(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习专题三解析几何第8讲直线与圆练习

专项强化练(十一) 直线与圆A 组——题型分类练题型一 直线的方程1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值为________． 解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. 所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或12．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________．解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.答案：x ＋3y －1＝03．若直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a ＝________.解析：直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，解得a ＝23.答案：234．点A (1,1)到直线x cos θ＋y sin θ－2＝0的距离的最大值为________． 解析：由点到直线的距离公式，得d ＝|cos θ＋sin θ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ∈R ，所以d max ＝2＋ 2. 答案：2＋ 2 [临门一脚]1．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程． (2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数．2．五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在；用截距要考虑截距为0或不存在的情况，不能出现漏解的情况．题型二圆的方程1．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是________________．解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)2．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝25.答案：x2＋(y－5)2＝253．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，故b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此，得a－b<1.答案：(－∞，1)4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y ＋6)2＝9.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是____________．解析：法一：设圆C的半径为r，圆心坐标为C(a,0)．因为圆C平分圆C1的圆周，所以r2＝CC21＋1.同理可得r2＝CC22＋9，所以CC21＝CC22＋8，即(a－4)2＋82＝(a－6)2＋62＋8，解得a＝0，从而得r2＝CC21＋1＝42＋82＋1＝81，故圆C的方程为x2＋y2＝81.法二：设圆C的方程为：(x－a)2＋y2＝r2.则圆C与C1的公共弦方程为(2a－8)x－16y＋79＋r2－a2＝0.(*)因为圆C平分圆C1的圆周，所以直线(*)经过圆C1的圆心，即a2－8a－r2＋81＝0.①同理，由圆C平分圆C2的圆周，得a 2－12a －r 2＋81＝0，②联立①②得a ＝0，r 2＝81. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝81. 答案：x 2＋y 2＝81 [临门一脚]1．三个独立条件确定一个圆，一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；如果已知圆经过某些点常用一般式．并要注重圆的一般方程与标准方程的互化．2．不能忘记求圆的方程时，圆的一般式方程要满足的条件D 2＋E 2－4F >0.3．如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解．题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2019·盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在直线l ：y ＝kx ＋6(k >0)上，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝4的切线，切点分别是A ，B ，且AB 的中点为Q ，若OQ ＝1，则k 的取值范围为________．解析：连接OP ，OA ，由已知及圆的几何性质知，OP 经过点Q ，且OA ⊥AP ，AQ ⊥OP ，所以Rt △OPA ∽Rt △OAQ ，所以OA OP ＝OQ OA，即OA 2＝OP ·OQ ，又OA ＝2，OQ ＝1，所以OP ＝4，所以点O 到直线l 的距离d ＝6k 2＋1≤4.因为k >0，所以k ≥52，故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 2．(2018·镇江高三期末)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为________________．解析：由题意可知，圆C 的圆心在直线y ＝x 上，设圆C 的圆心为(a ，a )，半径为r ，则r 2＝a 2＋a 2＝a 2＋(a ＋6)2，解得a ＝－3，所以圆心为(－3，－3)，r 2＝18，圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝183．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________________．解析：根据题意，由于(－4－1)2>5，所以点P 在圆C 外，过圆心C 作CM ⊥AB 于M ，连结AC .易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0，则CM ＝|k ＋4k |k 2＋1＝|5k |k 2＋1，AM ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫|5k |k 2＋12＝5－20k2k 2＋1.又点A 恰好是线段PB 的中点，所以PM ＝3AM ，在Rt △PMC 中，CM 2＋PM 2＝PC 2，即25k 2k 2＋1＋45－180k 2k 2＋1＝25，得180k 2＝20，即k ＝±13，故直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0. 答案：x ±3y ＋4＝04．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB PA的最大值是________．解析：法一：设点P (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，所以PB 2PA 2＝x －12＋y ＋12x 2＋y ＋22＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋2x 2＋y 2＋4y ＋4＝－2x ＋2y ＋44y ＋6＝－x ＋y ＋22y ＋3，令λ＝－x ＋y ＋22y ＋3，则x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0，由题意，直线x ＋(2λ－1)y ＋3λ－2＝0与圆x 2＋y 2＝2有公共点，所以|3λ－2|1＋2λ－12≤2，解得0<λ≤4，所以PB PA的最大值为2.法二：当AP 不与圆相切时，设AP 与圆的另一个交点为D ，由条件AB 与圆C 相切，则∠ABP ＝∠ADB ，所以△ABP ∽△ADB ，所以PB PA ＝BD BA ＝BD 2≤222＝2， 所以PBPA的最大值为2. 答案：2 [临门一脚]1．直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系判定较好． 2．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形．3．根据相交、相切的位置关系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解． 4．圆上存在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题．B 组——高考提速练1．“a ＝1”是“直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直”的____________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：∵两直线互相垂直， ∴a ·(2a －1)＋(－1)·a ＝0，即2a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或a ＝1. 答案：充分不必要2．经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是________________________________________________________________________．解析：由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＝5，得k ＝85或k ＝25，故所求直线方程为8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝03．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________________________________________________________．解析：因为圆过A (0，－4)，B (0，－2)，所以圆心C 的纵坐标为－3，又圆心C 在直线2x －y －7＝0上，所以圆心C 为(2，－3)，从而圆的半径为r ＝AC ＝4＋1＝5，故所求的圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)3＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)3＝54．(2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP ―→·CQ ―→＝________.解析：根据题意知，圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1的圆心坐标为(2,1)，半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋1－4|2＝22，则PQ ＝2r 2－d 2＝2，则∠PCQ ＝90°，故CP ―→·CQ ―→＝0.答案：05．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为________．解析：圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2，所以k 2＝1，所以k ＝±1，所以直线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为_______________________________________________________________．解析：由题意得C 1(－1,1)，圆心C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C 2(2，－2)，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝17．已知直线x ＋y －a ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a ＝________.解析：由题意得圆的圆心为C (2，－2)，半径为2，由△ABC 为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离为2，所以|2－2－a |2＝2，所以a ＝±2.答案：±28．在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意知，以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋4<16，所以－23＋2<m <23＋2，且m ≠2.答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9．已知A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，△ABC 的外接圆在点A 处的切线为l ，则点B 到直线l 的距离为________．解析：设△ABC 的外接圆的圆心为O (a ，b )，线段AB 的中点为D ，线段BC 的中点为E ，因为A (－1,0)，B (2,1)，C (5，－8)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－72，k AB ＝1－02－－1＝13，k BC＝－8－15－2＝－3， 由OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧12－b 12－a ×13＝－1，－72－b 72－a×－3＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2，a －3b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.设直线l 的斜率为k ，则k ·k OA ＝－1，解得k ＝34，故直线l 的方程为y －0＝34(x ＋1)，即3x －4y ＋3＝0，故点B 到直线l 的距离为||2×3－4＋332＋－42＝1.答案：110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0，直线l ：4x －3y ＋15＝0与圆C 相交于A ，B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则△ABD 面积的最大值为__________．解析：因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，所以圆心C (2,1)，半径r ＝5，所以圆心C 到直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离为d ＝|4×2－3×1＋15|42＋－32＝4，所以AB ＝2r 2－d 2＝225－16＝6，因为D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，所以D 到直线AB 即直线l ：4x －3y ＋15＝0的距离的最大值为d ＋r ＝9，所以△ABD 面积的最大值为12×6×9＝27.答案：2711．(2019·扬州中学模拟)已知点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝4上的动点，Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16上的动点，则集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域的面积为________．解析：法一：由题意知 ，C 1(1,1)，C 2(－2，－2)，(x 1－1)2＋(y 1－1)2＝4，(x 2＋2)2＋(y 2＋2)2＝16，C 1P ―→＝(x 1－1，y 1－1)，C 2Q ―→＝(x 2＋2，y 2＋2)．因为x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，所以x ＋1＝(x 1－1)＋(x 2＋2)，y ＋1＝(y 1－1)＋(y 2＋2)，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝[(x 1－1)＋(x 2＋2)]2＋[(y 1－1)＋(y 2＋2)]2＝20＋2(x 1－1)(x 2＋2)＋2(y 1－1)(y 2＋2)＝20＋2C 1P ―→·C 2Q ―→＝20＋2×2×4cos θ＝20＋16cos θ∈[4,36](其中θ为C 1P ―→与C 2Q ―→的夹角)，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.法二：因为点P (x 1，y 1)为圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝4上的动点，Q (x 2，y 2)为圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16上的动点，所以可设x 1＝1＋2cos α，y 1＝1＋2sin α，x 2＝－2＋4cosβ，y 2＝－2＋4sin β，则x ＝x 1＋x 2＝(1＋2cos α)＋(－2＋4cos β)＝－1＋2cos α＋4cos β，y ＝y 1＋y 2＝(1＋2sin α)＋(－2＋4sin β)＝－1＋2sin α＋4sin β，所以(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝(2cos α＋4cos β)2＋(2sin α＋4sin β)2＝20＋16cos (α－β)∈[4,36]，所以集合M ＝{(x ，y )|x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2}表示的平面区域为以(－1，－1)为圆心，半径分别为2,6的圆所围成的圆环，则其面积S ＝36π－4π＝32π.答案：32π12．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，则直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C 的位置关系是________．解析：由点P (t,2t )(t ≠0)是圆C ：x 2＋y 2＝1内一点，得5|t |<1.因为直线tx ＋2ty ＝m 与圆C 相切，所以|m |5|t |＝1，所以|m |<1.圆C ：x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以直线l 与圆C 的位置关系为相交．答案：相交13．(2019·无锡模拟)已知点A (1,0)，B (0,3)和圆C ：(x －3)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，若对于线段AB 上的任意一点P ，圆C 上都存在不同的两点M ，N ，满足PM ―→＝2MN ―→，则r 的取值范围为________．解析：法一：由题意得，线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)．设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，则由PM ―→＝2MN ―→，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋m 3，2y ＋n 3.因为M ，N 均在圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋y －22＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋m 3－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋n 3－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，⎝⎛⎭⎪⎫x －9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －6－n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2.由题意知，以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以⎝⎛⎭⎪⎫9－m 2，6－n 2为圆心，3r 2为半径的圆有公共点，所以3r 2－r ≤⎝⎛⎭⎪⎫3－9－m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－6－n 22≤3r 2＋r .又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤25r 2.令f (m )＝10m 2－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤25r 2，得25≤r 2<325.由题可知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m－2)2>r 2，所以r 2<325.综上，25≤r 2<325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，4105.法二：过点C 作CD ⊥MN 于点D ，设CD ＝d ，MN ＝2l ，则PD ＝5l ，MD ＝l ，连接CP ，CM ，则⎩⎪⎨⎪⎧l 2＋d 2＝r 2，25l 2＋d 2＝CP 2，消去l ，得d 2＝25r 2－CP 224，因为0≤d 2<r 2，所以得r 2<CP 2≤25r 2.易得线段AB 的方程为3x ＋y －3＝0(0≤x ≤1)，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，则3m ＋n －3＝0，所以CP2＝(m －3)2＋(n －2)2＝10m 2－12m ＋10，所以r 2<10m 2－12m ＋10≤25r 2对任意的m ∈[0,1]成立．令f (m )＝10m 2－12m ＋10(0≤m ≤1)，易知f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2<325且10≤25r 2，解得25≤r 2<325.易知线段AB 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0,1]成立，所以r 2<325.综上，25≤r 2<325，故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，4105.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫105，410514．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．解析：过Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ， 根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°.所以，若圆O 上存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则∠OQR ≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ＞2时不成立，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM ≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2， 所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a )2≤9， 解得－65≤a ≤0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－65，0。

高三数学直线与圆复习讲义知 识 梳 理解析几何涉及 直线与圆中的几个重要结论：1、斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程（这里只列了常用的三种）（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）截距式1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线间的位置与斜率关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠；12121l l k k ⊥⇔=-；1212120l l l l x y k k ⇒+=、倾斜角互补(常见：、关于轴或轴对称)4、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )5、两个距离公式：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是：0022|0|Ax By C d A B++==+1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=++=与之间的距离是：1222||C C d A B-=+. （注意：当12l l 、斜率相等求距离时注意化,x y 的系数A,B 为一致） 题 型 分 类题型一 过定点直线系方程在解题中的应用例1．求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的切线的方程．变式训练：过点(4,1)P -作圆22(2)(3)4x y ++-=的切线为l ，求切线l 的方程．总结：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．题型二 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2．求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等 的直线方程.变式训练：1.直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，求出定点坐标.2．直线(2)310mx m y x +-+-=恒过的定点是 .3．求出方程2(2)210a x ay x a +++++=恒过的定点。

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练例2如图，设一直线过点(—1,1),它被两平行直线11: x+2y —1=0, 12： x+ 2y —3=0所截的线段的中点在直线13： x — y —1=0上，求其方程.【题型归纳】 题型一直线方程、两直线的位置关系 例1已知两直线11 ： mx 8y n 0和12：2x my 1 0 .试确定m 、n 的值，使:⑴11与12相交于点P m, 1 ; (2) l i "2 ； (3)11,12,且11在y 轴上的截距为一1.【答案】(1) m 1, n 7. (3) (2) m 4 , n 2 时或 mm 0, n 8 4, n 2时，11 // 12.m 8 n 0 (1)由题息得 ，解得m 1, n 7. 2m n 1 0(2)当m 0时，显然11不平彳T 于12；n /曰 m m 8 2 0 1 8 ( 1) nm 04, n 2时，11 // 12. (3)当且仅当2m 8m 0,即m 0时，11，12.又 即m 0, n 8时，1J12，且11在y 轴上的截距为一1. 【易错点】忽略对m 0的情况的讨论 【思维点拨】 遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或 k 0时，并且对于直线平行和垂直时与人人2和巳82间的关系要熟练记忆。

x+2y-3=O【答案】2x 7y 5 0.【解析】与11、12平行且距离相等的直线方程为设所求直线方程为x 2y 2 xx 2y 2 0. y 10 ,即 1 0 .又直线过A 1,1 ，.一 1 1 2 1 2 0.解11.，所求直线方程为2x 7y 5 0. 3x+2y-1=0【易错点】求错与11、l 2平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到11、12平行且距离相等的直线方程, 交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程x 2y 24x 1 0.（1）求Y 的最大值和最小值； x （2）求y x 的最大值和最小值.【答案】（1）Y 的最大值为 书,最小值为 J 3 . x（2） y x 的最大值为 2 66 ,最小值为 2 J 6.【解析】（1）原方程化为x 2 2 y 23,表示以点2,0为圆心，以J3为半径的圆.设义k,即y kx , x当直线y kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时 2k 0J 3,解得kJ 3 .故上的最大值k 2 1x为，3,最小值为..3 .（2）设y x b,即y x b,当y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值，此时20. b石，即b 2 76 .故y x 的最大值为 2 76,最小值为 2 76.-2【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

专题13直线与圆随着新课程改革的推进，高考对解析几何的考查要求也有了很大的变化，其中对直线方程、圆的方程的考查要求加强了•近几年高考对圆锥曲线的考查仍然势头不减，在填空题中有1〜2道，另外还有一道涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识的综合性解答题.预测在2020年的高考题中：1如果解答题中没有涉及直线与圆的综合问题，则在填空题中必定出现直线与圆的较难问题，反之会考查直线与圆的基本问题如直线方程的求解，简单位置关系的判断2在解答题中，由于直线方程和圆的方程均为C级要求，可能出现以椭圆或抛物线为背景的直线与圆的综合问题如定点问题、最值问题等•■小题基础练请口1. 若直线y= kx +1与直线2x+ y—4 = 0垂直，则k= ___________ .12. 解析：由题意得k x（—2）= —1, k=1答案：. . 2 2 . .2 .若直线3X + y+ a= 0过圆x + y + 2x —4y = 0的圆心，贝U a的值为_________ .解析：化圆为标准形式（x+ 1）2+ （y—2厂=5,圆心为（—1,2）. •••直线过圆心,••• 3X （—1）+ 2+ a= 0,a= 1.答案：13. （2020 •盐城二模）过圆x2+ y2= 4内一点P（1,1）作两条相互垂直的弦AC BD当AC= BD时，四边形ABCD勺面积为________ .解析：过圆心O向AC, BD引垂线，则构成一个正方形，贝U O到AC BD距离为1，贝U AC= BD=吋3, 则四边形ABC啲面积为6.答案：64. （2020 •泰州期末）过点C3,4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为3,2,则“2=____________ .解析：由题意得，满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为（a, a），则半径r = a,•圆的方程为（x—a）2+ （y—a）2= a2,又C (3,4)在此圆上，•••将C 的坐标代入得(3 — a )2+ (4 — a )3 4= a 2,2整理得 a — 14a + 25= 0,2••• r i ,「2分别为a — I4a + 25= 0的两个解， • r i r 2= 25. 答案：2515•过点Py 1的直线I 与圆C: (x — 1)2+ y 2= 4交于A , B 两点，当/ ACB 最小时，直线I 的方程为解析：验证知点P ^, i 在圆内， 当/ ACB 最小时，直线I 与CP 垂直,由圆的方程，圆心 C (1,0)k c =1 2.•1的方程为y — 1= 2x — 2，整理得2x — 4y + 3= 0.增分考点讲透?？\ZEGFEN K A.0 OHAN J1 ANGTOU -［典例1］(1) 经过抛物线y 2= 4x 的焦点且平行于直线 3x — 2y = 0的直线l 的方程是 __________ •(2) 一条光线沿直线2x — y + 2= 0入射到直线 x + y — 5 = 0后反射，则反射光线所在的直线方程为23 3［解析］(1) •••抛物线y = 4x 的焦点是(1,0)，直线3x — 2y = 0的斜率是2，二直线l 的方程是y = 2( x —1),即 3x — 2y — 3 = 0.(2)取直线2x — y + 2= 0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x + y — 5=0对称的点为 B (a , b ) •a b + 2a + 〒—5=0，b — 2〒=1,a = 3, 解得b = 5.• B (3, 5) •2x — y + 2 = 0, x = 1,联立方程，得 解得 x + y — 5= 0, y = 4. 答案：2x — 4y + 3 = 0•••直线2x — y + 2= 0与直线x + y — 5= 0的交点为P (1,4) ,•••反射光线在经过点 耳3,5)和点F (1,4) 4 — 5的直线上，其直线方程为 y —4= y —3(x — 1),整理得x — 2y + 7= 0.［答案］(1)3 x — 2y — 3= 0 (2) x — 2y + 7 = 0 ” flf 噩欢髀1 .与直线 Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为 Ax + By + C = 0，垂直的直线方程可设为 Bx + Ay + C 2=0.2.两点关于直线l 对称时，两点的中点在I 上，且两点连成的直线与I 垂直.［演练1］“a = — 1 ”是"直线 ax + (2 a — 1)y + 1 = 0和直线3x + ay + 3= 0垂直”的 ________ 条件.解析：若直线 ax + (2 a — 1) y +1 = 0 和直线 3x + ay + 3 = 0 垂直，则 a x 3+ (2 a — 1) x a = 0,解得 a = 0 或a =— 1.故a =—1是两直线垂直的充分而不必要条件. 答案：充分不必要［典例2］设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线 y = x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是 ________ .［解析］由题意可设圆心 A ( a , a )，如图，则22 + a 2= 2a 2解得a = ±2, r 2= 2a 2=8. 所以圆 C 的方程是(x + 2)2 + (y + 2)2 = 8 或(x — 2)2+ (y — 2) 2= 8.［答案］(x + 2)2+ (y + 2)2 = 8 或(x — 2)2 + (y — 2)2= 8本题考查求圆的方程的基本方法：待定系数法，求解时可结合圆形利用圆的几何性质建立关于参数的 方程求解.［演练2］已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l : y = x — 1被圆C 截得的弦长为2 2，则过圆 心且与直线I 垂直的直线的方程为 __________________ .根据勾股定理可得，寸2 2 + (、⑵2—|a — 1|2,解得a = 3或a =— 1(舍去)，所以圆C 的圆心坐标为(3,0),则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 x + y — 3— 0.答案：x + y — 3= 0［典例3］(2020 •南通一模)如图，在平面直角坐标系解析：由题可知，设圆心的坐标为(a, 0)( a >0)，设圆C 的半径为| a — 1|，圆心到直线l 的距离为|a — 1|2 2=1,圆C2：(x—3) + (y —4) = 1.⑴若过点C( - 1,0)的直线I被圆C2截得的弦长为-，求直'线I的方程；(2)设动圆C同时平分圆C的周长、圆C2的周长.①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.［解］⑴设直线I的方程为y= k(x + 1),即kx- y+ k = 0.因为直线I被圆C2截得的弦长为5，而圆C2的半径为1,所以圆心C2(3,4)到I : kx- y+ k = 0的距离为|4k-4| = 4/ k2+ 1 —5.化简，得12k2-25k + 12 = 0，解得k= 3或k = 4.所以直线I的方程为4x- 4y + 4 = 0或4x-4y + 4= 0. ⑵①证明：设圆心C(x, y)，由题意，得CC= CC, 即,,x + 1 2+ y2=\；x — 4 2+ y — 4 2.化简得x+ y —4= 0,即动圆圆心C在定直线x+ y — 4 = 0上运动.②圆C过定点，设C(m,3—m ,则动圆C的半径为 1 + CC= +__m+ 1 _2+ __4 - m 2.于是动圆C的方程为(X—m2+ (y-4+ m2=1 + (m+ 1)2+ (4 —m2.2 2整理，得x + y -5y — 2 —2m(x-y + 1) = 0.x-y + 1 = 0,2 2x + y - 5y —2 = 0,4,22 ，4,22所以定点的坐标为1-誉,2 - * , 1 + 护2 + 竽.7" fit处丈棒"本题考查直线与圆的综合问题，第(2)小题中xOy中，已知圆的①实际上是求圆心的轨迹方程.②是考查圆中的探索性问题，解决方法一般是先假设结论成立，然后进行推理，若推出矛盾则否定结论，不出现矛盾则肯定结为菱形，故问题等价于圆心 (0,0)至U 直线kx — y + 1 = 0的距离等于1.［演练3］在平面直角坐标系 xOy 中，曲线y = x 2— 6x +1与坐标轴的交点都在圆 C 上. ⑴求圆C 的方程；⑵ 若圆C 与直线x — y + a = 0交于A , B 两点，且 OAL OB 求a 的值.2解：⑴ 曲线y = x — 6x + 1与y 轴的交点为(0,1), 与 x 轴的交点为(3 + 2 '2, 0) , (3 — 2 ：2, 0). 故可设C 的圆心为(3 , t ),则有 32 + (t — 1)2= (2 /2)2 +12,解得 t = 1. 则圆C 的半径为,-32+ t — 12= 3.所以圆C 的方程为(x — 3)2+ (y — 1)2= 9. (2)设A (X 1, yj , R X 2, y"，其坐标满足方程组x — y + a = 0,c2“2cx — 3 + y — 1= 9.22消去 y ,得方程 2x + (2a — 8)x + a — 2a + 1= 0. 由已知可得，判别式 A = 56 — 16a — 4a 2>0.由于 OAL OB 可得 X 1X 2 + y 1y 2= 0. 又 y 1 = X 1 + a , y 2= X 2+ a ,2所以 2X 1X 2+ a (X 1 + X 2) + a = 0. ②由①②得a =— 1,满足 A >0,故a =— 1. ［专题技法归纳］1•直线与圆的基本量如 k , a , b , r 的求解，一般是用方程法，建立方程时要结合图形，计算要力求 准确.2 •直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法主要是几何法，要掌握求切线长、弦长等问题.3 •直线与圆的综合问题中主要是数学思想方法的运用和含多个字母的代数式的化简.■配套专题检测FEITAO ZHU AUTT论.从而 X 1 + X 2= 4— a , X 1X 2 =a 2 —2a +122 2uuuu1.已知直线kx —y+ 1 = 0与圆C： X2+ y2= 4相交于A, B两点，若点M在圆C上，且有OM = uuuOB (O为坐标原点)，则实数k = ____________ .解析：结合图形可知，当代B, M均在圆上时，平行四边形OAMB勺对角线OM= 2，此时四边形uuu OA +OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)至U直线kx —y + 1 = 0的距离等于1.2 .在圆x 4+ y 2-2x — 6y = 0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为积为 ________解析：圆的方程化为标准形式为(x — 1)2+ (y — 3)2= 10,由圆的性质可知最长弦 AC= 2 10,最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3).故 EF = : 5,「. BD= 2 ''10 — 5 = 2 ：5 ,答案：10 /23. (2020 •南京期初调研卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆 C 与x 轴交于A (1,0),巳3,0)两点，且与直线 x — y + 1= 0相切，则圆C 的半径为 ____________ .解析：由题意可设圆心为(2 , b ),半径r =7b 2+ 1, b >0,则|3 — b|=寸b 2+ 1，解得b = 1或b = — 7(舍去）.贝 U r = .;2.答案：..;24•设x , y 均为正实数，且 乱 + 缶 =1，以点(x ，y )为圆心，R= xy 为半径的圆的面积最小时圆的 标准方程为解析:9=z + ^+ 10> 6+ 10= 16,9当且仅当z =：,即z = 3时，取等号 此时 y = 4, x = 4,半径 xy = 16.22圆的方程为(x — 4) + (y — 4) = 256.4 2答案：(X — 4) + (y — 4) = 2565. (2020 •苏锡常二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点P 在曲线xy = 1(x >0)上，点P 在x 轴上的 射影为M 若点P 在直线x — y = 0的下方，当O M —M 取得最小值时，点 P 的坐标为___________________ .1 2 2 1解析：设点Pt ,-，得O P = t 2+严AC 和BD 则四边形ABCD 勺面8+ y 尸.z = y — 1,贝U y = z +1, z >0,xy = 2y + 8y =y — 1 =2z + 1 + 8 z + 1 z2z + 10z + 9z1解得k = 0.答案：0S 四边形BD= 10 ;'2.OP t；亍t—r ；5 …OI\— M P2 1 1 21 = 1 ~t —- t —一t t t t•••点P在直线x—y= 0的下方，且t>0.••• 0<1<1,得t —1所以t — 1 >2 2t - f当且仅当t —1=二时取等号,t — t即t — 1 = .'2,解得t = 6；（'2•点P的坐标为上二亠^2答案:6. (2020 •南通三模)若动点P在直线11：x —y—2= 0上，动点Q在直线I2：x—y —6 = 0上，设线段PQ的中点为Mx o, y o)，且(x o—2) ；(y o；2) < 8,贝U x o；y o的取值范围是_________ .解析：设点P(x1, y1)满足X1 —y1 —2= o,点Qx2, y2)满足x2—y2 —6= o,两式相加得，点Mx o, y o) 轨迹是直线X o —y o—4= o.则y o= x o —4，代入(x o—2)2; (y o；2)2<8 得2 2(x o—2) ；(x o—2) <8,解得o<x o<4,5 2 2 2 2所以x o；y o= x o；(x o—4) = 2(x o—2) ；8€ [8,16].答案：[8,16]7. (2020 •南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，直线l : x；y —4= 0•点B(x, y)是圆C:x2；y2—2x —1 = 0的动点，AD L I , BH I，垂足分别为_________________ D, E,则线段DE的最大值是.解析：线段DE的最大值等于圆心(1, .0)到直线AD x—y ； 2 = 0的距离加半径即为耳2答案：竽&若实数a, b, c成等差数列，点R —1,0)在动直线ax；by；c= 0上的射影为M点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是 _________________ .解析：由题可知动直线ax；by；c = 0过定点A(1 , —2).设点Mx, y)，由MPL MA可求得点M的轨迹方程为以AP为直径的圆，圆心Q0,—1)半径r =^2.故线段MN长度的最大值为QW r = 5+Q2.答案：5 + ：29. (2020 •徐州四市)平面直角坐标系中，已知点A (1 , — 2) ,B (4,0) , P (a,1) , N a + 1,1)，当四边形PABN 的周长最小时，过三点 A , P , N 的圆的圆心坐标是 _________ .解析：••• AB PN 的长为定值， •只要求PA + BN 的最小值.P/+ BN= a — 1 6+ 9+a — 3 2+ 1，其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3 , — 1)距离之和，当三点共线，即 a = 5时，其和取得最小值•线段 PN 的中垂线方程为x = 3,线段PA 的中垂线方程为y117、 9 一 +石=一石x —，交点3,—-即为所求的圆心坐标. 2 2 4 810. ___________________________________________________________ 已知A — 2,0) , B (0,2) , MN 是圆X 2 + y 2+ kx = 0( k 是常数)上的两个不同的点，P 是圆上的动点， 如果M N 两点关于直线x — y — 1 = 0对称，则△ PAB 面积的最大值是 ______________________________________________ .k k解析：因为 M N 关于直线x — y — 1= 0对称，故圆心 —, 0在直线x —y — 1 = 0上，则—^— 1= 0, 解得k = — 2，则圆的方程为(x — 1)2+ y 2= 1.又直线AB 的方程为x — y + 2= 0,则圆心(1,0)至煩线AB 的距 离为d =|1 [I=耳2.所以圆上的点到直线AB 的最大距离为1 +卑2,所以△ PAB 面积的最大值为 S =£<22 2 2X|AB X 1+ 字=^X2/2X 1+ 芈=3 + "答案：3 + 211. (2020 •泉州五校质检)已知圆C: x 2+ y 2 + Dx + Ey + 3= 0关于直线x + y — 1 = 0对称，圆心 C 在第 二象限，半径为,2.(1) 求圆C 的方程；(2) 是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在， 说明理由.2 2 __________________解：(1)由 x + y + Dx + Ey + 3= 0,m, D 2 , E 2 D + E —12 得 x + 2 + y +2 = 4—,由R = 2，得•••圆c 的圆心c 的坐标为C —D ,E - 2半径 R=.2,故D2+ E" = 20.①•.•圆C关于直线x + y — 1 = 0对称，D E•••圆心C —2，—2在直线x+ y — 1 = 0上,D E --• — 2 — 2 —1 = 0，故D+ E=—2，②由②式，得E= —2—D,代入①式，得D2+ ( —2—D2= 20,即D2+ 2D— 8= 0，解得D=— 4 或D= 2.D E又•••圆心C—2，—2在第二象限，•••- D<o,解得D>0.• D= 2, E=—2— 2 = — 4.2 2•••圆c的方程为x + y + 2x—4y + 3= 0,2 2即(x+ 1) + (y—2) = 2.⑵直线l在x轴、y轴上的截距相等，设为a, 由(1)知圆C的圆心C( —1,2),当a = 0时，直线I过原点，设其方程为y= kx, 即kx—y= 0,即k2—4k —2= 0，解得k= 2± :& 此时直线I的方程为y= (2 ± -'6) x,即(2 ± ;'6) x —y = 0;当aK时，直线I的方程为- + y= 1,a a即x + y —a= 0,若直线I : x + y —a= 0与圆C相切,即| a—1| = 2,解得a=— 1 或a= 3.此时直线I的方程为x+ y + 1 = 0,或x+ y— 3 = 0.综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2 ±.'6)x—y= 0 或x+ y + 1 = 0 或x + y—3 = 0.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F1(—4,0) , F2(4,0), /A\*A(0,8),直线若直线I : kx —y= 0与圆C相切，则=2I —1 + 2—a|=,1 +1 =.■'2,I —k —2|y = t (0<t <8)与线段AF , AF 2分别交于点P, Q⑴ 当t = 3时，求以F i , F 2为焦点，且过 PQ 中点的椭圆的标准方程;(2)过点Q 作直线QR/ AF 交F 1F 2于点R 记厶PRF 的外接圆为圆 C. ① 求证：圆心 C 在定直线7X + 4y + 8 = 0 上;② 圆C 是否恒过异于点 F i 的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.2 2x y解：(1)设椭圆的方程为 孑+話=1( a >b >0),当t = 3时，PQ 的中点为(0,3)，所以b = 3.而 a 7— b 2= 16，所以 a 8= 25,2 2故椭圆的标准方程为25+春=1.⑵ ①证明：法一：易得直线 AF ： y = 2x + 8,AB ： y = — 2x + 8,t — 8 8— t所以可得P 丁, t , Q 丁, t ,再由 QF Z AF ,得尺4 — t, 0). 则线段RR 的中垂线方程为x =— 2, 线段PF 的中垂线方程为y =— 2x +法二：易得直线 AF ： y = 2x + 8; AR ： y =— 2x + 8,所以可得 P^—^, t , Q 号,t ,再由 QF / AF , 得 F (4 — t, 0).设厶PRF 的外接圆C 的方程为x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0,24 — t + 4 — t D+ F = 0,D = t , 解得E= 4 - 7t , F = 4t — 16.7—4 — 4D + F = 0,1 5t — 16 y =—2x +厂,tx= —2,解得△ PRF 的外接圆的圆心坐标为 —2 7^ — 2 .经验证，该圆心在定直线7x + 4y + 8 = 0 上.t — 8 ~2~2+ t 2 + 号8 D + tE + F = 0,所以圆心坐标为 —2, 7t — 2，经验证，该圆心在定直线 7x + 4y + 8 = 0上. . .227②由①可得圆 C 的方程为x + y + tx + 4— 4t y + 4t — 16= 0.7该方程可整理为(x + y + 4y — 16) +1 x —玄丫 + 4 = 0,2 2x + y + 4y —16= 0,则由 7x — 4y +4= 0,x = — 4, 或y = 0.1所以圆C 恒过异于点 F i 的一个定点，该点坐标为4 32 13， 13 .解得32 y=石。

小题专题练(四)解析几何、立体几何(建议用时：50分钟)1．抛物线y2＝4x的准线方程为________．2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝________.3．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．4．(2019·连云港调研)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2P A→＝PB→，则直线l的斜率k＝________．5．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为________．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．7．(2019·徐州调研)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，则此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________．8.已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝855，则抛物线C2的方程为____________．9．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC ⊥AD .10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)上的点P (1，0)作两条渐近线的平行线，分别交两渐近线于A ，B 两点，若平行四边形OBP A 的面积为1，则双曲线的离心率为________．11．(2019·盐城模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)、B (m ，0)(m >0)，若圆上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最小值为________．12．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．13．(2019·宿迁质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．14.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)，圆O ：x 2＋y 2＝a 2＋4，椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M ，N 两点，若|PF 1|·|PF 2|＝6，则|PM |·|PN |的值为________．小题专题练(四)1．解析：易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p 2＝－1.答案：x ＝－12．解析：因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a ＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 答案：1 3．解析：设该六棱锥的高是h .根据体积公式得，V ＝13×12×2×3×6×h＝23，解得h ＝1，则侧面三角形的高为1＋（3）2＝2，所以侧面积S ＝12×2×2×6＝12.答案：124．解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|P A |＋|AC |＝3 5.过圆心C (3，5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝（35）2－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2. 答案：±25．解析：因为60°的二面角的棱上有A ，B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，所以CD→＝CA →＋AB →＋BD →，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， 因为AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，所以|AB→|＝4，|AC →|＝6，|BD →|＝8， 所以CD→2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD → ＝36＋16＋64＋2×6×8×cos 120°＝68，所以CD 的长为217.答案：2176．解析：圆C 1关于x 轴对称的圆C ′1的圆心为C ′1(2，－3)，半径不变，圆C 2的圆心为(3，4)，半径r ＝3，|PM |＋|PN |的最小值为圆C ′1和圆C 2的圆心距减去两圆的半径，所以|PM |＋|PN |的最小值为（3－2）2＋（4＋3）2－1－3＝52－4.答案：52－47.解析：补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A 1到平面BCC 1B 1的距离为d ，则d ＝2.则V 三棱柱＝12V 四棱柱＝12S 四边形BCC 1B 1·d ＝12×4×2＝4.答案：48．解析：由题意，知圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点为原点，不妨记为B ，设A (m ，n )．因为|AB |＝855，所以⎩⎨⎧m 2＋n 2＝855，m 2＋（n －2）2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝85，n ＝165，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.将点A 的坐标代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ×85，所以p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案：y 2＝325x9.解析：如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可得四边形MNQP 是矩形，所以①②正确；不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN 与AB 是异面直线，不可能MN ∥AB ，所以③错；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，可得EC ⊥平面ADE ，故EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.答案：①②④10．解析：依题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则过点P 且与渐近线平行的直线方程为y ＝±b (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx y ＝－b （x －1）得|y |＝b 2，所以平行四边形OBP A 的面积S ▱OBP A ＝2S △OBP ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×|y |＝b 2＝1，所以b ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋221＝ 5.答案： 511．解析：显然AB ＝2m ，因为∠APB ＝90°，所以OP ＝12AB ＝m ，所以要求m 的最小值即求圆C 上点P 到原点O 的最小距离，因为OC ＝5，所以OP min ＝OC －r ＝4，即m 的最小值为4.答案：412.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr 1－r 2≤4π×r 2＋（1－r 2）2＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)．所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π⎝ ⎛⎭⎪⎫222×2＝423. 答案：42313．解析：6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称、左右对称．不妨设P 在第一象限，PF 1>PF 2，当PF 1＝F 1F 2＝2c 时，PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c ，即2c ＞2a －2c ，解得e ＝c a >12，又因为e ＜1，所以 12<e <1；当PF 2＝F 1F 2＝2c 时，PF 1＝2a －PF 2＝2a －2c ，即2a－2c ＞2c 且2c ＞a －c ，解得13<e <12，综上可得13<e <12或12<e <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 14．解析：由已知|PM |·|PN |＝(R －|OP |)(R ＋|OP |)＝R 2－|OP |2＝a 2＋4－|OP |2，|OP |2＝|OP →|2＝14(PF 1→＋PF 2→)2＝14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12(|PF 1→|2＋|PF 2→|2)－14(|PF 1→|2＋|PF 2→|2－2|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2)＝12[(2a )2－2|PF 1||PF 2|]－14×(2c )2＝a 2－2，所以|PM |·|PN |＝(a 2＋4)－(a 2－2)＝6.答案：6。

直线与圆知识与方法1.内容概要直线与圆是初中平面几何的重要研究对象,也是高中解析几何起始阶段的重要内容.通过引入坐标系,建立直线与圆的方程,进而用代数的方法研究几何位置关系,并依据直线方程、圆的方程讨论其性质,体现形与数的结合.其内容结构如下:2.圆的切线方程,切点弦方程已知圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>及点()00,P x y , (1)若点()00,P x y 在圆C 上,则过点()00,P x y 的切线方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.(2)若点()00,P x y 在圆C 外,则过点()00,P x y 作圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的方程:()()()()200x a x a y b y b r --+--=.3.阿波罗尼斯圆在平面上给定两点,A B ,设点P 在同一平面上且满足PA PBλ=,当0λ>且1λ≠时,点P 的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆(1λ=时点P 的轨迹是线段AB 的中垂线),其中阿波罗尼斯圆的直径为221a λλ-.典型例题【例1】直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ）A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【例2】设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y (点P 与点,A B 不重合),则PAB 面积的最大值是（ ）A. B.5 C.52【例3】(多选题)设圆222220x y x y +---=的圆心为点C ,直线l 过点()0,3且与圆C 交于,A B 两点,且AB =则直线l 的方程是（ ） A.4390x y -+= B.34120x y +-=C.0x =D.4390x y +-=【例4】直线()20mx y m +-=∈R 与圆22:210C x y y +--=相交于,A B 两点，弦长AB 的最小值为________;若ABC 则m 的值为________.【例5】已知圆22:1O x y +=上存在点P ，直线:40l kx y -+=上存在点Q ，使得6PQO π∠=,则实数k 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.(),∞∞-⋃+C.⎡⎣D.(),∞∞-⋃+【例6】在平面直角坐标系xOy 中,已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围是________.【例7】过点()00,P x y 分别作圆221:1C x y +=与圆221:211C x y -+-=（）（）的切线，切点为,A B .若PA PB =,则2200x y +的最小值为（ ）B.54D.5【例8】已知P 是函数()2f x x =图像上的一点，过点P 作圆22:430M x y y +--=的两条切线,切点分别为,A B ,则PA PB ⋅的最小值为（ ）A.328- B.3C.0D.32【例9】已知两点()()2,0,2,0A B --以及圆222:(4)(3)(0)C x y r r ++-=>.若圆C 上存在点P ,满足0PA PB ⋅=,则实数r 的取值范围为（ ） A.[]3,6B.[]3,7C.[]4,7D.[]4,6【例10】在平面直角坐标系xOy 中,已知两定点()()2,2,0,2A B -,动点P 满足PA PB=(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)轨迹C 上有两点,E F ,它们关于直线:40l kx y +-=对称,且满足4OE OF ⋅=,求OEF 的面积.强化训练1.直线2cos 30,63x y ππαα⎛⎫⎡⎤--=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的倾斜角的变化范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ,线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=上一条动弦,且AB =则PA PB +的最大值为（ ）A. B. C. D.23.已知过点()3,0P 的直线与圆22:(2)(1)4C x y -+-=交于,A B 两点(点A 在x 轴上方).若3BP PA =,直线AB 的斜率为________.4.已知直线:0l ax by c ++=被圆22:16C x y +=截得的弦的中点为M .若320,a b c O +-=为坐标原点,则点M 的轨迹方程为________,OM 的最大值为________.5.在设点()01,P y ,若圆22:1O x y +=上存在点Q ,使得6OPQπ∠,则0y 的取值范围是________.6.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离等于1,则半径r 的取值范围是（ ） A.(]4,6 B.[)4,6C.()4,6D.[]4,67.已知22:2220M x y x y +---=,直线:220,l x y P ++=为l 上的点,过点P 作M的切线,PA PB ,切点分别为,A B .当PM AB ⋅最小时,直线AB 的方程为（ ） A.210x y --= B.210x y +-= C.210x y -+= D.210x y ++=8.过点32,4m A m +⎛⎫ ⎪⎝⎭向圆22:4690C x y x y +-++=作切线,切点为B .若AB λ>,则实数λ的取值范围为（ ）A.()1∞-B.(∞-C.()2∞-D.(∞-9.已知点((,A B ,作直线l ,使得点,A B 到直线l 的距离均为d ,且这样的直线l 恰有4条,则d 的取值范围是（ ）A.[)1,∞+B.()0,1C.(]0,1D.()0,210.已知圆22:230C x y x +--=,若等边PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦,则线段PC 长度的最大值为（ ）B. C.4D.。

直线与圆、圆与圆一、学习目标1. 掌握直线与圆、圆与圆的位置关系及判定；2. 能解决与圆有关的综合问题． 二、基础自测1. 已知直线l 过点(1,2)P 且与圆22:2C x y +=相交于,A B 两点，ABC ∆的面积为1，则直线l 的方程为 .10x -=或3450x y -+=2. 过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为 .2450x y +-=3. 已知直线:60l x -+=与圆2212x y +=交于A ,B 两点，过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则CD = .44. 已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为 .3-+三、典例分析题型一：与圆有关的求值问题1. 方程10)x y -≥表示的曲线长度为 .2. 已知圆22410x y x +--=与圆22240x y x y +--=相交于M N ，两点，则公共弦MN 的长为 ．3. 在平面直角坐标系xOy 60y +-=与圆22((1)2x y +-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．60o4. 已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-= 的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．2题型二：与圆有关的求范围问题1. 已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围是__________．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为 ．[7,13]3. 从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．224+4. 设直线l ：340x y a ++=，圆C ：()2222x y -+=，若在圆C 上存在两点P ， Q ，在直线l 上存在一点M ，使得PM PQ ⊥，则实数a 的取值范围是_________．164a -≤≤变式：1. 已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 .[]1,52. 在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(11)A ，，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 ．[6262]-+，3. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅u u u u r u u u r的最大值为______. 442+4. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．[21,21]-+题型三：与圆有关的综合问题1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d ==4分因为MN AB =而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 2. 已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，求MN .【解】（1）由l 与圆交于,M N 两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+.由圆C 的方程，可得圆心为()2,3C ，则(),1d C l <1<，解得4433k <<. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,OM x y =u u u u r ，()22,ON x y =u u u r，121212OM ON x x y y =+=u u u u r u u u r g g g .把直线1y kx =+代入到()()22231x y -+-=中， 得()()2214470k x k x +-++=. 由根与系数的关系，得12271x x k =+，122441kx x k ++=+.则()()21212121224117111k k x x y y x x kx k kx k k++⋅+⋅=⋅+--==+，解得1k =. 所以直线l 的方程为1y x =+.又圆心()2,3C 到直线l 的距离(),0d C l ==，即直线l 过圆心C .所以2MN =.3. 平面直角坐标系xOy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程； （3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP ，NP 分别交于x 轴于点(,0)m 和(,0)n ，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解】（1）因为O 点到直线10x y -+=， ………………………2分所以圆O= 故圆O 的方程为222x y +=． ………………4分 （2）设直线l 的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，即0bx ay ab +-=， 由直线l 与圆O=221112a b +=， ……………6分 2222222112()()8DE a b a b a b=+=++≥， 当且仅当2a b ==时取等号，此时直线l 的方程为20x y +-=．………10分 （3）设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=，直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，122121x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y ++，122121x y x y n y y +=+， …………………14分 222222221221122112211221222221212121(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--g ，故mn 为定值2． …………………16分4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(0,2)A ，(0,0)O ，(,0)(0)D t t >三点，M 是线段AD 上的动点，12,l l 是过点(1,0)B 且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点． （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，求EPQ ∆的面积的最小值． 【解】（1）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．设2l 方程为：(1)yk x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（2）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥． 依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，88||3t -≥，解得1611t -≥或1611t +≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= ①当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ； ②当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)y k x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)yx k =--，点1(0,)E k．所以，BE =又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQS BE PQ =⋅===≥V四、自我检测1. 已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ，则0x 的取值范围为________.(1,0)(0,2)-U2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为.3. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o ，则实数m 的最大值为 .4. 已知圆O 的方程是2220x y +-=，圆O '的方程是228100x y x +-+=，若由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22220x y x y ++-=，直线l ：(1)0m x y m +--=经过定点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若PA，则直线l斜率的取值范围是．⎡⎣6. 如图，已知圆O：x2+y2=1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M是劣弧AC（点A、C除外）上任一点．直线AM与BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．（1）当四边形ABCM的面积最大时，求直线AM的斜率；（2）求m-2n的值；（3）试探究直线PN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．。