概率统计-条件概率共23页文档

則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：

§1.4 条件概率
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)

答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设

则 B1, B2, B3 是样本空间 的一个划分,
且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05,
P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
P( AC) 1 P( AC) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由貝葉斯公式得所求概率為
P(C A)
P( AC)P(C)
P( AC)P(C) P( AC)P(C)
0.087.
即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人 患有癌症.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的
概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是 次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.
證明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
引例4：一班與二班各有40人分班上課，其中一班有 20名女生，二班有18名女生。現從兩個班中 任選一名學生，假設每人被選到的可能性相 同，每班被選到的可能性也相同。已知選到 了一名女生，問她來自一班的可能性是多少？
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t

（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)

在机器学习中的应用
01
分类器设例如，朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一，它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中，条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如，基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中，条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如，Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词：直观理解
详细描述：通过抛硬币实验，理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的，那么正 面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下，下一次抛掷 仍然是正面朝上的概率仍然是0.5，即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的 两个重要公式，全概率公式用于计算一 个事件的概率，而贝叶斯公式则用于更 新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干 个互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式则 是在已知先验概率和新信息的情况下，更 新一个事件的概率。这两个公式在统计学 、机器学习和数据分析等领域有着广泛的 应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解 析：出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种，其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。

-
14
设 A1,A2,,An 满足上面的两S 条件，则 对任何事件 B 有
B B S B ( A 1 U A 2 U L U A n ) B A 1 U B A 2 U U B A n
于是 P (B ) P (B A 1 U B A 2 U U B A n )
P (B A 1 ) P (B A 2 ) P (B A n )
“点落在圆形区域B内”，
在已知事件A发生的条件下 事件B 发生的条件概率为
A
AB B
S
p B
A
AB的 面 积 A的 面 积
AB的 面 积 A的 面 积 S的 面 积
S的 面 积
p AB pA .
-
3
条件概率 P ( • A ) 的性质
（1）非负性 对任意事件B，有 pBA0;
（2）规范性 对必然事件 S ，有 pS A 1;
-
12
2.2 全概率公式
如何将一个复杂概率计算问 题分解为简单计算问题之和
设 S 为样本空间，若事件 A1,A2,,An满足：
A1,A2,,An 两两不相容，即
A iA j ( i j,i,j 1 ,2 ,,n ) 通常要求
A 1 U A 2 U U A n S ( 或 A 1 U A 2 U P U (A A i)n 0 B ,) i1,2,,n
解 设Ai表示事件“任取的1件产品是第i组生生产的” (i=1,2,3,4)，B表示“任取的1件产品是次品”.
P A1 0 .1 5 ,
P B A1 0 .0 5 ,
P A 2 0 .2 0 ,
P B A 2 0 .0 4 ,
P A 3 0 .3 0 ,
P B A 3 0 .0 3,

THANKS
感谢观看
语言模型
在自然语言处理中，语言模型是非常重要的组成 部分，而贝叶斯定理可以在语言模型中发挥重要 作用，例如在n-gram模型中计算词的概率。
05
条件概率在统计学中地位和作用
条件概率在假设检验中作用
1 2 3
确定原假设和备择假设
基于条件概率，可以明确假设检验中的原假设和 备择假设，进而构建检验统计量。
相关性分析应用
相关性分析在信号处理中广泛应 用于噪声抑制、信号检测、模式 识别等领域。例如，在语音识别 中，通过对语音信号进行相关性 分析，可以提取出语音特征参数 用于识别不同的语音内容。
04
贝叶斯定理及其应用
贝叶斯定理基本形式
条件概率公式
$P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)$
相互独立的事件之间不具有相互影响，因此一个事件的发生 不会改变另一个事件的发生概率。但是需要注意的是，独立 事件和互斥事件是不同的概念，互斥事件不能同时发生，但 独立事件可以。
条件概率计算方法
条件概率的计算方法主要有两种：一种是利用条件概率的 定义直接计算，即P(A|B)=P(AB)/P(B)；另一种是利用全概 率公式进行计算，特别适用于事件B可以划分为多个互斥事 件的并集的情况。
。条件概率在泊松过程中用于描述在已知某个事件发生的情况下，其他
事件发生的概率。
03
布朗运动
布朗运动是一种连续时间的随机过程，用于描述微粒在液体或气体中的
无规则运动。条件概率在布朗运动中用于描述微粒在未来某个时刻的位
置分布。
03
多元随机变量条件概率
多元随机变量联合分布
联合分布函数定义
对于多元随机变量$(X_1, X_2, ..., X_n)$，其联合分布函数$F(x_1, x_2, ..., x_n)$描述了随 机变量取值小于等于$(x_1, x_2, ..., x_n)$的概率。