【创意版】傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明.ppt

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第三章傅里叶变换的性质.ppt

0
f (t)奇函数：X ()

f (t)sin tdt 2

f (t)sin tdt

0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数；若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。

1 T

(t

T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T

F(
j )

2
2T
(1
cosT )

4
2T
sin
2 (T
2
)

TSa2 (T
2
)
第三章第1讲

12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t

1 2
(e
j0 t

e
j0 t
)
sin
0t

1 2j
(e
j0 t

经典傅里叶变换讲解ppt课件

)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2

傅里叶ppt课件

t0的傅氏变换及其 t0
积分表达式 ,其中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
完整编辑ppt
33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
完整编辑ppt
20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
完整编辑ppt
40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
完整编辑ppt
41
(6) 卷积定理原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
完整编辑ppt
10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .

傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件

第 29 页
2Eej24E2Eej2 j 2F 2 F
F 12 2 E ej24 E 2 E e j2
122Eej22ej2
2 E 2 ej4 e j4 2 2 E 2 2jsi4 n 2
2
8E2
s
in 4
2
4
精品4课件2
ESa2
2 4
29
X
例3-7-8
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
精品课件
9
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
2．例
ut 1 1sgntF 1
22
j
精品课件
5
三．奇偶虚实性
若 f( t) F () ， f( t)则 F ( )
证明：
由定义
F f(t)f(t)e jtd tF ()
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e j td t f ( u ) e j u d u F ( )
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移 t0左右
t0 t0
时移加尺度变换
若 f(t)F() 则fatb1Fejab
a a
仿at
1 a
t的证
精品课件
明
过
程
11
六．频移特性
1．性质
若f(t) F()
则ff((tt))e e j j 0t0t F F 00 0为常数号，注
2．证明

傅立叶变换ppt课件

信号处理
在信号处理中，傅立叶变换和逆变换是常用的工具，用于分析信号的频谱特性和时域特性。
逆变换的计算方法
直接计算法
对于一些简单的函数，可以通过直接计算得到其逆变换。这种方法需要手动计算，比较繁琐。
查表法
为了方便计算，可以制作一个傅立叶变换和逆变换的表格，通过查表得到函数的逆变换。这种方法比较快捷，但需要制作表格。
对于非周期信号，傅立叶变换的结果可能存在频谱泄露现象，需要进行窗函数处理或加权平均处理。
THANKS
感谢观看
总结词
线性组合的性质
详细描述
傅立叶变换具有线性组合的性质，即对于两个函数的和或差的傅立叶变换，等于各自傅立叶变换的线性组合。
移位性质
总结词
时间或频率的平移不变性
详细描述
傅立叶变换具有时间或频率的平移不变性，即函数在时间或频率轴上平移一定量，其傅立叶变换的结果也相应平移。
微分性质
总结词
频域的微分运算性质
更好地分析和处理信号。
信道容量分析
利用傅立叶变换可以分析信道的传输特性，从而确定信道的容量。
多载波传输
在多载波传输中，傅立叶变换被用于将高速数据流分解成多个低速数据流，以便于在多个载波上传输。
04
CATALOGUE
傅立叶变换的逆变换
逆变换的定义
逆变换
如果一个函数f(t)的傅立叶变换存在，那么可以找到一个函数F(ω) ，使得f(t) = F(-ω)。这个过程就是逆傅立叶变换。
MATLAB中傅立叶变换的示例
01
img = imread('image.jpg');
02
img_fft = fft2(double(img));

傅里叶变换的性质PPT课件ppt文档

根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。
f (t) c0
n 1
c0
1 2
c
An cos(n 0t n )
An
a
2 n
b
2 n
tan n
an bn
(4―10)
(4―11) (4―12) (4―13)
式(4―6)还可写为如下形式
f (t) c0
n 1
1 2
An{[cos(n 0t n )
T
T 2 0
1 sin(2nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2,4,6, n 1,3,5,
c2 T
T
2 T
2
f(t)dt0
f(t)4[sin2ft13sin6ft15sin10f
Tn 2
f (t) 1 …
－T 0 T
22
…
2T
t
图4.3 矩形脉冲
考虑到Ω=2π/T,上式也可以写为
Fn
1 nT
sin
n
T
,n
0, 1, 2,
根据式（4―16）可写出该周期性矩形脉冲的指数形
式傅里叶级数展开式为
f (t)
Fne jnt
n
n
1 sin n e jnt n T
图4.4画出了T=4τ的周期性矩形脉冲的频谱。由于
j sin(n 0t n )]
1
n
1 2
[cos(n

傅里叶变换__经典ppt

1
§1 Fourier积分公式积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍令T=8, 以f (t)为基础构造为基础构造一周期为8的周期函数的周期函数f 一周期为的周期函数 8(t)
6
1 合并为：合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为：级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与积分公式与积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =

傅里叶变换原理PPT课件

根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地故得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化.

傅里叶变换及其性质课件

若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(at)（a>0）$ 的傅里叶变换为 $aF(frac{omega}{a})$。
应用
频移性质在信号调制和解调中非常有用，例如在通信系统中的振荡器设计和频率调制。
共轭性质
共轭性质
若 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(omega)$，则 $f(-t)$ 的傅里叶变换为 $overline{F(-omega)}$。
05
傅里叶变换的扩展
离散傅里叶变换
定义
离散傅里叶变换（DFT）是一种将离散时间信号转换为频域表示的方法。它将一个有限长度的离散时间信号序列通过数学运算转换为复数序列，表示信号的频域特征。
性质
离散傅里叶变换具有线性、时移性、频移性、共轭对称性和周期性等性质。这些性质使得离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、数字通信等领域得到广泛应用。
度和相位信息。
02 03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用，如滤波、去噪、压缩等。通过对信号进行傅里叶变换，可以提取出信号中的特征信息，实现信号的分类、识别和分类。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有着重要的应用，如图像滤波、图像增强、图像压缩等。通过对图像进行傅里叶变换，可以提取出图像中的特征信息，实现图像的分类、识别和分类。
傅里叶变换的分类
离散傅里叶变换（DFT）
对时间域或空间域的信号进行离散采样，然后对离散的采样值进行傅里叶变换。DFT广泛应用于数字信号处理和图像处理等领域。
快速傅里叶变换（FFT）
一种高效计算DFT的算法，能够在 $O(Nlog N)$ 的时间内计算出 $N$ 个采样值的 DFT，大大提高了计算效率。FFT广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

《傅里叶变换》课件

特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即给定一个频域函数，通过傅里叶逆变换可以恢复原始的时域函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，可以在频域中对图像进行滤波处理，如去除噪声、

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如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
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16
2．频域微分性质
推广或
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17
八．时域积分性质
也可以记作：
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18
证明
因为
综合上述两种情况
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19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f t f 0
F F 0
O
t
O
f td t
f 0
B
F
d
F 0B
f 0 1
2
F e jt d
t0
F0 f td t
等效脉冲宽
1
2
F
d
2
1
B
优选文档
Bf
度与占有的等效带宽成
反比。
20
例3-7-2
例3-7-1
相移全通网络
优选文档
21
例3-7-3
优选文档
22
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
要以展开频带为代价。
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9
优选文档
10
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
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111．性质Biblioteka 六．频移特性2．证明
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12
3．说明
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
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13
七．微分性质
时域微分性质
频域微分性质
或
优选文档
14
1．时域微分
注意
优选文档
15
注意
2
02
0
E
2
Sa
0 2
E
2
Sa
0 2
将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移 0
F
E
2
0 O
0
0
2
( b ) 矩形优调选文幅档信号的频谱
26
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数．
优选文档
27
分析
优选文档
28
X
29
第页
优选文档
29
X
例3-7-8
解：
优选文档
§4.3 傅里叶变换的性质
优选文档
1
主要内容
对称性质奇偶虚实性时移特性微分性质
线性性质尺度变换性质频移特性时域积分性质
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2
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
优选文档
23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
优选文档
相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
f t
其中Gt 为矩形脉冲，脉冲幅度为E，
30
例3-7-9
解：
优选文档
31
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换解：
解：
优选文档
32
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
显然
优选文档
33
证明
优选文档
34
续……
证明
变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
优选文档
3
一．对称性质
1．性质
2．意义
优选文档
4
二．线性性质
1．性质
2．例
优选文档
5
三．奇偶虚实性
证明：由定义可以得到
优选文档
6
四．尺度变换性质
意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
优选文档
说明…… 说明…… 说明……
7
3．意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
优选文档
35
……续
优选文档
36
证明
即
优选文档
37
(flash)
优选文档
38
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频
带压缩a倍。高频分量减少优选，文档幅度上升a倍。
8
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则
E
脉宽为 ,试求其频谱函数。
解：
o
t
2
2
已知矩形脉冲Gt的频谱G 为
(a)矩形调幅信号的波形
G E Sa
因为
2
f
t
1 Gt
e e j0t
j0t
2
根据频移性质，f t频谱F 为
F 1 G 优选文档 1 G
25
2
02
0
频谱图
F 1 G 1 G