1.3简单曲线的极坐标方程.ppt

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形
式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不
方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以
取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可
以表示为


4
( R)
或
5 ( R) 4
例2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直 线L的极坐标方程。（学生们先自己尝试做） 解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点， 连接OM 在 Rt MOA 中有 ﹚ OM cos MOA OA o A x 即
﹚
o
﹚1
P ﹚ x A
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）求曲线的极坐标方程的步骤 （3）会求圆的极坐标方程 （3）会求直线的极坐标方程
探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(,)满足的条件？
M (,) A
O
C(a,0)
x
ห้องสมุดไป่ตู้
解：圆经过极点 。设圆与极轴的另一个 O 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... 1) .( 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
cos a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
交流做题心得归纳解题步骤：
求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程， 并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
直线的几种极坐标方程 1、过极点
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

曲线的极坐标方程
一 定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 （１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标 中至少有一个）符合方程f(,)=0 ； （２）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
l
0( R)
o ﹚


M A M x
2、过某个定点垂直于极轴
cos a
o
﹚ A
3、过某个定点平行于极轴 o x sin ＝a 4、过某个定点 ( 1 ,1 ) ，且与极轴成的角度a M sin( ) 1 sin( 1 )
1
M

O

r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
四 直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;
例1：
⑴求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4
M
4
o
﹚
x


4
( 0)
5 （2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
5 ( 0) 4 （3）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
二 求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ，)为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简
（此方程f(,)=0即为曲线的方程）
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？