀n ∈N ，2n ≤1000 （B ）∀n ∈N ，2n ＞1000（C ）∃n ∈N ，2n ≤1000 （D ）∃n ∈N ，2n ＜1000（5）若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n ，则公比为（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（6）若函数f （x ）=））（（a -x 1x 2x +为奇函数，则a= （A ）21 （B ）32 （C ）43 （D ）1 （7）已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，3B F AF =+，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）43 （B ）1 （C ）45 （D ）47 （8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（A ）4 （B ）32 （C ）2 （D ）3（9）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是(A) 8(B) 5(C) 3(D) 2（10）已知球的直径SC=4，。
A.,B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为（A ）33 (B)233(C) 43 (D)53 (11)函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，f （x ）＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（A ）(-1,1) (B)(-1，+∞ (C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)(12)已知函数f （x ）=Atan(x ωϕ+)(02πωϕ＞，＜），Y=f(x)的部分图像如图，则24πf （）=（A ）3 3(C) 33(D)23 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学本试卷共24题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知集合A={x }，B={x}，则A B=( )A ．{x }B ．{x }C ．{x}D ．{x}2．（2）i 为虚数单位，3571111i i i i +++=（ ） A ．0B ．2iC ．-2iD ．4i3．已知向量()2,1a =r，()1,r b k =−，()20a a b ⋅−=，则k =（ ）A ．-12B ．-6C ．6D ．124．已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A ．N,2100n n ∀∈…B ．N,21000n n ∀∈> C ．N,21000n n ∃∈…D ．N,21000n n ∃∈<5．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6．若函数f （x ）=为奇函数，则a=（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．749．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是A ．8B ．5C ．3D ．211．函数()f x 的定义域为R ，()12f −=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1−B ．()1,−+∞C ．(),1−∞−D ．(),−∞+∞12．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π＜），y ＝f （x ）的部分图象如图，则f （24π）＝( )A ．2+BC ．3D ．2第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元. 15．15．（15）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________。
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（辽宁卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}A x x =>，{12}B x x =-<<，则A B =IA ．{12}x x -<<B ．{1}x x >-C ．{11}x x -<<D ．{12}x x <<2.i 为虚数单位，3571111i i i i+++=A ．0B ．2iC ．2i -D ．4i3.已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =-r ，(2)0a a b ⋅-=r r r，则k =A ．12-B ．6-C ．6D ．12 4.已知命题p ：n N ∃∈，21000n >，则p ⌝为A ．n N ∀∈，21000n ≤B ．n N ∀∈，21000n >C ．n N ∃∈，21000n ≤D ．n N ∃∈，21000n < 5.若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．16 6.若函数()(21)()xf x x x a =--为奇函数，则a =A ．12B ．23C ．34D ．17.已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.34B.1C.54D.748.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是A ．4 B．．2 D9.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是12.已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠45=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．3 B．3 C．3 D．311.函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈,，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,1)-∞-D.(,)-∞+∞ 16.已知函数()tan()f x A x ωϕ=+（0ω>＞0，2πω<），()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=A．2 B．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 经过(5,1)A ，(1,3)B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 . 14.调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：$0.2540.321y x =+.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 万元.15.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，26S S =，41a =，则5a = . 16.已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第1721:题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23，24题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .2sin sin cos a A B b A +2a =.（Ⅰ）求ab； （Ⅱ）若2223c b a =+，求B . 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，12QA AB PD ==. （Ⅰ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q ABCD -的体积与棱锥P DCQ -的体积的比值.PDBC19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙.（Ⅰ）假设4n =，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg /2hm ）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19.（本小题满分12分）设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）证明：()22f x x ≤-. 21.（本小题满分12分）如图，已知椭圆1C 的中心在原点o ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ，直线l MN ⊥，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .（Ⅰ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23，24题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ED =.（Ⅰ）证明：CD //AB ；（Ⅱ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF EG =，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点.当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （Ⅱ）设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为1A ，1B ,当4πα=-时，l 与1C ，2C 的交点为2A ，2B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()25f x x x =---. （Ⅰ）证明：3()3f x -≤≤；ABCDEFG（Ⅱ）求不等式2≥-+的解集.()815f x x x。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)考试说明：本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
（2）请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，在草稿纸和试卷上答题视为无效。
（3）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄皱，不准使用涂改液和刮纸刀等用具。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（每题5分，共12小题，满分60分，每小题只有一个选项正确。
） 1. 若集合}22{+=+=x x x A ，},02{2>+=x x B 则=⋂B AA ．)0,2(-B ．)0,2[-C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 2. 复数ii -12的共轭复数是A ．i -1B ．i +1C ．i +-1D ．i --13．已知43)4sin(-=+πx ，则x 2sin 的值是A ．81-B ．81 C ．42 D ．42-4. 抛物线x y122-=的准线与双曲线13922=-y x 的两条渐近线所围成的三角形面积是A ．3B ．32C ．2D ．335. A 、B 两名同学在4次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若A 、B 的平均成绩分别是A X 、BX，则下列结论正确的是A ．A X >BX ,B 比A 的成绩稳定 B ．A X <BX ,B 比A 的成绩稳定 C ．A X >BX ,A 比B 的成绩稳定 D ．A X<BX, A 比B 的成绩稳定6. 双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过的直线与双曲线的右支交与A 、B 两点，若AB F 1△是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e A ．323- B ．323+ C ．225+ D ．225- 7. 函数)(xf y =在定义域)3,23(-内可导，其图像如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 A ．]3,2[]1,31[⋃-B ．]38,34[]31,1[⋃-C ．]2,1[]21,23[⋃-D ．),3[]2,1[]21,23[+∞⋃⋃-8．执行下面的程序框图，若9=P ，则输出的=SA ．187B ．98C ．52D ．13109. 已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：2cm ）A ．π24+B ．π34+C ．π26+D ．π36+10.现将一个边不等的凸五边形的各边进行染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则共有（ ）种染色方法A ．30B ．36C ．48D ．5011.下列命题中正确的一项是 A ．“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互平行”的充分不必要条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a ,b ,c 为非零向量，则“a •b=a •c ”是“b=c ”的充要条件D ．R x p ∈∃:，0222≤++x x 。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A I B = A ．{x 21|<<-x } B ．{x 1|->x }C ．{x 11|<<-x }D ．{x 21|<<x }2．i 为虚数单位，=+++7531111ii i i A ．0 B ．2i C ．i 2-D ．4i3．已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-⋅b a a ，则=k A ．12- B ．6-C ．6D ．12 4．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为 A ．∀n ∈N ，2n ≤1000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1000C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜1000 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．166．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =A ．21B ．32C ．43D ．17．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB的中点到y 轴的距离为A ．34 B ．1 C ．54D ．748．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32， 它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形， 则这个矩形的面积是A ．4B ．32C ．2D ．39．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．210．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为A 3B 23C 43D 5311．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C ．33D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________． 14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________． 16．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A 2． （I ）求b a； （II ）若c 2=b 23a 2，求B ．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块2品种甲 403397390404388400412406品种乙419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．（本小题满分12分）设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案一、选择题1—5 DADAB 6—10 ACBCC 11—12 BB 二、填空题13．22(2)10x y -+= 14．0.254 15．—1 16．(,2ln 22]-∞- 三、解答题17．解：（I ）由正弦定理得，22sin sin cos A B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A +=故sin ,bB A a==所以 ………………6分（II ）由余弦定理和222(1,cos .2ac b B c+=+=得由（I ）知222,b a =故22(2.c a =+可得21cos ,cos 0,cos 4522B B B B =>==o 又故所以 …………12分 18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 的面积为22a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分19．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.而事件A 包含1个基本事件：（1，2）. 所以1().6P A =………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）()12.bf x ax x'=++…………2分 由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即 解得1, 3.a b =-= ………………5分（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即 ………………12分 21．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- ………………4分 当13,,,2A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN -相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=-解得222221.ab e t a a b e-=-=-⋅- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得 所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 当21e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A B = A ．{x 21|<<-x } B ．{x 1|->x }C ．{x 11|<<-x }D ．{x 21|<<x }2．i 为虚数单位，=+++7531111i i i iA ．0B ．2iC ．i 2-D ．4i 3．已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-⋅b a a ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．124．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为 A ．∀n ∈N ，2n ≤1000 B ．∀n ∈N ，2n ＞1000C ．∃n ∈N ，2n ≤1000D ．∃n ∈N ，2n ＜1000 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．166．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a =A ．21B ．32C ．43D ．17．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．748．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是A ．4B ．32C ．2D ．39．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．210．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为A ．33 B ．233 C ．433D ．53311．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）12．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．2+3B ．3C ．33D ．23-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________． 14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________． 16．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =2a ． （I ）求b a； （II ）若c 2=b 2+3a 2，求B ．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．19．（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表： 品种甲 403397390404388400412406品种乙419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x n s n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．20．（本小题满分12分）设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题1—5 DADAB 6—10 ACBCC 11—12 BB 二、填空题13．22(2)10x y -+= 14．0.254 15．—116．(,2ln 22]-∞- 三、解答题17．解：（I ）由正弦定理得，22sin sin cos 2sin A B A A +=，即22sin (sin cos )2sin B A A A +=故sin 2sin , 2.bB A a==所以………………6分 （II ）由余弦定理和222(13)3,cos .2ac b a B c+=+=得 由（I ）知222,b a =故22(23).c a =+ 可得212cos ,cos 0,cos ,4522B B B B =>== 又故所以 …………12分 18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC. 在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a = 由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为222a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分19．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）.所以1().6P A =………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）()12.bf x ax x'=++…………2分 由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即解得1, 3.a b =-= ………………5分（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即 ………………12分 21．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得2222(,),(,).a b A t a t B t a t b a-- ………………4分 当13,,,22A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN -相等，即2222,b a a t a t a b t t a--=-解得222221.ab e t a a b e-=-=-⋅- 因为2212||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得 所以当202e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ； 当212e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分22．解：（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和 当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为22x =，与C 2交点B 1的横坐标为 310.10x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24．解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。
