2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请 严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列{a n }是等差数列，a 2 和 a 2014 是方程 5x - 6x + 1 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 2015项的和为1209 ． 22．已知 a , b 是常数，函数 f (x ) = ax 3 + b ln(x + x 2+ 1) + 3 在 (-∞,0) 上的最大值为 10,则 f (x )在 (0,+∞) 上的最小值为－4 ．13．若对于任意实数 x ，| x + a | - | x + 1 |≤ 2a 恒成立，则实数 a 的最小值为 ． 3 n4．设 a n = 2 , b n = 5n - 1(n ∈N *)， S = {a , a ,, a } {b , b ,, b } ，则集合 S 中的元1 22015 1 2 a 2015 素的个数为 504 ．A - C 2 + sinB 的值为25．△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ．若 a - c = a sin C ，则sin1 ．6．设多项式 f (x ) 满足 f (x ) + f (x + 1) = -2x 2+ 2x + 3 ，则 f (1) + f (2) ++ f (9) = －186 ．7．已知点 P 在 Rt △ ABC 所在平面内，∠BAC = 90︒ ，∠CAP 为锐角，| AP |= 2 ，AP ⋅ AC = 2 ，7AP ⋅ AB = 1 ．当| AB + AC + AP | 取得最小值时， tan ∠CAP =．28． 8sin 210︒ + 1 值为 6 ．的sin10︒ 9．函数 f (x ) = 8 - x + 3x + 6 的最小值为 10 ．p + 1 p 2+ 1 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 ．10．使得和2 2二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 满足：① f (2) = 1；②当 x > 1时， f (x ) > 0 ；③ f ( x ) = f (x ) - f ( y ) ．y（1）试判断函数 f (x ) 的单调性； （2）若 f (t ) + f (t - 3) ≤ 2 ，试求 t 的取值范围．x 2 x 2解 （1）设 0 < x 1 < x 2 ，则> 1 ，故 f ( ) > 0 ，即 f (x 2 ) - f (x 1 ) > 0 ，所以 f (x 2 ) > f (x 1 ) ， x 1 故 f (x ) 在 (0,+∞) 上是单调增函数．x 1………………………………………（5 分）f (2) = f ( 4) = f (4) - f (2) ，所以 （2）因为 f (4) = 2 f (2) = 2 ，从而………………………………………（10 分）2f (t ) + f (t - 3) ≤ f (4) ．即 f (t ) ≤ f ( 4) ，于是t - 3天 科 学 堂 学 科 竞 赛 网⎧⎪t > 0, ⎪⎨t - 3 > 0, ………………………………………（15 分）⎪ 4 t ≤ . t - 3⎪⎩ 解得 3 < t ≤ 4 ．故 t 的取值范围是 (3,4] ．………………………………………（20 分）12．已知正实数 a , b , c 满足 a 2+ b 2= c 2，求 (1 + c )(1 + c) 的最小值．a bπ 解 设 a = c ⋅ sin α, b = c ⋅ cos α，α∈ (0,，则2u = (1 + c )(1 + c ) = (1 + 1 )(1 + 1 ) = 1 + sin α+ cos α+ 1 ． …………………（5 分）cos α sin α sin αcos αa b π 令 x = sin α+ cos α，则 x = 2 sin(α+ ，1 < x ≤ 2 ． 4…………………（10 分） x 2 - 又 sin αcos α = 1 ，所以 u = 1 + x + 12 = 1 + ． ………………………………（15 分） x 2 - 1 2 x - 1 2当 x = 2 时， u ＝ (1 + c )(1 + c ) 取得最小值1 + 2= 3 + 2 2 ．…………………（20 分）a b 2 - 113．设 T n 是数列{a n } 的前 n 项之积，满足 T = 1- a , n ∈ N * ． n n（1）求数列{a n } 的通项公式；- 1 < S < a - 1 ． （2）设 S = T 2 + T 2 ++ T 2 ，求证： a n 1 2 n n +1 n n +1231 解 （1）易知 T 1 = a 1 = ， T n ≠ 0, a n ≠ 1 ，且由 T n +1 = 1 - a n +1 ,T n = 1 - a n ，得2，即 = T n +1 = 1 - a n +1a n +1 1 1 1 ，即 - = 1． a = 1 - a ……………（5 分） n +1 T 1 - a 1 - a 1 - a 1 - a n +1 n n n n +1 n1 1 1 所以 = + n - 1 = + n - 1 = n + 1 ，故1 - 121 - a n 1 - a 1 = 1 - 1 = n． a ………………………………………（10 分） n n + 1 n + 11 （2）由（1）得 T n = a 1a2 a n =． n + 111 1 一方面， S n = + + +22 32 (n + 1)2> 1 +1 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 + + 1 = 1 - 1 = a - 1 ；……………（15 分） 2n +1 (n + 1)(n + 2) 2 n + 2 另一方面，< 1 1 1 1 1 1 2 1+ + + = + + + = - ． S n - 1 41 32- 1 - 1 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7(n + 1 )(n + 3 ) n + 2 3 3 22 (n + 1)2 4 1 4 2 2 2 2 2 2 n + 1 2 2 1 1 又 - 3 < - = - = a n +- ． 1 2 33 n + 2 n + 2 33 n +1 21a n+1- <Sn <a n+1-．所以………………………………………（20分）3。

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒ ＝ 5 ．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22a b +的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分 当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩ 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有 （1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分 所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分（2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++， 所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n >=->-++. ------------------------------------------20分。

2013年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题一、填空题（每小题9分，共90分）1、设集合A={1，3，5，7，9}，B ={2，4，6，18}，若C ={a +b | a ∈A ，b ∈B}，则集合C 的所有元素之和为＿＿＿＿ .2、已知数列{a n }满足：a 0 =0， a 1=1，且a 2n =a n ，a 2n +1= a n +1（n ∈N *）,则 a 2013＿＿＿＿.3、设函数f (x)= 2x ，x ≤0 log 2x ，x >0 ，则方程f(x)=12 的解集为＿＿＿＿.4、函数y=1sin x +1cos x+1tan x+1cot x的最小值为＿＿＿＿.5、设0<x<y<π2，则P=cos 2x -cos 2y -4cos x +4cos y 的取值范围是＿＿＿＿.6、设F 为椭圆C :x4+y3=1的右焦点，过椭圆C 外的一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若PFM =900，则点P 的轨迹方程为＿＿＿＿.7、从集合A={1，2，3，...，30}中取出5个不同的数，使这5个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为＿＿＿＿.8、四面体P —ABC 的体积为1，G 和K 分别是∆ABC 和∆PBC 的重心，过G 作直线分别交，AB 、AC 于点M 、N ，那么四棱锥K-MNCB 的体积的最大值为＿＿＿＿.9、已知互不相等的三个实数a 、b 、c 成等比数列，且log c a 、log b c 、log a b 构成公差为d 的等差数列，则d =＿＿＿＿.10、已知a ，b ，c ，d ∈ −1,+∞），且a+b+c+d =0，则ab+bc+cd 的最大值为＿＿＿＿.二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11、求函数y=x 2+x 2−1的值域.12、已知数列 a n , b n 满足： a 1=1，b 1=3，a n +1=2+27a n 9a n2+4b n2，b n +1=27bn 9a n2+4bn2，n ∈N ∗. （1）证明：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1（2）求数列 a n 的通项公式.13、设P(x 0，y 0)为椭圆x 24+y 2=1内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆交于A 、C 和B 、D ，若AB//CD . (1)证明：直线AB 的斜率为定值；（2）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF .解 答1. 1782. 93. −1， 22， ， 4. 2（ +1） 5. （-2，0） 6. x=47. 196 8. 5279. 3210. 5411.易求得函数的定义域为 x x ≥1或x ≤1 .(1)易知函数y=x 2+2−1是 1，+∞ 上的增函数，所以，当x ≥1时，可得y ≥1. (2)当x ≤−1时，y=x (x +2−1)=x 2−1)(x− x 2−1)x− x 2−1)=x− x 2−1=1−2x=1+ 1−12.因为x ≤−1，所以0≤1−1x 2<1，1≤1+ 1−1x 2<2，所以12<1+ 1−12≤1.即12<y ≤1.综上可知：y >12，故函数y=x 2+2−1的值域为（12，+∞）.12.(1)用数学归纳法证明. ①当n =1时，a 1=1，b 1=3,显然有(a 1−1)24+b 129=1；②假设当n=k 时结果成立，即(a k −1)24+b k 29=1成立，则9a k 2+4b k 2=9(2a k +3),那么b k +1=3b k 2a k +3, a k +1-1=1+27b k9(2a k +3)=5a k +32a k +3，所以a k +1−1 24+b k +129=（5a k +3）24（2a k +3）2+b k 2（2a k +3）2=（5a k +3）2+4b k24（2a k +3）2=（5a k +3）2+9(2a k +3−a k 2)4（2a k +3）2=16a k 2+48a k +364（2a k +3）2=1，所以，当n=k+1时结论也成立.综合①、②可知：对一切n ∈N ∗，有(a n −1)24+b n 29=1(2)由（1）知9a n 2+4b n 2=9（2a n +3），所以a n +1=2+27b n9(2an+3)=7a n +62a n+3.易得a n+1-3=a n−32a n+3，a n+1+1=9（a n+1）2a n+3，所以a n+1−3a n+1+1=19⋅a n−3a n+1.又a1=1,递推可求得a n−3a n+1=-19，所以a n=3⋅9n−1−19+1.13.(1)设A（x1，y1）B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），AP=λPC,则x0—x1=λ（x3—x0），y0—y1=λ（y3—y0），所以x3=1+λx0−x1λ，y3=1+λy0−y1λ.因为点C在椭圆上，所以x324+y32=1，即1+λx0−x124λ+1+λy0−y12λ= 1,整理得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）+(x124+y12) =λ2.又点A在椭圆上，所以x124+y12= 1，从而可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x1+4y0y1）=λ2—1. ①又因为AB//CD，故有BP=λPD，同理可得1+λ2（x024+y02）—121+λ（x0x2+4y0y2）=λ2—1. ②②—①，得x0（x1—x2）+4y0（y1—y2）= 0.因为x0≠0，,y0≠0,易知AB不与坐标轴平行，所以直线AB的斜率k=y1—y2x1—x2 = -x04y0，为定值.（2）直线EF的方程为y = - x04y0(x—x0)+y0，代入椭圆方程得x02+4y02 16y02⋅x2—x0（x02+4y02）8y02⋅x+x0416y02+x022+y02—1 = 0，所以x E+x F=——x0（x02+4y02）8y02x02+4y0216y02= 2x0，因此点P是EF的中点，即点P平分线段EF.。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图， 是以AB 为直径的固定的半圆弧， 是经过点A 及 上另一个定点T 的定圆，且 的圆心位于ABT 内．设P 是 的弧 TB（不含端点）上的动点，,C D 是 上的两个动点，满足：C 在线段AP 上，,C D 位于直线AB 的异侧，且CD AB ．记CDP 的外心为K ．证明：(1) 点K 在TDP 的外接圆上；(2) K 为定点． ΩωPD ABT C证明：(1) 易知PCD 为钝角，由K 为CDP 的外心知2(180)2PKD PCD ACD ．由于90APB ，CD AB ，故PBA ACD ATD ．……………10分 所以2180PTD PKD PTA ATD ACD PTA PBA ． 又,K T 位于PD 异侧，因此点K 在TDP 的外接圆上． ……………20分(2) 取 的圆心O ，过点O 作AB 的平行线l ，则l 为CD 的中垂线，点K 在直线l 上． ……………30分由,,,T D P K 共圆及KD KP ，可知K 在DTP 的平分线上，而9090DTB ATD PBA PAB PTB ，故TB 为DTP 的平分线．所以点K 在直线TB 上．显然l 与TB 相交，且l 与TB 均为定直线，故K 为定点． ……………40分 ωΩl D P OK B ATC二．（本题满分40分）正整数n 称为“好数”，如果对任意不同于n 的正整数m ，均有2222n m n m ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，这里，{}x 表示实数x 的小数部分． 证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．证明：引理：设n 是正奇数，且2模n 的阶为偶数，则n 是好数．引理的证明：反证法．假设n 不是好数，则存在异于n 的正整数m ，使得2222n m n m ．因此22n n 与22m m 写成既约分数后的分母相同．由n 为奇数知22n n 是既约分数，故2m 的最大奇因子为2n ，从而m 的最大奇因子为n ．设2t m n ，其中t 为正整数（从而m 是偶数）．于是22222m m t m n． 由22222m t n n n可得2222(mod )m t n n ，故 222(mod )m t n n ． （*）设2模n 的阶为偶数d ．由（*）及阶的基本性质得2(mod )m t n d ，故2m t n 是偶数．但2m t 是偶数，n 是奇数，矛盾．引理得证．……………20分回到原问题．设221(1,2,)k k F k ．由于1221k k F ，而k F 221k，因此2模k F 的阶为12k ，是一个偶数．对正整数l ，由221(mod )l k F 可知21(mod )l k F ，故由阶的性质推出，2模2k F 的阶被2模k F 的阶整除，从而也是偶数．因2k F 是奇数，由引理知2k F 是好数．……………30分对任意正整数,()i j i j ，211(,)(,(21)2)(,2)1i i j i i i j i F F F F F F F ，故123,,,F F F 两两互素．所以222123,,,F F F 是两两互素的合数，且均为好数． ……………40分三．（本题满分50分） 求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数129,,,x x x 满足1289x x x x +++< ，或者存在10个互不相同的蓝色的数1210,,,y y y 满足12910y y y y +++< ．解：所求的最小正整数为408．一方面，若407k =时，将1,55,56,,407 染为红色，2,3,,54 染为蓝色，此时最小的8个红数之和为1555661407++++= ，最小的9个蓝数之和为231054+++= ，故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数．对407k <，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子． 因此407k ≤不满足要求． ……………10分 另一方面，我们证明408k =具有题述性质．反证法．假设存在一种1,2,,408 的染色方法不满足要求，设R 是所有红数的集合，B 是所有蓝数的集合．将R 中的元素从小到大依次记为12,,,m r r r ，B 中的元素从小到大依次记为12,,,n b b b ，408m n +=．对于R ，或者8R ≤，或者128m r r r r +++≥ ；对于B ，或者9B ≤，或者129n b b b b +++≥ ．在1,2,,16 中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数．情形1：1,2,,16 中至少有9个蓝色的数．此时916b ≤．设区间9[1,]b 中共有t 个R 中的元素12,,,(08)t r r r t ≤< ．记12t x r r r =+++ ，则112(1)2x t t t ≥+++=+ ． 因为12912,,,,,,,t b b b r r r 是9[1,]b 中的所有正整数，故{}{}12912,,,,,,,1,2,,9t b b b r r r t =+ ．于是 12912(9)n b b b b t x ≤+++=++++- 1(9)(10)2t t x =++-． （*） ……………20分 特别地，116171362n b ≤⨯⨯=．从而9R ≥． 对任意(1)i i m t ≤≤-，由（*）知1(9)(10)2t i n r b i t t x i +≤+≤++-+．从而 811811(9)(10)2t m t t i r r r r r x t t x i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(10)(8)(8)(9)(7)22t t t t t t x =++-+---- 111(9)(10)(8)(8)(9)(7)(1)222t t t t t t t t ≤++-+----⋅+ 2819396407t t =-++≤（考虑二次函数对称轴，即知1t =时取得最大）． 又136n b ≤，这与,n m b r 中有一个为408矛盾． ……………40分情形2：1,2,,16 中至少有8个红色的数．论证类似于情形1．此时816r ≤．设区间8[1,]r 中共有s 个B 中的元素12,,,(09)s b b b s ≤< ．记1s y b b =++ ，则1(1)2y s s ≥+． 因为12128,,,,,,,s b b b r r r 是8[1,]r 中的所有正整数，故 {}{}12128,,,,,,,1,2,,8s b b b r r r s =+ ． 于是1(8)(9)2m r s s y ≤++-． 特别地，116171362m r ≤⨯⨯=．从而10B ≥． 对任意(1)i i n s ≤≤-，有1(8)(9)2s i m b r i s s y i +≤+≤++-+．从而 911911(8)(9)2s n s s i b b b b b y s s y i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(8)(9)(8)(9)(10)22s s s s y s s =-++--+--111(9)(8)(9)(8)(1)(9)(10)222s s s s s s s s ≤-++--⋅++-- 2727369395s s =-++≤（在2s =时取得最大）， 又136m r ≤，这与,n m b r 中有一个为408矛盾．由情形1、2知408k =具有题述性质．综上，所求最小正整数k 为408． ……………50分四．（本题满分50分）设4110a -=+．在20232023⨯的方格表的每个小方格中填入区间[1,]a 中的一个实数．设第i 行的总和为i x ，第i 列的总和为i y ，12023i ≤≤．求122023122023y y y x x x 的最大值（答案用含a 的式子表示）． 解：记2023n =，设方格表为(),1,ij a i j n ≤≤，122023122023y y y x x x λ= ． 第一步：改变某个ij a 的值仅改变i x 和j y ，设第i 行中除ij a 外其余1n -个数的和为A ，第j 列中除ij a 外其余1n -个数的和为B ，则jij i ij y B a x A a +=+．当A B ≥时，关于ij a 递增，此时可将ij a 调整到,a λ值不减．当A B ≤时，关于ij a 递减，此时可将ij a 调整到1,λ值不减．因此，为求λ的最大值，只需考虑每个小方格中的数均为1或a 的情况． ……………10分第二步：设{}1,,1,ij a a i j n ∈≤≤，只有有限多种可能，我们选取一组ij a 使得λ达到最大值，并且11n nij i j a ==∑∑最小．此时我们有,,1,.i j ij i j a x y a x y ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩（*） 事实上，若i j x y >，而1ij a =，则将ij a 改为a 后，行和及列和变为,i j x y ''，则11j j j i i iy y a y x x a x '+-=>'+-， 与λ达到最大矛盾，故ij a a =．若i j x y ≤，而ij a a =，则将ij a 改为1后，λ不减，且11n nij i j a ==∑∑变小，与ij a 的选取矛盾．从而（*）成立．通过交换列，可不妨设12n y y y ≤≤≤ ，这样由（∗）可知每一行中a 排在1的左边，每一行中的数从左至右单调不增．由此可知12n y y y ≥≥≥ ．因而只能12n y y y === ，故每一行中的数全都相等（全为1或全为a ）.……………20分 第三步：由第二步可知求λ的最大值，可以假定每一行中的数全相等.设有k 行全为a ,有n k -行全为1,0k n ≤≤．此时()()()n nk k n k n k ka n k ka n k na nn a λ-+-+-==． 我们只需求01,,,n λλλ 中的最大值． ()11(1)1111()(1)nn n k k n k n kk a n k a n a ka n k a k a n n a λλ++++--⎛⎫- ⎪==+ ⎪+--+⎝⎭． 因此1111(1)n k k a a k a n λλ+⎛⎫- ⎪≥⇔+≥ ⎪-+⎝⎭ 11(1)n n x x k x n-⇔+≥-+（记n x a =） 2111(1)n n x x x k x n-++++⇔≥-+ 2111n n x x x n k x -++++-⇔≤- 211(1)(1)1n n x x x x x--+++++++=+++ ． 记上式右边为y ,则211(2)1n n n n x x y x x ---+-++=+++ ． 下面证明(1010,1011)y ∈． ……………30分 首先证明1011y <．1011y < 2021202220222021101110111011x x x x ⇔+++<+++1010101210132021202210111010210101011x x x x x x ⇔+++<++++ ．由于220221x x x <<<< ，故101010101012011(1011)101110121011101222k k k x x x =-<⋅⋅<⋅⋅∑101110110k k kx +=<∑． ……………40分 再证明1010y >，等价于证明2021202200(2022)1010kk k k k x x ==->∑∑． 由于2021202100(2022)(2022)10112023k k k k x k ==->-=⨯∑∑， 20222022010101010202310102023k k x x a =<⨯<⨯∑，只需证明1011202310102023a ⨯>⨯，而410111101010a -=+<，故结论成立． 由上面的推导可知1k k λλ+≥当且仅当1010k ≤时成立，从而1011λ最大．故 2023max 101120231011(10111012)2023a aλλ+==． ……………50分。

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ）A.1027B.481C.1081D.2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33xx++=-+.令31log x t +=，则1433t t+=-，解得121,3t t =-=-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边A B 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34A D A B =,25A P A D B C =+ ，则APD ABCSS =△△ ( )A.310B.25C.715D.815解 连PD ，则25D P B C =，所以//D P B C ，故AD P B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABCAD D P AD P S S AB BC B⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）. 3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.2B.2-C.12D. 12-解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 333332f f f f ππππππ=-+=-=-=-=- 故选（B ）.4. 已知1111ABC D A B C D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1B B 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O AD M 的体积为 ( )A.724B.316C.748D.1148解 易知A C ⊥平面11D B BD ，设O 是底面A B C D 的中心，则A O ⊥平面1D O M .因为1111223S B D B M B M S O B B MB M⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M，所以113BM B M=，故113,44B M B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯⨯-⨯-⨯⨯=所以11733248V S AO =⋅=⨯=11A-O MD △DO M . 故选（C ）.5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A.521. B.27. C.13D.821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则CA C 138181(31)n k+=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2015湖北高考数学前言2015年湖北高考数学考试是湖北省普通高等学校招生考试的一部分，对于即将参加该考试的考生来说，了解该考试的内容和要求是非常重要的。

本文将对2015湖北高考数学考试进行详细介绍，包括考试科目、考试内容和考试要求等方面。

一、考试科目2015湖北高考数学考试是一个单科考试，考察学生对数学知识的掌握和运用能力。

考试时间为120分钟，总分为150分。

二、考试内容2015湖北高考数学考试的内容主要包括以下几个方面：1. 数与式•整式的加减与乘法；•一次整式的乘除（含分式）；•一次整式的因式分解；•二次整式的乘法；•二次整式的因式分解；•二次根式的运算。

2. 一元二次方程与方程组•解一元二次方程；•判断一元二次方程有无解；•根据一元二次方程的图象确定方程的解；•解一元二次方程组。

3. 平面几何•平面上的直线和角；•点与直线的位置关系；•直线和角的性质；•三角形的性质；•勾股定理的应用。

4. 空间几何和立体几何•三棱柱、三棱锥、四棱锥和三角柱的特征；•空间图形的投影；•球的表面积和体积。

5. 函数•函数的概念与表示法；•一次函数和二次函数的图象；•一次函数和二次函数的性质。

6. 统计与概率•数据的收集和整理；•数据的处理和分析；•统计指标的计算；•概率的计算与应用。

三、考试要求2015湖北高考数学考试要求考生掌握以下内容：1.掌握数与式的基本运算规则和方法；2.理解一元二次方程的概念和性质，能够解一元二次方程；3.理解平面几何和立体几何的基本概念和性质，能够应用勾股定理解题；4.理解函数的概念，能够画出一次函数和二次函数的图象，并了解其性质；5.掌握统计与概率的基本方法和计算技巧。

考生在备考阶段，需要重点掌握和理解上述内容，并通过练习题和模拟考试来提高自己的解题能力和应试技巧。

四、总结本文对2015湖北高考数学考试的科目、内容和要求进行了详细介绍。

考生在备考过程中，需要系统地复习相关知识，并加强练习和模拟考试，以提高自己的数学水平和解题能力。

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分） 1．已知函数()f x 满足：()12f =，()()()111f x f x f x ++=-对定义域内任意x 都成立．那么()2016f =__________．2．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．3．从五个正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则a b c d e ++++=__________．4．求值：π3π5π7πcos coscos cos 9999+++=__________． 5．ABC ∆中，角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，D 是BC 的中点，若4a =，AD c b =-，则ABC ∆的面积的最大值为__________．6．如果存在实数a ，使得关于x 的不等式12cos cos >+x b x a 无实数解，则实数b 的最大值为__________．7．已知质数,p q 满足5221q p -=，则p q +=__________．8．已知实数,x y 满足：23151222xy --+=，13x y+≤，8328x y -≥．那么，xy =__________．9．已知MN是边长为ABC ∆的外接圆的一条动弦，4MN =，P 为ABC ∆的边上动点，则MP PN ⋅的最大值为__________．10．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为__________．二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC ∆得三边长,,a b c （a b c ≤≤）均为整数，且满足： （1）,,a b c 构成等比数列；（2）,,a b c 中至少有一个等于100． 求符合要求的三元数组(),,a b c 的个数．12．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足条件： （1）42a b a -≤<-；（2）当1x ≤时，()1f x ≤．证明：当2x ≤时，()54f x ≥-． 13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1013f =，且对任意实数,x y ，恒有()()()()f x f y f x y f x y =++-，若数列{}n a 满足()()31n a f n f n =--，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()22438nn n a b a =-，*n N ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n S <．答案详解一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分） 1．已知函数()f x 满足：()21=f ，()()()x f x f x f -+=+111对定义域内任意x 都成立．那么()2016f =__________．【解析】由于(),21=f ，则()()()314,213,32=-=-=f f f ，又()()()x f x f x f -+=+111，则()()()()x f x f x f x f 111112-=+-++=+，所以()()()x f x f x f =+-=+214， 因此，函数()x f 是周期为4的周期函数，因而()()()4445032016f f f =+⨯=31=． 2．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．【解析】当12<<-x 时，()()31212=--+=-++x x x x ， 且()xx x x x g -+-++=+=12123333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x 33391在(]1,2--上是减函数，在[)1,1-上是增函数 ()()()2812==-<g g x g当1≥x 时，()12-++=x x x f 是增函数，所以当1≥x 时，()1233-++=x x x g 是增函数，且()()2813312=≥+=-+g x g x x当2-≤x 时，()12-++=x x x f 是减函数，所以当2-≤x 时，()1233-++=x x x g 是减函数，且()()2823312=-≥+=-+g x g x x所以不等式213328x x +-+≥的解集为(][)+∞-∞-,12,3．从五个正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则a b c d e ++++=__________．【解析】从正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和总和为()e d c b a ++++4，得到的和值构成5个数，如果得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则44,45,46,47的四个数之中必有一个数是相同的，假设相同的数是x ，则()x e d c b a ++++=++++474645444x +=182x ++⨯=2445，所以，x +2能够被4整除，又{}47,46,45,44∈x ，那么46=x ， ()22846474645444=++++=++++e d c b a ，则57=++++e d c b a4．求值：π3π5π7πcos cos cos cos 9999+++=__________． 【解析】97cos95cos93cos9cos ππππ+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=9sin 97cos 29sin 95cos 29sin 93cos29sin 9cos 29sin 21πππππππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+=96sin 98sin 94sin 96sin 92sin 94sin 92sin9sin 21ππππππππ 2198sin 9sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 5．ABC ∆中，角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，D 是BC 的中点，若4a =，AD c b =-，则ABC ∆的面积的最大值为__________． 【解析】如图，由于D 是BC 的中点，由三角形中线性质得：2222224c b BC AD +=+，即()22222244c b b c +=+-，bc bc c b 28422≥-=+，于是4≥bc ，在ABC ∆中，由余弦定理得bca cb A 2cos 222-+=bc bc bc c b 224421622-=-+=bc 122-= 222144483sin c b bc A -+-=， 设ABC ∆的面积为S , 则()14448341sin 41222222-+-==bc c b A c b S ()284312--=bc ()128431222≤--=bc S ，34≤S ，当8=bc 时等号成立，6．如果存在实数a ，使得关于x 的不等式12cos cos >+x b x a 无实数解，则实数b 的最大值为__________．【解析】使得关于x 的不等式cos cos 21a b x +>无实数解，即存在实数a 使得关于x 的不等式12cos cos ≤+x b x a 有全体实数解，即关于x 的不等式12cos cos ≤+x b x a 的解为全体实数，根据二倍角公式，01cos cos 22≤--+b x a x b ，换元得：t x =cos ，11≤≤-t当11≤≤-t 时，不等式0122≤--+b at bt 恒成立， 令()11,0122≤≤-≤--+=t b at bt t f ，则只要⎩⎨⎧≤---≤--+.012,012b a b b a b 即⎩⎨⎧≥+-≤-+.01,01b a b a 时不等式恒成立建立关于aOb 的直角坐标系， 满足不等式组的点集如图所示， 由图可知，b 的最大值为17．已知质数,p q 满足5221q p -=，则p q +=__________．【解析】根据115432--=++++q q q q q q 1，得()()1115234-=++++-q q q q q q由1225=-p q 得，2521p q =-，即()()2234211p q q q q q =++++-， 因为q p ,都是质数，1234++++q q q q 是奇数，2p 是奇数，则 当21=-q 时3=q ，由25213p =-可得11=p ，所以14=+q p ；A BCD b c当p q 21=-则p q q q q =++++1234，122222234-=++++q q q q q ，得 03222234=++++q q q q 矛盾，同理221p q =-也不成立，所以14=+q p8．已知实数,x y 满足：23151222xy --+=，13x y+≤，8328x y -≥．那么，xy =__________．【解析】由2122132=+--yx5，得2513213222221yx y x -++---⨯≥+=5所以0753≤-+y x ，8328≥-y x ，353222+≥y x ， 所以0556≥--y x ， 又2122132=+--y x 5x 322-≥,1≥x ， 2122132=+--yx5y 5-≥12，52≥y 联立得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥--≤-+52,1,31,0556,0753y x y x y x y x 画出满足上面不等式组图象如下， 故只有点⎪⎭⎫⎝⎛53,34A 满足条件，所以54=xy9．已知MN 是边长为ABC ∆的外接圆的一条动弦，4MN =，P 为ABC ∆的边上动点，则MP PN ⋅的最大值为__________．【解析】如图，设Q 是线段MN 的中点，由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得： ()2222442+=+PQ PN PM82222+=+PQ PN PM 由=+，得2222=⋅++， 4442≤-=-=⋅，0=时，即点P 与Q 重合时，⋅取得最大值4．10．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为__________．BACMNPQ【解析】设1187≥=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x x ，则r m x +=7，70<≤r ，18-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x ，所以m xm <≤-81，m x m 888<≤-，所以，m r m m 8788<+≤- r m r +≤<8，70<≤r ，151<≤m当71≤≤m 时，解为r m x +=7，1,,2,1,0-=m r 当148≤≤m 时，解为r m x +=7，6,,7,8 --=m m r 当14=m ，68=-=m r 成立，所以1046147=+⨯=x ． 二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC ∆得三边长,,a b c （a b c ≤≤）均为整数，且满足： （1）,,a b c 构成等比数列；（2）,,a b c 中至少有一个等于100． 求符合要求的三元数组(),,a b c 的个数．12．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足条件： （1）42a b a -≤<-；（2）当1x ≤时，()1f x ≤．证明：当2x ≤时，()54f x ≥-． 13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1013f =，且对任意实数,x y ，恒有()()()()f x f y f x y f x y =++-，若数列{}n a 满足()()31n a f n f n =--，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()22438nn n a b a =-，*n N ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n S <．。

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分 所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。