第七章度量空间解析

第七章 习题解答1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？解 不一定。

例如离散空间（X ，d ）。

)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。

因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

证明 （1）若),(g f d =0，则)()(1)()(max)()()()(t g t ft g t f r r r r bt a -+-≤≤=0，即f=g（2）)()(1)()(max 21),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞=∑=d （f ，g ）+d （g ，h ）因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞=1。

证明 令n n n o n nB x d Bo o .2,1},1),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1),(10<。

设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。

若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1),(1<，因此)(∞−→−−→−n x x n 。

因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞=1。

4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明),(1),(),(___y x d y x d y x d +=是X 上的距离。

第7章空间数据查询与空间度量对空间对象进行查询和度量是地理信息系统最基本的功能之一。

在地理信息系统中，为进行深层次分析，往往需要查询定位空间对象，并用一些简单的量测值对地理分布或现象进行描述，实际上，空间分析首先始于空间数据查询和度量，它是空间分析的定量基础。

本章一方面对空间数据查询类型和方式进行了介绍，包括图形属性、图形定位以及空间关系查询；另一方面讲述了空间度量的主要参数和基本原理，如使用长度、面积、体积、距离、方位、形状和质心等量测值对地理分布或现象进行描述。

7.1空间数据查询概述空间数据查询属于空间数据库的范畴，一般定义为从空间数据库中找出所有满足属性约束条件和空间约束条件的地理对象。

查询的过程大致可分为三类：①直接复原数据库中的数据及所含信息，来回答人们提出的一些比较“简单”的问题；②通过一些逻辑运算完成一定约束条件下的查询；③根据数据库中现有的数据模型，进行有机的组合构造出复合模型，模拟现实世界的一些系统和现象的结构、功能，来回答一些“复杂”的问题，预测一些事务的发生、发展的动态趋势。

空间数据查询的一般过程如图7.1。

图7.1 空间数据查询的一般过程空间数据查询的方式主要有两大类，即“属性查图形”和“图形查属性”。

属性查图形，主要是用SQL语句来进行简单和复杂的条件查询。

如在中国经济区划图上查找人均年收入大于5000元人民币的城市，将符合条件的城市的属性与图形关联，然后在经济区划图上高亮度显示给用户。

图形查属性，可以通过点、矩形、圆和多边形等图形来查询所选空间对象的属性，也可以查找空间对象的几何参数，如两点间的距离，线状地物的长度，面状地物的面积等，这些功能一般的地理信息系统软件都会提供。

在实际应用中，查找地物的空间拓扑关系非常重要，现在一些地理信息系统软件也提供这些功能。

空间数据查询的内容很多，可以查询空间对象的属性，空间位置，空间分布，几何特征，以及和其他空间对象的空间关系。

查询的结果可以通过多种方式显示给用户，如高亮度显示，属性列表和统计图标等。

度量空间完备的定义1.引言在数学中，特别是在拓扑学和实分析中，度量空间是一个非常重要的概念。

它提供了一个衡量空间中两点之间距离的方法，从而可以量化地描述空间的结构和性质。

完备的度量空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在黎曼几何、调和分析、微分方程等领域。

理解度量空间的完备性是深入理解许多数学概念和技巧的关键。

2.度量空间的定义首先，我们需要了解什么是度量空间。

一个度量空间是一个有序对(X, d)，其中 X 是一个集合，d 是 X 中的一种度量，也就是一个使得对于任意 x, y 属于 X 的函数 d(x, y) 非负、等于零当且仅当 x=y、以及 d(x, y)=d(y, x)（对称性）和 d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)（三角不等式）的函数。

在实数集上常用的欧几里得距离就是一种度量。

3.完备性的定义在度量空间中，完备性是一个重要的性质。

一个度量空间是完备的，如果它满足任何一个柯西序列（即，对于任意小的正数ε，存在一个正整数 N，使得对于所有的 n>N 和m>N，有d(xn, xm)<ε）都收敛于这个度量空间中的某个点。

简单来说，一个完备的度量空间意味着所有的柯西序列都有极限。

4.度量空间完备性的判定在实际应用中，我们需要判断一个给定的度量空间是否完备。

一个常用的方法是使用柯西序列的极限性质。

如果对于任意的柯西序列，都存在一个唯一的点x，使得该序列收敛于x，那么这个度量空间就是完备的。

此外，还可以通过其他一些性质来判断一个度量空间的完备性，例如闭性和完备性的等价性等。

5.完备度量空间的性质在数学分析中，我们常常用到一些性质来描述完备的度量空间。

这些性质包括：完备的度量空间是闭的；完备的度量空间是紧致的；完备的度量空间是连通的；完备的度量空间具有有限的可数稠密性等。

这些性质对于理解和应用度量空间的完备性非常有帮助。

6.完备度量空间的应用在许多数学分支和应用领域中，都涉及到度量空间的完备性。

度量空间与完备度量空间的基本性质度量空间是数学中一种常见且重要的概念，它为我们研究空间中的距离和收敛性提供了数学工具。

在度量空间的基础上，还衍生出了完备度量空间这一概念，它具有更强的完备性质。

本文将介绍度量空间与完备度量空间的基本性质，并探讨它们在数学分析中的应用。

一、度量空间的基本性质度量空间是一种集合，其中每个元素都与其他元素之间存在一种（非负）距离关系。

设X为非空集合，d为X上的度量（距离）函数，若满足以下四个条件，即称(X,d)为一个度量空间：1. 非负性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，有d(x,y) = 0；2. 同一性：对于任意x, y∈X，有d(x,y) = d(y,x)；3. 对称性：对于任意x, y, z∈X，有d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)（三角不等式）；4. 三角不等式：对于任意x, y∈X，有d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)。

基于以上性质，我们可以推导出诸多重要结论，例如嵌套定理、开覆盖定理等，这些定理在实际问题的分析和求解中具有重要应用。

二、完备度量空间的基本性质在度量空间的基础上，完备度量空间引入了“序列收敛性”的概念。

设(X,d)为一个度量空间，如果X中的任意柯西序列都在X中收敛，则称(X,d)为一个完备度量空间。

柯西序列是指对于任意ε > 0，存在自然数N，使得当m, n > N时，有d(xm, xn) < ε。

它反映了序列中元素之间逐渐趋近的特性。

若在柯西序列的度量空间中存在极限元素，即序列中的所有项无限接近该极限元素，则说明该度量空间是完备的。

完备度量空间的重要性质有：1. 完备度量空间是闭集：对于给定的完备度量空间(X,d)，如果一个集合是某个闭集的子集，则该集合也是完备度量空间。

2. 内积空间和赋范空间是完备度量空间的特例：内积空间和赋范空间是更加特殊的度量空间，它们都是完备度量空间。

泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。

若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）；（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ）则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。

称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。

根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。

二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法：1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞=0，则称点列{}n x是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。

2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。

即若n x M ∈，n=1、，2……，n x x →，则x M ∈。

给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间nR 是可分空间，坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。

l ∞是不可分空间。

三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法：1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有(,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。

泛函分析单元知识总结与知识应用一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间 §1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:dX X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。

例：1、nn x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。

2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f→⇔⇒（依测度）稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

度量空间与完备性的概念在数学中，度量空间是一种常见的数学结构，它具有一种度量函数，用于测量集合中的元素之间的距离。

而完备性是度量空间中的一个重要性质，它表明该空间中任意柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。

本文将介绍度量空间与完备性的概念，探讨其特性和应用。

一、度量空间的定义度量空间是一个集合X，其中带有一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1. 非负性：对任意x,y∈X，都有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2. 对称性：对任意x,y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3. 三角不等式：对任意x,y,z∈X，有d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。

二、完备性的定义在度量空间中，如果对于任何柯西序列{xn}⊆X，都存在一个元素x∈X，使得当n趋向于无穷时，d(x,xn)趋向于0，则称这个度量空间是完备的。

三、完备性的性质1. 完备性的等价定义：度量空间X是完备的，当且仅当每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素。

在度量空间中，柯西序列是指一个序列{xn}，对任意ε>0，存在一个正整数N，当n,m>N时，有d(xn,xm)<ε。

2. 完备性的保持：完备性是度量空间的一个重要性质，而一个完备度量空间的闭子集也是完备的。

即如果度量空间X是完备的，Y是X的闭子集，则Y也是完备的。

3. 完备度量空间的例子：实数集R是一个完备的度量空间，而有理数集Q不是完备的度量空间。

四、完备性的应用1. 定义一致收敛：在函数分析中，完备性的概念常常用于定义一致收敛。

如果在度量空间X上有一列函数{fn}，对于任意ε>0，存在一个正整数N，当n>N时，对所有的x∈X，都有d(f(x),fn(x))<ε，则称该列函数在X上一致收敛。

2. 构造完备空间：通过将某个度量空间中的柯西序列等价类引入，可以构造一个完备空间。

例如，利用有理数集Q上的柯西序列等价类，可以构造实数集R，而实数集就是一个完备空间。

函数论中的度量空间理论解析前言度量空间理论是函数论的基础，它为函数的收敛性、连续性和一致收敛性等概念提供了严格的数学定义和分析工具。

度量空间理论在函数论中的应用非常广泛，它不仅可以用来证明函数的各种性质，还可以用来构造新的函数空间并研究函数空间的结构。

度量空间的概念度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，使得对于任意x, y, z∈X，都有以下性质：1.非负性：d(x, y) ≥ 0，并且d(x, y) = 0当且仅当x = y。

2.对称性：d(x, y) = d(y, x)。

3.三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。

函数空间的度量在函数论中，度量空间通常是函数空间。

函数空间是一个集合X，其中元素是定义在某个集合上的函数。

对于函数空间，度量函数通常是函数之间的距离，例如：1.最大范数：对于定义在[a, b]上的连续函数f和g，最大范数定义为：d(f,g)=maxx∈[a,b]|f(x)−g(x)|2.平方可积范数：对于定义在[a, b]上的平方可积函数f和g，平方可积范数定义为：d(f,g)=(∫|f(x)−g(x)|2ba dx)1/2函数的收敛性在函数论中，函数的收敛性是一个重要的概念。

函数的收敛性是指函数序列{fn}在某个度量空间中收敛到某个函数f。

函数的收敛性有以下几种类型：1.点收敛：对于任意x∈X，都有limn→∞ fn(x) = f(x)。

2.一致收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x∈X，都有|fn(x) - f(x)| < ε。

3.均匀收敛：对于任意ε>0，存在N∈N，使得对于任意n≥N和任意x, y∈X，都有|fn(x) - fn(y)| < ε。

函数的连续性函数的连续性也是函数论中的一个重要概念。

函数的连续性是指函数在某个点的邻域内是连续的。

函数的连续性有以下几种类型：1.点连续：对于任意x∈X，存在δ>0，使得对于任意y∈X，如果|x - y| < δ，则有|f(x) - f(y)| < ε。