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122科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N动力与电气工程电磁学的基本内容之一就是对于均匀带电体的场强和电势的计算,电磁学的相关书中均有详细的介绍[1～4]。
然而对于均匀带电体中某些特殊点的场强与电势的问题却没有详细地讨论,而关于这些特殊点的场强与电势的理解又是非常重要的。
本文通过均匀带电体的电势与场强的求解过程来讨论这些特殊点的场强与电势。
1 均匀带电体的场强与电势将均匀带电体分割成无数多个电荷元dq,每一个电荷元dq可以看作一点电荷,点电荷在空间某点P产生的场强dE和电势dU 分别为:0204dq dE r r和04dq dU r 。
其中0r为电荷元dq到P点的矢径 r方向的单位矢量。
根据场强叠加原理和电势叠加原理,整个带电体在P点产生的总场强和总电势分别为:0204VVdqE dE r r和04V dq U dU r 。
若电荷连续分布在一体积内,用ρ表示电荷体密度,则式中dq dV ;若电荷连续分布在一曲面或平面上,用σ表示电荷面密度,则dq ds ;若电荷连续分布在一曲线或直线上,用λ表示电荷线密度,则dq dl 。
相应地计算总场强E和总电势 U 的积分分别为体积分、面积分和线积分。
2 均匀带电圆环和圆盘轴线上的场强真空中一均匀带电圆环,环半径为R,带电量q,圆环轴线上任一点P的场强。
首先取环的轴线为坐标x轴,轴上P点与环心的距离为x 。
在圆环上取线元d l ,它与P 点的距离为r ,如图1所示,则:2qdq dl dl R。
dq 在P点产生的场强dE 的方向如图,大小为204dl dE r 。
dE 与x轴平行的分量://20cos 4dl dE r 。
dE 与x轴垂直的分量:20sin 4dldE r 。
根据对称性可知,带电圆环上在同一直径两端取相等的电荷元在P点产生的场强垂直于x轴方向的分量相互抵消,所以P点的总场强方向沿x轴正向,即:23/22230220000cos 4444R L L L dl dl x x qxE dE dl r r r r R x 当0q 时,E沿x轴离开原点O的方向;当0q 时,E沿x轴指向原点O的方向。
带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通226006）在高三物理复习教学中， 遇到带电体的内、 外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、 电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“ E r ”和“ r ”的关系曲线图，供大家参考。
本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境 中，即相对介电常数．．．．0 1 ； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即U 0 。
1、 带电的导体球： 因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金 属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。
电场分布：1.1.1 内部（ r <R ）：如图（ 1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点 P 处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面 S 1和 S 2 ，当两条线夹角 很小时， S 1和 S 2可以近似看作两个带电圆面，且S 1 和 S 2 两个面的尺寸相对它们距离P 点距离很小，这样 S 1 和 S 2 两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P 点各自产生电场强度E 1P 与 E 2P ，计算如下所示：设球体带电总量为Q ，且均匀分别在导体球外表面上Q(rsin r )12?∵ E 1P K4 R 21K Q sin22r O4R 21θPr 2且E 1P与 E 2 P等大反向∴ E P 0 ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。
1.1.2 外部（ r >R ）：如图（ 2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部 P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面 ds ，将每个单元面上电荷在 P 点产生的电场 dE 进行叠加，求出 P 点的合场强 E P 。
均匀带电圆盘转动下的磁场分布西南交通大学机械工程学院20090994 朱鹏飞[摘要]文章通过麦克斯韦方程导出电磁辐射公式在圆盘上任取一个带电小圆环小圆环转动形成电流电流产生电磁场利用场强叠加原理得整个带电环产生的电磁场再计算整个圆盘绕对称轴匀速转动产生的电磁场并进行适当的讨论，在此基础上增加了数字模拟下的均匀带电圆盘转动下的磁场立体分布，并加以讨论。
[关键词]均匀带电圆盘麦克斯韦方程推迟势磁感应强度引言人们在生活和生产中利用圆盘转动数不胜数，这些圆盘一旦带上电后就成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电流，电流激电磁场.这种情况可看作若干环形线电荷所激发的电徽场的叠加，这是电磁学中的一个较重要的问题。
本文采用矢势对其进行求解.先通过麦克斯韦方程，达朗贝尔方程和洛伦兹变换条件推导出了载流圆盘周围空间的磁场分布完整的解析表达式。
进而求解转动带电圆盘的磁场，并对结果讲行讨论.1原理和公式的推导1.1波动方程绕对称轴转动在均匀带电圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程组在真空中,取(1)式第一式的旋度并利用第二式及得:同样在(1)中消除电场，可得磁场的偏微分方程:1. 2电磁场的矢势和标势在恒定场中，由的无源性引入矢势使:在变化情况下电场与磁场发生直接关系。
因而电场的表达式必然包含矢势在内，把(4)代入(1)第一式得:该式表示是无旋场，因此它可以用标势描述因此，一般情况下电场的表达式为:1. 3达朗贝尔方程及求解现在由麦克斯韦方程组推导矢势和所满足的基本方程，把(4)和(5)代入(1)中第二式和第三式并应用得:采用洛伦兹规范由(6)和(7)式得:用洛伦兹规范时，和的方程具有相同形式，其意义也特别明显。
方程（8）称为达朗贝尔方程，它是非齐次的波动方程，其自由项为电流密度和电荷密度。
由(8)式，电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。
离开电荷电流分布区域后，矢势和标势都以波动形式在空间中传播，由它们导出的电磁场和也以波动形式在空间中传播.对(8)式进行求解得2匀速转动时的空间磁场2.1推导矢势表达式设圆盘在xoy平面，对称轴为z轴，转动的角速度恒定不变，圆盘(厚度不计)均匀带电，电量为Q，圆盘半径为a，则电荷密度图1薄圆盘匀速转动时的空间电磁场在圆盘上任取一细圆环，设圆环的半径r'宽度为dr'，则由于圆环转动时产生的电流为：由定义可知，沿闭合回路流动的电流I在r点产生的矢势为：对圆环电流I来说，由于对称性，在以Z轴为中心的周围(圆周Z=常数的平面内)上.任何一点，的大小A都应相同.因此，A应与方位角无关，为方便，我们求=0处点的，如图所示，电流元的线元为：电流元到P点的距离为：式中为和之间的夹角。
如右图所示，两个相同的细圆环带有等量异种电荷，相隔一定距离同轴平行固定放置，O 1、O 2分别为两环圆心，一带正电的粒子从很远处沿水平轴线飞来并顺次穿过两环。
若粒子只受电场力作用，则在粒子运动过程中（）A．在O 1点粒子的加速度方向向左B．从O 1到O 2的过程，粒子电势能一直增大C．轴线上O 1点右侧存在一点，粒子在该点动能最小D．轴线上O 1点右侧、O 2点左侧都存在合场强为零的点，且它们关于O 1、O 2连线中点对称ACDA、在O 1点时，右环上电荷由于关于O 1对称，所以其在O 1产生的电场强度为0，而-Q 各点在O 1产生的场强水平向左，故+q在O 1点所受电场力方向向左，故加速度的方向水平向左，故A正确．B、在+q从O 1向O 2运动的过程中+Q对+q的电场力向左，-Q对+q的作用力方向也向左，故电场力对+q始终做正功，故+q的电势能一直减小．故B错误．C、在O 1右侧+Q对+q始终是斥力对+q做负功，在O 1左侧+Q对+q始终是斥力对+q 做正功，而从无穷远向-Q运动的整个过程中-Q始终对+q做正功，故在整个过程中+q在O 1的动能最小．故C正确．D、根据E=可知在O 1右侧+Q产生的场强的先增大后减小且一直减小到0，而-Q的场强大多数情况下小于+Q产生的电场但场强却不会为0，故合场强为0的位置应该在O 1的右侧，同理O 2的左侧也有场强为0的位置，且它们关于O 1、O 2连线中点对称，故D正确．故选ACD．如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L，试求P点的场强。
分析与解：设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看做点电荷。
其所带电荷量为，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为：由对称性可知，各小段带电环在P处的场强E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E的轴向分量之和即为带电环在P处的场强。
如图所示,A、B为两个均匀带电细圆环,带电荷量分别为+Q和-Q,圆环半径均为R,圆心分别为O和O。
绕对称轴转动的均匀带电圆盘的磁场分布机械茅班 杨婧 20091018摘 要：薄圆盘实现生活中高度对称的一类物体，应用广泛。
摩擦等一些方式使其带电，成为绕对称轴转动的均匀带电圆盘，由于转动产生电磁场，当带电量足够大和变速转动时的角加速度又比较大时，则产生的电磁辐射场将会干扰周围无线电接收机的正常工作，分析绕对称轴转动的均匀带电圆盘具有一定的现实意义。
本文从研究圆环电流出发，在圆盘上任取一个带电小圆环，小圆环转动形成电流，电流产生磁场，利用场强叠加原理得整个带电圆盘的电磁场。
关键词：匀速转动，麦克斯韦方程，推迟势，磁场强度一．推迟势的推导绕对称轴转动的均匀带电薄圆盘的电磁辐射场应满足麦克斯韦方程： (1)22220220221E E-()C 1J t tBB JC t ρμεμ∂∂∇=∇+∂∂∂∇-=∇⨯∂用矢势和标势为： （2）B AA E t ϕ=∇⨯∂=-∇-∂矢势和标势满足达朗贝方程和洛伦兹变换条件，于是（1）式得 （3）220222222021-C 110AA Jt C t A C t μϕρϕεϕ∂∇=-∂∂∇-=-∂∂∇+=∂方程（3）的解为： （4） ()()'0'0,,4,1,4r J r t c A r t dv rr r t c r t dv r μπρϕπε⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰二．匀速转动时的磁场如图1所示，设圆盘在xoy 平面内，对称轴为z 轴，转动的角速度w 不变薄圆盘（厚度不计）均匀带电，电量为Q ，圆盘半径为R ，则电荷密度2Q R ρπ=.图1 薄圆盘匀速转动时的空间磁场在圆盘上任取一个细圆环，设圆环的半径为i R ，宽度为i dR ，则由于圆环转动时产生的电流为222i iQwR I dR R ππ=在圆环上任取一线元dl ，则 （5）()()3''''22[sin cos ]i i x y nQwR dR Idl e wt d wt e wt d wt R π=-+把（5）式代入（4）式得 （6） ()()()()''2''''12'0022011,[sin cos ],44i x y J r t QwR e wt d wt e wt d wt d A r t dv r R r πμμπππ-+==⎰⎰由叠加原理，（6）式得 （7）()()()2''''2022'22[sin cos ],2sin cos 4i x y a i i R e wt d wt e wt d wt QwA r t R r R r wt Rπμθπ-+=+-⎰⎰由于1i r i wR we e c c <<<<，得（8）'1i r R r rt t t t c c c -=-=-≈-利用幂级数()()23021!!11131351...1224246(2)!!1n n n x x x xn x ∞=-⋅⋅⋅=++++=-⋅⋅⋅-∑ 1x <（7）式的分母利用幂级数展开，同时设P 点在中远区，r>>Ri 级数只取二级近似值 （9）'22'111sin cos 2sin cos i i i R wt r r R r R r wt θθ⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭+-把（8）式和（9）式代入（7）式积分得()()()()()32022,[sin cos ]1sin cos 4R ii r y QwR R A r t e kr wt e kr wt kr wt d kr wt Rrr πμθπ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰20sin 0sin 221616yQwR QwR e e r r θθθμμππ== 其中ye e θ=，P 点选在Q=0上，由（2）式得，磁感强度为（10）()()()22002223,,sin 2cos sin 1616r QwR QwR B r t A r t Qe e e r r θθμμθθππ=∇⨯=∇⨯=+根据球坐标与直角坐标的关系：2222r x y z =++sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin r x y z x y x y z e e e e e e e e e e e ϕθθϕθϕθϕϕθϕθϕθ=++=-+=+-可求得均匀带电圆盘在yoz 平面内的磁感强度：()()()20322222203222222222223sin cos 162cossin 16cos sin y yz zQwR B e y zQwR B e y zzx y z x y x y z μθθπμθθπθθ=+=-+=+++=++（x=0)三．结果分析根据推导所得公式，利用物理数字平台模拟绕对称轴匀速转动的均匀带电圆盘的磁场分布情况，更加直观地得出圆盘周围磁场的变化规律。
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布电场理论是物理学中非常重要的一部分，而均匀带电细圆环是电场问题中的经典模型之一。
具体到这个问题本身，我们需要关注的是该圆环在空间中的电势和电场强度的分布规律。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以更好地理解电荷和电场之间的相互作用规律，从而探求物质世界中微观粒子行为的奥秘。
我们来分析均匀带电细圆环的电势分布。
在距离圆环轴线的位置点上，圆环的电势可以表示为：\[V =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qR^2}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\]其中，\(V\) 表示电势，\(\epsilon_0\) 是真空介电常数，\(q\) 是圆环上的电荷量，\(R\) 是圆环的半径，\(z\) 是观察点到圆环轴线的距离。
从这个公式可以看出，均匀带电细圆环的电势分布与观察点到圆环轴线的距离 \(z\) 有关。
当 \(z\) 较小时，电势随之而增加；当 \(z\) 较大时，电势则呈现迅速衰减的趋势。
这种分布规律反映了电场在空间中的分布特点。
我们还可以推导出圆环中心的电势为零，这与电势的参考点选取有关。
接下来，我们来看均匀带电细圆环的电场强度分布。
在圆环轴线上某一点的电场强度大小可以表示为：\[E =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2qz}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}\]这个公式告诉我们，均匀带电细圆环的电场强度与电荷量 \(q\)、观察点到圆环轴线的距离 \(z\) 以及圆环半径 \(R\) 相关。
当观察点距离轴线较近时，电场强度随之增大；而当距离较远时，电场强度则迅速减小至零。
这种分布规律与电场中极化电荷的排列方式密切相关，能够帮助我们更好地认识电场的物理本质。
均匀带电细圆环的电势和电场强度的空间分布呈现出一种随距离变化的规律。
在靠近圆环轴线的位置，电势和电场强度都具有较大的数值；而随着观察点与圆环的距离增加，电势和电场强度会逐渐减小。
带电细圆环以及薄圆盘的空间电场分布孝义市第五中学:蔺金林摘要: 先介绍电位的两种计算方法，一种是用点电荷的电位分布来计算电位（参考点在无穷远时），一种是用电位与场强的积分关系式来计算电位.然后用两种不同的方法求出均匀带电薄圆盘轴线上的电位和电场.根据点电荷电势和电场的叠加原理，导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，再用叠加法推广到均匀带电圆盘周围空间的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,由点电荷在空间激发电场的电位公式，用两种方法，一种是线电荷元分割法，一种是面电荷元分割法，求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.关键词：均匀带电圆环；均匀带电圆盘；电场；电位The Space Distribution Of Electric Field Of Charged Thin RingAs Well As Thin DiscABSTRACT:In this paper, we first introduce two computational methods of the electric potential, one kind is that calculating the electric potential with the point charges’ potential distribution (reference point is in infinite distance), another one is that calculating the electric potential with the electric potential and the field intensity integral relationship. Then extract the spool thread on the even charged thin disc with two different methods. According to the principle of superposition of electric potential and the electric field of the point charges, derive the progression expression of the electric potential and the electric field on the even charged thin ring, again we will use the method of superposition to promote the space distribution of electric field (Divide the even charged thin disc to many a concentric charged rings. Extract first the electric potential spatial distribution no matter where on a charged ring. Again carry on the superposition. From the formula of electric potential stirred up by a point charge, we deduce the space distribution of a uniform charged disc’s electric potential with two methods. One kind is the line charge method, one kind is the surface charge method).KEYWORDS:Even charged ring；Even charged disc；Electric field；Electric potential目录引言 (1)1电位的计算 (2)1.1电位的两种计算方法 (2)1.2均匀带电圆盘轴线上电位 (2)2均匀带电细圆环的电场 (5)2.1均匀带电细圆环的电势 (5)2.2均匀带电细圆环的电场 (6)2.3均匀带电细圆环电场、电势的讨论 (7)3均匀带电薄圆盘的电势 (8)3.1均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法） (8)3.2均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法） (11)总结 (12)参考文献 (13)引言各种带电体周围空间电场的解是电磁学中经常碰到的问题,其中均匀带电细圆环以及薄圆盘电场的空间分布是一个非常棘手的问题.本文将先讨论均匀带电细圆环空间电场的解,再用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布.对于均匀带电细圆环周围空间电场的解,近年来,已有文献在用积分方程表示电场解的同时,还用计算机对其进行了数值计算.然而,寻找更易于理解的数学表达式,常常是我们问及,也是我们非常关心的问题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势与电场的关系得出其电场强度的级数解.均匀细圆环的静电势,由于物理图象清晰,计算简单,在数学物理方法及电动力学教材中多有讨论.在此基础上,很自然地就会要讨论到均匀带电薄圆盘的静电势问题.事实上,在Morse和Feshbach所著的Method of Theoretical Physics[1]一书中就可以找到这个问题.目前,在一些教材中也有所讨论,或者把它列为习题[2-6].但是,这个问题,形似简单,实际上涉及数学物理方法中的一些基本理论,在一些教材中似乎讨论的不够充分,而且不能简单地把无穷多个细圆环叠加起来,就能得到正确的结果.本文将做尽可能详细的分析,并用一种简单而又容易理解的叠加法（在球坐标系中）求出其正确的结果.在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本文由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.1 电位的计算1.1 电位的两种计算方法当电荷分布已知时，可用如下两种方法计算电位.1、用点电荷的电位公式20044p p p r pQ dr Q U d r r πεπε∞∞=⋅==⎰⎰E l (1.1.1) 计算电位.式中p r 是场点p 与点电荷Q 的距离.接下来我们对电位的计算就用此公式.由场强的迭加原理[7]不难证明电位的迭加原理：n 个点电荷在某点产生的电位等于每个点电荷单独存在时在该点产生的电位的代数和.把激发电场的电荷分为许多点电荷，利用点电荷的电位公式(1.1.1)及电位叠加原理便可求得场中各点的电位.当电荷按体密度ρ连续分布时，可把带电区域分为无限多个无限小体元d τ，其对场点p 贡献的元电位按式(1.1.1)为04d dU rρτπε= (1.1.2) r 是d τ与场点p 的距离.整个带电区域在p 点激发的电位为014d U rρτπε=⎰⎰⎰ (1.1.3) 积分遍及整个带电体积.类似地，当电荷按面密度σ连续分布于某曲面上时，电位公式为014ds U rσπε=⎰⎰ (1.1.4) 积分遍及整个带电曲面.应该注意式(1.1.1)，因而式(1.1.3)及(1.1.4)只对参考点在无限远的情况成立.因此，当参考点不在无限远时，就不宜使用这种方法.2、用电位与场强的积分关系式计算电位使用这种方法时，首先应在欲求电位的点p 与参考点0p 间选择一条适当的曲线，并根据电荷分布求出线上各点场强.由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选择一条最便于计算的曲线.1.2 均匀带电圆盘轴线上电位均匀带电圆盘轴线上电位.已知圆盘半径为R ，电荷面密度为σ，参考点在无限远.如下图因参考点在无限远，故可用式(1.1.1)作积分(第一种方法),用极坐标的方法把圆平面分成许多面元,坐标为r ,ϕ的面元的面积为dS rd dr ϕ= (1.2.1)其电量为dq dS rd dr σσϕ==按式(1.1.1)它在轴线上一点p 贡献的电位为dU = (1.2.2) 整个圆盘在p 点贡献的电位为200004)2R U d z πσϕπεσε===⎰⎰⎰⎰ (1.2.3) 其中z 是p 点与圆盘的绝对距离(不论p 点在圆盘的左侧还是右侧,z 恒取正)电位沿圆盘轴线的分布如图(1.2.2)曲线所示,这是一条连续曲线(包括盘心O 点在内).这就说明，虽然场强在带电圆盘面发生突变（一面两侧的场强虽然数值相同，但反向相反，故为突变），但电位在面上却是连续的.也可用第二种方法求解，为zz此可选圆盘轴线为积分路径.可按照点电荷场强公式，它在轴上一点P 贡献的场强（大小）为204rd dr dE lσϕπε= 其中l 是半扇形到点P 的距离.由于电荷分布对称于圆盘轴线OP ，故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形，两者面积、电量分别相等.虚线半扇形在P 点贡献的场强如图中d 'E 所示.d E 与d 'E 大小相等，与轴线夹角α亦等，两者的合场强必平行于轴线.整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形，故P 点的总场强E 亦平行于轴线.因此只须对d E 沿轴线的分量z dE 作积分便可求出E .由图可知220032220cos cos 444()z rd dr rd dr z dE dE l l l zrd dr r z σϕασϕαπεπεσϕπε====+ 对变量r 、ϕ作二重积分得230022200142()R zrdr E d r z πσσϕπεε⎛⎫== ⎝+⎰⎰ (1.2.4) 其中z 为O 与P 间的绝对距离（不论P 点在圆盘的右侧还是左侧，z 恒取正）.再对式(1.2.4)积分，即可求得式(1.2.3).2 均匀带电细圆环的电场2.1 均匀带电细圆环的电势利用上一章介绍的点电荷电势的公式(1.1.1)及叠加原理导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解.如图(2.1.1),设均匀带电细圆环半径为R,其电荷线密度为λ.由对称性可知：其电势与电场必以z 轴对称.因此，只要求得xOz 平面内电势与电场，则整个空间的电势与电场便可知.图中dl 线段电荷在p 点电势为：0014142p dl dU r C A λπεπελ=⋅== 式中012C πε= ,A =, 2222xRB x z R =++ . (2.1.1) 将细圆环视为点电荷的集合，由电势叠加原理，在空间p 点处电势为020*********p C A U C A C A C A d πππππππλλλλθ=⋅⎧=⎨⎩⎧⎫⎪=⎨⎪⎩=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2.1.2) 其中2πθθ'=-.利用幂级数[8～10]()1234211313513571112242462468x x x x x x -⋅⋅⋅⋅⋅⋅±=++⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅则式(2.1.2)可变形为如下幂级数的形式:(2.1.1)图 均匀带电细圆环的电势{223320223323332123044455545131351cos cos cos 224246131351sin sin sin 2242462(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(p n n B U C A B B B B B d C A G B G B G B G B G B G B ππλθθθθθθθλθθθθθθθθ⋅⋅⋅⎧=++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩⋅⋅⋅⎫-+-+⋅⋅⋅⎬⋅⋅⋅⎭=+-++-+++-+⋅⋅⋅+⎰⎰}cos (1)sin )n n n d θθθ+-⋅⋅⋅ (2.1.3)式中：112G = ， 23142G ⋅=⋅ ， 3531642G ⋅⋅=⋅⋅ ， 475318642G ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ……(21)(23)312(22)42n n n G n n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n 为正整数.且1B <，即p 点不应在环上.对式(2.1.3)积分,得到:{}246824682468224466881353753222246486413324222p n n n n n U C A G B G B G B G B n n G B n n C A M G B M G B M G B M G B M G B πλπλ⋅⋅⋅⎧=+⋅++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩--⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬-⎭=+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (2.1.4)这里：212M = ， 434M = ， 65364M ⋅=⋅ ，8753864M ⋅⋅=⋅⋅ , ……(1)(3)3(2)4n n n M n n -⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ n 为正偶数.同样1B <.2.2 均匀带电细圆环的电场得到均匀带电细圆环周围空间电势的级数解后,再通过电势与电场的关系,可得出其电场强度的级数解.由电场强度与电势的关系:U =-∇E (2.2.1)不难得到p 点场强.令x z E E =+E i k ，有：{}{}{}242244312244222224422222242(2)22422pn x n n n n n p n n n U AE C M G B M G B M G B x x BC A M G B M G B n M G B x B B U C A B A M G M G B R RnM G B πλπλπλ--∂∂=-=-+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-∂∂∂⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∂=+-⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (2.2.2) {}23222442222()2242pz p n n n U zA z E U C A B M G M G B z R Rn M G B πλ-∂=-=+⋅⋅++⋅⋅⋅+∂⋅⋅⋅ (2.2.3) 其中1B <.2.3 均匀带电细圆环电场、电势的讨论1、对于z 轴上的点（0x =，0B =），式(2.1.4)、(2.2.2)、(2.2.3)分别变为:02p U C A λπλππε=== (2.3.1) 0x E = ,322204()z QzE z R πε=+ (2.3.2)式中Q 为圆环上总电荷.这是我们所熟知的结果，此外，若p 点距圆心距离远大于环半R >），p U 近似为式(2.1.4)第一项:2204()p Q U x z πε≈+ (2.3.3) 322204()x xQ E x z πε≈+ 322204()z zQE x z πε≈+ (2.3.4) 此时,p 点电势相当于环上电荷置于圆心处时的点电荷的电势和电场.2、由式(2.1.4)可见,电势较大区域在圆环附近.对于场强，此时由式(2.2.3),0x E =场强方向沿圆环径向.同样，当p 点位于环附近时，222B A =.场强由式(2.2.2)中第一项决定.当p 点距环越远时，场强将会迅速减小.得知:均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.3 均匀带电薄圆盘的电势3.1 均匀带电薄圆盘的电势（线电荷元分割法）在电磁学中,对均匀带电圆盘的电场的空间分布问题,一般的教材中只讨论均匀带电圆盘轴线上的分布,而对轴线以外场点的分布没有讨论,本章由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布.如图(3.1.1),将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加,即可求出均匀带电圆盘电位的空间分布.在前面得到均匀带电细圆环的电位分布，得到(2.1.4)式如下：{}246824682468224466881353753222246486413324222p n n n n n U C AG B G B G B G B n n G B n n C AM G B M G B M G B M G B M G B πλπλ⋅⋅⋅⎧=+⋅++++⋅⋅⋅+⎨⋅⋅⋅⎩--⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬-⎭=+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ 其中012C πε=,A = , 2222xRB x z R =++式中只有A 、B 与坐标量有关,把上式对x 积分,便可得到均匀带电圆盘在xOz 平面上的分布.但计算起来相当麻烦，（计算机可对它进行数值计算）为了便于计算，我们在球坐标系中计算.本节先用线电荷元分割法来求解.已有文献对它进行了计算，但用这种方法把无穷多个细圆环叠加起来，不能得到正确的结果.从根本上说来，这是因为轴定理所处的体系，不仅要求具有轴对称性，而且对源（静电问题中的电荷，引力中的质量，等等）的分布也有一定的限制.源只能分布在作为系统内部界面的球面上.而在本问题中，作为静电势的源的电荷，分布在赤道面上的一个圆形区域内.因此，我们在球坐标系中计算，便可容易得到正确的结果.如图中所示，设均匀带电圆环带电量为dq ,半径为ρ,在环上任取一小线元dl ,dl 到p 点的距离为r ',dl 带电量为:22dq dqdl d ρφπρπρ= 在p 点激发电场的电位为:2001428dq dq d dV d r r φρφπεπρπε'=⋅=⋅'' (3.1.1) 式中222222(cos )(sin )2sin cos()2sin cos()r r r r r r θρθρθαφρρθαφ'=++--=+-- (3.1.2)将(3.1.2)代入(3.1.1)得:208dq dV πε'=228dq V ππε'=⎰(3.1.3)由对称性可知，圆环在p 点的电位V 与p 点的方位角α无关，即可取0α=. 则：2208dq V ππε'=⎰(3.1.4)令2φπψ=- 2d d φψ=- (3.1.5)2cos cos(2)cos 212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.1.6)将(3.1.6) (3.1.5)代入(3.1.4)式得：2208dq V ππε'=⎰ (3.1.7)为了计算简便，这里令2224sin 2sin r k r r ρθρρθ=++ (3.1.8) 将(3.1.8)代入(3.1.7)式得：V π'=⎰(3.1.9)又222qdq d d R πρρσπρρπ=⋅=⋅(3.1.10) 将(3.1.10)代入(3.1.9)式积分得：202RV πσπε=⎰⎰ (3.1.11)21sin k-ψ的以π为周期的偶函数，且, 则2222426211313521()()()2224246k k k πππ=⋅⋅⋅⎡⎤=⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦⎰⎰ (3.1.12) 将(3.1.8) (3.1.12)代入(3.1.11)得()22000232024301()4sin 2213(4sin )24135(4sin )246R R R R V r r r σθεθθ⎡=⎢⎢⎣⋅⎛⎫+ ⎪⋅⎝⎭⎤⋅⋅⎛⎫⎥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎥⋅⋅⎝⎭⎦⎰⎰⎰⎰sin ln2V r r σθε=-⎣()22023201()4sin 213(4sin )24R R r r θθ+⋅⎛⎫+ ⎪⋅⎝⎭⎰⎰2430135(4sin )246R r θ⎤⋅⋅⎛⎫⎥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎥⋅⋅⎝⎭⎦⎰ (3.1.13) 20k <讨论：当0θ=时，p 点便在轴线上，这时(3.1.13)式化为)2V r σε=即圆盘在轴线上与盘心相距为r 处p 点的电位,与电磁学中得出的结论相符合.接下来用面电荷元分割法来求均匀带电圆盘的电势.3.2 均匀带电薄圆盘的电势（面电荷元分割法）如图(3.2.1),将坐标原点选在圆心O 上,盘面在xOy 平面内,z 轴沿圆盘轴线,设p 点到圆心的距离为r ,在盘内任取一小面积元ds ：ds dxdy =ds 到圆心的距离为ρ，到空间任一点p 的距离为r '，电荷元带电量为：dq dxdy σ= (3.2.1)电荷元在p 点激发电场的电位为：14dqdV r πε=⋅'(3.2.2) 由图(3.2.1)可知222222(cos )(cos )(sin )2sin cos()r r l r r r θθρθρθαφ'=+=++--r '= (3.2.3)将(3.2.1) (3.2.3)式代入(3.2.2)式得04dV σπε=(3.2.4) 将(3.2.4)式化为极坐标的形式：04dV σπε=4V σπε=⎰根据对称性可知，圆盘电荷在p 点产生的电位V 与p 点的方位角α无关，为简单可取0α=则4V σπε=⎰(3.2.5)令22d d φπψφψ=-=- (3.2.6)2cos cos(2)cos 212sin φπψψψ=-=-=-+ (3.2.7)将(3.2.6) (3.2.7)代入(3.2.5)式得0042V σπεσπε==⎰⎰(3.2.8)令2224sin 2sin r k r r ρθρρθ=++ (3.2.9)将(3.2.9)代入(3.2.8)得：222RV πσπεσπε==⎰⎰(3.2.10)由此看出(3.2.10)与(3.1.11)是相同的.当0θ=时，(3.2.10)式同样可得出均匀带电圆盘轴线上距盘心r 处p 点的电位：)2V r σε=总结求各种带电体周围空间电场的解，可先计算出各种带电体周围空间电位的分布，然后用电位与电场的关系求出其电场分布.而对周围空间电位的计算，用两种方法计算.当参考点在无穷远时，用点电荷的电位分布计算电位；或用电位与场强的积分关系式计算电位.从而通过计算可导出了均匀带电细圆环电势和电场的级数表达式，得知均匀带电细圆环电场主要集中在圆环附近.在此基础上，用叠加法推广到均匀带电圆盘的电场分布（将均匀带电薄圆盘分割成同心的带电圆环,先求出任一带电圆环电位的空间分布,再进行叠加, 由电位的定义式,用两种方法求出均匀带电圆盘电位的空间分布）.致谢：李生莲老师对本文的设计及成稿提出了很好的建议,在此我表示诚挚的谢意！参考文献：[1]Morse P M, Feshbach H. 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